AE ~ L ' AE

i" et r représentant ainsi l'allongement proportionnel et rallongement effectif que subirait le pris^me sous un effort permanent égal au poids Q' du corps choquant. Celte équation prendra, en effet, la forme

L JIl i vj -f- 2(/' -f- r ) (L' ~ /' ) 4- /'' = L'% g

et donnera, par les méthodes connues, en posant de nouveau,, pour abréger (322),

V ou IL = /' -+. r± i/n 4- p.

double valeur dont la plus grande doit, comme au n** 318, correspondre toujours au maximum de l'allongement, et la plus petite à son minimum si elle est positive, ou au maximum de l'accourcissement subi par le prisme, dans son oscillation en retour, si elle est, au contraire, négative; c'est-à-dire si elle doit être portée {PL Hjfig- 5i) en sens opposé par rapport à l'extrémité inférieure, B, du prisme considéré dans son état

DKS RÉSISTANCES. 4^5

naturel. Mais, d'après ce qui a déjà été remarqué au n*" 320, ce dernier résultat est sujet à restriction, et suppose, tout au moins, que les poids Q et Q', demeurent assez unis entre eux et avec la barre, par suite des déformations ou résistances accidentelles qui naîtraient du choc, pour qu'ils ne puissent se séparer aux instants où la réaction élastique du prisme vient à s'exercer en sens contraire du mouvement acquis dans roscillation en retour. Afin d'éviter d'interrompre le fil des idées, nous ferons, pour le moment, abstraction de ces circonstances particulières, sauf à y revenir plus tard, quand il s'agira des applications spéciales de cette théorie du mouvement oscillatoire.

Équation fondamentale du mouvement, — Le principe des forces vives ( 136 et 137 ) mettra pareillement à même de découvrir, pour le cas dont il s'agit, la relation qui sert à calculer la vitesse V, commune aux deux masses M et M', à un instant quelconque de leur mouvement, par exemple, à celui qui correspond à un allongement donné, /= iL, pourvu qu'il soit ici permis encore (313) de négliger l'influence due à l'inertie et au poids des parties matérielles du prisme. Car l'accroissement (M -f- M')(V' — Vyj qu'aura reçu la force vive de ces masses, depuis l'origine du mouvement, devra être égal au double de la quantité de travail (Q -f-Q'J(/-— /') développée, sur elles, par la pesanteur, pendant leur descente de la hauteur l — i', diminuée du double de la quantité de travail,

iAEL(i'-r^) = i^(/'-/'M,

qui est développée, en sens contraire, par la résistance élastique, AE/, du prisme, pendant la durée de cette même descente ; c'est-à-dire qu'on aura, pour déterminer V, au moyen de /, la nouvelle relation

(QjiQ:)v.-LQ+Qi)v;=.(Q+Q')(/-n-^(/'-n.

fi" *-•

qui, en multipliant tous ses termes par-j-? et en ayant égard aux observations et conventions ci-dessus, devient successi-

4^^ HÉGÀNIQUE INDUSTRIELLE.

vemeni

^ri — ^=^(^' -+-/"}(/- 0~/' + /'' = /"' -(/' + /"-/?.

par des transformations algébriques bien connues, mais qu'il nous eût été très-facile d'éviter, ou plutôt de suppléer entièrement, tant dans cette question que dans la précédente, si nous n'avions voulu montrer, par un nouvel exemple, comment 1 application du principe des forces vives peut conduire directement au but, sans recourir aux données que nous avons précédemment acquises sur la nature du mouvement oscillatoire des prismes.

325. Interprétation géométrique des résultats et lois du mouvement qui succède au choc. — Rien n'est plus simple que d'interpréter dans le langage géométrique, les résultais auxquels on vient de parvenir en dernier lieu, et dont l'analogie avec ceux qui ont été exposés, pour des cas particuliers, dans les n*** 313 et suivants, est facile à saisir : BC représentant [PL Ily Jig^ 5i) la quantité /', dont, par hypothèse, s'est allongé primitivement le prisme vertical, ÂB, sous la charge permanente Q, et CO celle, /', dont il s'allongerait par l'influence immédiate deQ', BO représentera pareillement rallongement total de stabilité, /' + r^ qui entre dans les formules ci-dessus, et que prendrait le prisme sous l'action d*une charge unique Q + Q', allongement qui, en vertu du principe établi à la fin du n"" 312, doit correspondre aussi à l'instant où la vitesse Vi ayant atteint sa valeur maximum, l'inertie ne joue plus aucun rôle, et où l'extrémité inférieure, B, du prisme, atteint elle-même le centre au milieu de ses courses ascendantes et descendantes , dans le mouvement oscillatoire qui succède au choc.

Allongement et contraction maximum. — D*après cela, si

l'on porte, sur l'ordonnée ou horizontale du point, C,qui

indique la position initiale de cette extrémité, la distance

V, CN' = t: » il est évident que l'hypoténuse

ON' = yoc' -^- CN'* = un -\- ^

DBS RÉSISTANCES. 4^7

sera le rayon r,, d'un cercle dont les intersections, B" et D", avec la direction prolongée de Taxe du prisme, donneront les positions extrêmes de B. On aura donc aussi

':^B0 + OD" = /' -f- r + i/r^ -f- ^, " = OB'' - OB = 4//"«4- ^ - (/' + /"),

BB

qui sont précisément, Tune la plus petite, et l'autre la plus grande des valeurs absolues de L\ trouvées ci-dessus (324), par la voie purement analytique.

Vitesses et allongements quelconques. — Supposons que j'' représente TUne des positions intermédiaires de B, pendant son mouvement descendant, de sorte que Br soit précisément égal à /. Si Ton élève, en ce point et au cercle mentionné, l'ordonnée jM' dont le carré

jM' =0M' -Oj =0N' -(^B-OB)^

cette ordonnée représentera précisément la valeur de -r , que

fournit la dernière des équations du n°324.; ce qui prouve que toutes les circonstances du mouvement oscillatoire, déjà étudiées dans les n°* 318 et suivants, pour le cas particulier d'une seule masse M, animée de la vitesse Vi , se reproduisent exactement ici , pourvu qu'on substitue la considération du cercle B'N'D'^B" à celle des cercles B/iDB, B'ND'B', etc.; conséquence évidente à priori^ puisque le mouvement oscillatoire des deux masses, M et M', lorsqu'elles sont une fois réunies et que l'élasticité n'est en aucun instant altérée, ne saurait différer de celui d'une masse unique, M 4- M', suspendue à l'extrémité inférieure du priSme, AB, et qui aurait reçu, en C, une vitesse initiale, Vi, capable de lui faire atteindre l'une ou l'autre des positions extrêmes D" et B".

Àmplitudey durée et nombre des oscillations. — Cesrappro-

458 MÉCANIQUE IXDCSnnLLE.

chements el tout ce qui a été exposé aux n** 318 et suivants, nous dispensent d'entrer dans la discussion détaillée des autres particularités du mouvement, relatives au cas général qui nous occupe, et dont la plus remarquable est, sans contredit encore, l'indépendance complète qui existe entre le nombre, la durée des oscillations et leur amplitude, l'intensité du choc ou la vitesse du mouvement. On aura, en efTet (315), pour calculer cette durée,

ciiT.jrVD^ xirr, 2r

attendu qu'ici les quantités

dont la dernière exprime aussi la demi-amplitude des oscillations, remplacent celles qui ont été désignées simplement par k et r au n"* 319.

Quant au nombre N, des oscillations par seconde, on le troiivera au moven des formules

T ir. 27rV/ + r' 27:V(Q-+-Q')L'

qui sont pareillement indépendants de la vitesse initiale, Vi, et de l'amplitude, 2r,, des oscillations du prisme, mais non pas de la charge Q + Q', qui le sollicite d'une manière constante, à partir de l'instant du choc. Ce dernier pourrait d'ailleurs avoir lieu dans un sens contraire et pour une position, de Q ou de B, j par exemple, très-différente de C, sans qu'il } eût de changé autre chose que la valeur de V, ( 322) et la grandeur de la demi-amplitude ou du rayon r, , du nouveau cercle,

B"N'D"B'', à considérer, lequel aurait toujours pour centre le

y point O^ et pour ordonnée j^ M', en j, la nouvelle valeur de -r^;

ce qui donnerait encore

r, ou OM' = Sjoy ' -+- jM'' = i/oj + ^,

et mettrait ainsi en mesure de discuter toutes les circonstances du nouveau mouvement.

Formules analytiques du mouvement. — Il nous suffira ici de faire connaître celles qui concernent spécialement le temps, et qui peuvent être immédiatement déduites de leurs correspondantes des n""* 319 et suivants. Remarquant à cet effet que, dans le cas actuel, ce temps doit être compté à partir de l'époque où Texlrémité inférieure, B, du prisme, est en C, on verra (319) que, si Ton nomme, en général, T sa valeur, en secondes, relative à la position quelconque, Xy de cette extrémité, ou à l'allongement total, B j = /, subi par le prisme, sa relation avec l'arc N'M% ou l'angle N'OM', sera ici donnée par les formules

-, arcN'M' arcN'M' angle N'OM' , ^,^^, ,^

^='k;TUW='-kjr- = -^. ' angleN'OM'^W.

Nommant, de plus, ï' le temps qui correspond à l'arc B"N', ou à l'angle B'^ON', et qui est également donné par le rapport inverse du nombre constant, /Ifi, à cet angle censé mesuré toujours dans le cercle qui a l'unité pour rayon, il sera aisé d'apercevoir quelle est la nature des changements à effectuer, tant dans les formules du n"" 319 que dans toutes celles du n*^ 322, pour obtenir les expressions qui appartiennent au cas

actuel.

Ainsi, par exemple, on aura pour calculer, à un instant quelconque indiqué par la valeur de T, l'allongement / ou B^, subi par le prisme entier, AB,

/ 1= BO -h O7 = /' -+- /" — OM' . cosB" OM'

=:/' + /".r.cosA-.(T + T'),

attendu que le cosinus de l'angle obtus B"OM', doit ici changer de signe.

En employant les transformations trigonométriques indi-

46o MfiCANIQUB INDUSTBIBLLB.

quées dans la Note du n** 319, et observant qu'ici encore on a

cos^.T-cosB"ON'=^ = ;:, et sinA:.T' = ^=^. cette formule prendra la forme plus explicite

/ = /'+/"{i cosA-,T)4-ï^sinfr,T.

ni

On aura donc aussi (321 el 322), pour calculer, en général, rallongement z, subi, au même instant, par la partie quelconque Ab^=x du prisme, la formule

2 =z /^ =r ^ [/' 4- r - r, cosA-.fT -+- T)]

= Y"^ "+* T^(' ~" cos/r, T) -f--T4-sinA*,T;

JL JL /t'i Li

dans laquelle /', F et V, ont les valeurs

Il Q][^ /// Q^I^ V Q' V ^" v

AE' AE' ^'~Q + Q' / -+-r '

déjà indiqués précédemment (322 et 32/1^) , et où il serait facile de tenir compte (322) des termes relatifs à l'influence exer cée par le poids des parties matérielles du prisme (*).

(*) Pour le cas qui nous occupe, l'expression générale de ;;, déduite d'une analyse semblable à celle qui est indiquée dans la Note du n^* 32*2, et où l'oa tient compt« de l'inertie des molécules du prisme, devient, en conservant toujours à B^ la même signification

ADL AD , (Q-hQ')

AE jAE AE

„ ^ sin m X — 2B„

forme sous laquelle elle conduit à des résultats qui cadrent également arec

ADL

ceux du texte ci-dessus, quand ^r -^ ou m sont censés des quantité» trèspetites.

C'est, au surplus, un résultat auquel on arrive directement d'après le pria-

DBS RÉSISTANCES. 4^1

On remarquera, au surplus, que, pour rentrer dans les condi^ lions des n^ 318 et suivants, il suffirait de supposer /' et Q nuls, dans les formules ci-dessus, sauf ensuite à remplacer, dans les résultats, /" et Q' par /' et Q, puisqu'on exprimerait, par là, que le mouvement du prisme est simplement produit par le choc d'une masse. M' ou M, animée de la vitesse V ou V, , ei qui viendrait rencontrer verticalement un obstacle, une saillie quelconques, placés à l'extrémité inférieure, B, de ce prisme.