EFFETS DES FORCES

• De l'espace et du temps.

43. Vespace est l'étendue indéfinie, sans bornes, qui contient tous les corps, et dont chacun occupe une partie plus ou moins considérable qu'on nomme son volume, son étendue et quelquefois sa capacité.

On nomme souvent aussi espace le volume, l'aire superficielle d'un corps, ou la distance, l'intervalle compris entre deux corps; mais alors on considère ces^ étendues comme occupant une certaine portion de l'espace absolu^ ce qui ne présente point d'équivoque.

44. Temps f mesure du temps. — On conçoit un temps plus long ou plus court qu'un temps donné; le temps est donc une

PIINCIPBS FOlfDÀHBNTAUX. 4^

grandeur; il est susceptible d'être mesuré comme les lignes» les aires et les volumes. — Pour mesurer un temps quelconque,]! ne s'agit que d'obtenir des temps égaux, et qui se succèdent sans discontinuité. En tombant d'une certaine hauteur, sur un plan de niveau, un même corps emploie toujours le même temps ; il en est encore ainsi de corps égaux tombant de la même hauteur. Supposez qu'aussitôt que le corps est arrivé sur le plan, un autre corps égal soit lâché du même point, et successivement un troisième, un quatrième, etc., vous aurez une suite de temps égaux j et leur somme sera le temps total. En représentant par i, ou prenant pour unité l'un de ces temps égaux, vous pourrez exprimer un temps quelconque au moyen d'un nombre; en y joignant le nom de l'unité, vous aurez l'expression complète de ce temps.

La clepsydre des anciens, nommée ordinairement sablier, oiïre un moyeu plus commode d'obtenir des temps égaux ou d'égale durée, par l'écoulement de l'eau ou de sable Qn qui se vide successivement d'un vase dans un autre (voyez PL /, fis- 8)- "" I-cs pendules, les horloges et les montres aujourd'hui en usage sont des instruments encore plus commodes et surtout plus précis.

45. Division, représentation géométrique du temps. — La fraction la plus petite du temps que donnent les pendules et les montres ordinaires, est la seconde : 60 secondes, qu'on écrit ainsi 60^, font une minute ou 1'; 60' font une heure ou i^; 24^ font I jour; enfin Vannée complète, ou le temps compris entre deux retours successifs du Soleil et de la Terre aux mêmes positions relatives, est de Z&^S^^VSo" environ, ou SiSSôgSo'^. — M. Breguet est parvenu à faire des montres qui ne varient pas d'une demi-seconde dans une année ; certaines montres, appelées chronomètres, donnent jusqu'aux dixièmes de seconde.

Ainsi nous pouvons compter le nombre d'heures, de minutes, de secondes, etc., écoulées entre deux instants quelconques, avec autant de précision et de facilité que nous comptons le nombre de mètres, de décimètres, etc., contenus dans une longueur ou distance. — Nous pouvons même représenter les temps par des lignes en portant, sur une droite

et à partir d'un même point» autant de distances égales qu'il y a d'unités de temps dans chacun d'eux. Foyez PL I^fig^ 9, l'exemple d'une échelle AB propre à donner immédiatement la mesure d'un certain nombre de secondes représentées ici par des millimètres.

Repos, mouvement, vitesse, inertie.

46. Un corps est en repos quand il reste au même lieu de l'espace; il n'est peut-être dans l'univers aucun corps qui soit absolument en repos; et, comme tout démontre que notre globe tourne sans cesse sur lui-même et autour du Soleil, rien n'y possède un repos absolu. Le repos n'est donc que relatif: un corps est en repos, pour nous, quand il conserve la même position par rapport à ceux que nous regardons comme fixes, — Un corps qui reste à la même place, dans un bateau, est en repos, par rapport à ce bateau, quoiqu'il soit réellement en mouvement par rapport aux rives.

Un corps est en mouvement quand il occupe successivement diverses positions dans l'espace : le mouvement est relatif comme le repos. Un corps est en mouvement, pour nous, quand il change de place par rapport à ceux que nous considérons comme fixes.

Le mouvement est essentiellement continu^ c'est-à-dire qu'un corps ne peut passer d'une position à une autre sans avoir occupé une série de positions intermédiaires; ainsi le mouvement d'un point décrit une ligne nécessairement continue. Quand on parle vaguement du chemin décrit par un corps, on entend essentiellement celui d'un certain point lié à ce corps, et dont la position indique celle du corps : par exemple, pour une boule sphérique, pour un cube, pour un cylindre, ce sera le centre de Ggure, etc.

47. Distinction des mouvements, vitesse. — Le mouvement d'un point est dit rectiligne ou curviligne^ selon que le chemin qu'il décrit est une droite ou une courbe. Quand le mouvement est curviligne, on peut le considérer comme ayant lieu sur un polygone rectiligne dont les côtés, excessivement petits, se confondraient sensiblement avec la courbe. Les

côtés successivement parcourus et prolongés îndéfininient, qui sont des /ait^en/e^ véritables de la cou/^be, indiquent les directions correspondantes du mouvement.

Concevons que le temps total, employé par un point pour parvenir d'une position à une autre» soit divisé en un grand Dombre de parties égales et extrêmement petites, par exem* pie en millièmes ou en millionièmes de seconde. Cela posé, si les portions de chemin successivement décrites dans ces diverses parties du temps sont égales entre elles, le mouvement sera régulier ou uniforme. S'il en est autrement, le mouvement sera varié. Il sera accéléré si les chemins successivement décrits sont de plus en plus grands, retardé si, au contraire, ces chemins sont de plus en plus courts. — L'aiguille des minutes d'une horloge, le cours régulier des eaux, etc., offrent des exemples de mouvements sensiblement uniformes, parce que des espaces égaux sont décrits à chaque instant dans des temps égaux ; le mouvement de rotation de la Terre autour de son axe, qui s^opère en un jour, est aussi dîns ce cas. — Un corps qui tombe verticalement offre l'exemple du mouvement accéléré; un corps qui s'élève aussi verticalement, celui du mouvement retardé. Dans le premier cas, le corps part du repos; dans le second, son mouvement Gnit par s'éteindre.

Dans tous ces cas, la rapidité ou la lenteur du mouvement est indiquée, pour chacun des intervalles de temps égaux et très-petits, par la longueur, plus ou moins grande, de l'espace ou du chemin décrit pendant cet instant : cette longueur mesure la grandeur de la vitesse à ce même instant. — Ainsi la vitesse est constante dans le mouvement uniforme, elle est accélérée ou retardée dans le mouvement accéléré ou retardé.

W. Mouvement uniforme. — Dans ce mouvement, le plus simple de tous, les petits espaces parcourus dans les instante successifs étant égaux, il est clair que le chemin décrit dans un temps quelconque se composera d'autant de parties égales d'espace qu'il y a de parties égales dans ce temps. — Ainsi, dans le mouvement uniforme, des espaces égaux sont décrits dans des temps égaux, quelle que soit leur petitesse ou leur grandeur; les espaces croissent comme les temps, dans le rap^

46 HfiCANIQUB INDUSTRIELLE.

port des temps, ou sont proportionnels aux temps employés à les décrire ; enfin le rapport de chaque espace aux temps correspondants est invariable , constant. Toutes ces expressions désignent la. même Chose d'après les définitions et propriétés bien connues des proportions et des fractions. — £ étant le* nombre des unités de chemin parcourues pendant le nombre d'unités de temps T, e celui des unités de chemin parcourues pendant le temps /; on a, selon ce qui précède,

E:e::T:t, ou E:T::e:t, ou enfin

Puisque» dans le mouvement uniforme, les espaces sont proportionnels aux temps employés à les décrire, la vitesse peut être mesurée par la longueur de l'espace décrit durant un temps quelconque, ou, pour la simplicité, pendant Y unité de temps. Ainsi Ton dit : la vitesse de tel corps est de 2 mètres par seconde, ou de 60 fois 2"^= 120°* par minute, ou de o"*,2 par dixième de seconde, etc.; ce qui revient au même, puisqu'ici le rapport de l'espace au temps ne change pas. — Quand on sait qu'un mobile a décrit uniformément un cerlain espace dans un certain nombre d'unités de temps, de secondes par exemple, on trouve la vitesse, ou le chemin dans l'unité de temps, en partageant l'espace en autant de parties égales qu'il y a d'unités de temps, ou en divisant l'espace par le temps. — Exemple : l'espace décrit uniformément pendant i minute et 5 secondes ou 65 secondes étant de 260 mètres, la vitesse par seconde, ou l'espace décrit pendant 1 seconde, est de

-^^ =4". Réciproquement, si l'on multiplie la vitesse par

un certain nombre d'unités de temps, le produit donnera l'espace décrit uniformément pendant ce temps; en désignant par V la vitesse , par E l'espace parcouru uniformément pendant un temps T, on a donc la relation

^9. Mouvement périodique constant, vitesse moyenne. — Il arrive quelquefois, dans la pratique, que la vitesse n'est

PRnrCIPBS FONDAMENTAUX. 4?

pas rigoureusement constante ou la même à chaque instant» quoique les espaces décrits au bout de certains temps égaux, soient égaux. Tels sont en particulier tous les mouvements oscillatoires f alternatifs ou de va-et-vient, dont les diverses périodes ou retours s'exécutent régulièrement et dans le même temps, bien que la vitesse varie continuellement dans Tintervalle de chaque période. Tel est encore le mouvement d'une voiture, d'un piéton qui décrivent constamment le même chemin dans chaque heure, chaque quart d*heure, et dont néanmoins le mouvement, tantôt accéléré, tantôt retardé, varie à chaque instant. Tel est enfin le mouvement de la Terre autour du Soleil, qui, tantôt plus lent et tantôt plus rapide, redevient cependant le même au bout de chaque année ou retour aux mêmes positions relatives.

De semblables mouvements sont diis périodiques, et on les remplace^ pour la simplicité, par des mouvements entièrement uniformes qui s'accompliraient dans le même temps. La vitesse constante qui résulte de cette considération est une vitesse moyenne ou réduite, qu'on obtient encore en divisant Tespace décrit dans une période entière par le temps qui lui correspond; il ne faut pas la confondre avec la vitesse effective qui est variable à chaque instant. C'est ainsi que les astronomes ont substitué au mouvement réel ou vrai de la Terre, qui n'est que périodique, un mouvement moyen, uniforme, bien moins compliqué, et qui s'accomplit, comme l'autre, dans le cours d'une année; de là aussi la distinction du jour vrai, du temps vrai et du jour mojren^ du temps moyen, dont les premiers sont donnés par les cadrans solaires et les autres par les bonnes horloges.

50. Représentation géométrique des lois du mouvement, — Supposons que nous ayons une Table à deux colonnes ou espèce de BarèmCy qui, pour un certain mouvement/donne les espaces ou chemins décrits au bout de chaque temps écoulé; prenonsunecertaine longueur (i millimètre, icentimètte, etc.), pour représenter l'unité de temps, la seconde par exemple, et une autre longueur (i centimètre, i décimètre, etc.) pour représenter l'unité de chemin, le mètre par exemple. Cela posé, traçons une droite infinie OB (PL I,fig* lo) et portons sur

48 MÉCANIQUE IIIDOSTRIBLLE.

celle droile (45), à panird'un même-poîniO, une dislance Orf représenlani l'un des lemps indiqués à la Table; sur la perpendiculaire en dy à la droile OB, porlons une dislance d'd représenlani, d'après la Table, le chemin décrii au boul du temps Oc/; faisons de même pour les aulres lemps ei les chemins correspondanls, on obliendra une suile de poinis a\ V^ c',. . ., qui, réunis deux à deux par des droites, donneront le polygone a'h'& , ... Ce polygone finira par se confondre avec une courbe véritable, si Ton multiplie convenablement les poinis, ou si Ton prend, dans la Table, des lemps suffisamment rapprochés les uns des aulres. Il est clair aussi qu'au moyen du tracé de la courbe, on pourra obtenir, comme par la Table, le chemin décrit pour chaque temps donné; de sorte que celte courbe en tiendra lieu pour représenter la /oi, la relation entre les lemps et les chemins, quel que soit le mouvement.

51. Remarque générale. — Nous rappellerons que les lignes Oa, 06,... se nomment, en général, les abscisses de la courbe, 0 Yorigine etOB Yaxe de ces abscisses; que pareillement les perpendiculaires a'a, b'b, c'c,... sont nommées les ordonnées de la courbe, et l'ensemble de ces ordonnées et abscisses, qui se correspondent respectivement, les coordonnées de cette même courbe; qu'enfin, l'intervalle cd entre deux ordonnées consécutives telles que c^Cy d'd, ou la différence de leurs abscisses, se nomme quelquefois V accroissement de ces abscisses, comme la différence d'd", entre ces mêmes ordonnées consécutives, se nomme aussi leur accroissement ou leur décroissement, selon que ces ordonnées vont en augmentant ou en diminuant, à mesure qu'elles s'éloignent de l'origine. — Quand les points consécutifs a\ 6', </,... sont tellement rapprochés entre eux, que les droites a'b', b'c' ,..., qui les unissent deux à deux, peuvent être censées se confondre avec les arcs correspondanls de la courbe, on dit que ce sont des éléments de cetter courbe; et, en général, les parties égales et infiniment petites d'une grandeur, se nomment ses parties élémentaires, ses éléments.

52. Représentation du mouvement uniforme. — Dans ce mouvement, les espaces croissent comme les temps {h8); ainsi

les ordonnées a'a, ft'è, c'c,.,. (PL lyfig. n), y sont proportionnelles aux abscisses Oa, 06» Oc»..., et partant telles» que la lignea'6'c'...y qui donne la loi du mouvement, est une droile [vo^rZy en Géométrie, la théorie des lignes proportionnelles), ~ Supposez qu'on partage Vaxe OB des abscisses ou des temps, en un nombre infmi de parties égales, infiniment petites; puis qu'après avoir élevé les ordonnées correspondantes, on mène, par l'extrémité de chacune d'elles, des parallèles à Taxe des abscisses; on formera une suite de petits triangles égaux et rectangles, tels que c'd'd'^ par exemple, semblables aux trian% glesOaaS Odd^,..., et dont les côtés sont proportionnels à ceuxde ces derniers. Observant donc que les hauteurs d'd^,.,. de ces petits triangles, mesurent leâ espaces décrits pendant les temps élémentaires correspondants c'J*', ou crf, on pourra répéter, au moyen de la ûgure, tout ce qui a été dit ci-dessus sur les lois du mouvement uniforme. Ainsi la vitesse, c'est-àdire (47) l'espace décrit dans chacun des instants égaux ab, bCf cd,,,.f est constante, et peut être mesurée par l'espace quelconque e'e, par exemple, qui serait décrit dans le temps Oe, pris pour unité.

53. Représentation des moui^ements variés. — Dans ces mouvements, les espaces n'étant plus proportionnels aux temps, la ligne a'6'/;'... [PL I^fiS' '^) n'est plus une droite : les petits espaces b'b" ^ c'c",..,, décrits dans les temps élémentaires ab, ftc,.... sont inégaux; par conséquent la vitesse (47) varie à chaque instant. Pour le cas de la figure, le mouvement et la vitesse sont accélérés, parce que les espaces b^b", c'c*",..., décrits dans des instants égaux, vont sans cesse en croissant. — Supposons qu'à l'instant qui répond au point c', le mouvement cesse d'être accéléré, et se continue uniformément avec la vitesse qui a lieu à cet instant; le reste du mouvement, au lieu d'être représenté par une courbe, le sera par la droite indéfinie c'm, prolongement de c'd'; et puisqu'à l'instant que l'on considère, le mobile décrivait l'espace d^d^' dans le temps élémentaire c'd*' ou cd, on voit qu'en vertu du mouvement censé devenu uniforme, il parcourrait, dans l'unité de temps, un espace qu'on obtiendra en cherchant l'ordonnée mn qui, pour la droite c'm, correspond à l'abscisse c'n qui représente cette unité de temps.

5o NfiCANIQUB INDUSTRIELLE.

D'après ce que nous avons vu (48 et 52), l'espace mn sert de mesure à la vitesse de ce mouvement uniforme; sî donc nous supposons l'élément de temps cd assez petit pour que la corde c'd' puisse être censée confondue avec la courbe, la droite indéfinie c'd'm* deviendra précisément la tangente en c' à cette courbe : cette tangente se construira, dans certains cas, géométriquement^ c'est-à-dire rigoureusement, et, dans d'autres, à vue ou par des méthodes de tâtonnement; or son inclinaison sur la parallèle c'/t à Taxe des abscisses donnera, xomme nous venons de le dire, la vitesse ou le chemin mn qui s.eraK décrit, dans l'unité de temps c'/», si le mouvement devenait tout à coup uniforme. On voit par là aussi que, si l'on connaissait exactement, en nombre et pour chaque instant irès-petit cd ou c-d'% l'espace correspondant rf'rf^ on aurait cette vitesse mn au moyen de la proportion

c'rf" id'd" :: c'n\mn\

d'où l'on lire, en faisant c'n = i,

ou bien, en désignant par / l'élément de temps cd, par e l'espace d'd" parcouru pendant ce temps, et par V la vitesse mn,

Si, au lieu d'être accéléré, comme on vient de le supposer, le mouvement était retardé, la loi qui lie les temps aux espaces serait représentée par une courbe a'c'f [PI. I,Jlg. i3), tournant sa concavité vers l'axe OB des temps; du reste, les raisonnements et les opérations pour trouver la vitesse seraient absolument les mêmes. — Si le mouvement, d'abord retardé, s'accélérait ensuite, la loi du mouvement serait évidemment représentée par une courbe, telle que l'exprime la fig. i3, dont la première partie a'f^ tournerait sa concavité du côté de Taxe OB, et la seconde f'k', du côté contraire; c'està-dire que celte courbe aurait une inflexion en f, au point qui correspond au changement du mouvement.

PBrNCIPES FONDAMENTAUX. 5l

Enfin on voit que le mouvement périodique constant, tel qu'il a été défini ci-dessus {M), géra représenté par une courbe sinueuse ABC... {Jig. i4}» dont les ondulations se font régulièrement autour d'une droite a'b'c'd',.., qui en représente le mouvement moyen uniforme.

54. Observation, — • Il est presque inutile de remarquer que les courbes précédentes* donnant uniquement la loi qui lie les espaces aux temps ^ ne doivent pas être confondues avec les lignes ou chemins mêmes parcourus par les mobiles : dans ces dernières lignes, les tangentes en chaque point donnent simplement (47) la direction du mouvement ou de la vitesse pour Tinslant correspondant; et, selon ce qui précède (53), c'est le rapport, le quotient du petit espace parcouru par le mobile à cet instant, et du temps élémentaire employé à le décrire, qui donne la mesure de la vitesse correspondante.

55. Inertie de la matière. — La matière est inanimée ou inerte^ elle ne peut se donner du mouvement par elle-même, ni charfger celui qu'elle a reçu. — On corps en repos y persévère, à moins qu'une cause telle que la pesanteur, un moteur animé, oe l'en fasse sortir. — S'il a été mis en mouvement, dans une certaine direction ab (PL /, Jig. i5), il continuera à se mouvoir, de b en c, sur le prolongement de la droite ab; car, arrivé en &, il n'y a pas de raison pour qu'il se dirige au-dessus ou au-dessous de ab, à moins qu'une cause ne le fasse dévier de sa route. Pareillement, s'il a une certaine vitesse de a en 6, il conservera cette vitesse tant qu'une cause étrangère ne viendra pas ralentir ou accélérer son mouvement, celte vitesse.— Si nous voyons la bille lancée sur un billard ralentir sans cesse de vitesse, cela tient à la résistance du tapis et de l'air; si nous voyons un corps tomber verticalement quand on l'abandonne, et accélérer même de mouvement, cela tient à l'action de la pesanteur qui agit continuellement sur ce corps comme s'il était au repos : c'est tellement vrai, qu'en diminuant les obstacles qui s'opposent au mouvement de la bille, elle y persévère plus longtemps, et qu'en lançant le corps de bas en haut» sa vitesse diminue au lieu d'augmenter. Enfin, si la direction du mouvement (<^7) d'une bombe ou d'une pierre lancée obli-

52 HÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

quement, change à chaque instant, ou si elles décriveni des lignes courbes, c'est encore garce que la pesanteur tend sans cesse à ramener cette bombe ou cette pierre vers la terre.

Loi de V inertie. — Il résulte de là qu'en verlu de V inertie un corps qui se meut actuellement avec une certaine vitesse et dans une certaine direction, conserverait éternellement celte direction et celte vitesse, et que le mouvement serait rigoureusement rectiligne et uniforme, si rien ne venait le déranger; qu'enfin si, par une cause quelconque, le corps est forcé de décrire un ligne courbe ABC [Jig. 16), en vertu de cette même inertie, la cause venant tout à coup à cesser à un certain instant, il décrirait la tangente BT au point correspondant B de la courbe, et conserverait la vitesse qu'il possédait en ce point.

Des forces, de leur mesure et de leur représentation.

56. Définition. — On appelle en général forces, les causes qui modifient actuellement l'état d'un corps, ou qui le modifieraient si d'autres forces ne venaient empêcher ou détruire l'effet des premières : V attraction, la pesanteur (27 et suiv. ), la résistance de l'air et des fluides, ïe frottement, le calorique considéré comme cause de la répulsion (28), sont de véritables forces, puisqu'ils peuvent changer l'état de repos ou de mouvement des corps. Nous ajoutons ou qui le modifieraient, etc.; car un corps posé sur une table de niveau, par exemple, ou suspendu verticalement par un fil, ne paraît pas actuellement changer d'état; mais il en a changé d'abord, et la pesanteur le presse sans cesse contre la table ou lui fait tirer le fil; elle le ferait mouvoir enfin si la résistance de la table ou du fil ne s'opposait continuellement à son action.

57. Effets des forces. — Les forces produisent, comme on le voit, des effets très-variés, suivant les circonstances : tantôt elles laissent les corps en repos, en se détruisant constamment les unes les autres; tantôt elles en changent la forme, elles les rompent; tantôt elles leur impriment du mouvement, elles accélèrent ou retardent celui qu'ils possèdent, ou

PBINCIPB8 FONDAMENTAUX^ 53

en changent la direcUon ; tantôt enfin ces changements s'opèrent avec lenteur, d'une manière graduelle, imperceptible, tantôt ils s'opèrent au contraire avec rapidité, brusquement; mais, dans le fait, c'est toujours dans un temps fini et par degrés continus. — Si nous voyons quelquefois des corps changer brusquement d'état, de direction ou d'intensité de mouvement, c'est que la force, alors très-grande, produit son effet dans un tempstlont la durée est seulement inappréciable à nos moyens de mesurer le temps. — Si la balle d'un fusil traverse un carreau de verre, une porte, une feuille de papier librement suspendus, sans leur imprimer un mouvement sensible, cela prouve seulement qu'elle opère cet effet avec une rapidité telle, que les parties enlevées n'ont pas le temps de propager leur mouvement dans toute l'étendue des corps. — Si, d'après l'expérience qui en a été faite autrefois à la Rochelle, un canon suspendu verticalement à l'extrémité d'une corde porte le boulet au même but que s'il était sur son affût, cela prouve seulement que la pièce n'avait point dévié, d'une manière sensible, avant l'instant où le boulet est sorti de rame, et qu'il lui faut un temps bien plus considérable qu'à ce boulet pour acquérir une vitesse qu'on puisse apprécier ou mesurer. — Nous examinerons, dans ce qui suit, comment le mouvement se propage, de proche en proche et d'une manière continue, dans toute l'étendue des corps, et comment il se fait que ceux qui ont le plus de poids et de densité sont aussi ceux qui, dans un temps donné, reçoivent le moins de vitesse par l'effet d'une même force dont l'action est plus ou moins prolongée.

58. Dénomination des forces, — Les forces qui donnent le mouvement aux corps s'appellent en général /orce* motrices: elles sont accélératrices quand elles accélèrent à chaque instant le mouvement, elles §ont retardatrices quand elles le retardent. Souvent aussi on nomme puissances ou forces mouvantes les forces qui agissent pour favoriser ou augmenter le mouvement, et résistances ou forces résistantes celles qui, au contraire, tendent à l'empêcher ou à le diminuer : d'après cette définition, les forces accélératrices sont des puissances véritables, et les forces retardatrices des résistances. En gêné-

54 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

rai, dans chaque cas donné, on donne le nom de puissances aux forces qu'on regarde comme capables de produire un certain effet, et celui de résistances aux forces qui s'opposent à l'accomplissement de cet effet.

59. Nature et comparaison des forces. — Nous avons, par nous-mêmes, une idée exacte du mode d'agir de la force. Quand nous poussons ou tirons un corps, qu'il soit libre ou qu'il ne le soit pas, nous éprouvons une sensation qui se nomme pression^ traction, ou en général effort : cet effort est absolument analogue à celui que nous exerçons en soutenant un poids. Ainsi les forces sont pour nous de véritables pressions, comparables à ce qu'on nomme le poids des corps. La pression peut être plus forte ou plus faible; c'est donc une grandeur, et, pour la mesurer, la représenter par des nombres, il ne s'agit que de choisir une pression quelconque pour unité; ce qui ne sera pas difficile si nous pouvons trouver des pressions égales, comme nous avons trouvé des temps égaux (kk ).

Deux forces sont égales quand, substituées Vune à l'autre et dans les mêmes circonstances, elles produisent le même effet ou en détruisent une même troisième qui leur est directement opposée.

Suspendons (PL /, fig. 17) un corps P à l'extrémité d'un fil âB; en vertu de son poids, le fil prendra la direction de Y aplomb ou de la verticale AB (30)i et il faudra, en A, suivant AB, un certain effort pour le soutenir contre l'action de la pesanteur. Si deux forces, ainsi appliquées successivemeni à ce fil et de la même manière, maintiennent le corps P en repos, ces forces seront nécessairement égales entre elles et au poids du corps : une force double, triple, supportera deux^ trois corps semblables au premiQr, suspendus les uns au-dessous des autres, par le même fil. Prenant donc pour unité l'une de ces forces, par exemple celle qui supporte un centimètre cube d'eau pure, dans le lieu où lAous sommes, ou le poids d'un gramme (3b), une force quelconque sera exprimée par le nombre qui indique combien de grammes elle pourra supporter: c'est au gramme, ou plutôt au kilogramme, que

païKCiPBS fondàhbktaux. 55

désonnais nous comparerons toutes les forces de pression, de iraction, de tension, de çompressiony etc.

60. Mesure des forces par les poids, — Nous savons que les poids se mesurent ou se comparent entre eux par le moyen de balances; d'après le caractère général ci-dessus auquel on reconnaît que deux forces sont égales, il devient facile de trouver le poids d'un corps, quelles que soient la justesse et la composition d'un tel instrument. Il sufût, pour cela, de s'assurer que ce corps, substitué, dans les mêmes circonstances, à un certain nombre de poids-étalons, produit le même eflet sensible sur la balance, pour affirmer que son poids est égal à celui des étalons. Sous ce rapport donc, tous les appareils quelconques peuvent être employés à mesurer le poids des corps, et par suite les forces.

Les ressorts entre autres (17 et suiv.), quand ils sont susceptibles de conserver longtemps leur élasticité, peuvent servir et servent en effet à cet usage dans la pratique : tels sont plus particulièrement le /ye5onâ ressort du commerce (yîgf. i8), et le djmamomètre de Régnier(Jig. 19], instrument plus compliqué, qui sert à mesurer des efforts de pression ou de traction supérieurs à 100 kilogrammes. Dans l'un et dans l'autre, la grandeur de la flexion du ressort est indiquée par le mouvement d'une aiguille qui parcourt les différentes divisions d'un limbe gradué; ces divisions ayant été obtenues, lors de la fabrication, en suspendant directement des poids-étalons à l'instrument, fournissent le moyen de mesurer ensuite le nombre des kilogrammes d'un effort quelconque. En se servant des balances à ressort, il ne faudra pas oublier de vérifier préalablement l'exactitude de leurs divisions au moyen de poids étalonnés, et de changer la valeur de la graduation si l'élasticité se trouvait altérée depuis l'instant de la fabrication. Bu reste , nous n'insistons pas sur la description de ces instruments, parce que leur emploi dans les arts et leur Intelligence n'ont rien de difficile, et qu'il nous suffit ici de savoir qu'il existe des moyens directs de comparer les forces aux poids.

61. Observations. — En proposant, comme nous venons de le faire, de mesurer le» forces par des poids, nous su()posons

56 MÉCANIQUE INDUSTRIBLLB.

essentiellement que TefTort pour soutenir, contre l'action de la pesanteur, un corps quelconque, par exemple un litre ou décimètre cube d'eau pure, soit constamment le même dans tous les temps et pour tous les lieux, et que par conséquent le kilogramme^ poids de ce volume d'eau, soit une grandeur absolue ou invariable. S'il n'en était pas ainsi, les poids ne pourraient aucunement nous servir pour mesurer les forces, et il faudrait recourir à quelque autre unilé moins sujette à changer. Or on sait, par expérience, que l'action de la pesanteur en un même lieu'n'a pas varié avec le temps, du moins d'une manière sensible, et l'on peut croire qu'à moins d'événements extraordinaires, elle ne changera pas non plus dans l'avenir. A la vérité, l'action de la pesanteur diminue à mesure qu'on s'élève au-dessus de la surface de la terre ; elle diminue pareillement à mesure qu'on s'éloigne des pôles pour s'approcher de l'équateur; de sorte que le même corps qui, dans notre pays et à la surface des plaines, fait, par son poids, fléchir un ressort jusqu'à un certain degré, le ferait fléchir un peu moins lorsqu'on le tiansporterail à l'équateur ou sur le sommet d'une montagne élevée ; mais, pour l'étendue d'un pays comme la France, et pour des montagnes telles qu'il s'y en rencontre, la diminution du poids est à peine sensible : par exemple, pour une élévation verticale d'une lieue au-dessus des plaines, elle serait au plus y^j du poids mesuré au niveau de ces plaines.

Il suit donc de là que nous pouvons regarder le poids absolu des corps, ou la force qui soutient ce poids contre l'action de la pesanteur, comme une quantité tout à fait constante, du moins dans l'étendue ordinaire de nos travaux industriels, et que par conséquent nous pouvons aussi, sans crainte de commettre des erreurs appréciables, prendre pour uftité de force l'unité de poids, conformément à ce qui a été proposé ci-dessus. Nous verrons d'ailleurs plus tard comment, à l'aide du pendule, on peut rendre sensible la variation de la pesanteur dans les divers lieux, variation généralement trop faible pour être appréciée, d'une manière facile et rigoureuse, par le moyen des ressorts ou d'instruments analogues.

62. Point d'application f direction, ifins, intensité et repré^

sentation géométrique des forces, — Il faut distinguer, dans une force, i* son point d'application, c'esi-à-dire le point matériel sur lequel elle agit immédiatement; 2° sa direction ou la droite que décrirait son point d'application s'il obéissait librement à la force; 3^ le sens de son action, qui est aussi le sens de ce mouvement; 4' sa grandeur absolue, son intensité, mesurée par des poids, par un certain nombre de kilogrammes. Soit A (PL Ifjig. 20) le point d'application d'une force dont la droite AB est la direction indéfinie; portons, de A en P, sur cette droite et dans le sens de son action, un nombre d'unités de longueur, par exemple de centimètres, de millimètres, égal au nombre des kilogrammes, qui exprime son intensité ; il est évident que cette force sera complètement représentée. Ordinairement on indique le sens de l'action au moyen d'une petite /lèche, et l'intensité de la force par une seule lettre telle que P, et cela afin d'abréger; ainsi Ton dît une force P ou AP, une force Q ou AQ, comme on dirait une force de 10 kilogrammes, de i5 kilogrammes, etc. De cette manière, l'étude de la Mécanique est ramenée à celle de certaines figures de la Géométrie.

Mode d'action des forces sur les corps,

63. Action directe. — Quand une force agit extérieurement à un corps solide et contre un point de sa surface, elle exerce une pression qui refoule les molécules les plus voisines de ce point; le corps plie, fléchit ou se comprime suivant les circonstances; les molécules se trouvant plus rapprochées au contact, font effort pour retourner à leur place, en vertu de Xenr force de répulsion naturelle (27 et 28), ou de l'élasticité plus ou moins grande qui appartient à toutes les substances (19); elles refoulent aussi les molécules qui leur sont immédiatement voisines» et, de proche en proche, les plus éloignées jusqu'à l'autre extrémité du corps. Si cette extrémité est fixe ou arrêtée par un obstacle, Teffet de la force se réduira à une compression, à un changement de forme du corps; si, au contraire, cette extrémité est libre, elle s'avancera, de sorte que le mouvement aura été propagé ou

58 MfiCANIQUB INDUSTRIELLE*

communiqué à toutes les parties, et cela de proche en proche» ou successivement. Ce mouvement intérieur, résultat d'une suite de compressions, prouve qu'il faut un certain temps (57 ) pour que la force produise son effet total, et Tabsurdité de supposer qu'une vitesse finie puisse s'engendrer instantané-ment ou tout à coup. Les mêmes choses se passeraient d'ail- . leurs si, à l'inverse, la force était employée à détruire le mouvement acquis d'un corps; elle détruirait d'abord la vitesse des molécules voisines du point d'action, puis, de proche en proche, celle des molécules les plus éloignées, etc.

Nous venons de supposer que la force, appliquée extérieurement au corps, agissait pour le presser, le refouler sur luimême; mais, si elle s'exerçait du dedans au dehors de façon à le tirer, à l'étendre, les molécules en contact seraient écartées au lieu d'être rapprochées, et feraient, en vertu de Vattraction qui les unit (27 et 28), effort pour reprendre leurs distances respectives, et pour s'entraîner ainsi, de proche en proche, d'une extrémité du corps à l'autre; d'où l'on voit qu'en vertu de cette attraction et de la répulsion, les molécules des corps se comportent comme si elles étaient maintenues entre elles et séparées par de petits ressorts qui s'opposeraient aussi bien aux forces qui tendent à les rapprocher qu'à celles qui tendent à les désunir.

64. Réaction^ principe de la réaction. — D'après cette manière d'envisager l'action des forces sur les corps, entièrement fondée sur l'expérience de ce qui se passe quand on les tire ou qu'on les comprime, il est évident qu'un effort ne peut être exercé, en un point quelconque d'un corps, sans que lés ressorts moléculaires de celui-ci réagissent, en sens contraire, avec un effort précisément égal : c'est ce qu'on exprime en disant, d'après l'illustre Newton, que la réaction est tou^ jours égale et contraire à raction, principe démontré par toutes sortes de faits. — £n pressant, par exemple, du doigt un corps, en le tirant avec une ficelle, ou en le poussant avec une barre, nous sommes pressés, tirés ou poussés, en sens contraire, de la même manière et avec le même effort. — Deux pesons à ressorts (60), placés (^^. 21) aux extrémités A et B d'une telle ficelle ou d'une telle barre, indiquent le

PAINGIPE8 FONDAHEKTAUX. 59

même degré de tension, quand une force P vient à agir, par leur iniermédiaire, sur un obstacle fixe placé à Texirémité opposée, de manière que cette tension reste constante ou varie avec assez de lenteur, pour que Taction de la force ait le temps de se propager (57, 63 et 66). En général, nous ne pouvons concevoir qu'une force exerce son action sans faire naître, à l'instant même, une résistance égale et directement opposée. — Si une molécule matérielle en attire une autre, réciproquement celle-ci attirera la première avec une force éfple et contraire ; si la pesanteur ou l'attraction terrestre sollicite les corps vers la terre (30), réciproquement ces corps sollicitent la terre à se rapprocher d'eux avec une force égale et directement opposée, etc. C'est là un des principes fondamentaux de la Mécanique.

65. Hypothèses admises en Mécanique» — Dans tous les cas où une force agit, comme on vient de le dire, par l'intermédiaire d'une ficelle ou d'une barre tendues en ligne droite, l'action de cette force ne se transmet intacte, d'une extrémité à l'autre, que par une suite d'actions ou de réactions, égales et contraires, qui se détruisent ou se balancent réciproquement, et que les ressorts moléculaires exercent en chaque point de la droite suivant laquelle agit cette force et la résislance opposée. C'est en vertu de cette considération qu'on admet souvent que V action d'une force s' opère 'Ou se transmet ^A chacun des points de la droite matérielle qui l'unit à la résistance fmsiisïl ne faut pas oublier (6^) le temps nécessaire à cette transmission (*).

Dans cette action réciproque des diverses parties de la barre et de la ficelle, celles-ci se trouvent raccourcies ou allongées jusqu'à un certain degré relatif à l'énergie de la puissance ; mais, si cette énergie reste constante pendant un temps suffisant, l'allongement ou le raccourcissement cesseront. C'est d'après cette seconde considération que nous pourrons quelquefois regarder les corps solides et résistants, employés dans les arts pour transmettre l'action des forces comme parfaite-

(*) ^o^^t dans la deuxième Partie ce qui concerne \ti propagation du mou» *emeM dans l'intérieur des milieux de dit^rses natures.

6o MÉCANIQUE INDUSTRIBLLB.

ment rigides et inextensibles ; d'autant plus qu'on les choisit» presque toujours, de façon qu'ils fléchissent en réalité irèspeu sous l'action de ces forces; mais nous ne leur attribuerons cette qualité, dans toute autre circonstance, qu'après que le changement de forme aura déjà été opéré, et pour le temps seul où il persistera sous l'action constante des forces appliquées au corps.

Supposons, par exemple [PL I^fg* «^)» qu'une force P soit employée à pousser ou presser un obstacle solide K, par Tintermédiaire d'une barre ou d'un corps flexible quelconque ABC; concevons que cette force, ayant fait acquérir à la barre toute la flexion qu'elle peut recevoir d'après sa constitution, demeure constante pendant un certain temps; on pourra, dès lors, considérer ABC comme entièrement rigide, et supposer même que le point A soit réellement lié au point C par une droite matérielle et inflexible AC, survant laquelle la pression de P se transmettra exactement contre l'obstacle. Ainsi la force P produira, en C, précisément le même effet que si elle y était immédiatement appliquée, et elle fera naître, en ce point, une réaction Q, égale à P et dirigée, de Q vers C, dans le prolongement de la droite AC ou de la direction propre de P. On pourrait même remplacer cette force P par une autre, qui lui serait égale et qui tirerait le point A vers C par le moyen d'une barre ou d'une ficelle, sans que, pour cela, les effets soient aucunement modifiés; mais il faudrait que cette barre et cette ficelle fussent inextensibles, ou qu'elles eussent acquis, à l'instant que l'on considère, le degré d'extension qui convient à l'énergie de la force.

Voilà, je le répète, comment on doit entendre les choses toutes les fois que, dans les applications de la Mécanique, on. se permet de regarder les corps comme entièrement raides, ou de supposer le point d'application d'une force transporté en un point quelconque de sa direction.

66. De l'inertie considérée comme force. — Nous avons vu ci-dessus (63 et 64) que, quand une force agit à l'extérieur d'un corps solide libre, pour lui imprimer du mouvement ou pour détruire celui qu'il possède, ce corps réagit ou oppose une résistance égale et contraire à la force : cette résistance

PRINCIPES FONDAMENTAUX. 6l

devant être considérée comme un résultat de Tineriie des diverses particules matérielles du corps, on voit que Finertie est une force véritable qui peut se mesurer en poids. Pour un même corps, la résistance augmente évidemment avec le degré de vitesse imprimée ou détruite; nous verrons bientôt qu'elle est exactement proportionnelle à ce degré, et qu'elle croit aussi avec la quantité de matière enfermée dans chaque corps. Quand on tire un corps libre par le moyen d'une ficelle, cette ficelle s'étend, s'allonge et peut même se rompre si elle est tirée brusquement, et cela d'autant mieux que le corps est plus massif ou plus pesant : le même effet serait produit évidemment si, le corps étant en mouvement, on essayait de le retenir par le moyen de la ficelle. — Si l'on suspend un corps à l'extrémité d'une ficelle verticale, et qu'on place un peson à ressort dans la ligne de traction ou de tirage de cette ficelle, le ressort indiquera le poids du corps dans le cas du repos; mais, si on élève le corps avec une certaine vitesse, le ressort se pliera davantage, par suite de la résistance opposée par l'inertie de la matière. Le mouvement étant une fois acquis et demeurant régulier, uniforme (48), le ressort reprendra et conservera constamment l'état de tension qu'il avait dans le casdu repos, attendu que l'inertie ne se fait sentir (55), comme force, qu'autant que la vitesse du corps est altérée, et que la pesanteur, au contraire, agit sans relâche sur les corps, qu'ils soient ou non en mouvement. On voit donc que l'état de tension du ressort peut servir à mesurer les variations de la vitesse du corps, et la grandeur de la résistance qu'en vertu de son inertie il oppose à l'action de la puissance qui soulève la ficelle.

67. Jction combinée et réciproque des forces. — Nous n'avons, dans ce qui précède, considéré que l'action simple d'une force appliquée en un point d'un corps, et nous avons vu qu'il natt, de cette action, une réaction égale et précisément contraire, provenant de l'inertie de la matière du corps, lorsqu'il est libre, ou de la résistance opposée par un obstacle extérieur quelconque : cette réaction est transmise, d'une extrémité à l'autre du corps (63), par une suite d'actions et de réactions semblables qu'exercent entre elles les molécules

62 MÉGAlflQUB INDDSTaiELLE.

voisines, en venu de leur force de ressort. Or il se passe des choses absolument analogues quand plusieurs forces agissent à la fois en différents points d'un corps; leurs effets se combinent tellement, que chacune d'elles éprouve, de la part de ce.corps, une réaction égale et contraire à la sienne propre, et que les autres forces lui transmettent encore par rintcrmédiaire des ressorts moléculaires : cette réaction peut donc être considérée comme un résultat plus ou moins immédiat de l'action de toutes les autres forces, ou comme la résistance qu'elles opposent directement à l'action de celle que Ton considère.

C'est ainsi qu'on devra entendre génér^\emeni\e principe de Vaction égale et contraire à la réaction, et que nous pourrons dire et concevoir désormais qu'une force en détruit ou vainc plusieurs autres, sans leur être directement opposée, bien que, dans la réalité, elle ne détruise ou n'empêche directement que l'effet que produirait la réaction du corps, si tout à coup elle venait elle-même à s'anéantir ou à être détruite par une nouvelle force quelconque.

68. Exemple de l'action combinée des forces, — Supposons qu'un cheval soit employé à tirer une voiture le long d'une route; on pourra le considérer comme détruisant, à chaque instant et par l'intermédiaire des traits, des palonniers, du timon, de la cheville ouvrière, etc., toutes les résistances qui s'opposent à son action, dans les diverses parties de la voiture. Si le mouvement est constamment le même ou uniforme, ces résistances proviendront uniquement du terrain et des divers frottements, l'inertie n'y entrant pour rien (55 et 66). Si la vitesse augmente à chaque instant, l'inertie, mise en action, s'ajoutera aux résistances précédentes; enfln, si la vitesse vient à diminuer par suite d'obstacles particuliers, l'inertie, qui fait persévérer la voiture dans son état de mouvement, ajoutera son action à celle du cheval, pour vaincre ces obstacles et toutes les autres résistances.

C'est encore ainsi qu'on peut expliquer le principe de l'égalité de pression des nuldes'(l&'), en vertu duquel une pression quelconque, exercée contre une portion de la surface des parois du vase qui contient de toutes parts un fluide, est trans-

PRITfGIPES FONDAMENTAUX. 63

mise également à tous les autres points de cette surface; car cette répartition uniforme de la pression, cette réaction réciproque des parois du vase sur le fluide et du fluide sur les parois, ne peut évidemment provenir que de l'égalité même des actions et des réactions qui s'établissent entre les difTérenies molécules. On voit aussi que, si le fluide n'était pas contenu de toutes parts au moyen de pistons, de parois solides ou par la réaction d'autres fluides tels que l'air, etc., le principe de l'égalité des pressions n'aurait plus lieu, du moins de la même manière, attendu que la pression, exercée en un certain point de sa surface extérieure, pourrait être employée en partie à vaincre l'inertie de ses molécules et toutes les autres forces qui s'opposent directement à son mouvement, à son changement de forme. Quant au principe de la réaction, il n'en subsistera pas moins. pour toutes les forces appliquées aux différentes parties du fluide, et toujours l'action de chacune d'elles sera égale et contraire à la réaction qu'elle éprouve en son point d'application.

69. Observations sur l'équilibre des forces. — Il arrive quelquefois qu'on nomme équilibre cette action réciproque des forces appliquées à un corps, par suite de laquelle une force quelconque peut être censée vaincre ou détruire, par l'intermédiaire de ce corps, l'action de toutes les autres qu'on regarde comme étant opposées à la sienne propre : c'est ainsi qu'on dirait, par exemple, du cheval qui, dans l'hypothèse cidessus, tratne une voiture le long d'un route, qu'il fait équilibre à toutes les résistances qui s'opposent au mouvement de cette voiture. Mais, quand il nous arrivera, par la suite, d'employer un langage aussi général, en parlant des actions réciproques exercées par les forces sur un corps, il ne sera uniquement question que de l'équilibre de ces forces considérées en elles-mêmes, et non de celui du corps ; car, d'après les idées généralement admises, l'équilibre des corps repose sur des notions tout autres, et que nous examinerons plus tard, lorsque nous aurons à étudier les effets combinés des forces. Il ne s'agit que de nous entendre sur la signiflcation attachée à certains mots; et, loin d'avoir à nous occuper d'une telle complication d'effets, nous devons nous borner à poursuivre l'examen du

cas simple et élémentaire où une force en détruit constamment une autre qui lui est égale et directement opposée ou qui lui fait équilibre. C'est à cela, en effet, que se réduit, en définitive, l'emploi des, forces motrices dans les travaux industriels.