LÉGISLATION. — ADMINISTRATION

49 Droit public. — Droit des gens . . .

50 Droit administratif. -« Administration

Ch. Vbbgé.

FIN DK LA TABLK DU PRKIIIKR VOLUME.

Pam.—

DUBOGHET, LECHEVALIER bt G", 60 EUS RICHELIEU. — S5

ARITHMÉTIQUE. -ALGÈBRE

PKKLUIINAIRKS.

Ptolêmée , roi d*Egypte , demiodiit à Kaclide , célèbre nulhématicien , qoi YÎvait dang le 3' liècle tvant Fère chrétieDoe , i*il n'y avait pas de chemin moing épineux qve le chemin ordinaire ponr apprendre la géométrie. • Non , prince , répondit Enclide , il n*j en a point de fait exprès ponr les rois. >

Cette historiette, que nous rapporte Proclos , l'nn des conunentateiirs d'Enclide , semble avoir inspiré la réponse faite, dans le siècle dernier , par nn académicien chargé d*enseigner les mathéoutiqnes à Tun des Enfants de France. • Monseignenr , disait-il à son élève rebuté par les formes Apres de la science, il n*y a pu de rontes rojales en algèbre! •

Est-il donc nécessaire que la science se présente toujours avec nne apparence aussi sévère, avec une rigueur aussi infleiible? Nous ne le pensons p^. Nous essaierons donc, dans ce qui va suivre, d'en exposer les résultats les pins utiles et les plus intéressants, en les considérant surtout an point de vue de la pratique et des applications ; et nous chercherous i atténuer par l'intérêt de quelques citations historiques, de quelques détails encore peu connus , les difficultés que les meilleurs esprits éprouvent à ' suivre sans fatigue ou sans ennui l'étude de ces matières épineuses.

Plusieurs définitions sont nécessaires avant d'entrer en matière.

On appelle quantité ou grandeur tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. Les longueurs, les superficies, les volumes des corps, le temps, etc., sont des quantités.

Les propriétés des grandeurs sont l'objet des mathéuuuiques.

Ponr comparer entre elles des quantités de même nature, on en prend une qui sert de mesure commfkne, à laquelle on rapporte toutes les autres, et qui porte le nom dimniti. Ainsi , le wtkre est une unité de longueur ; ïare nne unité de superficie ; le Mtère une unité de volume ; V heure une unité de temps , etc.

Le résultat de la comparaison d'une quantité à l'unité qne l'on a choisie est on namhre : entier si l'unité est contenue exactement ane oo plusieurs fois dans la quantité qu'elle sert i évaluer ;yiraen'ofitiatr» dans le cas contraire.

VanikÊtitifue est la sdence des nombres.

ARITMETIQUE.

J 1. Delà numération»

La numiration est l'art d'exprimer tous les nombres possibles avec quelques mots dans le langage parlé, cl quelques caractères dans l'écriture.

NUkliaATIOX PARliB.

Nous supposerons que le lecteur sait compter, et par conséquent nous ne détaillons pas toute la nomenclature adoptée pour exprimer les nombres en français. Il nous suffira de rappeler les circonstances suivantes.

1 0 Dans notre système de numération , dix unités d'un ordre quelconque en valent une de l'ordre immédiatement supérieur : ainsi dix unités simples valent une disaine, dix disaines nne centaine, dix centaines nn mille, et ainsi de suite.

S* A partir des wùUe on n'a plus donné des noms qne de trois ordres en trois ordres aux nouvelles unités que Ton formait» savoir : «tUum«, billions^ triUionê, quatril- Uons, quintillianê^ eextiliioni, êeptiliions, oetilUonê, nonillioni , etc. On compte par unités , dixaines et centaines de millions, de billions , etc. , comme par unités, dixaines et centaines simples.

3** L'usage a introduit des noms dont on aurait pu se passer, à la rigueur, dans la numération parlée. Ainsi on dit : dix , vingt , trente , quarante , cinquante , soixante ; »oixante-dix , quatre^vingt, quatre-vingt-dix , pour exprimer successivement les neuf disaines. L'analogie combinée avec les étymologies latines aurait exigé que l'on dit : unante, duante, trente.». , septante, octante, nouante. Les trois derniers mots sont usités dans le midi de la France. Les mots unante et duante ont été proposés par le célèbre Condorcet au lieu des mots dix et vingt

L'usage a aussi fait substituer les mots tirés du latin onze^ douze, treize, quatorze, quinze, seize , aux suivants : dix-un, dix-deux, dix-trois* dix-quatre, dix-cinq, dix-six.

On n'a besoin que très-rarement d'avoir recours à des nombres plus grands que les billions. Ainsi , en prenant pour unité l'épaisseur d'un cheveu supposée égale à la vingt-cinquième partie d'un millimètre, on trouve que le tour entier du globe terrestre serait exprimé par une «aLnitéde trillon. ^.^.^.^^^ by^^OOglC

>UAli&AT10N ÉdUTS.

Elle est fondée : !<> sur rinvenlion des neuf caractères on ehijfret

qui représentent respectivement les neuf premiers nombres ; 2o sar la convention qu'un chiffre place immédiatement à la gauche d'un autre marque des unités dix fois plus fortes ; 3^ sur Tinvention du caractère séro , qui a cette forme 0, et qui, n'ayant par lui-même aucune valeur, sert seulement à indiquer la place des différents ordres d'unités qui pourraient manquer, et à conserver ainsi aux autres chiffres leurs véritables valeurs de position.

La règle pour écrire un nombre énoncé consiste à écrire séparément, à partir de la gauche, chacune des tranches de trois chiffres, en remplaçant par des séros les ordres d'unités qui viennent à manquer.

Pour énoncer un nombre écrit , il faut le partager en tranches de trois chiffres , en allant de la droite vers la gauche , la dernière de ce cAté pouvant avoir moins de trois chiffres ; alors , en commençant par la gauche , on énoncera séparément chacune des tranches , en lui donnant le nom de l'unité principale qu elle renferme.

0R16INB Dl NOTBB MUUÉRATIO!» KCRITB.

L'habitude que nous avons de ce système de numération nous empêche de l'admirer autant que nous devrions le faire. L'idée si simple et si féconde de donner aux chiffres une valeur relative on de position en même temps qn'une valeur abtohu, l'invention des neuf chiffres on caractères simples, à l'aide desquels on peut exprimer tons les nombres, sont de véritables traits de génie, dont nous devons cesser de faire honneur aux Arabes. Les chiffres prétendus Arabes nous viennent des Grecs et des Romains, comme l'ont fort bien établi les curieuses recherches de If. Chasles sur l'histoire des mathématiques. Ce savant distingué a prouvé clairement qu'un passage fort obscur de Boëce, philosophe et sénateur romain, qui vivait an 5* siècle de notre ère, était relatif à notre système de nnmération décimale; que divers traités manuscrits du 10* au 12^ siècle roulent sur le même sujet; qne notre illustre compatriote Gerbert, élevé depuis an siège pontifical sons le nom de Sylvestre II , avait puissamment contribué i répandre et à vulgariser, dans l'occident, vers la fin du 10" siècle ce système qui fut désigné sons le nom d'abacu$ et attribué à Pythagore , jusqu'au commencement du 12« siècle.

Dans le premier tiers de ce siècle, le léro qui avait été imaginé postérieurement à Boece, et connu d'abord sous les noms de rota, rotula, sipoe, a pris les noms de eirculuê et ci/ra. Plusieurs auteurs ont nommé les Hindous , dans leurs ouvrages , comme étant les premiers inventeurs de cette arithmétique, et ont appelé les dix chiîîrti /igurœ Indorum. De la sorte les traces de l'ancien système de Tabacus se sont effacées insensiblement dans les ouvrages des chrétiens, pendant que quelques notions empruntées de la littérature arabe s'y sont introduites. Il est résulté de là que , dans les temps modernes, tout souvenir de l'abacus et de la véritable origine de notre arithmétique avait disparu, et qu'an contraire le nom des Arabes et des Hindous, et quelques expressions telles qne ci/ra et Jiyurœ Indorum se sont conservés. Cependant nn nombre considérable de passages empruntés aox auteurs des siècles suivants prouvent que, jusqu'au 1 6* iiècle , le souvenir de l'origine grecque et latine de notre système de numération n'était pu encore complètement perdu«

Il est important de remarquer qne ceux même qui ont cm i l'origine arabe ou asiatique de notre système de numération n'ont pu prétendre que nous ayons conservé l<^s caractères dont se servaient les Arabes.. Au contraire

l'analogie de nos chiffres actuels avec ceux de Boece et avec ceux qui sont employés dans les traités de l'abacus au moyen Âge est incontestable. Voici les figures de ces chiffres tels que M. Chasles les a trouvés dans nn manuscrit du 12' siècle.

Chiffres d'origine pTibagoricienoê.

Chilfru préieodai trtbu, dérivés det preaieri. 1234 567 89

GBirFBES B0UAIX8.

On voit, d'après ce qui précède, que les Romains, au moins ceux qui étaient initiés à la doctrine de Pythagore, faisaient usage , dans leurs calculs mathématiques , de chiffres très-analogues aux nôtres et fort différents de ceux qu'ils employaient pour les écritures courantes et qui ont conservé le nom de chiffres romains. Comme on emploie encore souvent les chiffres romains, qotamment pour paginer certaines parties des livres et pour marquer les dates , nous donnerons ici un petit tableau qui indique leurs valeurs.