Voir ci-dessus, t. XI, p

façon à assurer la marche normale du progrès scientifique, ne parait pas en tout cas Jusqu'à présent, avoir sensiblement influé sur les conditions de ce progrès. Les trente dernières années du xixe siècle achèvent de s'écouler sans que des symptômes de ralentissement se soient accusés, et la postérité estimera sans doute que cette période aura brillé, scientifiquement parlant, au moins autant que les précédentes. En particulier, la production mathématique ne fait que s'accroître et le nombre des travailleurs semble grandir suivant une progression de plus en plus rapide, à mesure même que la science prend un caractère de généralisation de plus en plus abstrait, qui rend son histoire de moins en moins abordable pour quiconque ne coopère pas lui-même au progrès.

Mais ce n'est pas ce motif seulement qui rend aujourd'hui plus difficile notre tâche d'historien; pour toutes les sciences, il faut un recul suffisant dans le passé, afin de pouvoir estimer à leur juste valeur les travaux importants et les mettre dans la lumière qu'ils méritent. Nous ne pouvons d'ailleurs consacrer les quelques pages qui vont suivre à enregistrer, sous forme d'annales, des noms d'auteurs et des titres d'ouvrages; nous n'avons pas davantage la prétention de présenter un tableau exact et complet de l'état actuel de chaque science. Force nous est donc de faire un choix que les contemporains pourront trouver injuste et que sans doute la postérité ne ratifiera pas; mais nous essaierons du moins de le diriger de façon à faire connaître les principaux courants d'idées qui se sont manifestés depuis 1810 et dont le retentissement a dépassé le cercle des savants qui s'y intéressaient directement.

Géométrie. — Signalons en premier lieu le Calcul de la géométrie énuméralive (abzâklendé) de Hermann Schubert (de Hambourg), paru en 1879. Ce travail, qu'on peut considérer comme le développement définitif des divers principes posés par Michel Chasles, a pour objet la discussion du problème consistant à examiner combien de figures géométriques de définition donnée satisfont à un nombre de conditions suffisant à les déterminer.

Mais pour la géométrie, ce qui singularisera surtout la

période dont nous nous occupons, c'est le nombre et l'importance des travaux consacrés à des spéculations dont la génération précédente n'aurait pas même admis l'idée première, et qui n'ont point paru sans soulever des réserves et même parfois des protestations de la part d'esprits moins aventureux. Dans ces spéculations se sont rencontrées les tendances procédant du développement des idées de Staudt, et celles qui dérivent des constructions systématiques de Lobatchefski, Bol \ ai et Riemann.

La géométrie projective, pour conquérir définitivement son autonomie, devait écarter la notion de dislance en tant que donnée empiriquement et telle qu'elle forme la base de la géométrie métrique. Le problème fut en réalité résolu par Cayley dans son Sixth Menioir on Quantics (1859), par la construction du concept abstrait de la distance de deux points ; cette solution consiste à substituer à la notion de chaque point sur une droite celle d'un nombre qui lui soit attribué comme cote, et à former avec ces cotes (ou affixes), suivant une loi déterminée, le rapport anharmonique du quaternaire que constituent, avec un couple de référence, les deux points dont on veut définir la distance ; elle sera le produit, par une constante arbitraire, du logarithme de ce rapport anharmonique.

Cette conception abstraite était nécessairement plus large que la notion concrète de distance, et assurait, par là même, la prédominance à la géométrie projective, en lui donnant une base plus générale que celle de la géométrie métrique. Ces conséquences purent apparaître dès que Félix Klein, en 1871, faisant varier la constante arbitraire de Cayley, retrouva les espaces de Riemann, à courbure positive, nulle ou négative, et qu'il put en même temps, par l'introduction de nouveaux paradoxes (dérivés de la distinction des deux faces d'un plan), multiplier encore les géomélries non-euclidiennes.

D'autre part, les idées de Riemann avaient attiré l'attention sur la conception des espaces à plus de trois dimensions. Pendant une première période, les travaux dans ce sens n'eurent que le caractère de recherches analytiques, sous une terminologie empruntée à la géomélrie ordinaire. Mais ensuite ils

prirent une allure plus tendancieuse, en particulier ceux qui furent consacrés à l'espace à quatre dimensions. Mentionnons, dans la collection Brill, les curieux modèles (à trois dimensions) des projections de solides réguliers à quatre dimensions; rappelons aussi les recherches sur la possibilité, dans l'hypothèse d'une quatrième dimension de l'espace, de certains mouvements comme la sortie d'un corps hors d'une enceinte entièrement close.

Ces recherches ont, & la vérité, été dirigées surtout dans la voie de la géométrie métrique, mais les travaux de géométrie projective à n dimensions n'ont pas été moins considérables. Le principal promoteur de ces études a été William Kingdon Clifford (1845-1879), par son mémoire On classification of Loci (1878).

La géométrie analytique moderne a une tendance naturelle à se rapprocher de la géométrie projective depuis que celle-ci a affirmé son indépendance. Il suffît de rappeler que Félix Klein fut longtemps le principal représentant des idées de Plûcker et son véritable continuateur, en particulier pour la théorie des complexes du second degré. Mais la théorie générale des courbes et des surfaces n'a pas été négligée pour cela, et en particulier nos compatriotes Serret (1819-1885), Halphen (1844-1889), Darboux y ont attaché leurs noms. Les recherches du second, dont on doit rapprocher celles de Nœthev, ont d'ailleurs un caractère algébrique ; de même celles plus récentes de Caslelnuovo, Enriques, Picard, sur les fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Les leçons sur la théorie générale des surfaces de Darboux résument les connaissances actuelles sur l'application de la haute analyse à la géométrie, connaissances que l'auteur a singulièrement accrues.

Les questions spéciales qui ont provoqué le nombre le plus considérable de travaux importants sont celles de la courbure des surfaces; de la représentation d'une surface sur une autre; enfin ce qu'on appelle, d'après Leibniz, YAnalysis si tu s, et dont nous pouvons citer, comme exemple, la proposition, encore sujette à discussion, de Tait sur le nombre de couleurs nécessaire et suffisant pour colorier une carie géographique.

Histoire oéméiulk. XII. 36

Algèbre. — Au point de vue philosophique, le trait le plus saillant dans les nouvelles conceptions géométriques est évidemment l'exclusion systématique de tout élément concret, la tendance à construire la science de l'espace sur une base exclusivement rationnelle ; partant, avec une généralité telle qu'elle ne s'appliquera à l'espace réel que comme à un cas particulier, correspondant à des déterminations singulières de valeurs conçues à priori comme arbitraires. A celte tendance devait correspondre, dans la science des nombres et de leurs relations, un courant analogue : il s'agissait d'exclure, en tant que donnée empirique, la notion de continuité, tout en la construisant, sous une forme rigoureusement logique, en prenant seulement comme point de départ la notion du nombre entier.

Des théories distinctes, dont la fusion fera sans doute aboutir celte réforme capitale des fondements de l'enseignemenl mathématique, ont été jusqu'à présent proposées à cet effet par Weierstrass (né en 181 5) de Berlin, Méray, Dedekind (né en 1851), de Brunswick, Heine (1821-1881) et Georg Cantor.Ce dernier, professeur à Halle, comme le précédent, s'esl en particulier signalé par sa doctrine des ensembles (notion embrassant celle des espaces à n dimensions) et de leur puissance. C'est lui qui a démontré la possibilité de faire correspondre un à un, d'une façon univoque, tous les points d'un espace indéfini quelconque avec ceux d'une droite de dimension finie.

De même, à la conception de géomélries possibles différentes répond, dans une certaine mesure, celle d'algèbres différentes, c'esl-à-dire de procédés de calcul ayant chacun ses règles spéciales, et susceptibles dès lors d'être appliqués à des questions devant lesquelles restait impuissante l'algèbre ordinaire, en correspondance trop étroite avec la géométrie ancienne. Comme cas 1res particulier de Y algèbre universelle, nous pouvons citer l'algorithme applicable à la logique , surtout développé par l'Américain C.-S. Peirce, et en rapprocher, quoique le lien ne soit pas encore établi, les tentatives de M. Peano pour constituer un système de nolations adéquat au langage mathématique. Signalons encore les leçons sur l'algèbre de Illogique de E. Schrôder.

Mais si les questions de ce genre prennent de jour en jour plus d'importance, les travaux se multiplient, surtout en algèbre, dans deux domaines qui sont loin d'être épuisés : d'un côté la grande théorie des invariants ou des transformations linéaires (Gordan, Hilbert, etc.); de l'autre, celle des groupes de substitutions, dont l'objet primitif était de rechercher les formes d'équations d'un degré donné résolubles au moyen de radicaux, mais qui, entre les mains de M. Camille Jordan eldeKronecker (1823-1891), s'est constituée comme une doctrine isolée. Le Traité des substitutions du premier, les Grundzùge einer arithmetischen Théorie der algebraischen Grossen (1882) du second, sont des ouvrages fondamentaux sur la matière.

Analyse et tbéorle des fonctions. — La théorie des groupes, primitivement algébrique, a pris une extension considérable par suite des travaux du Norvégien Sophus Lie (f 1899), qui Ta étendue à l'analyse, et en particulier à la théorie des équations différentielles ordinaires et de celles aux dérivées partielles, qui en a également, montré le rôle considérable en géométrie , tant pour le développement de celte science que pour l'éclaircissement du concept d'espace. Aux théories générales de Sophus Lie, on peut rattacher les résultats obtenus par Halphen sur les invariants différentiels, et les recherches d'E. Picard sur l'extension de la théorie de Galois aux équations différentielles linéaires.

Dans un autre ordre d'idées, les applications de la théorie des groupes à l'intégration des équations différentielles et à l'étude des fonctions définies par ces équations ont été, à partir de 1876, l'objet de travaux considérables qui ont surtout illustré notre compatriote Henri Poincaré (né en 1851) et qui ont notamment abouti à la définition des fonctions transcendantes (fuchsiennes et thétafuchsiennes) ' à employer pour l'intégration des équations linéaires.

L'étude des équations différentielles, soit ordinaires , soit aux dérivées partielles, soit pour certains types particuliers, doit d'importantes contributions à Darboux, Poincaré, Picard,

!. Noms rappelant celui de Lazare Fuchs; voir ci-dessus, t. XI, p. y*8.

Appell, Goursat, Painlevé. Récemment l'étude des fonctions définies par des séries a élé en partie renouvelée par les travaux de J. Hadamard et E. Borel.

La théorie des fonctions elliptiques est restée un champ d'études fécond; le nombre des ouvrages consacrés à l'exposer et la fréquence de leur apparition témoignent de la continuité du progrès. Parmi ces ouvrages, celui où Halphen, en 1866, développa systématiquement les notations de Weierslrass, a laissé une trace profonde.

La théorie générale des fonctions a fait de remarquables progrès auxquels Weierslrass et Schwarz (né en 1845) à Berlin, Mitlag-Leffler (né en 1846) à Stockholm, Méray, Darboux et H. Poincaré en France ont attaché leurs noms. La classification des fonctions repose désormais sur des théorèmes précis; les moyens d'en construire de différents types ont élé reconnus; des postulats, longtemps admis sans démonstrations réelles, ont été écartés. De larges voies ont élé ouvertes aux travailleurs de l'avenir..

La théorie des nombres proprement dite est restée relativement slalionnaire. Toutefois nous devons signaler les importantes recherches sur l'approximation de nombres quelconques au moyen de suites de nombres entiers. La voie a été frayée par Hermile pour établir la transcendance du nombre e, puis par Lindemann pour celle du rapport de la circonférence du cercle à son diamètre. Le problème général de celte approximation a reçu récemment une importante interprétation géométrique de Minkowski.

Mécanique et Astronomie. — Si abstraites que paraissent devenir désormais les recherches de mathématique pure, elles n'en gardent pas moins le contact avec le monde des phénomènes; elles sont même, beaucoup plus qu'on ne le croirait à première vue, sinon dirigées, au moins soutenues par la nécessité de constituer des méthodes applicables à la solution des problèmes concrels ou à la discussion des théories physiques. Dans un travail couronné en 1888 par l'Académie des sciences, M"'e Sophie Kowaleska (1853-1891), en découvrant un nouveau cas d'intégrabilité des équalions différentielles du

mouvement, grâce à l'emploi de théta-fonclions de deux variables indépendantes, a donné notamment un remarquable exemple des applications que Ton peut faire en mécanique des théories analytiques modernes. C'est aussi en mécanique que le calcul des qualernions et les autres conceptions analogues semblent destinés à recevoir le plus de développement, comme le montre en particulier la Theory of screws (vis) de Slawell Bail (Dublin, 1876). Les travaux de Lagrangc et de Jacobi avaient ramené le problème de la dynamique à certains types d'équalions différentielles, qu'il était indiqué d'étudier en eux-mêmes; ce sujet a été l'objet de nombreux travaux récents.

La dynamique subit d'ailleurs une évolution marquée par suite de l'introduction de la considération des frottements dans la mécanique céleste, et de celle des mouvements rotatoires en hydrodynamique. Les remarquables recherches (1879) de George Howard Darwin, de Cambridge (né en 1845), dont les résultats ne sont pas encore, à vrai dire, universellement acceptés, n'ont pas seulement déterminé les conséquences du frottement des marées sur l'accélération du moyen mouvement de la lune, problème posé depuis longtemps : elles ont éclairé d'un nouveau jour les questions de l'origine et de l'histoire de notre satellite. Le traité de J.-J. Thomson (Motion of Vortex Rings, 1882) a rendu classique une nouvelle forme de l'hypothèse atomique, celle d'anneaux fluides mobiles dans un milieu fluide, idée remontant à une célèbre proposition d'Hemhollz sur l'indestruclibilité des mouvemenls tourbillorinaires dans un milieu homogène, incompressible et sans viscosité, mais qui fut formulée avec précision par William Thomson.

La question de la propagation des ondes, celle du mouvement d'un solide dans un liquide, l'élude des mouvemenls de l'atmosphère, l'acoustique (Lord Raleigh, Theory of Sound, 1877-1878), l'élaslicité, la théorie cinélique des gaz, celle de l'électro-magnélismc (1871) de Maxwell (1801-1879), qui s'étend à l'optique, doivent être signalées comme ayant également fait l'objet, dans ces trente dernières années, de travaux mathématiques particulièrement considérables, el réalisant d'indiscutables progrès. On voit que ces sujels embrassent en réalité la

physique tout entière; et si, sans doute, la physique mathématique est encore loin d'avoir, comme la mécanique, reçu une forme rationnelle définitive, il semble bien que les travaux de notre temps compteront, dans l'avenir, parmi les plus importants qui auront servi à déterminer cette forme.

Nous avons eu l'occasion de signaler, un peu plus haut, une des graves questions théoriques qui s'agitent encore en astronomie '; mais, en fait, les progrès de la mécanique céleste sont plutôt limités aujourd'hui au perfectionnement des méthodes d'exposition et de calcul. Parmi les traités destinés à remplacer l'œuvre magistrale de Laplace et à mettre au point les nouveaux procédés, un rang à part semble devoir être assigné à celui de Tisserand, dont la publication, en partie posthume, n'est pas achevée.

L astronomie d'observation développe de plus en plus ses moyens, et prend un caractère international, accusé dans la récente et grandiose entreprise d'une carte du ciel obtenue au moyen de la photographie. Mais, comme observation d'une nature différente de celles qui avaient déjà été faites antérieurement, on ne peut guère signaler que celle des canaux rectilignes de Mars, due à l'astronome Schiaparelli, qui est parvenu enfin à donner une explication plausible de ces singulières apparences.

Les sciences physiques. — L'énumération qui précède, pour les travaux des sciences mathématiques, témoigne à coup sûr que l'activité de l'esprit humain dans ce domaine, loin de se ralentir, est plus vive que jamais; toutefois, pour comparer à ceux des précédentes les résultats obtenus pendant celte dernière période de trente ans, pour la caractériser vis-à-vis d'elles, il faut attendre que ces résultats aient produit leurs conséquences et que se lève la génération formée par les élèves des maîtres d'aujourd'hui.

I. Dans un autre ordre d'idées, le fondement même des méthodes d'approximation employées depuis Laplace en mécanique céleste a été l'objet de critiques essentielles; II. Poincaré a montré que les séries employées n'étaient pas convergentes; il a caractérisé la nature de ces séries, et montré les services qu'elles peuvent continuer à rendre dans certaines limites. 11 a d'ailleurs développé de nouvelles méthodes pour l'élude du problème de la mécanique céleste, et indiqué d'autre part divers perfectionnements aux procédés exposés dans le Traité de Tisserand.

Pour la physique, dont les progrès peuvent se traduire par de saisissantes applications concrètes, il en est tout autrement. Ce que sera notre âge pour la postérité, nous pouvons sans doute le dire dès aujourd'hui; la postérité verra probablement l'emploi industriel de l'électricité atteindre des proportions dépassant les prévisions actuelles les plus hardies ; elle n'oubliera pas que cet emploi a commencé de nos jours.

Or cet emploi n'a pu se faire qu'aune condition; tandis que, dès l'origine delà chimie moderne, les maîtres les plus illustres, en même temps qu'ils poursuivaient des recherches théoriques, avaient dû s'intéresser aux besoins de la pratique; les physiciens, au moins en très grande majorité, étaient restés, jusqu'à ces derniers temps, confinés dans leurs chaires ou leurs laboratoires. Ingénieurs et mécaniciens n'avaient guère à leur demander que certaines mesures précises, et ne réclamaient pas leur collaboration active.

Lorsque l'électricité entre en jeu, la situation change; déjà la télégraphie , en particulier pour les transmissions sousmarines, exigeait des ingénieurs spéciaux, des électriciens, et provoquait en même temps des travaux de science pure. Mais aussitôt que le nouvel agent intéresse le domaine de la véritable industrie et de la libre concurrence, il faut bien que chaque nation s'ingénie à imiter et à perfectionner sans retard ce qui a été réalisé quelque part, il faut bien que les savants forment des électriciens et les guident.

Pour le progrès scientifique général, les conséquences sont très sensibles; les recherches de physique, qui exigent de minutieux et patients efforts, qui ont besoin de coûteuses installations, semblaient condamnées à rester, comme activité, bien en arrière des mathématiques; l'intérêt pratique qui désormais s'attache à elles compense les motifs contraires; le nombre des chercheurs se multiplie, l'importance matérielle des travaux s'accroît en proportion, et la rapidité de leur communication ne laisse plus à désirer. La presse scientifique trouve une diffusion assurée; les sociétés qui s'occupent de physique voient grandir leur rôle et leur importance. Celte science enfin prend le caractère international que la mathéma-

tique a revêtu la première; ce caractère s'accuse pratiquement par la fondation de la Société internationale des électriciens; par celle du Bureau international des poids et mesures^ installé au pavillon de Breteuil, dans le parc de Satnt-Cloud, bureau que subventionnent toutes les nations civilisées, et qui a pour objet d'assurer la conformité des unités de mesure pour les recherches scientifiques, sur la base élargie du système métrique décimal; par le Congrès d'électriciens de 1881, qui a abouti, pour les mesures électriques, à un système rationnel et uniforme de nouvelles unités, dont les noms ont consacré les gloires scientifiques d'Ohm, de Volta, d'Ampère et de Watt; enfin par Y Exposition d'électricité qui eut lieu également à Paris à la même époque, et qui a marqué une date aussi intéressante pour le savant que pour l'industriel.

L'Électricité. — La télégraphie avait depuis longtemps familiarisé avec l'idée que l'électricité dynamique effectue le transport le long d'un fil d'une force motrice; théoriquement cette force n'était point limitée; en pratique on n'avait à transmettre que des actions très faibles. On avait, d'autre part, depuis la découverte de l'induction par Faraday, le moyen de produire de l'électricité avec un mouvement; des appareils furent combinés de bonne heure dans ce but par Pixii et Clarke. Mais leur imperfection ne permettait pas de résoudre le problème industriel (produire à bon marché une énergie électrique considérable, en brûlant du charbon sous une chaudière, au lieu de brûler du zinc dans une pile), problème qui se posait d'ailleurs pour un but spécial, celui de l'éclairage par l'électricité.

Il fut résolu par Gramme, ingénieur d'origine belge, mais travaillant en France, qui construisit le premier type pratique des dynamos et le perfectionna successivement. La première machine est à courant continu ; il en a construit d'autres à courants alternatifs, genre pour lequel les inventions se sont multipliés et qui a pris le dessus, comme plus simple et donnant un meilleur rendement, depuis que l'invention des transformateurs (1884) a permis de l'employer pour les lampes à incandescence. Ces dernières lampes, dues à l'Américain Edison, en permet-

tant de modérer la lumière autant que Ton veut, ont, comme on le sait, assuré le succès et la vulgarisation de l'éclairage électrique, alors qu'au début on ne cherchait à l'employer que pour la production de foyers exceptionnellement intenses, et que la bougie Jablochkoff n'était pas encore applicable à l'éclairage de nos appartements.

Une dynamo est, par principe, réversible, c'est-à-dire que si, actionnée mécaniquement, elle produit un courant électrique, elle peut aussi bien, actionnée par un courant électrique, produire un travail mécanique. L'invention de Gramme donnait donc immédiatement une solution pratique du problème du transport de la force à distance, qui se présente si fréquemment dans l'industrie.

Les conditions à réaliser afin d'effectuer ce transport, pour de puissantes énergies, et à d'assez grandes distances, furent rapidement déterminées dans des expériences auxquelles le nom de Marcel Deprez restera attaché; on pouvait dès lors utiliser les chutes d'eau des montagnes pour éclairer les villes (ou pour y distribuer de la force motrice).

Les efforts se tournèrent ensuite vers un autre côlé, l'application de l'électricité à la traction. Dans cette dernière phase, la France s'est relativement laissé devancer , tandis qu'aux Etats-Unis les tramways électriques ont pris très rapidement un développement extraordinaire (transmission de la force par fils aériens, avec trolley).

Les accumulateurs électriques constituent une invention qui n'est pas moins précieuse, pour le problème de la locomotion mécanique. Cette invention reste en fait anonyme, car elle consiste en modifications successives d'expériences de laboratoire connues depuis longtemps; les accumulateurs, étudiés au début pour assurer la régularité du débit dans les conducteurs électriques, sont en réalité des piles où l'on produit, en les chargeant, une action chimique inverse de celle qui détermine le courant de décharge. Ils donnent donc le moyen d'emmagasiner de l'énergie pour la dépenser à volonté, comme aussi la faculté de transporter cette énergie emmagasinée.

Mais les énergies motrices, lumineuses ou chimiques, ne

sont pas les seules formes que l'électricité puisse servir à transmettre. En 1876, l'Américain Graham Bell exposait à Philadelphie le premier téléphone, bientôt complété (déc. 1877) par le microphone de son compatriote Hughes. Le phonographe d'Edison est de la même époque. Dans ces appareils, l'électricité assure en fait la ressemblance des vibrations de deux plaques de fer doux identiques. Le principe, physiquement, est aussi simple que possible; mais mathématiquement il n'a pas encore été abordé, tandis que le téléphone est déjà devenu un des instruments familiers de la vie civilisée.

A côté de ces progrès industriels qui ont nécessité, comme nous l'avons dit, une active coopération des physiciens proprement dits (d'un lord Kelvin, d'un Mascart, d'un Lippmann,elc.) pour la solution des délicats problèmes de la pratique, la science a commencé à préparer la voie à d'autres inventions que le siècle prochain pourra réaliser. Nous avons indiqué ! la théorie électromagnétique de la lumière suivant Maxwell; une onde lumineuse serait une suite de courants alternatifs se produisant dans le milieu diélectrique, et changeant de sens un nombre énorme de fois par seconde *.

Le physicien allemand Hertz (1857-1894) montra expérimentalement que les effets induclifs se propagent en réalité avec une vitesse finie égale à celle de la lumière. 11 employa à cet effet la méthode des interférences; il construisit un excitateur produisant d'une façon bien simple des courants changeant de sens un milliard de fois par seconde, et un résonateur permettant aussi simplement de suivre les phases de la vibration électrique. Hertz a ainsi constaté l'existence de rayons électriques se réfléchissant et se réfractant comme des rayons lumineux. C'est à la production de tels rayons que sont liés les essais récents de télégraphie sans fil, pour transmettre l'électricité comme on transmet la lumière, par l'élher impondérable; c'est aussi dans cette voie que l'Américain ïessla poursuit la synthèse d'une lumière sans radiations chaudes, au moyen

\. Voir ci-dessus, t. XI, p. 953.