CHAPITRE \1\. LA THEORIE DES FONCTIONS, ETC

plus impoilanls du siècle concernant la géométrie synthétique ('). On peut dire (juc la géomélric synthétique moderne a son origine dans les travaux de l'illustre jNlonge, en icSoo^ de Garnot, en iSo3, et de Poncelet, en 1822 ; mais les œuvres de ces savants laissent seulement entrevoir la grande extension que cette hranche des mathématiques devait recevoir en Allemagne et en France et dont Steiner, Von Staudt et Chaslcs sont peut-être les auteurs et les propagateurs les plus connus.

Steiner (-\ — Jacoh Steiner, « le plus grand géomètre depuis Apollonius », naquit à Utzensdorf, le 8 mars 1796, et mourut à Berne, le i*" avril i863. Son père était campagnard et jusqu'à làge de quatorze ans, l'enfant n'eut aucune occasion d'apprendre à lire et à écrire. Dans la suite, il se rendit à Ileidelberg, puis à Berlin, subvenant à ses besoins en donnant des leçons. Son ouvrage, Systemalische Entwickelwigen, fut publié en i832 et sa réputation fut aussitôt faite : il contient une discussion complète du principe de dualité, des relations projeclives et homographiques des points en ligne droite, des faisceaux de droites, etc., basée sur les propriétés métriques. Grâce à l'influence de Grelle et Jacobi, qui furent frappés de la puissance de cet ouvrage, une chaire de géométrie fut créée pour Steiner, à Berlin, et il l'occupa jusqu'à sa mort. Les plus importantes de ses autres recherches sont contenues dans des notes parues à l'origine dans le Journal de Crelle, et sont comprises dans sa Synthelische Géométrie : elles traitent principalement des propriétés des courbes algébriques et des surfaces, des podaires et des roulettes, des maxima et minima ; la discussion est purement géométrique. Les ouvrages de Steiner peuvent être considérés comme une autorité classique en ce qui concerne la géométrie synthétique récente. * Steiner se rencontra avec Cayley, Salmon, Gremona, dans l'étude des surfaces

(') Les œuvres réunies de Steiner, éditées par Weieustrass, ont été publiées en deux volumes, Berlin, 1 881 -8a. Un récit de sa vie se trouve dans Erinneriinfj (in Steiner, par C.-F. Geiser, Schaffhausen, 1874.

(^) UAperçii historique sur Voricjine et le développement des inéllioiles en géométrie, par M. CuASLES, Paris, seconde édition, 1873, et Die synthelische Géométrie in Alterlltum und in der Neuzcil, par Th. Reye, Strasbourg, 1886, contiennent d'intéressants résumés de l'histoire de géométrie ; mais l'ouvrage de Ch.vsles est écrit à un point de vue exclusivement français.

du 3" ordre, devenue aussi simple et aussi facile que celle des surlaces du second ordre. On ne saurait en dire autant des surfaces du Ix" ordre, étudiées aussi par Stciner, kumuier, Cayley, Moutard, Laguerre, Gremona, pour ne citer que les plus anciens. Sleiner, avec Pliicker, a apporté d'importants développements à la théorie des polaires *.

Von Staudt- — Ln système de géométrie pure, complètement distinct de celui mis au jour par Steiner*et Chasles*, fut proposé par Cliarles-Geori/es-Chrislidii van SIhikII, né à Rothenburg, le '.>J[ janvier i7(S8, mort en 18G7, et qui occu[)ait la chaire de malhéniatiques, à Erlangcn. Dans sa Géométrie (1er Lnije, il proposait un système de géométrie construit sans aucune référence au nombre ou à la grandeur et, malgré sa forme abstraite, parvenait à établir les propriétés projectives non-métriques des figures, envisageait les ])oints imaginaires, les lignes et les plans et même obtenait une définilion géométrique du nombre : ses vues furent encore étendues dans son ouvrage Be'dru<je zur Géométrie der LcKje, iSôG-iiSGo. Celte géométrie est curieuse et brillante ; elle a été utilisée par Culmann, dans sa statique graphique dont elle forme la base.

Gomme ouvrages classiques sur la géométrie synthétique, nous citerons : le Traité de fjéomdtrie supérieure, de Ghasles, 1802 ; Vorlesungen iiber synthelische Géométrie, de Steiner, 1867 '■> ^^^ Eléments de géométrie projective, de Gremona, et la (Géométrie der Lage, de Th. Reye, Hanovre, 18G6-18G8. Une bonne exposition des méthodes modernes de la géométrie pure se trouve dans l'ouvrage Introduzione ad uiia teoria geometrica délie curve piane, 18G2, continué par Preliminari di una teoria geometrica délie superficie, de Luigi Gremona, dé l'Ecole polytechnique de Rome,

Les différences dans les idées et dans les méthodes anciennement observées entre la géométrie synthétique et la géométrie analytique tendent à disparaître avec leur développement ultérieur.

* Dupin. — Pierre-Charles-Franrois baron Dupin, naquit à Varzy près Nevers, d'une famille d'ancienne bourgeoisie, en 1784, et mourut à Paris en 1873. Il entra à l'Ecole polytechnique et en sortit à dix-huit ans avec le litre d'ingénieur des constructions navales.

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Ses travaux sur \cs surfaces cycUdes, en suite de ceux de Fermât, Eulcr et jMonge, et avant ceux de M. Darboux, sont justement célèbres ; mais sa carrière très active d'ingénieur, à Anvers, à Corfou, à Toulon, ne lui laissait guère le loisir de se livrer à ses études favorites. 11 put cependant tirer d'intéressantes conclusions, concernant les lignes de courbure, de l'étude des déblais et remblais. Son nom reste aussi attaché à la notion de V indicatrice, qui devait renouveler après Euler et Meunier toute la théorie de la courbure, celle des tangen'.es conjuguées, des lignes asymptotiques, qui ont pris une place si importante dans les récentes recherches. L'élude de la lumière enfin et les principes fondamentaux de la résistance des matériaux, lui doivent de notables progrès.

Professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, ingénieur (*t économiste distingué, membre de l'Académie des sciences, Dupin fut nommé, en 1826, député du Tarn, et conserva ces fonctions jusqu'en 1870 *.

*Chasles. — Michel Chas/es naquit à Chartres, en 179.3, et mourut à Paris en 1880. Elève à l'Ecole polytechnique, il publia trois notes de géométrie qui ne furent point alors appréciées à leur valeur, devint, sur le désir de son père, associé d'agent de change, se lança dans la vie mondaine et ne revint qu'après des revers de fortune à ses études premières. C'était en 1827. Dix ans plus tard, grâce surtout à son Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, il avait mérité et acquis une grande notoriété.

L'Aperçu historique fut publié en i834. L'année suivante, Chasles publiait plusieurs beaux mémoires sur la théorie de l'attraction, puis découvrit, après Gauss et Green, le théorème qui porte le nom de ce dernier mathématicien; en i843, il obtint la chaire de géodésie et de machines à l'Ecole polytechnique et, peu après, la chaire de géométrie supérieure, créée spécialement pour lui, en Sorbonne. Son Traité de Géométrie supérieure et son Traité des sections coniques, malheureusement inachevé, ont une haute valeur. Ses beaux théorèmes sur le déplacement d'un corps solide ont apporté une contribution précieuse à la Cinématique.

Chasles, avecCayley, Cremona, Salmon, La Gournerie, a étudié encore les surlaces réglées algébriques, dont certaines applications sont fort importantes.

Chasles n'entra à rAcadémic des sciences qu'à l'àgc de 38 ans. Un illustre géomètre anglais a cru pouvoir dire de lui qu'il était « l'empereur de la géométrie » *.

*Bellavitis. — (]iuslo licllnrilis, de pauvre, mais noble famille, naquit à Bassano, le 22 novembre i8o3, et mourut à Padoue, le 9 novembre 1880, Son père fit son éducation. En i84o, il lut nommé membre pensionné du Royal Institut \ énitien des sciences et, en i84."J, professeur à l'Université de Padoue. Son premier travail, où il réfutait certaines erreurs du traité de mécanique de Yentaroli, parut en i836. On lui doit quelques mémoires concernant le calcul dillérenticl, entre autres la détermination de l'aire des polygones et celle du volume des polyèdres en fonctions des distances respectives des sommets, formules retrouvées par Staudt, en 1842 ; une étude sur les fonctions inverses; une élude sur des séries se rapportant aux factorielles et aux intégrales eulériennes ; une classification des courbes du 3" et du /i" ordre. Il fit aussi des recborchcs concernant la partition dos nombres, l'analyse indéterminée, les imaginaires, les nombres de Bernoulli, les déterminants et les substitutions linéaires.

Son œuvre originale est le Calcul des éqiiipoUences . Carnot, dans sa Géométrie de position, publiée en i8o3, avait déjà parlé de l'importance qu'aurait l'introduction en géométrie d'un algoritbme représentant à la fois la grandeur et la position des diverses parties d'une figure. Ce fut en iS.'î.j que Bcllavitis sut réaliser le vœu du géomètre français. Son calcul des équipollences jouit d'avantages incontestables qui sont les suivants : à cliaque propriété de points en ligne droite, répond une propriété de points du plan ; les solutions grapbiqucs des problèmes sont aisées à obtenir ; la tbéorie des courbes peut se faire indépendamment de tout système de coordonnées, et les formules en sont à la fois simplifiées et généralisées ; la ibcoric des imaginaires se présente sous un aspect nouveau.

C'est en vain que Bcllavitis voulut étendre à l'Espace sa tbéorie des équipollences. Il n'y put réussir. lïamilton, seulement, avec ses qiiateniions, devait vaincre la difficulté.

Bcllavitis résolut nombre de problèmes au moyen des équi|?ollenccs, et en obtint parfois des solutions brè\es et élégantes. Ses