RÉSISTANCE DES SOLIDES
MOTIONS ET PRINCIPES CONCERNANT LA RÉSISTANCE DIRRCTE DES PRISMES AUX ALLONGEMENTS, A LA COMPRESSION ET A LA RUPTURE.*
235. Exposé préliminaire. — Quand on soumet un prisme solide quelconque à -un effort extérieur de traction ou de compression, les molécules dont il se compose s'écartent dans certaines parties, se rapprochent dans d'autres, et le corps subit une déformation générale qui dépend, d'une part, de la direction et de l'intensité de l'effort, de sa durée et du point auquel il est appliqué; d'une autre, de la figure extérieure de ce corps, du nombre, de la forme et de la disposition de ses points d'appui, etc. Les données théoriques ou d'expérience qu'on possède à ce sujet se réduisent à quelques cas très-
simples, tels que celui des corps prismatiques et cylindriques lires ou refoulés dans le sens de leur axe, ou qui, simplement appuyés ou solidement encastrés à leurs extrémités, sont sollicités par des efforts tendant soit à les tordre sur eux-mêmes, soit à les faire fléchir transversalement.
Nous ne nous occuperons ici que de ce qui concerne la traction et la compression directe de tels corps, c'est-à-dire de la résistance qu'ils opposent à l'action des forces qui tendent à les allonger ou à les raccourcir dans le sens de leurs axes et arêtes. Malgré cette restriction, on verra que les questions relatives à ce cas élémentaire comportent un grand nombre de faits importants pour les arts, et sur lesquels il reste encore bien des expériences utiles à tenter.
236. Notions sur la raideur et la résistance élastique des prismes. — Considérons une barre prismatique ou cylindrique, de section A et de longueur L, composée d'une substance solide quelconque, mais homogène, et sollicitée, à ses extrémités, par des eff^orts égaux, P, dirigés dans le sens de ses arêtes qu'ils tendent à allonger de la quantité /; ou, ce qui revient à peu près au même, si L n'est pas très-grand, et que le poids du prisme puisse être négligé vis-à-vis de P, supposons une telle barre suspendue verticalement à un point fixe, etsollicitée, à son extrémité inférieure, par un poids P capable de l'allonger de la quantité /. Cela posé, soit que l'on considère cette barre comme divisée en autant dejibres ou de files distinctes de molécules équidistanies, qu'il y a de ces molécules comprises dans chacune des sections A, soit qu'on la suppose partagée en tranches infiniment minces et de même épaisseur, sollicitées, à leurs extrémités, par deux efforts égaux à P (64), et qui se distribuent uniformément sur chacun des éléments <Jes sections A, correspondantes, on sera également conduit à admettre :
'** Que la résistance de la barre est indépendante de sa longueur absolue , et proportionnelle ai> nombre des molécules contenues dans chacune de ses sections, ou à l'aire A, comn^une à toutes ces sections;
^^ Que les allongements éprouvés par les différentes parties <Ie la barre sont exactement proportionnels à leurs longueurs
SOO MÉCANIQUE IKOUSTRIBLLB.
primitives, de sorte que rallongement total de cette barre est lui-même proportionnel à sa longueur entière;
S** Enfin, que la résistance, la réaction élastique, doit être ici encore mesurée, comme pour le cas de deux simples molécules (227), par le rapport des charges aux allongements très-petits et proportionnels qui répondent aux premiers déplacements de ces molécules.
Nommant donc '=7- l'allongement proportionnel, ou par
mètre, dont il sagit, et qui est le même pour les divers éléments de la barre ; £ la résistance élastique pour l'unité de surface de ses sections ou pour le mètre carré, la résistance élastique totale sera indifféremment mesurée par le produit
E X A ou par le quotient -r = P y ? de sorte qu'on aura la
relation
^ = ExA ou P = EAi''«
pour calculer la valeur de P, capable de produire un allongement donné /, par mètre, dans toute Télendue pour laquelle (227) cet allongement demeure sensiblement proportionnel à la charge.
Quant à la raideur {^f^)^ elle doit ici être prise par rapport à l'allongement du prisme, puisqu'elle diminue évidemment à mesure que la longueur entière L augmente. Ainsi, en supposant toujours que P et / se rapportent aux premiers déplacements des molécules^ elle sera mesurée par le rapport de P à /, c'est-à-dire par la quantité
P EAiEA
On voit aussi, d'après ces considérations, que la force ou résistance élastique des prismes n'est, à proprement parler, que la raideur prise pour l'unité de longueur de ces prismes.
Enfin, si, au lieu de soumettre le prisme ci-dessus à un effort de traction, on lui en appliquait un de compression, toujours mesuré par P, et qui fût néanmoins incapable de le faire plier ou fléchir transversalement, les allongements / et i se changeraient en accourcissements correspondants, et tous
DES RfiSISTAKCBS. 3oi
les raisonnements resteraient les mêmes aussi bien que les formules. De plus, on doit admettre» d'après ce qui a été dît (225), pour le système de deux simples molécules, que la quantité E conservera la même valeur dans les deux cas et pour des allongements ou accourcissements censés toujours irès-peiits.
237. Définition du coefficient^ ou module d'élasticité. — Le nombre £, qui entre en facteur dans les formules précédentes, et qui indique, en quelque sorte, Ténergie de la résistance, ou réaction élastique d'une substance quelconque, a été nommé : par les uns, coefficient ^ par les autres, mo^ dule de l'élasticité,' sa considération est très- importante dans toutes les questions de Mécanique appliquée.
Pour en acquérir une notion plus précise, on supposera, en particulier, Taire A, des sections transversales de la barre cidessus, égale à Tunité superficielle, et recherchant le poids P' qui serait capable de l'allonger ou accourcir d'une quantité égale à sa propre longueur, si un pareil allongement ou accourcissement était possible physiquement sans que la valeur de E fût changée , on fera , dans la formule générale P=AEi,
A = i, /=L ou 1 = 1,
de sorte qu'on aura
résultat qui montre, conformément aux notions admises par Jes géomètres, que le coefficient d'élasticité d'une substance homogène quelconque n'est autre chose que le poids qui serait capable d' accourcir ou d'allonger une barre prismatique y formée de cette substance et ayant l'unité de surface pour section transversale , d'une quantité précisément égale à sa longueur primitive.
Cette manière d'envisager la force élastique est analogue à celle dont nous avons vu (132 et 133) qu'on mesurait les forces motrices variables par la vitesse flnie qu'elles imprimeraient directement à un corps, au bout de l'unité de temps, si on leur supposait une intensité d'action constante, et préciséïnent égale à celle qu'elles possèdent à l'instant considéré. Mais il convient de ne jamais perdre de vue, dans les appli-
3o2 MfiCàlflQlIE INDUSTRIELLE.
cations, Torigine de pareilles définitions» qui souvent offrent une contradiction apparente avec les faits naturels.
238. Considérations géométriques et physiques relatives à la loi de la résistance élastique, — Puisqu'il existe pour tous les corps solides, même pour ceux qui sont considérés comme les plus élastiques, une limite passé laquelle les allongements ou accourcissemenls i cessent d'être exactement proportionnels aux efforts de traction ou de compression correspondants P, il faut bien admettre aussi qu'en deçà de cette limite, plus ou moins reculée pour chaque cas, la valeur de E varie avec le déplacement absolu des molécules, d'une manière qui peut bien être insensible à nos moyens d'observation, mais qui n'en existe pas moins dans la réalité. En général, les efforts de traction ou de compression et la résistance des prismes, doivent suivre des lois mathématiques, par cela seul qu'il existe de pareilles lois entre les forces d'attraction et de répulsion des molécules qui les composent. Ces lois peuvent être irèsdistinctes de celles qui se rapportent aux molécules individuelles; mais, en les supposant données par l'expérience, dans chaque cas, on peut leur appliquer des considérations géométriques analogues à celles dont nous avons fait usage aux n°* 226 et suivants, et en déduire des conséquences sou* vent utiles.
Si l'on construit, en effet, une courbe ayant pour abscisses les allongements ou accourcissements, et pour ordonnées les efforts de traction ou de compression relatifs à chaque étal d'équilibre stable du prisme, en observant de porter en sens contraire les abscisses et ordonnées simplement relatives aux accourcissements et aux compressions; la discussion, établie à peu près comme aux endroits cités, fera connaître la manière dont la résistance élastique, considérée pour la longueur totale ou l'unité de longueur de ce prisme, varie avec chacun des changements de forme qu'il a éprouvés : cette résistance sera ici évidemment mesurée (*) par l'inclinaison, sur l'axe des abscisses, de la tangente au point correspondant de la courbe, c'est-à-dire par le rapport constant de l'accroissement des or-
I ■ ■ - ■■ ■ I ■ ^^^^^ I I ■-■■■ M, ■■■■ .. ^, ., ^^^^^ ,,| M ^ I I ip
(*) Foyez principaloinent les Notes qui accompagnent les no« 226, 227 et 228.
US8 BfiftlSTANGBS. 3o3
données à raccroissement des abscisses de cette tangente, ^rapport qui peut se confondre sensiblement, dans une étendue plus ou moins grande de part et d'autre du point de contact, avec celui qui se conclurait des accroissements ou diminutions des ordonnée set des abscisses mêmes de la courbe dont il s'agit. Maintenant si Ton porte chacune des valeurs de ce rapport sur Tordonnée correspondante, on obtiendra les points d'une nouvelle courbe qui fera connaître la loi même des variations que subit la résistance élastique pour les divers allongements du prisme. Enfin, si Ton calcule, d'après la méthode du n"" 180, l'aire comprise entre la première de ces deux courbes, l'axe des abscisses et deux quelconques de ses ordonnées, on ob* tiendra (7â) la valeur du travail mécanique nécessaire pour vaincre la résistance que le prisme oppose à l'action de la force qui lui est appliquée, entre les deux positions qui correspondent à ces ordonnées.
Nous appelons spécialement l'attention du lecteur sur ce genre de considérations qui peut servir, dans chaque cas, à se procurer, par l'expérience, des données claires sur ce qu'on nomme, en général, la raideur^ la résistance élastique des corps; car ces considérations s'appliquent évidemment aussi à un corps solide de forme quelconque, sollicité par un effort qui agit dans une direction constante, perpendiculaire à sa surface extérieure, et dont le point d'application décrit, dans le sens de cette même direction, des chemins qui croissent, avec son intensité, suivant une loi exprimable par une courbe continue. En effet, cette résistance sera toujours donnée, pour chacune des positions du corps, par l'inclinaison de la tangente correspondante de la courbe, sur l'axe des abscisses, relatif aux déplacements du point d'application de la force.
239. Données et obseivations générales sur cette loi, — En appliquant, par exemple, ces considérations à la détente ou à la compression des gaz, dont on s'est occupé aux n~ 181 et suivants (P/. Ufjig. 4' et 43), on trouvera que leur résistance élastique va constamment en diminuant à mesure que le volume ou la détente augmente, et réciproquement; mais que cela a lieu suivant une progression beaucoup plus rapide que "c l'indique la loi de Mariotte pour les simples pressions,
3o4 MÉCANIQUE 1ND08TRIILLB.
puisque la résîslance dont il s'agit suit alors la raison inverse du carré des volumes.
Quant aux prismes solides, il parait qu'à partir des premiers instants, la résistance élastique croît, en général, avec les efforts de compression, et diminue, au contraire, à mesure que les efforts de traction augmentent, à peu près comme on l*a admis (229) pour le cas de deux simples molécules; mais les expériences connues ne permettent pas d'affirmer qu'au delà d'une certaine limite, la force élastique devienne nulle et encore moins négative (229), ni que les prismes entiers présentent des états d'équilibre, alternativement stables ou instables, analogues à ceux qui ont été mentionnés dans les n^ 231 et 23â.
Les courbes des Jig. 47 et 48, PL II y relatives à des expériences qui seront rappelées plus loin, sur la résistance de prismes solides tirés verticalement par des poids, et dont les abscisses et ordonnées expriment les allongements el les charges correspondant aux états successifs d'équilibre, ces courbes montrent, par l'inclinaison de leurs tangentes sur Taxe horizontal des abscisses, que la résistance élastique, qui d'ubord reste sensiblement constante, diminue souvent d'une manière très- rapide à partir d'un certain terme, sans néanmoins devenir rigoureusement nulle, même pour les allongements très*voislns de la rupture. Or cette dernière circon* stance tient, sans aucun doute, à la difficulté qu'on éprouve à observer les étnts d'équilibre instables; à la rapidité avec laquelle la résistance du prisme décrott dans les instants où s'opère la séparation complète des parties; enfin à ce que, vers ces instants, les allongements cessent de s'opérer uniformément sur l'élendue entière de la barre, et n'ont plus lieu sensiblement que sur la portion, souvent très-courte pour les corps raides, où se fait la séparation définitive des molécules, portion dont l'alléralion élastique est masquée par la force de ressort que conservent encore les autres parties, et qui se manifeste clairement après la rupture complète.
Cette dernière considération fait voir que la résistance élastique de la barre entière, aux instants qui précèdent celle rupture, est une sorte de moyenne qui ne saurait être confondue avec la résistance effective d'aucun de ses éléments, ce qui diminue beaucoup son importance sous le point de vue
DBS RÉSISTANCES. 3o5
praiique. Quant à la résistance absolue, sans rien vouloir préjuger sur ce qui se passe dans un assemblage de molécules dont, comnie nous le verrons bientôt, les unes se rapprochent en se repoussant, en même temps que les aulres s'écartent en s'attîrant, on est cependant encore ici fondé à admettre, puisque cette résistance est nulle à l'instant où les dernières particules se séparent, qu'elle a dû décroître, d'une manière continue, à partir de celui qui répond à sa plus grande valeur, à peu près comme on conclut que, dans le choc des corps les plus durs, la pression et la vitesse passent, de leur valeur avant le choc,*â celles qu'elles prennent après, par une succession de degrés continus et infiniment petits ( 165}.
2M. De la contraction et de la dilatation latérales des prismes aux premiers instants, — Nous avons admis implicitement, dans ce qui précède (236), que quand un prisme solide est soumis à un effort qui tend à l'allonger ou à raccourcir, ses différentes fibres ou files de molécules restent parallèles entre elles et équidistantes, c'est-à-dire que les sections transversales de ce prisme demeurent constantes dans toute sa longueur; mais, en réalité, l'expérience apprend que, dans le premier cas, le prisme va en se rétrécissant, de plus en plus, à partir des extrémités, et, au contraire, en se renflant dans le second, de manière à présenter une sorte de ventre vers le milieu de sa longueur. Ces effets, qui se manifestent d'une manière trèsapparente pour des prismes fort courts et pour des substances plus ou moins molles, tiennent essentiellement à l'isolement et à la disposition mutuelle des molécules qui, uniquement liées les unes aux autres par leurs forces d'attraction et de répulsion réciproques, forment une sorte de réseau oxxjilet dont les mailles ou losanges tendent à se resserrer da^is un sens quand on les allonge dans l'autre, et vice versa; effets qui sont favorisés d'ailleurs, dans la plupart des dispositifs employés aux expériences, où les molécules des extrémités des corps soumis à la compression ou à l'extension, sont ordinairement maintenues entre elles à des distances invariables par des forces particulières, ou parce qu'elles forment liaison avec ^'autres corps.
Lorsqu'il s'agit, au contraire, de prismes dont la longueur
3o6 HÉCAlflQCB INDUSTRIELLE.
est fort grande par rapport à Tépaisseur ou à la largeur, et de substances très-raides et très-élasliques, telles que les bois, les pierres et la plupart des métaux, le mode d'application des deux forces qui agissent à leurs extrémités, c'est-à-dire la manière dont ces extrémités sont saisies ou fixées, n'exerce d'influence appréciable que jusqu'à une distance assez faible des points d'attache, et les sections restent sensiblement uniformes, sauf dans cette petite étendue, tant que l'extension ou la compression n'a pas dépassé la limite pour laquelle les molécules conservent la faculté de revenir à leur position primitive. Chacune des parties d'un pareil prisme se trouVb ainsi, à trèspeu près, dans le même état que si l'on avait appliqué à ses différentes fibres ou files de molécules, des forces égales qui leur permissent de s'approcher ou de s'écarter librement les unes des autres, en cédant uniquement à la force d'attraction ou de répulsion latérale et réciproque de ces molécules.
241. Loi de cette dilatation et de cette contraction, changement de volume subi par les prismes, — En adoptant ces hypothèses, et en ne considérant d'ailleurs que les effets qui se rapportent aux premiers déplacements des molécules, les géomètres de notre époque sont parvenus à découvrir, à l'aide de savants calculs, la loi qui lie les allongements des prismes élastiques aux contractions ou distensions de leurs sections
transversales. Nommant toujours / = t- l'allongement propor-
tlonnel ou pour l'unité de longueur du prisme, et a la quantité dont Taire A, des sections transversales de ce prisme, se trouve en même temps diminuée, on a, d'après ces calculs,
dans toute l'étendue pour laquelle les allongements demeurent exactement proportionnels aux efforts de traction; c'està-dire que la contraction superficielle des tranches par unité d'aire des sections transversales est précisément la moitié de l'allongement par unité linéaire.
Or il résulte aussi de ce principe, que le volume du prisme augmente, encore bien que ses sections diminuent, et augmente
DBS RtSISTÀNGBS. So^
d*une fraction qui est sensiblement la moilié de celle /, qui correspond à l'allongement. En effet, le volume du prisme avaii d'abord pour mesure le produit AL, et il est ensuite devenu
(•A — ff)(L-f-/)=AL-+-A/— aL- al,
quantité dans laquelle on peut négliger le produit a/ vis-à-vis des autres, puisque a et / sont censés extrémemenl petits par rapport à A et à L. L'accroissement absolu de ce volume est donc sensiblement égal à Al— aL, ce qui donne* pour son accroissement proportionnel :
A/ — aL / a / i.
ÂL ~"L"'Â""2L~ï''
attendu que -j- = — p, d'après ce qui précède.
Ces résultats, déduits d'abord du calcul par M. Poisson, ont été vérifiés ensuite, par M. Cagniard de Latour, sur des fils de fer soumis directement à la traction, toujours dans les limites cil .leur élasticité n'est pas altérée d'une manière sensible {*).
242. Mesure de la contraction et de la dilatation cubiques, — Les géomètres gnt aussi considéré le cas d'un prisme so-
(*) Cette question, qui est fondamentale dans la théorie mathématique do l'élasticité, a été étudiée éxpérimenlaleroent par Wertheim, par M. KirchhofT et récemment par M. Cornu. Wertheim, en opérant sur des tubes en laiton et en cristal, a trouvé que le coefficient de contraction de la section est égal aux -} dn coefficient d'allongement longitudinal ; d'où il résulte que l'accroissement de l'unité de volume est {■, et non 1, de l'allongement par unité de longueur; ce rapport parait du reste, d'après les expériences antérieures, devoir varier d'une substance à une autre.
M. Cornu {^Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 2 août 1869) conteste l'exactitude des résultats trouvés par Wertheim ; il conclut, d'après des expériences très-remarquables basées sur le phénomène des anneaux colorés de Newton, que, comme l'avait établi Na^ier, en créant la théorie do 1 élasticité sur des bases imparfaites, comme l'a démontre depuis M. de Saint- Venant d'une manière rigoureuse, le rapport entre le coefficient de contraction transversale d'un prisme et son coefiicient d'allongement longitudinal, sous 1 influence d'une traction, est le même pour les corps vraiment isotropes, et ine ta valeur est représentée par le nombre |; ce rérultat est d'accord avec ceux qui sont donnés dans le texte. Les expériences publiées jusqu'ici par W. Cornu portent exclusivement sur le verre, qui est la seule substance ifo- ^P« dont on puisse vérifier l'homogénéité. (K.)
3o8 MÊGÀinQUB INDUSTRIELLE.
lide pressé à la fois et perpendiculairement à toutes ses faces, par des forces proportionnelles à l'étendue de chacun de leurs éléments superticiels, à peu près comme il le serait {ik et suivants) par un liquide qui l'envelopperait de toutes parts, et qui supporterait lui-même une pression extérieure constante. Dans ce cas, la diminution de la hauteur du prisme est la moitié seulement de la contraction qu'éprouverait cette même hauteur pour le cas qui précède, c est-à-dire précisément égale à la contraction linéaire, relative à une pression moindre de moitié, agissant aux deux extrémités du prisme seulement. Or, comme un prisme, pressé également sur toutes ses faces, se contracte d'une manière proportionnelle dans tous les sens, on en conclut immédiatement (*) que la contraction de volume correspondante, ou ce qu'on nomme la contraction cubique du prisme, est, à très-peu près, les { de la fraction i qui exprime, dans le cas précédent, la contraction ou la dilatation linéaire subie par ce même prisme (**).
Ce principe qui s'applique à un corps déforme quelconque, attendu que tous les éléments cubiques de ce corps, pressés également en tous sens, éprouvent encore des diminutions de volume proportionnelles, ce principe fournit également le moyen de calculer la compression subie par les enveloppes solides : par exemple, les vases creux, soumis en tous leurs points extérieurs ou intérieurs, à une pression constante; car la réduction s'opérant proportionnellement dans toutes les parties, comme si le vide était rempli de la matière propre de l'enveloppe, ou comme si cette enveloppe appartenait à une masse continue et compacte, il est clair qu'on obtiendra, dans
(**) En effet, nommant L, M et N les trois dimensions du prisme dont il s*a, it, il résulte, du principe énoncé, que ces dimensions se trouveront réduites respectivement à
I ;iL = L(i~;/), M — -;iM = M(i-{/), n — im = N(i-;o;
ce qui donne, pour le volume contracté du prisme, en négligeant ici encore les termes qui contiennent le carré et le cube de la fraction très-petite /,
LMN {i—\iy= LMN - I / LMIV,
et, par conséquent, pour la contraction totale ou cubique, { i LMN.
{**) Wertheim, en introduisant le résultat de ses expériences dans les équations de Cauchy, a trouvé que le coefficient de corapressibîlité cubique est égal au coefiicient de compressibilité linéaire. ( K . )
DBS résistàncbs. 3o9
ce cas, la contraction cubique de Tenveloppe, en retranchant, de la contraction cubique de son volume entier, celle qui appartiendrait à son vide intérieur.
On ne doit pas confondre, au surplus, la dilatation et la contraction cubiques dont il s'agit et qui sont occasionnées par des pressions véritables, avec celles que prennent les corps sous l'influence d*un changement de température; car, encore bien que celle-ci suive les mêmes lois, cependant sa mesure a une valeur très-différente, et qui est évidemment double de la précédente, c'est-à-dire trois fois la dilatation ou la contraction thermométrique linéaire^ de la même substance, puisque cette dernière indique bien l'accroissement ou la diminution proportionnelle que subissent les dimensions linéaires de chacun des éléments de volume, iniiniment petits, dont se compose le corps entier.
24.3. Influence de la pression extérieure et de la gravité sur la constitution des prismes. — 11 résulte du principe exposé en dernier lieu, qu'on sera en état de calculer la contraction ou la dilatation cubique d'une substance donnée, quand on connaîtra sa dilatation linéaire, son allongement proportionnel sous un efifort correspondant à la pression superfîcielle qu'il supporte, et réciproquement; or cela est utile dans plusieurs circonstances de la pratique.
C'est ainsi, par exemple, que MM. Colladon et Sturm, dans leur Mémoire sur la compressibilité des liquides, qui a été couronné, en 1827, par l'Académie des Sciences de Paris, ont trouvé, d'après des expériences directes sur l'allongement des tiges de verre tirées dans le sens de leur axe (*), que la contraction cubique ou la diminution de volume de celte substance, est les 0,000001 65 ou -nrir environ (**), du volume primitif, pour chaque atmosphère de pression équivalente à ' '>o33 par centimètre carré de surface, etc.
On voit aussi que ce même principe permettra de tenir compte, dans certains cas, de l'influence de la pression atmosphérique, qui, en agissant à la surface extérieure de tous les
{*) ^07-^2 le résultat de cette expérience au n® 267 ci-aprùs.
( *) D'après les expériences de Wertheim, il faudrait prendre les 5. de ce chiffre, ce qui donnerait 0,000 001 i au lieu de 0,000 001 G5. (K.)
3lO MÉGANIQDB INDUSTftIBLLB.
corps, lend à diminuer leur volume tout en augmentant leur force élastique. Mais on peut négliger entièrement cette influence pour des corps solides tels que ceux qui sont ordinairement employés dans les arts, et il nous suffit ici de remarquer que Teifet de la pression dont il s'agit se réduit à
augmenter la force élastique E= -—rj relative (236) à l'unité
de section d'un prisme, tiré dans le sens de ses arêtes par une force P, d'une quaniité égale à la moitié seulement de cette pression atmosphérique sur la même unité.
Quant à l'influence du poids propre de chacune des parties ou tranches d'un prisme vertical soumis à l'effet d'une charge qui comprime ou distend ses fibres, elle peut évidemment être représentée, pour les premiers accourcissements ou allongements, par celle d'une surcharge égale à la moitié du poids total du prisme (*); ce qui la rend pareillement négligeable dans presque tous les cas d'application.
244. De la résistance des prismes à la rupture ou de leur force absolue de ténacité. — On désigne spécialement ainsi, le plus grand des efforts (240) que peut supporter, sans se rompre ou s'écraser complètement, un prisme solide ou comprimé dans le sens de ses arêtes, et l'on admet encore ici que ce plus grand effort demeure proportionnel au nombre des molécules contenues dans chacune des sections transversales du prisme, ou, ce qui revient au même, à Taire de ces sections, sans avoir aucunement égard aux allongements et aux autres changements de forme qu'il a pu éprouver avant l'instant de la rupture.
Nommant toujours A cette aire considérée pour l'état d'équilibre naturel ou primitif du solide, et R la résistance sur l'unité de surface, on aura, pour calculer la charge, ou force P, capable de rompre le prisme, soit en l'écrasant, soit en le déchirant ou l'allongeant,
Pr=:AR,
quelle que soit la longueur ou la hauteur de ce prisme, qui
(*) Voyez, à ce sujet, le ii^ 310 dans la partie qui concerne les Applications spéciales.
DES RftSlSTANCKS. 3ll
néanmoins ne doit pas être assez grande, dans le cas de la compression, pour que la flexion transversale ait lieu avant récrasement.
Hais, en se servant d'une pareille règle pour calculer et comparer entre elles les résistances absolues des prismes de même matière ou de matières différentes, d'une part, il ne faut pas négliger les causes accidentelles qui peuvent influencer les résultats, telles que : les défauts d'homogénéité et d'exécution des prismes, le mode d'attache ou d'application des forces qui produisent la rupture, etc.; de l'autre, on ne doit f>as oublier que les hypothèses qui ont servi à rétablissement de la formule elle-même offrent quelque chose d'arbitraire.
245. Incertitude des hy^potlièses sur lesquelles repose la mesure de cette résistance. — Dans les premiers instants de la compression ou de l'extension, on aperçoit très-bien le rôle que jouent les dimensions absolues du prisme et la résistance de ses molécules ou éléments individuels, pour constituer sa résistance élastique totale; mais il n'en est plus ainsi lorsque ces molécules ont subi des déplacements considérables, et que la contraction ou le renflement latéral (240) ont atteint leurs limites respectives. Tout ce qu'on sait, c'est que la déformation générale prend dès lors un caractère de plus en plus tranché, même pour les corps les plus raides; c'est qu'elle est accompagnée d'un changement de forme et de densité, souvent très-rapide aux environs des points où s'opère la séparation complète des parties, et qui, pour les métaux, donne quelquefois lieu à un dégagement de chaleur considérable, même dans le cas de l'allongement; c'est qu'enfm ces mêmes déformations présentent des circonstances qui varient essentiellement avec la nature des corps soumis à l'essai, et dont nous aurons soin de donner une idée plus précise dans les articles spécialement destinés à rappeler les résultats des expériences relatives à ces corps.
il nous suffit ici de remarquer que les corps mous et ductiles, soumis à un effort de traction, s'étirent, s'effilent de plus en plus vers les points où doit s'opérer la ruï)ture, en présentant deux espèces de cônes plus ou moins obtus, opposés par
3l2 MÉCANIQUE INDU6TBIBLLB.
le sommet; tandis que les corps très-durs et très-raides, au contraire, s'allongent, se contractent assez peu transversalement, avant de rompre, puis cèdent tout à coup et avec bruit à l'action de la force qui les sollicitait, en présentant une surface de fracture plus ou moins régulière, et qui sert à donner une idée du mode d'agrégation des molécules. Or, je le répète, il arrive toujours, dans ce dernier cas (239), que l'élasticité, loin d'être complètement détruite dans chacun des morceaux ainsi séparés, est, au contraire, assez forte pour les faire revenir, en très-grande partie, vers leur forme et leurs dimensions primitives. De plus, le lieu ou s*opère cette séparation est susceptible de varier même pour des prismes constitués d'une manière en apparence identique.
On ne peut évidemment s'expliquer de tels faits autrement qu'en admettant, comme on l'a indiqué aux n°' 232 et suivants, des inégalités quelconques dans l'arrangement des molécules ou groupes de molécules, par suite desquelles certaines de ces molécules seraient plus voisines de leur état d'instabilité d'équilibre ou de la rupture, que toutes les autres, et ne pourraient ainsi subir des déplacements relatifs ou absolus aussi considérables.
246. Manière d'entendre et d'appliquer cette mesure. — Quelques personnes, en réfléchissant à la grandeur de la con* traction latérale éprouvée, dans quelques cas, par les prismes solides, à l'instant de la rupture par traction, ont pensé que leur résistance absolue devait être prise spécialement par rapport à cette section contractée; mais elles n'ont point fait attention que, pour les corps mous et ductiles, on serait conduit à une valeur presque infinie de la résistance, tandis que, pour les corps très-durs, cette résistance serait beaucoup moindre, et à peu près égale à celle qui se conclut de la règle ci-dessus. A la vérité, pour obtenir des rapports de réiristances comparables entre eux, et qui pussent offrir une idée suffisamment exacte de la véritable ténacité de chaque substance, on pourrait, dans les calculs dont il s'agit, considérer, non pas Taire de la plus petite section, à l'instant qui suit ou accompagne la rupture* mais bien l'aire pour laquelle l'état de sta* bilité du prisme est le plus voisin de celui qui répond a la
DES RÉSISTANCES. 3l3
séparalion complète des parties. Mais la difflculté consisterait alors à saisir cet instant précis dans les expériences; et, quand bien même on y serait parvenu, il ne s'ensuivrait pas que les nombres ainsi obtenus fussent la véritable expression de la ténacité de la substance; car on ne doit pas oublier que les sections, en se contractant sur elles-mêmes, peuvent diminuer de surface sans que, pour cela, le nombre des molécules qui s'y trouvent soit changé ; or ce sont précisément ces molécules qui résistent aux effets de la tension, et c'est à leur nombre que la résistance doit être censée proportionnée.
Concluons donc que la manière la plus simple et la plus naturelle de calculer la résistance absolue des prismes, quand le facteur ou coefficient R a été convenablement déterminé par l'expérience (244), est, en même temps, la plus exacte, et celle qui doit, en général, offrir les résuUats les plus conformes aux données que pourrait fournir une épreuve directe.
247. Notions sur la résistance vive des prismes. — Nous appelons ainsi, pour abréger et par analogie avec l'expression consacrée (122) de force vive des corps en mouvement, la somme des quantités de travail que la résistance élastique d'un prisme solide oppose à l'action d'un choc ou d'un effort variable et brusque, dirigé dans le sens de son axe, et qui tend, soit à le rompre, soit à en altérer plus ou moins l'élasticité.
Nous nommons plus spécialement résistance vive d'élasticité, le travail dynamique qui répond à l'intervalle oii, l'élasticité étant parfaite, les allongements demeurent sensiblement proportionnels aux efforts de réaction correspondants, et résisiance vive de rupture, celle qui a été développée, par ces efforts, au moment où ils ont atteint leur plus grande valeur et où le prisme se trouve entièrement rompu. Connaissant expérimentalement la loi des allongements par rapport aux efforts de traction et de compression subis par ce prisme, ainsi que les efforts qui correspondent aux deux limites de l'élasticité et de la rupture, nous avons vu ci-dessus (238) que, par des considérations purement géométriques et à l'aide d'une opération très-simple, qui consiste dans le tracé d'une courbe et dans le calcul d'une aire, on pouvait immédiatement trouver les deux quantités de travail dont il s'agit; ainsi rien
3l4 MÉGANIQUB INDUSTRIBLLB.
ne sera plus Taciie que de calculer les valeurs de la résistance vive correspondanle aux deux époques mentionnées. Il y a plus même; comme les allongements demeurent sensiblement proportionnels (236) aux efforts qui ne dépassent pas la limite d'élasticité, le premier travail ou la première résistance vive sera simplement représentée par Taire d'un triangle recllllgne, et mesurée ainsi immédiatement par la moitié du produit de l'effort et de l'allongement relatifs à cette même limite.
Nommons, en général, T«, la quantité de travail ou la résistance vive qui se rapporte à la limite d'élasticité, pour une barre prismatique dont L est la longueur totale en mètres, A Taire de la section transversale exprimée également en mètres, centimètres, ou millimètres carrés, et désignons par T^, la valeur de cette même résistance relative à l'unité de surface des sections et à Tunilé de longueur de la barre, ou ce qu'on peut nommer le coefficient de la résistance vive d'élasticité. Observant d'ailleurs que, dans les hypothèses ici admises (236), la résistance de la barre entière, comme celle de chacune de ses parties, croît proportionnellement à Taire de la section A, tandis que ses allongements sont censés uniformes ou proportionnels à sa longueur entière L; il est clair, d'après la méthode qui servirait, en général (180), à évaluer approximativement le travail T*, que ce travail croîtra à la fois comme A et comme L; de sorte qu'on aura, pour le calculer directement au moyen de T'^,
t,=t;.al;
x'est-à-dire le produit de AL, qui indique le volume de la barre, par le coefficient de la résistance vive.
D'une autre part, si Ton nomme i' et F l'allongement, proportionnel ou par mètre, et l'effort sur l'unité de surface, qui se rapportent à la limite d'élasticité, on aura, suivant ce qui a été remarqué ci-dessus,
d'ailleurs, d'après le principe du n"* 236,
P'=Ei',
£ représentant toujours le coefficient d'élasticité pour Tunité
DES BÉSISTANGE8. 3l5
de section. Donc si E el i' sont connus pour une certaine substance» on calculera-T^ par la relation très-simple
ce qui fera connaître, de suite, ia résistance vive d'élasticité T„ relative à un prisme quelconque de ia même matière.
Quant à la résistance vive de rupture, si l'on nomme pareillement Tr, sa valeur pour un prisme quelconque d*une substance donnée, et T',, sa valeur pour un prisme de i mètre de longueur, ayant l'unité de surface pour section transversale, on aura la relation
t,=::t;.al,
en continuant toujours, pour la simplicité des considérations, à supposer que les allongements se trouvent uniformément répartis sur l'étendue entière du prisme, ce qui, je le répète (2'45), n'est nullement admissible pour les instants qui précèdent immédiatement la rupture, et réclamerait des expériences spéciales relatives à l'influence de la longueur des prismes.
248. Utilité de ces notions pour la science des constructions, — Pour apercevoir maintenant l'utilité dont peut être pour les arts de construction, la considération des quantités de travail, des résistances vives dont il vient d'être parlé, il ny a qu'à supposer qu'un -corps, une masse enfilée, par exemple, dans une tige prismatique de fer, verticale et terminée en bas par un bourrelet, vienne à être lâchée d'une certaine hauteur au-dessus de ce bourrelet, elle acquerra, à l'instant du choc, une force vive égale au double (121 et 136) du produit de son poids et de la hauteur d'où elle est descendue; or il est clair, d'après le principe du n** 137, que si ce dernier produit excède celui qui représente la résistance vive d'élasticité, la verge prismatique aura subi une déformation, une altération moléculaire qu'il est souvent nécessaire d'éviter dans rétablissement des constructions; que s'il est égal, ou supérieur à celui qui représente la résistance vive de rupture, la verge prismatique pourra se rompre en efiFet; qu'enfin,
3l6 MÉCANIQUE IKDUSTBIBLLE.
tel prisme qui offre beaucoup de raideur, de résistance à rallongement, et dont la courbe des pressions (238) est trèsrelevée sur l'axe des abscisses, pourra néanmoins subir, sous l'action d'un choc vif, des altérations moléculaires beaucoup plus prononcées que tel autre prisme de substance différente, et qui, sous une moindre réaction élastique, reçoit de plus grands allongements effectifs. Or celte seule considération, qui sera confirmée plus tard par le résultat des expériences relatives à diverses substances, suflit pour démontrer l'importance qu'il y a à introduire dans la mécanique usuelle ce nouvel élément de calcul, ce mode positif d'apprécier la qualité physique de la matière, qui se rapporte plus spécialement à ce qu'on nomme h fragilité des corps. C'est ainsi, par exemple, qu'on s'explique comment le plomb, qui est un corps très-mou, est cependant susceptible de résister beaucoup mieux à un choc que l'acier et le verre, qui sont pourtant des corps beaucoup plus durs et plus tenaces.
Nous venons de supposer que lorsqu'un corps animé d'une certaine vitesse vient à choquer un prisme solide dans le sens de son axe, il pourrait y avoir rupture ou simplement altération de l'élasticité, si la force vive dont il est animé se trouvait être à peu près égale au double de sa résistance vive de rupture ou d'élasticité; mais il est évident que diverses causes s'opposent à ce que ce principe puisse être admis en toute rigueur dans les applications. Car, indépendamment de la nécessité de tenir compte, dans quelques circonstances, de l'influence de l'inertie et du poids propre des molécules du prisme soumis au choc, ainsi que de la perte plus ou moins grande de force vive (161) qui peut résulter de la déformation des parties qui subissent immédiatement l'action de ce choc, il est certain que nous ne connaissons pas suffîsamment le rôle joué par le calorique et le temps, lors des changements brusques de forme subis par les solides, pour pouvoir affirmer, à priori, que les résultats du calcul seront exactement vérifiés par ceux de l'expérience.
Seulement, on aperçoit qu'ils doivent l'être, au moins d'une manière approximative, dans certaines circonstances particulières, dont nous aurons soin d'offrir des exemples lorsque nous arriverons aux applications spéciales. Pour le moment,
nous nous contenterons de faire remarquer que les Auteurs anglais, le docteur Young notamment, et après lui Tredgold, ont mis en avant des considérations analogues à celles qui précèdent, sur la résistance vive des corps, qu'ils nomment résilience^ et dont ce dernier a donné des évaluations plus ou moins certaines, dans son Essai pratique sur la force du fer coulé (Trad. de M. T. Duverne, 1826).
249. Influence de la durée de la compression ou de Vex^ tension^ sur la résistance des corps. — Jusqu'ici nous ne nous sommes point occupé du rôle que peuvent jouer le temps et l'inertie des molécules, dans tous les phénomènes qui se rapportent à l'action des forces sur les prismes; ou plutôt nous avons fait abstraction du temps qui est nécessaire» pour qu'un corps parvienne d'un état d'équilibre stable, à un autre qui l'est également. Or l'expérience démontre que, si ce temps est généralement assez court pour tous les cas où l'élasticité doit demeurer parfaite dans le second état du corps, c'està-dire pour tous les premiers déplacements des molécules, il n'en est pas de même de celui où elle doit être plus ou moins altérée, et où par conséquent la force qui produit cette altération est plus ou moins voisine de celle qui occasionnerait la rupture. 11 doit donc arriver alors que la grandeur de cette même altération dépende non moins de la durée que de l'intensité de l'effort, et que tel corps qui résiste momentanément à l'action d'une force assez puissante, sans se rompre ou sans perdre, en apparence, de son élasticité, soit néanmoins incapable de soutenir, d'une manière continue ou permanente, l'action d'une force beaucoup plus faible en intensité.
Il est évident encore que pareille chose doit arriver quand, cette action étant seulement intermittente, les alternatives d'extension ou de compression sont suffisamment répétées: et c'est ce qui fait dire quelquefois aux ouvriers que les ressorts les plus parfaits sont^ à la longue, susceptibles de se fatiguer. Mais ce fait s'explique de lui-même, si l'on admet Que Taltération de Télasiicité, c'est-à-dire le dérangement Intime et permanent des molécules, quoique insensible pour une seule compression suivie d'une détente, n'en existe pas
3l8 MÉCAHIQOB INDDSTIIBLLB.
moins en réalité, et fait des progrès de plus en plus marqués, à mesure qu'elle s'ajoute à elle-même, à chaque oscillation du ressort. D'ailleurs cette altération de l'élasticité peut fort bien provenir de ce que les alternatives ou oscillations, dont il s'agit, se succèdent dans des intervalles trop courts pour que les molécules aient, à chaque fois, le temps de revenir exactement à leurs positions primitives d'équilibre qu'elles atteindraient au bout d'un repos convenable, de sorte qu'elles s'en écartent, de plus en plus, à la fin de chaque oscillation.
On peut citer, à ce sujet, des faits qui offrent quelque chose de surprenant, pour quiconque n'a pas suffisamment réfléchi à la lenteur avec laquelle certains mouvements moléculaires s'accomplissent; notamment ceux qui produisent la rotation ou le déplacement relatif des molécules.
250. Faits relatifs à Vinjluence de la durée de Vaction. — Celui qui se trouve rapporté, d'après M. Savart, à la fin du n**23b, est sans contredit l'un des plus remarquables, en ce qu'il est dû à une action, pour ainsi dire, spontanée des mo* lécules: et l'on en connaît plusieurs autres qui tiennent à des causes plus ou moins analogues : tel est le changement d'état de cristallisation que subissent certains minéraux très-durs, par suite d'un changement pareil survenu dans l'état constitutif du milieu ambiant; tels sont encore ceux qui ont été observés par cet habile physicien lui-même, et qui prouvent que de légères vibrations, de légers déplacements moléculaires fréquemment excités dans des corps très-élastiques et raides, tels que le verre, peuvent suffire pour occasionner la rupture complète de ces corps, ou tout au moins pour altérer, énervei" leur force de ressort. Le fer lui-même ne serait pas à l'abri de semblables accidents; mais nous n'insisterons pas sur des phénomènes où le déplacement moléculaire peut être attribué, soit à des actions chimiques, soit à l'état d'instabilité primitif de l'équilibre du système, soit à toute autre complication de causes que nous ne devons point ici discuter, et il nous suffira d'indiquer deux autres faits qui se rattachent plus spécialement au point de vue mécanique qui nous occupe.
L'expérience journalière apprend, par exemple, que, lors-
DM Rfi9I8TAMCB9. SlQ
qu'on place, dans une position légèremeni inclinée^ des lames ou liges minces de verre, d'acier, etc., substances naturellement irès-raides et élastiques, elles se plient plus ou moins sous leur propre poids, et finissent par conserver cette nouvelle forme, quand on les laisse, un temps suffisamment long, sous l'action des causes qui les y ont amenées, tandis que, si la flexion n'a eu qu'une durée assez courte, elles reviennent complètement à leur forme primitive, dès l'instant même oii on les ramène à la position verticale, sous laquelle elles ne sont pas sujettes à se fausser.
On peut encore citer à ce sujet un autre fait très-extraordinaire, observé par M. Vical, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, Correspondant de l'Académie des Sciences, lequel a constaté, par des expériences délicates, qu'un fil de fer, suspendu verticalement à un point inébranlable, et soustrait à tout mouvement de trépidation ou d'oscillation, peut, quand il est chargé, à son extrémité inférieure, d'un poids égal au •^, ou même au \ de celui qui en produirait la rupture instantanée, demeurer des années entières soumis à l'action de ce poids, avant que ses molécules aient atteint de nouvelles positions d'équilibre stable, ou qu'il soit lui-même parvenu à la limite d*extension qui lui est propre.
251, Réflexions sur Vé fat final de stabilité des matériaux employés dans les constructions, — En considérant la lenteur avec laquelle s'opère le déplacement des molécules du fer, dans l'expérience qui vient d'être citée en dernier lieu, on est naturellement porté à se demander si, dans toutes les circonstances analogues, il existe, en réalité, un état de stabilité du corps, qui, une fois acquis sous l'action des forces extérieurement appliquées, ne puisse plus désormais varier d'une manière appréciable. Mais plusieurs faits non moins avérés viennent nous rassurer complètement à cet égard.
Dans des expériences faites en i8i5, MM. Minard et Desormes ont vu un prisme de fer chargé, pendant trois mois entiers, d'un poids équivalent aux j de celui qui en aurait produit la rupture instantanée, sans que l'allongement ait augmenté au delà de celui qui répondait aux premiers efl^ets de la charge.
320 HtGAHIQOB IKOUSTUELLB.
Dans d'autres expériences que M. le Capitaine du génie Ardant a bien voulu entreprendre à notre sollicitation, et dont les résultats seront également rapportés par la suite, des 61s de fer chargés de poids capables d'altérer, d'une manière notable, leur élasticité, non-seulement ne s'allongeaient pas indéfiniment, mais encore reprenaient, sous la charge et un repos suffisamment prolongé, un degré d'élasticité ou de raideur plus grand que celui qu'ils montraient à l'instant où l'allongement apparent avait cessé.
Enfin, l'exemple des constructions existantes depuis des siècles entiers est aussi là pour prouver qu'il est, pour chaque substance solide, une limite de compression on de tension qu'elle peut supporter, pour ainsi dire, indéfiniment, sans aucun danger pour les édifices où elle entre, et sans autre al* tératîon physique que le léger changement survenu dans l'état d'équilibre primitif des molécules, changement sous lequel cette substance n'en jouit pas moins d'une élasticité relative capable de la faire résister, plus ou moins, à l'action de nouvelles causes qui tendraient à troubler son état de stabilité actuel.
252. Distinction entre la résistance instantanée des corps, et leur résistance permanente. — En se fondant sur les résultats d'expériences rappelés ci-dessus (250), M. Vicat a été conduit à distinguer, plus soigneusement qu'on ne l'avait fait avant lui, les deux genres de résistance absolue dont est susceptible un même corps, par rapport au temps; il nomme {*): résistance instantanée, ou force portante, force tirante instantanées, la limite des efforts que produit la rupture d'un
(*) Annales des Ponts et Chaussées., i833, 2* semestre, p. 201. L'Auteur nomme, de plus, force transverse, la résistance qu'un solide oppose à la rupture par glissement, sans rotation, de deux parties, dont Tune serait solidement maintenue ou encastrée, et l'autre sollicitée par une puissance agissant dans le plan même de la rupture. Dans les emporte-pièces, par exemple, la résistance à vaincre par le poinçon, n'est autre chose que Y^l force transverse^ qu'on pourrait aussi nommer résistance latéraie, résistance tangentielle. Cette force est très-comparable à la force portante, mais elle a jusqu'ici été trop peu étudiée pour qu'il devienne nécessaire de s'en occuper d'une manière spéciale.
DBS RÉSISTANCES. 321
corps solide en un temps très-court, et résistance permanente ou force portante^ force tirante permanente, la limite des efforts qu*il peut supporter indéfiniment et sans altération subséquente.
La première de ces résistances est celle qu'on obtient directement dans des expériences d'une durée de quelques minutes, de quelques heures au plus, et telles que sont, en général, celles qu'on peut se permettre dans les circonstances ordinaires. Quant à la seconde, il serait impossible de l'apprécier par des moyens directs, et il convient de recourir à des données fournies par l'observation des constructions existantes, et qui ont résisté, pendant un temps suffisamment long, à l'action de forces exactement connues et appréciées mécaniquement.
Telle est, en effet, la marche suivie par tous les constructeurs éclairés, pour les pierres et les bois employés dans les édiflccs, marche d'autant plus fondée en principe, que les matériaux dont il s'agit sont soumis à des accidents imprévus, à des causes de destruction, chimiques ou physiques, qui peuvent altérer leur constitution intime, indépendamment de l'action directe des forces mécaniques extérieures, qui les sollicitent d'une manière permanente ou accidentelle.
253. Comment on déduit, l'une de Vautre^ ces deux sortes de résistances, d'après l'exemple des constructions existantes. — Les considérations qui viennent d'être exposées ne peuvent être un motif suffisant pour rejeter les données du calcul, fondées sur le résultat d'expériences directes, lors même que ces expériences n'auraient eu qu'une durée très-courte, et qu'elles s'appliqueraient à des corps ou prismes d'une dimension assez faible par rapport à celle qu'ils doivent recevoir dans l'exécution ; car il arrive rarement qu'on rencontre, dans les Ouvrages existants, des modèles qui puissent è(re imités en tous points; et l'on sent très-bien que les effets qui se ma^ nifesteni dans ces expériences ont une relation, un rapport nécessaires avec ceux qui se produisent par l'action lente du temps, rapport qui, étant une fois découvert par l'observation, doit permettre de prévoir et d'apprécier» avec une exactitude suffisante, les derniers de ces effets par les premiers, dans une
inrmiié de circonsiances pour lesquelles on manque de données immédiates.
Ainsi, par exemple, sachant par le calcul que» dans une construction existante, les molécules d*un corps ont supporté, d'une manière durable, et sans altération apparente, un certain effort sur Tunilé de surface des sections, on compare cei effort à celui qui, d'après les expériences directes, est capable de produire, en un temps plus ou moins court, la rupture complète d'un prisme de même espèce, et l'on en conclut, pour tous les cas analogues, le rapport de la résistance permanente à la résistance instantanée.
Cetre méthode est celle des anciens ingénieurs et expérimentateurs, notamment des Bélidor, des Musschenbroek, des Buffon, des Duhamel, des Perronet, des Rondelet, des Gauthey, etc.
Sachant, d'un autre côté, que sous l'effori très-petit qui répond à la charge actuelle et permanente d'un édifice, l'élasticité n'est point altérée dans les expériences directes, et que
la valeur du rapport -r (236), relatif à cet effort, est sensiblement la même que celle dont on déduit le coefficient £, d'après les premières extensions ou compressions, on se sert de l'équation P = A£/, où P, E et A sont des quantités données, pour obtenir l'allongement ou raccourcissement i, par mètre, qui se rapporte. a l'effort limite dont il s'agit, et qu'il convient de ne pas dépasser dans l'établissement des constructions nouvelles, afin de leur assurer une stabilité égale à celle des constructions prises pour modèle.
EnGn, en l'absence de toute expérience en grand, de tout monument suffisamment ancien, qui puisse servir de modèle ou de point de comparaison pour établir les calculs, on se voit obligé de déduire simplement la limite des efforts permanents à faire supporter aux matériaux, du résultat des expériences directes, dont la durée est ordinairement assez courte : l'application récente du fer aux grandes constructions, en offre un exemple d'autant plus remarquable, qu'elle s'étend tous les jours davantage. On a admis, assez généralement, que, pour les matériaux de chaque espèce, cette limite répondait sensiblement à celle pour laquelle l'élasticité cesse de demeurer
]>SS RfiSISTAIVCES. 828
parfaite. Cette dernière méthode et la précédente, qui, au fond, revient à la première, sont Celles des ingénieurs modernes, parmi lesquels il me suffira de citer les Coulomb, les Girard, les Duleau, les Tredgold, les Navier, les Ilagerhjelm, etc.
254. Méthodes expérimentales directes pour déterminer la force élastique des corps. — Les allongements ou accourcissements subis par les prismes solides qu'on soumet à Texpérience de la traction ou de la compression, demeurant extrèmement petits entre les limites pour lesquelles l'élasticité est parfaite, il n'a pas jusqu'ici été possible de les observer directement pour tous les corps, et d'en déduire par conséquent les valeurs correspondantes du coefficient E, sauf dans certains cas que nous ferons connaître : on les a déduits approximativement et à posteriori, du calcul appliqué à des expériences d'une autres espèce, et qui se rapportent à la grandeur de la flexion que ces prismes prennent sous des efforts perpendiculaires à leur longueur. C'est même à de telles expériences, qu'on doit d'avoir appris d'abord que les déplacements subis aux premiers instants par les molécules des corps solides, demeurent proportionnels aux efforts qui les ont occasionnés, dans une étendue d'autant plus grande que l'élasticité est ellemême plus parfaite; car si cette proportionnalité n'avait pas lieu, il n'arriverait pas non plus, dans les ex.périences dont il s'agit, que les flèches qui mesurent les espaces parcourus par le point d'application de chaque effort fussent exactement proportionnelles à l'intensité de ce dernier, entre certaines limites de courbure.
Toutefois, comme la flexion des corps est toujours compliquée d'une compression dans les parties concaves, d'une extension dans les parties convexes, et que, d'après l'expérience, les assemblages de molécules se comportent différemment (240) à la compression et à l'extension, ou suivent d'autres feis, on conçoit très-bien que les résultats obtenus à l'aide de ce procédé de calcul ne peuvent s'accorder exactement avec ceux qu'on déduirait du mode d'expérimentation direct, auquel il conviendra toujours de recourir, afin d'obtenir des données absolues sur les deux genres de résistances dont il s'agit.
Les physiciens ont également cherché à déduire les valeurs
3^4 MÊCANIQDB INDUSTRIELLE.
du coefficient d'élasticité Ë, de la connaissance des lois de la vibration (19) des prismes solides, et plus spécialement de la vitesse avec laquelle le son s'y propage uniformément, c'està-dire du temps que le 'mouvement met à parvenir de Tune à l'autre de leurs extrémités; car on conçoit, à priori, et nous montrerons par la suite, qu'il existe aussi une relation, un rapport nécessaires entre la vitesse dont il s'agit, la densité (33) de chaque substance et la force élastique définie par la quantité £. ,
Cette dernière méthode doit être surtout propre à donner la valeur de la force élastique aux premiers degrés de l'extension ou de la contraction éprouvées par les molécules des corps, attendu que les déplacements, pour lesquels les mouvements vibratoires deviennent sensibles à l'organe de l'ouTe, sont gé-néralement très-faibles par rapport aux distances qui les séparent; mais les données qu'on possède à ce sujet sont encore en trop petit nombre et trop incomplètes quant aux éléments nécessaires à l'établissement des calculs, pour qu'on en puisse déduire, jusqu'à présent, des conséquences bien certaines relativement à la véritable mesure de la résistance élastique des solides (*).
255. Jppareils employés pour opérer leur rupture. — Les eifets qui se produisent dans les corps, au delà de ces premiers degrés d'extension et de compression, et qui accompagnent ou précèdent immédiatement la séparation complète des parties, ces effets exigent, pour être observés et mesurés avec exactitude, des attentions toutes particulières, afin d'éviter les causes étrangères qui pourraient influencer les résultats, et les altérer d'une manière plus ou moins appréciable.
Les moyens employés pour cet objet sont de diverses espèces. Dans les uns, on soumet les prismes solides à l'action directe»d'un poids qui tend à les accourcir ou à les allonger; mais ces moyens ne peuvent s'employer que pour les corps dont la section ou la résistance absolue sont assez faibles. Dans les autres, la traction et la compression sont opérées par l'in-
{*) Consulter à ce sujet les Recherches sur l'élasticité par Wertheim {Annales de Chimie et de Phjrsique, 3* série, t. XII, 1 8^4 )• ( K-)
termédiaîre d'appareils ou de machines puissantes plus ou moins compliquées, telles que les vis, les presses et les systèmes de leviers; mais alors on risque do se tromper sur l'évaluation rigoureuse des efforts, attendu que ces machines sont soumises à certaines résistances qui peuvent en absorber une portion très-appréciable.
Dans des cas pareils, il conviendrait d'interposer, entre la machine et le prisme soumis à' Texpérience, un instrument dynamomélrique (60) qui mît à même d'évaluer, à un degré d'approximation suffisant, les efforts véritables auxquels ce prisme a été soumis; ou, ce qui revient à peu près au même, il faudrait tarer directement la machine dont on se sert, par des épreuves spéciales, et de manière à déterminer, avec exactitude, la différence ou l'erreur de ses indications.
256. Précautions dont on doit user lors des expériences, — Quels que soient les moyens qu'on emploie, on doit opérer avec beaucoup de lenteur, et donner aux molécules du prisme d'essai tout le temps nécessaire, pour qu'elles puissent prendre les positions d'équilibre qui répondent à chaque effort, temps qui, pour les corps ductiles, peut quelquefois être fort long, ainsi qu'on en a vu un exemple au n" 250.
On doit surtout éviter soigneusement les secousses ou ébranlements quelconques qui, faisant acquérir (230) aux molécules des corps une vitesse commune ou des mouvements relatifs appréciables, mettent en jeu leur force d'inertie, et peuvent altérer leur état élastique, ou occasionner même leur rtipture complète sous des efforts bien moindres que ceux qu'elles seraient capables de supporter d'une manière directe et sans vitesse acquise.
^insi, par exemple, dans le cas d'une barre suspendue verticalement sous un point fixe, et sollicitée à son extrémité inférieure par un poids, on doit avoir l'attention de poser ce poids avec beaucoup de douceur; et cela est presque impossible, quand on opère à la main, et que la charge doit être considérable. C'est pourquoi la plupart des expérimentateurs se servant d'une caisse, ou d'un bassin analogue à celui des oalances, dans lequel ils versent lentement l'eau ou le sable qui doit servir de poids. Mais, ainsi qu'on l'a déjà fait
3a6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
observer, quelles que soient les précautions dont on use, aux premiers instants, pour appliquer la charge au prisme, on ne peut éviter l'influence perturbatrice de l'inertie, dès qu'on abandonne ensuite, comme cela est d'usage dans les expériences, cette charge à la libre action de la pesanteur, qui lui fait nécessairement acquérir une vitesse d'abord accélérée et d'autant plus grande que la raideur, la résistance du prisme aux premiers allongements, est plus faible.
A la vérité, cette influence de la vitesse ou de la force vive acquise peut être négligée, tant que les allongements instantanés qui en résultent ne dépassent pas la limite au delà de laquelle l'élasticité cesse de demeurer parfaite ; mais il en est tout autrement du cas où cette limite est dépassée {*); et, comme on Ta dit, le prisme peut prendre une position d'équilibre très-différente de celle qui répond strictement à l'effort mesuré par le poids effectif de la charge, ou qu'il prendrait, si l'on s'opposait, par un moyen quelconque, à l'accélération de la vitesse.
257. Réflexions générales relatwes aux appareils à poids et à V influence de la longueur des prismes, — Les observations ci-dessus peuvent s'appliquer, en général, à tous les appareils à contre-poids abandonnés à la libre action de la gravité, et, de plus, on aperçoit que l'Inertie doit y jouer un rôle d'autant plus appréciable, que l'amplitude de mouvement de ces pièces ou d'allongement du prisme soumis à l'expérience, est plus considérable pour un effort ou un contre-poids donné ; or c'est ce qui arrive notamment, quand la longueur absolue de ce prisme est très-grande par rapport à ses dimensions transversales.
Cette dernière remarque est d'autant plus importante, qu'elle peut servir à expliquer un fait bien connu des praticiens, savoir : qu'une tige solide, très-longue, est, à circonstances semblables d'ailleurs et abstraction faite de l'influence qui peut être due à son propre poids, plus facile à rompre qu'une
{*) ^oj-ez dans la partie des applications^ les n^' 312 et suWants, où nous avons cherché à soumettre au calcul, la loi de ces mouvements^ oscillatoires des prismes.
lige très-courte et de même équarrissage. Car les allongements étant (236) sensiblement proportionnels aux longueurs abso- Iu3s, sous un même effort de traction, il en résulte que, dans le premier cas, la puissance a, comme on dit, un grand champ d'activiié pour développer du travail, et faire croître la vitesse et la force vive des différentes parties. Mais il ne faut pas oublier qu'alors cette puissance rompt le prisme en vertu de la force vive acquise, tandis qu'en agissant avec lenteur, elle l'eût simplement amené à l'état d'équilibre qui répond au maximum de son intensité.
Quoi qu'il en soit, on voit que la méthode ordinairement employée, dans les expériences, pour mesurer la résistance des divers corps solides, n?cst point exempte de tous reproches, et peut conduire à des résultats très-différents de ceux qui répondent à la véritable valeur de cette résistance. Mais, comme les matériaux qui entrent dans les constructions de diverses espèces, sont presque toujours abandonnés à la libre action de la gravité, ou ne sont même uniquement soumis qu'à cette action, la méthode dont il s'agit paraîtra plus conforme aux effets naturels, et semblera devoir être préférée pour la pratique, quoiqu'elle conduise, dans quelques cas, à une fausse appréciation de la résistance effective des corps.
Ce ne serait pas ici, d'ailleurs, le lieu d'insister sur les diverses autres précautions délicates dont on doit user dans les expériences de cette nature; et nous avons voulu seulement éveiller l'attention de ceux de nos lecteurs qui voudraient tenter par eux-mêmes de pareilles expériences, ou qui, en comparant, entre eux, les résultats déjà connus sur la résistance des corps, pourraient être surpris des nombreuses anomalies qu'ils présentent et des dissidences même d'opinions qui en ont été la conséquence; car ces anomalies et ces <lissidences ne peuvent pas toujours être rejetées sur le fait ïnême de l'hétérogénéité des substances employées par les divers expérimeniateurs.
328 MtCàNIQUB INDUSTEIELLE.
RÉSULTATS DE l'eIPÉRIENCE CONCERNANT LA RÉSISTANCE DIRECTE
