Loi de celte dilatation et de cette contraction, chan

gement de volume subi par les prismes. — En adoptant ces hypothèses, et en ne considérant d'ailleurs que les effets qui se rapportent aux premiers déplacements des molécules, les géomètres de notre époque sont parvenus à découvrir, à l'aide de savants calculs, la loi qui lie les allongements des prismes élastiques aux contractions ou distensions de leurs sections

transversales. Nommant toujours i=^j l'allongement propor-

MU

tionnel ou pour l'unité de longueur du prisme, et a la quantité dont l'aire A, des sections transversales de ce prisme, se trouve en même temps diminuée, on a, d'après ces calculs,

dans toute l'étendue pour laquelle les allongements demeurent exactement proportionnels aux efforts de traction; c'està-dire que la contraction superficielle des tranches par unité d'aire des sections transversales est précisément la moitié de l'allongement par unité linéaire.

Or il résulte aussi de ce principe, que le volume du prismeaugmente, encore bien que ses sections diminuent, et augmente

DBS RfiSISTANCBS. 807

d*une fraction qui est sensiblement la moitié de celle /, qui correspond à l'allongement. En effet, le volume du prisme avait d'abord pour mesure le produit AL, et il est ensuite devenu

{A — a){L-h l) = XL-h Al— aL— al,

quantité dans laquelle on peut négliger le produit a/ vis-à-vis* des autres, puisque a et / sont censés extrémemeni petits par rapport à A et à L. L'accroissement absolu de ce volume est donc sensiblement égal à Al— aL, ce qui donne pour son accroissement proportionnel :

Al — «L / a / I.

ÂL "" L~ A "^n; — !''

attendu que ~ = — r-, d'après ce qui précède.

A. ^ Lj

Ces résultats, déduits d'abord du calcul par M. Poisson, ont été vérifiés ensuite, par M. Cagniard de Latour, sur des fils de fer soumis directement à la traction, toujours dans les limites où leur élasticité n'est pas altérée d'aune manière sensible (*).

25^2. Mesure de la contraction et de la dilatation cubiques. — Les géomètres ont aussi considéré le cas d'un prisme so-

(*) Cette question, qui est fondamentale dans la théorie mathcniaAque de l'élasticité, a été étudiée éipérimenlaleroent par Werthcim, par M. Kirchhofl* et rccemment par M. Cornu. Wertheiro, en opérant sur des tubes en laiton et en cristal, a trouré que le coefficient de contraction de la section est égal aux | da coefficient d'allongement longitudinal ; d'où il résulte que l'accroissement de Tunité de volume est j-, et non |, de rallongement par unité de longueur; ce rapport parait du reste, d'après les expériences antérieures, devoir varier d'une substance à une autre.

M. Cornu {Comptes rendus des séances de l'académie des Sciences, 2 août 1869) conteste l'exactitude des résultats trouvés par Wertheim ; il conclut, d'après des expériences très-remarquables basées sur le phénomène des anneaux colorés de Newton, que, comme l'avait établi Na^icr, en créant la théorie de l'élasticité sur des bases imparfaites, comme l'a démontre depuis M. do Saint- Venant d'une manière rigoureuse, le rapport entre le coefficient de contraction transversale d'un prisme et son coefficient d'allongement longitudinal, sous l'influence d'une traction, est le même pour les corps vraiment isotropes, et tp»e sa valeur est représentée par le nombre |; ce réfultat est d'accord a%-cc cens qui sont donnés dans le texte. Les expériences publiées jusqu'ici par M. Cornu portent exclusivement sur le verre, qui est la seule substance irotrope dont on puisse vérifier rhomogénéité. (K.)

3o8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

lide pressé à la fois et perpendiculairement à toutes ses faces, par des forces proportionnelles à l'étendue de chacun de leurs éléments superticiels, à peu près comme il le sérail (Uei suivants) par un liquide qui l'envelopperait de toutes parts, et qui supporterait lui-même une pression extérieure consianle. < Dans ce cas, la diminution de la hauteur du prisme est la moitié seulement de la contraction qu'éprouverait cette même hauleurpourle cas qui précède, c est-à-dire précisément égale à la contraction linéaife, relative à une pression moindre de moitié, agissant aux deux extrémités du prisme seulement. Or, comme un prisme, pr^sé également sur toutes ses faces, se contracte d'une manière proportionnel!» dans tous les sens, on en conclut immédiatement ( * ) que la contraction de volume correspondante, ou ce qu'on nomme la contraction cubique du prisme, est, à très-peu près, les { de la fraction i qui exprime, dans le cas précédent, la contraction ou la dilatation linéaire subie par ce même prisme (**).

Ce principe qui s'applique à un corps déforme quelconque, attendu que tous les éléments cubiques de ce corps, pressés également en tous sens, éprouvent encore des diminutions de volume proportionnelles, ce principe fournit également le moyen de calculer la compression subie par les enveloppes solides : par exemple, les vases creux, soumis en tous leurs pointa extérieurs ou intérieurs, à une pression constante; car la réduction s'opérant proportionnellement dans toutes les parties, comme si le vide était rempli de la matière propre de l'enveloppe, ou comme si cette enveloppe appartenait à une masse continue et compacte, il est clair qu'on obtiendra, dans

C^) En effet, nommant L, M et N les trois dimensions du prisme dont il s'agit, il résulte, du principe énoncé, que ces dimensions se trouveront réduites respectivement à

L—;/L = L(i -;/•), M — iiM = M(i — -;i), N — i-/N = N(i- ;i);

cc'qui donne, pour le volume contracté du prisme, en négligeant ici encore les termes qui contiennent le carré et le cube de la fraction très-petite r,

LMN ( I — ; I )" = LMN - I * LMN,

et, par conséquent, pour la contraction totale ou cubique, -' /LMN.

(**) Wertheim, en introduisant le résultat de ses expériences dans les équations de Cauchy, a trouvé que le coeflicient de compressibilité cubique («t égal au coefiicieat de compressibilité linéaire. (K.)

DES EÉSISTANCBS. 809

ce cas, la contraction cubique de Tenveloppe, en retranchant, de la contraction cubique de son volume entier, celle qui appartiendrait à son vide intérieur.

On ne doit pas confondre, au surplus, la dilatation et la contraction cubiques dont il s'agit et qui sont occasionnées par des pressions véritables, avec celles que prennent les corps sous l'influence d'un changement de température; car, encore bien que celle-ci suive les mêmes lois, cependant sa mesure a une valeur très-diiférente, et qui est évidemment double de la précédente, c'est-à-dire trois fois la dilatation ou la contraction thermométrique linéaire, de la même substance, puisque cette dernière indique bien l'accroissemehl ou la diminution proportionnelle que subissent les dimensions linéaires de chacun des éléments de volume, infiniment petits, dont se compose le corps entier.

243. Influence de la pression extérieure el de la gravité sur la constitution des prismes. — H résulte du principe exposé en dernier lieu, qu'on sera en état de calculer la contraction ou la dilatation cubique dune substance donnée, quand on connaîtra sa dilatation linéaire, son allongement proportionnel sous un effort correspondant à la pression superflcielle qu'il supporte, et réciproquement; or cela est utile dans plusieurs circonstances de la pratique.

C'est ainsi, par exemple, que MM. Colladon et Sturm, dans leur Mémoire sur la compressibitité des liquides, qui a été couronné, en 1827, par TAcadémie des Sciences de Paris, ont trouvé, d'après des expériences directes sur rallongement des tiges de verre tirées dans le sens de leur axe (*), que la contraction cubique ou la diminution de volume de cette substance, est les 0,000001 65 ou ,,i,, environ (**), du volume primitif, pour chaque atmosphère de pression équivalente à i^So33 par centimètre carré de surface, etc.

On voit aussi que ce même principe permettra de tenir compte, dans certains cas, de l'influence de la pression atmosphérique, qui, en agissant à la surface extérieure de tous les %__ \

(*) ^'ojez le résultat de cette expérience au 11® 267 ci -après.

r**) D'après le» expériences de Werlhoiin, il faudrait prendre les -• de ce ehiffré, ce qui donnerait o,oonooi 1 au lieu de 0,000 001 03. (K.)

3lO MÉCANIQUE INDUSTBIELLE.

corps, tend à diminuer leur volume tout en augmentant leur force élastique. Mais on peut négliger entièrement celle influence pour des corps solides tels que ceux qui sont ordinairement employés dans les arts, et il nous suffit ici de remarquer que Teifet de la pression dont il s*agit se réduit à

augmenter la force élastique E = —n relative (236) à l'uniié

de section d'un prisme, tiré dans le sens de ses arêtes par une force P, d'une quantité égale à la moitié seulement de celte pression atmosphérique sur la même unité.

Quant à l'influence du poids propre de chacune des parties ou tranches d'un prisme vertical soumis à l'efl'et d'une charge qui comprime ou distend ses Obres, elle peut évidemment être représentée, pour les premiers accourcissements ou allongements, par celle d'une surcharge égale à la moitié du poids total du prisme (*); ce qui la rend pareillement négligeable dans presque tous les cas d'application.

244. De la résistance des prismes à la rupture ou de leur force absolue de ténacité. — On désigiie spécialement ainsi, le plus grand des eff'orls (240) que peut supporter, sans se rompre ou s'écraser compléiement, un prisme solide ou comprimé dans le sens de ses arêtes, et l'on admet encore ici que ce plus grand efi'ort demeure proportionnel au nombre des molécules contenues dans chacune des sections transversales du prisme, ou, ce qui revient au même, à l'aire de ces sections, sans avoir aucunement égard aux allongements et aux autres changements de forme qu'il a pu éprouver avant l'instant de la rupture.

Nommant toujours A celte aire considérée pour l'état d'équilibre naturel ou primitif du solide, et R la résistance sur l'unité de surface, on aura, pour calculer la charge, ou force P, capable de rompre le prisme, soit en l'écrasant, soit en le déchirant ou l'allongeant,