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pour la 3- ou.... J^.6A- ^6. A' --^^ x - j^^'.

Mais on n'aperçoit pas aussi clairement, par la voie du raisonnement ordinaire, quelle est la nature des modifications qu'il faudrait faire subir aux formules primitives, pour tenir compte de l'influence exercée, aux divers instants, par l'inertie des éléments matériels du prisme; et, sous ce rapport, l'analyse algébrique ofl're un immense avantage sur les considérations directes de la Géométrie ou du raisonnement, quoique les résultats n'y apparaissent alors que dans un état de complication qui les rend peu applicables aux besoins de la pratique.

Du mouvement oscillatoire des prismes dont la charge permanente est soumise à V action d*un choc vif.

323. Des premiers effets d'un choc vif, ou de la vitesse initiale qui en résulte. — Dans les n"» 312 et 318, nous avons examiné l'influence qui peut être due à la force vive acquise, par la charge, lors des premiers allongements du prisme, ou à celle qu'elle possède déjà à l'instant où elle vient reposer sur

DES BÉSISTANCES. 449

son extrémilé inférieure ; ici nous supposerons que la charge 5, toujours censée fixemeni attachée au prisme, reçoive ellemême un choc à Finslant où celui-ci est parvenu, sous Tacîlion de cette charge et après un nombre d'oscillations plus ou moins grand (316), à l'état de stabilité pour lequel son allongement permanent est mesuré (312) par la quanlilé ^' = -tïj'

ou, plus rigoureusement, si Ton veut avoir égard (310) à Teffel initiai de son propre poids pL = ADL, par la quantité

OL i^' "AE ^2 AE'

qui différera toujours extrêmement peu de la première, dans

les cas d'application.

Q' Cela posé, nous nommerons Q' le poids, et M' =r: — la

masse du corps étranger, qui sera censé venir choquer le premier, ou Q, avec la vitesse V, qu'il aurait acquise, par exemple, en tombant verticalement de la hauteur H', le long du prisme. qu'il ne ferait simplement qu'embrasser, sans le toucher, dans

sa chute, de sorte qu'on aurait V =r ^ 7,gM'. La question principale consiste évidemment encore à rechercher, comme aux n" 312 et 318, le plus grand allongement subi par ce prisme à l'instant où le mouvement de descente de Q et Q' a cessé, et où la pression se trouve réduiie à celle de Q -f- Q'; mais, pour le découvrir, il ne suffirait pas ici d'égaler simplement la demi-force vive y M'V", ou Q'H' à la quantité de travail qui est développée, dans le même sens, par les poids Q, Q', et, en sens contraire, par la résistance élastique AEi, du prisme, durant la première période de l'allongement; car, par suite de la réaction qui a lieu à l'instant du choc, les masses M et M' subissent, de leur côté, une compression, une déformation qui entraîne, avec elle, une perte plus ou moins grande de travail ou de force vive (161) qu'il faut, au préalable, savoir évaluer. Or il est clair que cette déformation, cette perte est plus faible que celle qui aurait lieu si la tige de suspension était parfaitement inextensible, et un peu plus forte que celle qui surviendrait si le corps Q, quoique primitivement en

45o MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

repos, était entièrement libre de se mouvoir sous les efforis de réaction que lui fait éprouver Q', animé de la vitesse V; et ceci offre un nouvel exemple de Timpossibilité où l'on se trouve de déterminer les véritables circonstances du choc, quand on ignore la loi de la compressibilité des corps qui j sont soumis.

Pour en apercevoir le motif, on reprendra les raisonnements des n**' 154 et suivants, et Ton remarquera que, si Ton nomme v et c' les degrés de vitesse, perdu par le premier et gagné par le second, pendant la durée du temps infiniment

petit ^ on n'a plus ici simplement F = M- = M' -- et partant

Mi" = M'i^' pour chacun des instants de la compression, mais bien

le produit AE/ représeniant toujours (236), l'effort de réaction opposé, dans tout Tintervalle où l'élasticité demeure parfaite, par la tige de suspension dont on néglige ici le poids el l'inertie des parties, comme étant insensibles par rapport à ceux des masses M et M'.

En effet, si les poids Q et Q' ainsi que les efforts AEi opposés par cette tige, étaient comparables à l'intensité de la force de réaction F, ce qui arriverait pour des corps très-compressibles, il faudrait bien avoir égard à leur influence qui consiste à augmenter ou à diminuer cette intensité, suivant le sens indiqué par les signes 4- et — , dont ils sont précédés dans les équations ci-dessus. Or, comme la première donne pour F

la valeur Q' -f- M' -- > on peut bien remplacer cette valeur dans

la deuxième, ce qui donne simplement

Q'4-M'^-^Q-AEi = M^,

ou

(0 H" Q' — AE/) / = Me - M't'' ;

mais cette nouvelle égalité ne peut pas servir immédiatement à faire trouver les quantités de mouvement perdues et gagnées

i chacun des instants du choc, ni par conséquent celle qui a lieu après sa durée, comme cela arriverait dans le cas déjà cité des corps entièrement libres.

Supposant, au contraire, que la résistance à la compression, des masses M et M', qui subissent directement l'action du choc, soit très-grande par rapport à leurs poids P et Q et à la résistance AEi de la tige, ou, ce qui revient au même, supposant que leurs impressions réciproques, pendant le choc, soient comme insensibles par rapport aux allongements /= iL, éprouvés par cette tige, alors on retombera dans la condition F = M(/ = M V, en vertu de laquelle M et M' prennent ( 155 ) ia vitesse commune

avant que la tige soit allongée d'une manière appréciable; par suite, elles agiront, sur cette même tige, avec une quan-> lilé de mouvement (M -i- M') Vi i^M'V', ou une force vive initiale mesurée simplement par

au lieu de M' V", et à laquelle correspond une perte antérieure mesurée, à son tour (161 ), par l'expression

^ M'V'^rrr— ^M'V'S

puisque les corps sont ici censés ne point se quitter après ï'inslant qui suit la première impression (159).

Que si d'ailleurs la masse M était, elle-même, déjà animée d'une vitesse V, dirigée ou non dans le sens de V, et à laquelle correspondrait une certaine valeur donnée de rallongement / du prisme, alors on aurait (163) pour mesurer, dans les tnêmes hypothèses, la vitesse et la force vive communes à ces

deux corps, à Tinstant où le choc a cessé,

M' V d= MV" Q' V zh OV''