DÉSIGKATIO!! DE L ESPÈCE DE ROCES

' aeji, ou rapport

et de rêtat des surfaces en contact du frottement

h la pression.

RovES DE VOITURES garnies de bandes de fer, cheminant :

Sur une chaussée, en sable et cailloutis nouveaux o,o634

Id. en empierrement, à l'état ordinaire o,o4i4

Id. id. en parfait état o,oi5o

Id. en pavé, bien entretenu : au pas o,oi85

Id. id. au trot o,0238

Id. ' en planches de chêne, brutes 0,0102

Roues en forte sur rails en bois saillants et rectilignes (Gerstncr). o,oo33

Id. sur ornières plates en fer o ,oo35

Id. sur ornières saillantes, avec alimentation de graisse,

ordinaire 0,0012

Id. sur ornières saillantes, avec alimentation de graisse,

continue 0,0010

Rouleau d'orme sur pavé uni (Régnier^ o ,0074

Id. sur chêne parfaitement dressé (Coulomb) 0,0016

Id. sur gayac (Id.) 0,0010

Rouleau de fonte sur granit uni 0,0010

( * ) Dupult fait remarquer que Je frottement de roulement consiste en ce que, lorsqu'un cylindre roule sur un plan, la réaction normale de ce dernier passe à une petite distance i en avant de la génératrice du contact supposé géométrique, du cdté du mouTemenL II résulte delàque, si la loi de Coulomb était exacte, la distance userait constante, pour les mêmes corps en contact, et égale à /i , quel que fût le rayon. Cette loi ne peut pas être admise en général, puisque $ doit toujours être plus petit que le rayon. Dopull a conclu de ses expériences que, pour les mêmes substances en con-

tact, i est proportionnel h la racine carrée du rayon, et que, par suite, on a R ='^^ •

D'après M. Horin, la loi de Coulomb est plus approchée de la Tértié, dans les cas ordinaires de I» pratique ; il a trouvé, en outre, que le rapport = augmente quand, toutes choses égales d'allloum, la longueur de la génératrice de contact diminue. ( K.)

^nant par E l'espace qu'il a décrit à la fin du temps ï, on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement retardé dont il s'agit, les formules

dans lesquelles/est le coefficient du frottement des corps en contact, et qui dérivent immédiatement des principes et considérations géométriques exposées dans la première Partie de cet Ouvrage (112, 130 et suivants, 136 et 137).

Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer : i® qu'on doit avoir ici, à chaque instant,

ce qui donne

pour le degré de vitesse infiniment petit, détruit à chacun des instants/, dansie corps mobile ou traîneau, et, par conséquent, fgT pour la vitesse totale détruite au bout du temps T, et V, — /g"ï pour la vitesse V conservée au bout de ce temps; 2** que le produit/?. E exprime la quantité de travail développée, par le frottement, en sens contraire du mouvement, dans toute l'étendue de la course E, et que la force vive, M Vf, diminuée de celle, MV% doit être précisément égale (137) au double de cette quantité, etc.

Ces différentes formules ou lois du mouvement sont, comme on voit, entièrement indépendantes du poids absolu, P, du tratneau, qui a disparu comme facteur commun à tous les termes des équations, mais il n'en serait plus ainsi du cas où ce traîneau serait sollicité par une puissance étrangère, d'intensité également constante, comme celle qui résulterait de l'action d'un poids Q, décomposée ou ramenée, dans le sens horizontal, par un moyen quelconque, par exemple à l'aide d'une corde passant sur une poulie de renvoi; dans ce cas, pour arriver aux formules qui donnent la loi du mouvement, il suffirait d'ajouter au frottement, /P, du traîneau, ou d'en retrancher, l'effort constant Q; ce qui revient évidemment à augmenter ou à diminuer, dans les équations ci-dessus, le

55o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

coefficient/ du froliemeni de la quantité ^» selon que reffort

0 agît pour favoriser ou pour empêcher le frottement, c'està-dire pour relarder ou accélérer le mouvement du traîneau; le seul changement à opérer dans les formules ci-dessus, consistant ainsi à remplacer/ par/di -p> pour passer du premier

cas au second. Toutefois, s'il arrivait, dans cette dernière hypothèse, que Teffort Q surpassât le froilemeni/P, il pourrait aussi arriver que le traîneau, après avoir cheminé pendant un certain temps dans sa direction primitive, retournât bientôt en arrière, pour continuer ainsi indéfiniment dans le sens de Q; ce qui suppose qu'à l'instant de cette rétrogradation la vitesse V s'évanouisse, et que sa valeur change de signe dans les équations, le mouvement, d'uniformément retardé qu'il était, devenant ainsi uniformément accéléré. Or on sera averti, par la discussion même des formules, de cette circonstance tout à fait analogue à celle que nous a offerte (120) l'ascension ver* ticale des corps pesants, et sur laquelle il devient ainsi inutile d'insister.

Quant au cas où la puissance constante, Q, toujours supérieure à/P, agirait dans le sens même de la vitesse initiale, Vi, il va sans dire que le mouvement serait, à tous les instants, uniformément accéléré, comme cela a lieu pour la chute des corps graves, l'intensité et le sens du mouvement étant seuls changés; ou, si l'on veut, l'action, P = Mg",de la gravité, se trouvant remplacée par celle d'une force horizontale égale à Q — -/P» la vitesse initiale, V„ serait augmentée d'une quantité mesurée par (^— /) /?T, au lieu de ^T, après un temps quelconque, T, écoulé.

366. Vérification de ces lois par l'expérience directe, pro» cédé pour obtenir i intensité du frottement des corps en mouvement. — Ce qui vient d'être dit, en dernier lieu, peut donner une idée de la manière dont Coulomb et M. Morin sont parvenus à constater les lois du frottement après l'instant du premier ébranlement des corps, et principalement son indépendance de la vitesse absolue du mouvement; car elle a

DES RÉ8ISTANGBS. 55 1

précisément consisté à rechercher, par des moyens plus ou moins délicats ou précis, et à peu près comme l'avait fait» avant eux, Galilée (116), dans des circonstances analogues quant au but, quoique très*distinctes pour le fond, quelle était la relation existante entre les espaces décrits par les corps et les temps successivement écoulés, puis à s'assurer que cette relation est précisément celle qui convient au mouvement uniformément accéléré ou retardé; ce qui ne peut avoir lieu sans que la résistance soit constante à tous les instants. Mais aujourd'hui, que la loi est connue, et peut être admise à peu près sans restriction, il ne serait nullement nécessaire de recourir à l'emploi d'appareils dispendieux pour obtenir, avec un degré de précision très-suffisant, l'intensité relative du frottement, dans des cas où il serait intéressant de le déterminer d'une manière directe : il suffirait de lancer le traîneau, sur son chemin horizontal, disposé de manière à l'empôcher de tourner, avec une vitesse quelconflue, V,, et d'observer seulement le nombre de secondes, T', qu'il a mis à décrire l'espace, E', au bout duquel il s'est arrêté.

En effet, si l'on exprime, dans les équations ci-dessus (36i|i.}, que la vitesse finale. Y, est nulle, elles conduisent, sur-lechamp, aux nouvelles formules :

v.=/g'T', v; = 2/grE', E'=v.T'-i/ffr%

dont la troisième est une conséquence nécessaire des deux

premières, qui serviront immédiatement à calculer les valeurs

de V| et de /, ainsi que toutes les autres circonstances du

mouvement. Par exemple, en divisant, membre à membre, la

deuxième par la première, elles donneront, pour calculer V„

aE' la relation \i = -7yr^ <1"® "ous eussions pu écrire de suite

(109 et suivants), d'après les lois bien connues du mouvement uniformémeut accéléré ou retardé, et dont on conclura immédiatement aussi la valeur du coefficient du frottement

f^ V. aF relative au cas du mouvement.

552 mécàniqub industrielle.

Pour offrir une application numérique (*), nous supposerons qu'un tratneauy armé à sa surface inférieure de patins en acier poii, soit lancé, toujours de manière à l'empêcher de tourner, sur la surface glacée d'un étang ou d'une rivière, avec une vitesse de quatre minutes par seconde, et nous nous demanderons : i'' le temps au bout duquel le mouvement de ce tratneau, abandonné à lui-même, s'arrêtera, en raison du frottelnent qu'il éprouve de la part de la glace; a<* l'espace total qu'il aura parcouru. Nos tableaux ne contiennent aucune donnée relative à ce genre de frottement, mais nous admettrons, d'après les expériences de M. Rennie (**), que son coefficient soit

(") Une méthode analogue peut être employée pour déterminer rintensité du frottement des tourillons sur les coussinets ; on en déduit un procédé expéditif que nous avons eu souvent occasion d'appliquer, pour déterminer la valeur relative de divers enduits. L'appareil se compose d^un volant ou d'un disque en fonte, de grand poids, disposé de manière à offrir peu de résistance à l'air et monté sur un arbre reposant sur deux coussinets ; un compteur inscrit le nombre de tours effectués. On graisse les coussinets, et l'on fait tourner l'arbre jusqu'à ce que l'enduit se trouve dans les conditions normales; oo débraye ensuite ; à un instant donné, on met le compteur en marche, et l'on

note le temps T' écoulé depuis ce moment jusqu'à l'arrêt. Si N est le nombre

N de tours effectué pendant ce temps, on trouve F = K =;^> K est une constante

qu'il est facile de déterminer pour chaque appareil, et dont la connaissance est du reste inutile quand il s'agit simplement de comparer divers enduits.

Lorsqu'il est possible de donner à l'arbre exactement les mêmes vitesses initiales dans les divers essais, on peut se dispenser de mesurer les temps; on reconnaît facilement que les valeurs du frottement sont en raison inverse du nombre "S de tours effectués. Ce second procédé est déjà indiqué dans le Mémoire cité de M. Hirn sur les froUemeuts médiats,

Nous devons faire remarquer que, dans tout ce qui précède, nous avons admis, d'après Coulomb, que le frottement est indépendant de la vitesse. Dans les cas où cette indépendance n'existe pas {i*orez la Note des pages ii5, ii6), les procédés décrits peuvent encore fournir des indications sur la valeur relative de divers enduits, mais ils ne permettent pas de déterminer les rapports exacts des frottements qui en résultent. (K.)

(**) Suivant ces mêmes expériences, faites à la température de 2<>,25 centigrades au-dessous de zéro, le coefficient de ce frottement diminuerait, avec la pression, ainsi qu'il suit : pour des pressions de o^§,5, 3 et i8 kilogrammes par centimètre carré, il serait respectivement o,oJ); o,o3; o,oi4> Pour la glace glissant sur de la glace, M. Rennie a trouvé, dans les mêmes circonstances, le coefficient du frottement égal à o,o3 et o,oq pour des pressions respectives de o''S,i5 et o''ï,no par centimètre carré. Le résultat des recherches de cet ingé- ■ieur, se trouve consigné dans les Transactions philosophiques de la Société rojale de Londres, pour l'année 1839.

DBS RÉSISTANCES. 553

réduit aux o,o4 environ de la pression, de sorte qu'on aura Ici :/= o,o4, Vi = 4"; c^- Q"î donnera, en substituant cette valeur dans les formulés, et attendu que §" = 9^,81 environ,

1 = TT- = 7 ô- = 'O ,îq4>

fg 0,04x9,81 ^'

E'= ^ nzT'X— = 10,194 X2«^= 20"», 388,

c'est-à-dire que la durée du mouvement serait de 10", 2, et l'espace parcouru 20™, 4, à très-peu près.

Supposant qu'à l'inverse, on ait obtenu cette durée et cet espace d'après l'observation directe, on en eût déduit immédiatement les valeurs de/et de V,, ainsi que cela a été indiqué ci-dessus. On voit d'ailleurs, par les données de la Table du n^ 357, que les résultats, auxquels on vient de parvenir, offrent comme une sorte de limite par rapport à ceux qu'on obtiendrait pour d'autres corps que la glace, et cela donne une idée de l'extrême rapidité avec laquelle le frottement doit, dans les circonstances ordinaires, éteindre le mouvement à la surface de la terre; mais nous verrons, par la suite, que la résistance de l'air et des fluides, en général, est une autre cause qui contribue puissamment à la production de cet effet, surtout dans les premiers instants du mouvement et lorsque la vitesse est très-rapide.

Questions et formules concernant les pertes de force vive dues au frottement pendant le choc.

367. Premier exemple relatif au choc vertical d* un traîneau.

— Le cas le plus simple de la question est celui d'un traîneau,

de poids P, ou de masse M = -9 qui, étant animé, à un certain

instant, de la vitesse horizontale, V, vient à être choqué normalement, par un autre poids, P', ou une autre masse.

W = — , tombant libremeut de la hauteur H', au bas de la-

quelle M' a pris la vitesse V'= y/agH'. Or il est évident que,

dès l'instant où cette dernière masse atteindra le traîneau.

elle sera, si rien ne s'oppose à son glissement horizontal, sollicitée, tout au moins , par le frottement qui natt de leur réaction réciproque» dont nous représenterons le coefficient par/'; l'intensité de ce frottement étant, dans chacun des éléments infiniment petits, /, de la durée du choc, mesurée

(350) par l'expression /'M' — » elle communiquera à la masse

M', et détruira, dans la masse M du traîneau, une quantité de mouvement, mesurée par /'M'V, à la fin de la plus grande impression. Ainsi, sous ce point de vue, età cause que l'action est égale et contraire à la réaction, la quantité de mouvement des deux niasses, ou celle delà masse entière, M -h M', ne sera point altérée dans le sens horizontal; mais, comme TefTort

de réaction vertical, F = M' ■-> éprouvé par le traîneau, se

transmet, pour ainsi dire instantanément, jusqu'à sa surface d'appui inférieure, elle y fera naître un autre frottement me-

sure par/M' -? dont le coefficient /sera, en général, distinct

du premier, et qui donnera lieu à une perte de quantité de mouvement, mesurée également (350) par/M'V, à la fin de la plus grande impression; supposant d'abord, qu'en vertu du frottement f* ou d'une cause de résistance quelconque, les masses M et M' aient acquis» dans le sens horizontal, à la lin du choc, la vitesse commune W, la quantité de mouvement correspondante, (M + M')W, du système de ces masses, devra être égale à MV — /M' V, ce qui donne

m-fWY

pour calculer la vitesse finale et commune dont il s'agit, dans l'hypothèse d'un choc assez vif ou d'une durée assez courte, pour qu'il devienne permis (168 et 159) de négliger le poids

des corps vis-à-vis des efforts de réaction. M' -> développés

pendant la durée même de ce choc.

La masse M possédait seule, avant le choc, la force vive horizontale, MV% maintenant les deux masses possèdent en commun, par hypothèse, la force vive (M -h M') W'; donc on aura

^ur calculer la perte de force vive, dans le sens horizontal , Texpression :

MV- (M + M^)W^ = MV'- ^*^\r/'II7'->

JH -h M

lont la moitié fera connaître le travail détruit par le frottelient du traîneau, dans le sens dont il s'agit, travail auquel il tonviendra d'ajouter encore (162) celui, {M^Y'S qui s'opère jians le sens vertical, si, comme il arrive presque toujours, il |esi permis de négliger la vitesse de rejaillissement de M'. j Nous venons de supposer que cette dernière masse, en recehraniy pendant le choc, la quantité de mouvement horizontal f M' V, ou la vitesse horizontale /'V, avait acquis finalement pe mouvement même dont est animé le traîneau; ce qui revient {i admettre que/' V soit précisément égale à la vitesse W, de ce mouvement. Mais, généralement, il n'en sera pas ainsi dans le cas d'un simple frottement exercé à la surface supérieure du traîneau, et alors la quantité de mouvement possédée par le système, à la fln du choc, prendra simplement la valeur MW+/'M'V', au lieu de (M-hM')W; ce qui don- ^nera, pour déterminer W, cette aulre relation :

MW-+-/'M'V' = MV-/M'V' ou W=V-(/-h/') S^V;

Al

d'où il sera facile de déduire la nouvelle expression de la perte de force vive occasionnée par le choc.

D'ailleurs, si la condition

ou, ce qui revient au même,

MV PV

^' </'M-f- (/■+/' )M' =/nrî-7Fi7^''

se trouvait satisfaite, la masse M' ne pourrait acquérir, à la fin du choc, la vitesse W du traîneau ; elle resterait donc en arrière par rapport à celui-ci, c'est-à-dire qu'elle continuerait à glisser, à sa surface supérieure, jusqu'à ce que le frottement /'P', occasionné par son poids, sur cette surface, ait complètement anéanti la différence de vitesse, W — /' V.

556 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

Nommons T' le temps nécessaire pour l'accomplissementj cet effet, /'P'T' sera évidemment (364.) la quantité de mou^

ment imprimée, pendant ce temps, à la masse M', par le frol

meni/'P', et*^ ^, sera Taccroissemeni correspondant de

tesse de cette masse, si elle n'est sollicitée, ainsi que le il neau, paraucune force étrangère et qu'elle ne fasse simpleme que glisser sans tourner. D'une autre part, la masse M, de traîneau, étant sollicitée, à sa surface inférieure, par le froti ment/(P h- P'), et, à sa surface supérieure, par le frotlem /'P', ou, en totalité, parla force retardatrice/(P -h P') -4-/' il perdra, pendant le temps T' et en raison de cette force, u quantité de mouvement/(P -f- P')T'-I-/'P'T', ou une vite

mesurée par *^— ^^ ; donc on obtiendra c

temps par la condition

f'W /(P + y)r-h.rP^M^

si, je le répète, le frottement et l'inertie sont les seules force qui sollicitent le traîneau.

Mettant dans cette équation, pour W, la valeur trouvée ei dernier lieu, et observant que P = M^, P' = M'^, on en dé duira immédiatement

pv-(/4-.r)p^v>

pour calculer 'le temps T' dont il s'agit; ce qui donnera faci lement aussi l'espace décrit, par le traîneau, pendant cetli dernière période du mouvement, qui sera uniformément re tardé (364).

368. Autre question sur ce sujet — Supposons maintenan que le poids P', au lieu d'être entièrement libre dans sa chute soit contraint de prendre, à chaque instant, la vitesse horizon taie, V, dont le traîneau est successivement animé; circon stance qui se réaliserait, par exemple, si la masse M', en tombant de la hauteur H', était dirigée par une ti'^'^ verticale for mant système avec le traîneau, et dont l'extrémité supérieure

irait été le point de départ de la chute : dans ce cas, il n*y ^it plus lieu évidemment à s'occuper des réactions horintales produites par le frottement sur la surface supérieure I traîneau. D*ailleurs, le poids P% perdant ici encore, à Tinlïit du choc, toute la vitesse verticale, V qu'il avait acquise us sa chute, il en résultera, sur la surface d'appui du traî-

tau, un frottement, /M' -» qui, d'après le principe établi à la

I du n^ 350, détruira, dans la masse M + M' de ce traîneau de ce poids censé faire corps avec lui, une quantité de mousment toujours mesurée par l'expression /M' V; et, comme Jle que le système possédait avant le choc, dans le sens hozontal, était (M H- M')V, la quantité de mouvement qui subslera ensuite, aura pour valeur (Mh-M')V — /M'V. Nomlant donc W la vitesse commune aux deux corps, à ce derler instant, on aura, pour la calculer, la formule

^(M-*-M') = (M + M')V-/M'V ou W=V- J^',y\

ès-différente de celles auxquelles on estarrivé dans le numéco ui précède.

Les corps possédaient, avant le choc, la force vive horizonlie ei commune (M -f- M') V% celle qu'ils possèdent maintean t est (M-l-M')W*; donc la perte de force vive, dans le ens horizontal dont il s'agit, est mesurée par l'expression

lù il ne s'agira plus que de substituer, à W, la valeur obtenue i-dessus, et dont la moitié exprimera toujours le travail conommé, par le frottement, pendant le choc; la moitié de la orce vive MV'^ exprimant, d'un autre côté (162), celle qui est bsorbée dans le sens de la réaction normale des masses M 5t M'.

Ces calculs, comme on voit, supposent encore que le choc inisse à l'instant même de la plus grande compression des leux corps, et que leurs poids et la force horizontale Q, qui es sollicite, soient négligeables vis-à-vis des efforts de réaciion, F, développés pendant le choc; mais évidemment cela

558 MfiCÀNlQUB INDUSTRIELLE.

ne serait plus permis, si le choc était très-doux, ou les cor très-compressibles, car alors il deviendrait nécessaire, comi on l'a plusieurs fois remarqué, d'avoir égard à la loi même * cette compressibilité, pour arriver au résultat final. Quant ; cas d'une élasticité plus ou moins parfaite, il suffira de co nattre la vitesse ou la hauteur du rejaillissement du poids 1 pour être en état de calculer le surcroti de perte de force vi qui en résulte : nV, par exemple, étant la vitesse de ce reja lissemeni, /M'V'-f-/nM'V' sera évidemment (157), toujoii d'après le principe du n"* 350, la somme des quantités de me vement horizontales, détruites pendant la réaction mutuei des deux masses M et M'; de sorte qu'on aurait ici la no velle relation :

W(M -f M') = (M-hM')V-/(i -+- n)M'V', ou

w — V yiL±Ji)M^v' M -^ M' ^ '

pour calculer la valeur de la vitesse, après le choc, qu'il coi viendra de substituer à l'ancienne, dans l'expression de perte de force vive (M h- M') (V> — W*). Cette vitesse eu moindre que celle trouvée en premier lieu, on voit que perte de force vive sera aussi plus grande, conformément à i qui a déjà été remarqué à la fin du n"" 350.

Pour le second choc, on procéderait comme pour le pr mier, et ainsi de suite. Mais l'expérience démontre que, dai les cas ordinaires, où les corps ne peuvent éprouver de flexîoi transversales sensibles, la hauteur et, par conséquent, la v tesse, /iV, du rejaillissement, sont toujours, en effet, des fra lions très-petites de celles qui ont produit le choc; de sorte qi le mouvement vertical du corps P' est promptement éteint.

369. Particularités offertes dans ce dernier exemple ^ par ^ mouvement qui précède l'instant du choc, — ■ Dans la réaliK le poids P' n'a pu, dans nos hypothèses, participer à l'accéle ration de mouvement du traîneau, due à l'influence de la fore horizontale Q, et à la diminution du poids P', sans éprouvei de la part de la tige directrice, un certain effort de réaciio horizontale, q, et, par suite, un frottement vertical, qui a d

DES HÉSISTAlfCBS. S5g

ralentir la vitesse de chute de la hauteur H'. Nommant/' le coefficient de ce frottement, v Taccélération de mouvement reçue par le système du tratneau et de la tige, pendant le temps inûniment petit t, Teffort horizontal q, dont il s'agit, sera évi-

demment (130) mesuré par M'7 = — -) tandis que l'effort

vertical, dû au glissement, le sera par /'M' - =/' — - : le

premier s'ajoutera à la force d'inertie ( Ij du traîneau

et de son contre-poids Q; le second s'ajoutera à la pression P, occasionnée par son poids propre, et fera naître un excès de

frottement mesuré parla fraction/de/' - - ou jQT' - -; enfin,

le premier de ces efforts détruira, dans le tratneau, pendant une fraction quelconque, T, de la durée de la chute du poids P\ une quantité de mouvement précisément égale à celle que ce poids a reçue de la tige ou du traîneau, tandis que le second détruira, toujours dans le sens horizontal, une autre quantité de mouvement qui sera à la précédente, dans le rapport de f à ' ff'qy etc. Quelle que soit d'ailleurs la complication apparente de ces effets, il sera toujours possible, et même facile, de calculer les circonstances des mouvements simultanés, de des* cente du poids P' et de progression horizontale du tratneau, qui n'en continueront pas moins d'être uniformément accélérés. En effet, V. étant la vitesse horizontale de tout le système à l'instant où le poids P' vient à être lâché de la hauteur entière H' ; E l'espace horizontal décrit par le traîneau, pendant que P' descend de la hauteur quelconque, H, relative au temps T;

, a=z l'effort de réaction horizontal, et /' — - le frotte-

ment, ou l'effort de réaction vertical, éprouvés par la tige directrice de la part du poids P', dont, je le suppose, la vitesse V prend l'accélération du mouvement /, pendant l'élément de temps infiniment petit /, les équations du mouvement instantané, ou pendant la durée de /, seront, d'après ce qui vient d'être indiqué : i® pour le tratneau.

56o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

2" pour le poids P',

ce qui donne immédiatement

î: £(Qll/PL ^ eonst A / - p 4. P' + Q 4. jjyvp, - const. A,

y=g-/'j = g^ -/'A = const. A\

et, par conséquent (lOTet suiv.), Vz=AT-4-V„ V' = A'T, V>=2AE--VJ, V'»=!2A'H,

pour calculer toutes les circonstances de deux mouvements uniformément accélérés dont il s'agit, pendant la durée entière de la descente du poids P' de la hauteur H ou H', d'où Ton déduira aisément ensuite, celles qui se rapportent au choc subséquent de ce poids et du traîneau (368).

D'ailleurs, ces équations ne tiennent point compte des résistances qui peuvent être inhérentes au mouvement du contrepoids moteur Q; nous avons voulu seulement ici donner une idée de la manière dont on doit avoir égard, en général, au frottement qui se développe pendant la réaction lente ou brusque des corps en mouvement (*).

(') DaDfl an Mémoire intitulé : Formules relatives aux effets du tir sur les différentes parties de V affût. Mémoire imprimé, en 1836, par les ordres de M. le Ministre de la Guerre, et dont une nouvelle édition vient de paraître, M. Poisson a, le premier je crois, offert un exemple, un peu étendu, de la panière dont on doit appliquer le calcul à ces sortes de questions. La méthode de cet illustre géomètre consiste à exprimer, d'après le principe de d'Alembert, les conditions de Téquilibre entre les quantités finies de mouvement, perdues ou gagnées par les différents corps du système, et considérées comme autant de forces do percussion comprenant celles que les frottements détruisent au point où s'opère la réaction mutuelle de ces mêmes corps. J'ai fait voir ensuite, dans la lithographie du Cours de Mécanique de l'École d'application de Metz (édition de 1836), qu'on pouvait arriver aux équations fournies par ce prin> cipe, ainsi qu'à l'expression des pertes de force vivç, qui ne sont données que d'une manière fort indirecte par le principe de Caniot, au moyen de la considération des pressions ou forces motrices variables, développées pendant la

370. Principe concernant les effets du frottement pendant le choc. — Kevenant maintenant à nos premières considérations, nous ferons remarquer que, dans les instants qui précèdent celui où le poids P' vient à être lâché du sommet de sa tige directrice, il pèse sur le traîneau, et y produit un excès de frottement mesuré par /F ; qu'il pèse également, sur ce traîneau, à partir de l'instant où il le choque; qu'enfin il cesse entièrement de peser sur lui pendant sa descente de la hauteur H' de la tige, dont le frottement /'g peut ici être négligé, circonstance d'où il résulte qu'en supposant ce tratneau sollicité par l'effort horizontal et constant Q, qui lui donne (365) un mouvement uniformément accéléré, ce mouvement s'accélérera bien plus rapidement encore pendant la descente dont il s'agit; qu'en un mot, le système aura gagné, par cette seule cause, une quantité de mouvement relative à l'énergie de la pression qu'aurait produite le poids P', et qui sera évidemment mesurée par la quantité /P'T=r/M'^T, T représentant ici la durée entière de la chute W! . Mais ^T est précisément égal (117) à la vitesse V, acquise librement, par M', au bas de cette chute; donc la quantité de mouvement /P'T est aussi égale à celle /M' V, qui est ensuite détruite pendant le choc (367), et, par conséquent, à la fin de ce choc, la vitesse du traîneau se retrouvera être précisément la même que si le poids P' n'eût pas quitté le sommet de la tige, où il était primitivement soutenu.

Au surplus, quelles que soient la vitesse horizontale et la vitesse verticale acquises par le traîneau et par le poids P', à la fin de la chute de celui-ci, la quantité de mouvement qui, en vertu du frottement, sera détruite, dans le sens horizontal, pendant l'acte du choc, n'en sera pas moins toujours égale à celle qui aura été reçue par le système, en raison de la dimi-

durée même du choc des corps, et j'en avais immédiatement offert une série d'applications aux chocs des marteaux, des pilons et des systèmes de rouages qui entrent dans la composition des machines. Depuis lors, MM. Cauchy, Navier, Coriolis et Duhamel, dans des Ouvrages ou Mémoires bien connus et justement appréciés, sont revenus, à leur tour, sur ces questions, par une marche analytique qui leur est propre, mais qui n'ajoute rien, ce me semble, du moins quant au fond, aux résultats que j'avais moi-même obtenus par des considérations d'une autre espèce.

562 ■fiCAHIQUB IKDUSTRIILLE.

nution de pression survenue pendant la descente de P; car les raisonnements, établis (368) pour le cas où il n'y a pas de frottement exercé le long de la tige directrice, demeurent exar-tement applicables, par exemple, à celui (369) où il en existe; de sorte que, malgré ce frottement, la vitesse du traîneau, après les inslants qui succèdent au choc, n'en sera pas moins précisément telle qu'elle eût été si le poids P fût demeuré au sommet de la tige.

371. Vérification de ce principe par V expérience^ ei ré* flexions générales à ce sujet. — Une expérience dans laquelle se trouveraient vériGées, à posteriori^ les conséquences auxquelles on vient de parvenir en dernier lieu, serait très-propre à prouver que le frottement suit, pendant le choc des corps, les mêmes lois de proportionnalité à la pression et d'indépendance de la vitesse, que dans le cas des pressions et des mouvements ordinaires. Or tel est, en effet, à très-peu près, la manière dont M. Morin a procédé et raisonné dans les expériences déjà cilées au n"" 3tô; seulement le poids P\ au lieu d'être contraint de suivre, dans sa descente de la hauteur H', la tige verticale dont il a été parlé, tombait librement de cette hauteur, à laquelle il était primitivement soutenu. Hais, comme la vitesse horizontale dont il était animé aux instants qui précédaient sa chute, lui était commune avec le traîneau; comme nulle autre cause, si ce n'est la résistance insensible de l'air, ne venait modlQer cette vitesse horizontale; comme, enfin, l'accélération de mouvement, que l'effort moteur ou le contre-poids Q, pouvait communiquer au traîneau pendant la durée fort courte de la descente du poids P', se trouvait être, à cause de la petitesse même de ce poids vis-à-vis du sien propre et de celui de Q, une fraction négligeable de la vitesse commune dont il s'agit, il en résulte que les choses se sont, à très-peu près, passées, pendant le choc, comme si le poids P' fût, dans sa chute, demeuré constamment uni au traîneau, ainsi que nous l'avons supposé dans les derniers articles, afin d'éviter l'emploi de principes étrangers à cette première Partie de la Mécanique, et relatifs à la conservation du mouvement horizontal du poids F, pendant sa descente en ligne courbe, de la hauteur H'.

Ce qui se passerait dans te cas d'un tratneau, dont Tintérieur erait occupé par des hommes qui agiraient en vertu de seousses verticales imprimées à leurs corps, ou à des corps trangers qu'ils laisseraient retomber après les avoir élevés ou incés à une certaine hauteur» de telles circonstances» disonsous, offriraient un autre exemple, très-familier, des effets de ompensation qui viennent de nous occuper; car, sans qu'il oit nécessaire de se livrer à un nouvel examen de la question, •n peut, à l'avance, affirmer qu'après chacune des alternatives ['actions ou secousses dont il s'agit, le mouvement du sysème du traîneau et de ce qu'il porte, se retrouvera précisément itre le même que si ces secousses n'eussent pas eu lieu, ou |ue les corps fussent restés dans un état de repos relatif, K)urvu néanmoins que l'on fasse abstraction de la légère ofluence occasionnée par l'accélération ou le retard que pour* •ait recevoir le mouvement du système, pendant ces mêmes secousses ou alternatives d'action.

La vitesse horizontale du traîneau ne faisant ainsi qu'osciller entre ses limites extrêmes, et ce qu! précède pouvant tout lussl bien s'appliquer au frottement sur les essieux des voitures ordinaires, qu'à celui du glissement rectiligne des traîneaux, sur le sol, on est conduit à admettre également que les pertes de travail ou de force vive, occasionnées, par les frottements, dans de pareilles circonstances, seront telles, à trèspeu près, qu'elles eussent été dans l'absence de tous chocs; de sorte que, sous ce point de vue, les ressorts de suspension, qui permettent à la charge des oscillations verticales ou alternatives d'action, semblables à celles dont il vient d'être parlé, ne sembleraient offrir aucun avantage particulier sous le rapport de la diminution du tirage. Mais on doit considérer : i"* qu'ici les secousses proviennent de causes étrangères à cette charge, et notamment des obstacles solides dont les routes sont presque toujours parsemées; a? que nos raisonnements, dans les précédents articles, supposent que les pressions, développées pendant le choc, ne soient ni assez vives ni assez intenses, pour que la loi de proportionnalité du frottement à ces pressions cesse d'être observée, ou pour que la constitution des surfaces en contact soit altérée d'une manière notable. Les avantages bien constatés de la suspension des voitures

sur ressorts, dans le cas de cahois sur des routes mal pavées raccroissemenl progressif de la résistance moyenne avec 1 vitesse du mouvement qui s'observe alors (213 ), prouvent asse que les effets de ces chocs et les circonstances de ce mou vemeni, sont complètement modiflés, comme le sont elles mêmes les lois du frottement sous de grandes vitesses e pressions.