DES MILIEUX
372. Notions préliminaires. — On appelle spécialement milieu, un assemblage plus ou moins étendu de molécules contiguês ou sans autres vides que. les pores (12 et 27), et qui néanmoins est susceptible d'être traversé, pénétré dans tous les sens, par des corps plus ou moins durs, obligeant ainsi les molécules de ce milieu à leur faire place, le long de la route qu'ils parcourent. Les liquides et les gaz considérés sous de grandes masses, telles que celles de notre atmosphère» de la mer, des lacs et des grandes rivières, sont ce qu'on nomme des milieux indéfinis relativement aux ballons, aux vaisseaux et aux bateaux qui les parcourent; mais on considère aussi comme indéfini tout milieu dont les dimensions absolues sont assez grandes, par rapport à celles du mobile, pour que ses molécules n'éprouvent à se déplacer, ni plus ni moins de résistance que si sa masse offrait effectivement une étendue illimitée.
L'extrême mobilité dont jouissent les molécules des liquides et des gaz, les a aussi fait appeler des fluides parfaits, par opposition aux milieux consistants, de la nature des sables et des terres, auxquels on donne quelquefois la dénomination de fluides imparfaits ou de demi*fluides; mais^ en général, nous réserverons le nom de fluides .pour les liquidés et les gs3& proprements dits, tels que l'air et l'eau.
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Enfln ces différents milieux sonl souvent nommés milieux résistants^ pour les distinguer des fluides ou milieux impon- -dérés, tels que Télectricité, la chaleur» la lumière ou plus spécialement encore Véther, fluide éminemment élastique et subtil, qu'on suppose remplir loutTespace, et jusqu'aux pores qui séparent les derniers atomes des corps» mais dont l'existence, bien que démontrée par certains faits, n'offre pas jus* qu'ici, sous le rapport de la matérialité, tous les caractères ordinairement atlribués aux fluides même les plus rares. Et, pour le dire en passant, c'est aux vibrations d'un tel fluide que l'on attribue, assez généralement de nos jours, la perception de la lumière, comme nous avons vu (19) qu'on attribuait celle des sons aux vibrations de l'air atmosphérique, etc. A la vérité, on ne conçoit guère de milieu sans inertie, sans résistance absolue^ mais les calculs des astronomes et des géomètres de notre époque, appliqués au mouvement «des comètes, ne permettent pas encore de décider si le fluide éthéré, dont l'étude appartient à la Physique proprement tiite, est lui-même soumis à la loi générale.
Quoique les résultats de certaines expériences semblent établir qu'il y a lieu, dans quelques cas, de distinguer la résistance opposée, par les milieux en repos, aux corps en mouvement, de l'effort que supporteraient ceux-ci dans des circonstances d'ailleurs semblables, si, étant au repos, ils venaient, au contraire, à recevoir l'action d'un milieu en mouvement, cependant on comprend généralement, sous le «om de résistance^ l'un et l'autre de ces effets, et l'on est d'autant plus fondé à en agir ainsi, que ces deux modes d'action ^e confondent quand le milieu et les corps sont tous deux animés d'un mouvement absolu ou relatif.
373. Recherches théoriques et expérimentales relatives à la résistance des milieux. — La question de la résistance que les fluides opposent aux mouvements des corps solides, surtout <!elle qui concerne l'influence de la forme de ces derniers, offre de très-grandes difflcultés sous le point de vue mathématique, et elle n'en offre guère moins sous celui des expériences, a cause de la complication du phénomène. Newton, auquel on doit, aprè» Galilée (116), les premières expériences précises
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sur la résistance des fluides, en donna aussi le premier (^) deux théories dont la moins imparfaite suppose le corps directement choqué par chacune des molécules du milieu qur se trouvent sur sa route. Daniel Bernoulli {**) ei, après lui, L. £uler {***), introduisirent la considération du mouvement ^zv filets^ sur.le pourtour antérieur du corps; mais, quoique cette théorie rendît mieux compte de certains faits de Texpé* rience, relatifs au choc des veines fluides isolées, cependani elle n*a point été admise dans les Écoles, où Ton continua à enseigner celle de Newton, sans doute à cause de sa simplicité; car les expériences multipliées de Robins, de Borda, de Bossut, de Hutton, et surtout celles de notre célèbre Dubual, en avaient suffisamment démontré l'imperfection. On peutlirCr dans la nouvelle édition du premier volume de VJrchitecture hydraulique de Bélidor, un lumineux article sur la résistance des fluides, par M. Navier, article dans lequel ce savant donne un exposé de la théorie d'Euler et des idées que Dubuat s'était formées, à priori, sur la 'question, d*après le résultat de ses propres expériences (Principes d'hydraulique, t. II).
Au fait, cette théorie d'Euler critiquée par un géomètre tel quQd'Alembert, est bien peu satisfaisante dans ses applications, et le moindre de ses défauts, c'est de supposer connues la forme des filets fluides et la vitesse à l'instant où les molécules quittent la face antérieure du corps; car on y néglige, pour ainsi dire entièrement, la considération de ce qui se passe sur les faces latérales et la face postérieure du corps, dont les belles expériences de Dubuat ont suffisamment constaté l'influence dans certains cas.
Les données fournies par ces expériences et les vues émises à leur sujet, par Dubuat, étaient d'ailleurs bien loin de satisfaire à toutes les exigences de la question ; et c'est ce qui porta l'Académie des Sciences de Paris à la proposer pour sujet du grand prix de Mathématiques, à décerner en 1828; mais, tout
(*) Principes mathématiques de la philosophie naturelle, t. I, liv. 3.
(**) Commentaires de V Académie de Saint-Pétersbourg^ t. VIII, année 1736.
(***) Nouveaux principes d'artillerie de B. Robins, avec des remarques de Léonard Euler, 1/45» traduit de Tallemand par Lombard, 1783, p. 3o6 et m*'' Tantea.
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en accordant, à celte époque, une mention honorable au Mémoire de M. le colonel d'artillerie Duchemin, elle jugea qu'il n'y avait pas lieu à décerner le prix, et la question fut maintenue du concours jusque dans ces dernières années, où les expériences sur les bateaux rapides de l'Angleterre ont de nouveau et plus vivement encore appelé l'atlention de l'Académie et des ingénieurs sur l'imperfection des anciennes théories de la résistance des fluides. Les Mémoires présentés en i836 et i838, par MM. Duchemin, Russel, Piobert, Morin et Didion, sont venus augmenter le nombre des données expérimentales déjà possédées sur cette épineuse matière {*). Pour nous, fidèle à la marche élémentaire suivie dans la première édition de cet Ouvrage, et en nous appuyant uniquement sur la considération du travail et des forces vives, qui s'applique à un assemblage quelconque de molécules soumises à des forces d'attraction et de répulsion mutuelles, nous nous efforcerons de rendre un compte exact des principaux faits ou résultats de l'expérience, ainsi que des notions systématiques qui les coordonnent.
37<h. /Votions physiques sur les phénomènes qui accompagnent la résistance des fluides. — Quand un corps solide se meut dans un milieu indéfini, parallèlement à lui-même, saiis tourner et avec une vitesse constante (^8 et 52), il éprouve de la part des molécules de ce milieu et dans le sens même de son mouvement, une pression, une résistance mesurable à chaque instant, en kilogrammes, et qui varie, comme on l'a déjà dit à l'occasion de l'air (113), suivant la*forme, les dimensions et la vitesse du corps; cette résistance ou réaction ne peut évidemment provenir que de deux causes distinctes : i® du mouvement imprimé, en commun, aux molécules du milieu, c'est-à-dire de l'inertie; tP de leurs déplacements relatifs, de
C* ) La Coromiftsion chargée de l'examen des pièces adressées au concours, a décidé qu'il n'y avait pat lieu à décerner le prix, mais que les recherches de MM. Piobert, Morin et Didion méritaient, à cause de leur utilité pratique, que la somme affectée au prix leur fût accordée à titre d'encouragement ; en même temps, elle a mentionné honorablement le travail de M. Duchemin, à cause des nouvelles expériences et des faits nombreux qu'il renferme sur les questions indiquées au programme.
568 MfiCàNIQUB INDUSTRIELLE.
leur séparation mutuelle, qui mettent en jeu les forces de cohésion et d'adhérence. Mais, pour bien apprécier l'influence de ces causes et les lois du phénomène, il est nécessaire de se former, d'après l'expérience, des idées plus nettes sur les circonstances physiques qui l'accompagnent.
Supposons qu'un corps (A) (Pi. lll/jig.Si), de forme quelconque, entièrementplongédans un fluide indéfini, se meuve uniformément, de A vers B, avec une certaine vitesse V, et de manière, parexemple, à décrire constamment (tô) le chemin e = V X / dans chacun des éléments égaux t, du temps; il esl évident que ce corps poussera devant lui, directement ou indirectement, un certain nombre de molécules fluides, et les forcera à se dévier, à s'éloigner de part et d'autre de sa face antérieure, avec une certaine vitesse qui croîtra avec V, et avec les dimensions transversales du corps. Les molécules ainsi placées sur la route de ce corps, suivront elles-mêmes certaines routes distinctes de la sienne, et dans lesquelles elles seront remplacées successivement par les molécules situées à la place qu'elles avaient primitivement occupée» en avant ou sur les côtés du corps. Ces routes forment autant dejilets, de sortes de tuyaux contigus les uns aux autres, et dont la représentation fictive sur les^g*. Si et 53, est très-propre à donner une idée du phénomène dans le cas des faibles vitesses : la première, comme l'indique la flèche placée dans l'intérieur même du corps, se rapportant au mouvement uniforme de celui-ci dans un fluide supposé en repos, et la seconde comme l'indiquent pareillement les flèches extérieures, étant relative au cas d'un fluide en mouvement, agissant contre un corps supposé au repos.
On voit que, dans la première circonstance (P/.///,yîgr. 52), les filets qui, à partir d'une petite distance de la face antérieure du corps, sont d'abord perpendiculaires à l'axe AB, de son mouvement, s'infléchissent ensuite, de manière à devenir pa« rallèles à ses faces latérales, puis se courbent de nouveau pour se rapprocher de leur première direction, mais qu'étant parvenus vers l'arrière de ce corps, ils s'y infléchissent de plus en plus, perpendiculairement et circulàirement, pour venir remplir continuellement l'espace vide qui tend à s'y former, et d'où résulte, sur la route suivie par le corps, un courant
BIS EÊSISTANCES. 669
qui raccompagne, et qif on nomme proprement le sillage de ce corps.
Dans le cas de la^?^. 53, PL III, les mêmes choses ont lieu, avec cette différence que les filets, après s'être infléchis en arrîère du corps, reprennent bientôt la marche parallèle qu'ils possédaient en avant, et laissent Immédiatement contre sa face postérieure un espace occupé par une masse fluide en apparence immobile, mais qui, au fond, est douée de mouvements concentriques ou circulaires indiqués sur la figure et nommés remous ou tourbillons.
Ceci arrive principalement, comme on Ta dit, pour les petites vitesses du fluide ou du corps. Mais, quand le mouvement est très-rapide, quand la vitesse surpasse i ou 2 mètres par seconde, le fluide vient former en arrière de ce corps, par suite de l'excès de force vive qu'il y possède, une série de tourbillons marchant par couples, comme on le voit^g. 54 et 55, PL III y et qui se succédant les uns aux autres dans des directions alternatives et contraires, finissent bientôt par s'écarter de la route du corps, en s'étendant et se disséminant dans toute la masse fluide.
Enfin on peut remarquer qu'il se forme aussi parfois, latéralement au corps et dans le cas où celui-ci offre une certaine longueur dans le sens du mouvement, d'autres petits tour-* billons ou remous m et m', qui restent comme fixés à ce corps, et remplissent l'espace dont le fluide tend à se détacher en vertu de la vitesse qu*îl a acquise transversalement, et dont il se détache en effet, dans certaines circonstances favorables, comme celles, par exemple, que présente le mouvement de l'eau aux abords des piles de ponts, dans le temps des grandes crues, époque à laquelle la formation des tourbillons est rendue manifeste ainsi que beaucoup d'autres phénomènes, sur lesquels nous reviendrons par la suite, et qui accompagnent, en général, le mouvement des corps flottants à la surface de l'eau, ou en partie plongés. Il nous suffira ici de faire observer que les circonstances offertes par le fluide aux points m et m%, sont absolument semblables à celles qui accompagnent le phénomène de la contraction éprouvée, par les veines, aux débouchés des réservoirs, dans les canaux et tuyaux de conduite.
570 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.
D*ailleurs les apparences générale^ offertes par la marche des filets, sont à peu près les mêmes dans les deux cas distincts où c'est le corps {PL III ^Jig. 54) ou le fluide {fig- 55) qui se meut, Tautre demeurant en repos ; seulement les tourbillons qui, pour le premier, tendent à être entraînés dans la roule du corps, dans son sillage d'arrière, le sont, pour le second, dans le ipouvement général même du courant.
Enfin on observera que si le corps se trouve entièrement plongé dansle milieu, les tourbillons se forment non-seulement dans le sens latéral, mais aussi en dessus et en dessous, et qu'en particulier, s'il s'agit de corps flottants, tels qu'un bateau, par exemple, les tourbillons qui surgissent du fond, et dont l'action n'est plus contre-balancée par ceux de la partie supérieure, viennent s'épanouir à la surface du liquide, à une certaine distance du corps, en y donnant lieu au phénomène connu sous le nom de bouillons, et dont l'apparence est trèsdistincte de celle qu'offrent les tourbillons à mouvements horizontaux.
375. Remarques sur la formation des tourbillons et la ma' nière dont la force vive s'éteint dafi^ les fluides, — Ces phénomènes bien connus, et que nous avons eu l'occasiott d'observer en 1828 et 1829, dans des circonstances favorables, relatives aux corps en partie plongés dans l'eau, sont, comme on voit, beaucoup plus compliqués qu'on ne se l'imagine ordinairement, et ils laissent peu d'espoir de voir la question de la résistance des fluides soumise à une analyse mathématique rigoureuse. Néanmoins celte extrême complication n'empêche nullement que le mouvement des tourbillons et leur production successive ne soient assujettis à des lois régulières, consistant principalement dans la périodicité de celle production, et dans l'accord des mouvements de circulation duol sont animées leurs molécules, accord tel, qu'ils ne font, pour ainsi dire, que rouler les uns sur les autres sans se nuire réciproquement. On peut croire que l'étude de ces singuliers phénomènes n'a pas été étrangère aux anciens, et l'on sait qu'elle a particulièrement occupé le célèbre peintre Léonard de Vinci, dans un Ouvrage physico-mathématique du xv* siècle, dû à un esprit observateur et philosophique. Il est bon de
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rappeler aussi que Descartes et ses disciples avaient mis eo honneur l^élude des lois des tourbillons, et que le grand Newton, lui-même, n'a pas dédaigné de s'occuper de quelquesunes de leurs propriétés dans le liv. II, sect. 9, de ses Pri/icipes mathématiques de la Philosophie naturelle, auquel nous renvoyons {*). Enfin M. F. Savart les a pareillement observés et rendus manifestes dans des circonstances où ils étaient excités par des vibrations transversales imprimées à des pla* ques en partie plongées dans ia masse d'un liquide.
En général, la production des tourbillons est l'un des moyens dont la nature se sert pour éteindre, ou plutôt, dissimuler la force vive dans les changements brusques de mouvement des fluides, comme les mouvements vibratoires eiix-mèmes (315) sont une autre cause de sa dissipation, de sa dissémination dans les solides. Pour bien concevoir comment la formation des tourbillons devient^ dans les fluides, une source de perte de force vive qui, dans les circonstances ordinaires, cesse de pouvoir être utilisée comme force motrice, on doit considérer, d'une part, qu'une fois produits, ils se propagent, s'étendent, de plus en plus, en vertu de leur réaction ou frottement réciproque et de celui qu'ils exercent sur les masses environnantes, auxquelles ils communiquent, ainsi qu'on le verra bientôt, une portion plus ou moins grande de leur mouvement giratoire; d'une autre part, que, si le milieu est animé d'un mouvement de transport général, les tourbillons sont comme autant de corps étrangers qui, tout en participant à ce mouvement, tourneraient cependant sur eux-mêmes avec une vitesse indépendante de celle du courant, et incapable d'en augmenter l'intensité d'action sur les corps étrangers. Car, si une certaine portion de la masse d'un tourbillon se meut dans le sens du mouvement général, une autre portion de cette masse, symétrique à la première, se meut précisément en sens contraire, et doit être considérée comme détruisant ou balançant ses
(*) D'après les obsenratioDS de Léonard de VÎDci et les considérations théoriques de Newton, la vitesse des différentes couches des tourbillons croit , à mesure qu'on se rapproche du centre, inversement à la longueur du rayon correspondant : dans une roue, nu contraire, les vitesses croissent proportionnellement à la distance au centre.
effets (*). Si donc il s'agissait d'évaluer, comme on l'a fait, par exemple, au n** 149, la puissance motrice dont serait animé un courant d'eau ainsi constitué, il conviendrait de faire abstraction de tous ces mouvements giratoires, et de ne tenir compte que de la vitesse de transport général qui leur est commune avec la masse entière du courant.
Ces mêmes phénomènes offrent d'ailleurs une image exacte de ce qui se passe dans nos rivières et nos fleuves, qui transportent avec eux, jusque dans la mer, les tourbillons et mouvements désordonnés quelconques, produits parles différents obstacles dont leurs cours sont tous plus ou moins hérissés. En particulier, ils sont un des moyens que la nature emploie pour modérer la vitesse générale des courants au passage des chutes d'eau naturelles ou artificielles, comme celles des cataractes et des écluses de navigation. Enfin l'observation attentive des faits autorise suffisamment à croire qu'indépendamment de ces mouvements giratoires communs à toute une portion de la masse fluide, il s'en produit aussi de secondaires ou de moins apparents, qui embrassent un groupe plus ou moins grand de molécules, et qui se distribuent dans les inte^ valles des précédents, suivant la loi d'harmonie indiquée. Hais on peut aller au delà et admettre sans trop s'aventurer, que de pareils- mouvements de rotation ou d'oscillation imprimés aux molécules individuelles ou aux derniers groupes de molécules sont, après l'adhérence et la cohésion sur lesquelles nous reviendrons bientôt, l'une des causes les plus puissantes de la déperdition du mouvement dans les fluides (**), et nolam-
(*) ^<îr<?« à la fin de ce volume, V Addition relative à une théorie de !• résistance des fluides, fondée sur le principe des forces vives.
(**) Pour se former une idée de la vivacité et de la complication «xtrèin« des mouvements dont les molécules des fluides peuvent être le siège, U d y * qu'à interposer entre l'œil armé d'une loupe et la flamme d'une bougie ou d ao quinquet, une plaque de verre transparente et bien nettoyée, sur laquelw *« trouve étendue une couche mince de sirop d'orgeat délayé, à la manière oroi* naire, dans une eau bien pure, on sera surpris de la biiarrerie des mouvemeoti présentés par les particules étrangères, mouvements qui se rapportent, t^ surplus, à la classe nombreuse de ceux que les naturalistes désignent sous nom de browniens, et qu'ils attribuent à une sorte de vitalité des dernière* particules organiques.
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ment de la résistance que leurs filets éprouvent à glisser les uns sur les autres ou sur la surface des corps solides.
376. De la communication latérale du mouvement dans les /laides, — Ce phénomène dont nous venons de dire un mot à l'occasion de la dissémination et de l'extinction des mouvements giratoires, a été l'objet d'une étude spéciale de la part de Venturi, célèbre physicien italien (*), et de M, A. Lechevalier (**). Il se produit, en général, lorsqu'une portion plus ou moins grande d'une masse fluide se trouve animée d'un mouvement commun, parallèle, rectiligne ou circulaire, différent de celui du milieu ambiant. L'expérience démontre, par exemple, que, pour le cas d'un plan mince dirigé dans le sens de son propre mouvement, au milieu d'une masse fluide indéfinie et en repos, ou d'une veine isolée se mouvant par filets parallèles dans une pareille masse constituée ou non des mêmes molécules, l'entraînement latéral a lieu (Mémoire cité de M. Lechevalier) suivant des routes convergeant vers la surface du plan ou de la veine, ainsi que l'indique la Jig. 56, PL III y tandis que, dans le cas où celte même veine se trouve resserrée entre les parois d'un canal ou tuyau solide, les filets dont elle se compose cheminent à peu près parallèlement entre eux, en s'influençant réciproquement, de manière que la vitesse décroît progressivement en allant du centre à la surface des parois.
L'action latérale, en vertu de laquelle cet entraînement s'opère, de proche en proche, de couches en couches ou de filets en filets, ne suppose pas essentiellement l'intervention de forces analogues à celle que les physiciens nomment la viscosité des fluides, et dont ils attribuent l'existence (Note de la page 272) à une sorte de polarité conservée par les molécules; car cet entraînement a lieu, avec la même énergie, pour les gaz, où rien n'autorise à admettre l'influence de telles forces. Pour s'en rendre compte, sans recourir d'ailleurs à l'hypothèse du contact immédiat des molécules, il suffit de supposer au- milieu une constitution élastique, une stabilité
(•) Recherchet expérimentales sur le principe de la cotninnni cation latérale du mouvement dans les fluides; Paris, 1797.
(**) Mémoire sur le mouvement des fluides; Metz, i8a8.
d'équilibre dans Tétat naturel ou de repos, telles (222) qu'une molécule ne puisse s-approcher ou s'écarter de ses voisines, sans qu'il naisse aussitôt entre elles l'équivalent d'une ré* pulsion ou augmentation de pression dans le premier cas, et d*une attraction ou diminution de pression dans le second; circonstance qui a lieu en effet, même pour les gaz permanents, en vertu de la chaleur et des pressions extérieures qui, transmises du dehors au dedans, s'opposent à leur écartement mutuel, et jouent ainsi le rôle d'une véritable force attractive, dont les effets s'ajoutent, dans tous les cas, à celui de l'attraction proprement dite des molécules.
Il paraît évident, en effet, d'après ces hypothèses, que si (a), par exemple, est l'une quelconque des molécules d'une certaine couche fluide, (b) et {c) deux molécules voisines de la couche suivante, situées l'une en arrière, l'aulre en avant de la molécule ( a), celle-ci ne peut se déplacer, d'un mouvement relatif, dans le sens de la couche dont elle fait partie, sans tendre à se rapprocher de (b) et à s'écarter de (c), c'est-à-dire sans repousser (6)elattirer (c), actions qui, toutes deux, conspirent également à entraîner ces dernières molécules dans la direction du mouvement de (a), et dont les effets, sous ce rapport, peuvent être d'ailleurs en partie neutralisés parla liberté que conservent les molécules (6)et(c), mais surtout celle des deux qui est en avant, de pivoter légèrement autour de («), et de dévier aussi latéralement de la route parallèle qu'elle serait, sans cela, forcée de suivre.
On voit aussi, parla, que la communication latérale du mouvement ne peut avoir lieu dans les fluides, sans qu'il résulte du déplacement relatif des molécules, un changement de densité, une inégalité quelconque dans la distribution des pressions autour de chaque point. Cette inégalité, qui n'a pas lieu dans l'état de repos et de mouvement parallèle et uniforme' des fluides, est due essentiellement à l'inertie opposée paf leurs molécules à tout changement de mouvement, comme on l'a fait remarquer en plusieurs endroits de cet Ouvrage, et çlle se trouve confirmée par les expériences déjà citées de M. Lechevalier et l'analyse des géomètres (*).
(*) ^oxfz notamment le Mémoire inséré, par M. Poisson, dans lo ao'Cahï^?'
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377. Du rôle particulier qui peut être attribué à la viscosité et à la cohésion dans ces phénomènes. — L'influence de la cohésion dans le cas des liquides tels que Teau et l'huile, ne saurait être* mise en doute d'après l'ensemble des faits déjà connus, et il semble naturel d admettre qu'ici, comme pour les solides, son rôle consiste essentiellement à diminuer la mobilité des molécules par l'obstacle qu'elle apporte à leur rotation, à leurs déplacements ou à leurs séparations réciproques, obstacle d'où résulte inévitablement une perte de travail ou de force vive, qui paraît être sans compensation nécessaire, soit parce que la cohésion, après avoir été détruite ainsi dans les molécules, ne peut renaître qu'au moyen de l'application de nouvelles forces (2^3 )« soit parce que les quantités de travail développées par cette cohésion, dans le déplacement relatif des molécules, sont purement employées, comme dans le cas du frottement des solides, à exciter des mouvements vibratoires particuliers ou relatifs dont la force vive se trouve dissimulée par rapport au mouvement d'entratnement général du système. Ainsi, par exemple, on peut trèsbien comparer l'action d'une molécule en mouvement relatif par rapport à une autre, retenue en vertu de sa liaison avec les voisines, à l'action qui aurait lieu pour deux aimants dont l'un serait suspendu verticalement à un point flxe au moyen d'un fil, tandis que l'autre recevrait un mouvement rectiligne quelconque; la force vive de celui-ci subirait une diminution nécessaire par suite du partage qui s'en opérerait entre les deux corps.
Enfin, il est digne de remarque que la mobilité des fluides et les forces d'attraction qui animent leurs molécules, paraissent dépendre fort peu, du moins entre certaines limites, de leur état de compression naturel, c'est-à-dire des pressions qui auraient lieu en chacun de leurs points, dans l'état d'équilibre ou de repos (38), et qui constituent te qu'on nomme ordinairement la pression statique ou hydrostatique du milieu en ces
du Journal de V École Polytechnique^ ou les n°' 576 et 645 du tome II de son Traité de Mécanique^ i,* édition. M. Cuuchy a été conduit, depuis, aux mêmes conséquences {Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences ^ t. IX, p. 588, a* semestre de 1839}.
578 MÉCANIQUE INDUSTMBLLB.
379. Pression antérieure et postérieure, forme et proportion des filets. — D*après la manière dont nous venons d'envisager le phénomène de la résistance des fluides, on voit que, par exemple, pour les prismes droits {PL Illyfig. 54 et 55) dont Taxe est parallèle à la direction du mouvement, cette résistance doit principalement se composer de la pression totale, de la somme des pressions souffertes par la face antérieure, diminuée de celle des pressions contraires souffertes par la face postérieure; ou, si Ton veut, en négligeant, avec Dubuat, la considération des pressions statiques qui auraient lieu sur ces deux faces, dans Télai de repos, et qui, étant égales, doivent s'entre-détruire, la résistance dont il s'agit est égale à la pression antérieure, augmentée de la non-pression postérieure. D'ailleurs, pour les corps symétriques, tels que les prismes, les sphères, etc., dont les pressions latérales se détruisent réciproquement, et pour une même proue» la pression antérieure est indépendante de la longueur du corps el de la forme de la poupe; mais, au contraire, la non-pression postérieure est susceptible de diminuer à mesure que le corps s'allonge, bien que la forme de cette poupe et de la proue ne change pas; ce que Dubuat attribue à la diminution même éprouvée par la vitesse et la divergence des filets fluides qui circulent autour du corps et latéralement à sa surface.
A l'égard de la forme affectée, en général, "par ces filets, et de l'intensité absolue de la vitesse en chacun de leurs points, Dubuat et les Auteurs des théories citées au commencement de ce Chapitre admettent, d'après quelques-unes des indications de l'expérience : 1* que cette forme reste Invariable pour un corps donné, quand bien même la vitesse relative, uniforme, de ce corps et du fluide vient à changer; a* que la vitesse des molécules fluides, ou chacun des points des filets, conserve toujours un même rapport avec celle dont il vient d'être parlé: 3® enfin que, pour des corps semblables dans toutes les parties, et dirigés semblablement, les dimensions absolues des filets sont seules modifiées, mais non leurs rapports de grandeur et de positions relatives.
Ces hypothèses, que les récentes expériences de M. le colonel Duchemin paraissent confirmer, servent à expliquer plo* sieurs faits généraux de la résistance des fluides, sur lesquels
DBS BÊSISTÀNCES. 679
nous reviendrons bientôt. Il nous a paru utile de les indiquer ici brièvement, quoiqu'elles appartiennent au point de vue compliqué de la question, et que nous soyons bien loin encore de l'époque où il sera permis d'analyser, de démêler ainsi, <]ans chaque cas, les effets qui peuvent être dus séparément à l'influence de la forme et de la position des différentes parliez du corps.
380. Masses qui accompagnent constamment les corps soumis à l'action des fluides. — Il importe à notre objet que nous ne passions pas sous silence un autre fait très-important, observé, en premier lieu, par Dubuat (*), et qui concerne la proue et la poupe fluides dont les corps sont toujours accompagnés, soit qu'ils se meuvent dans un milieu en repos, soit qu'étant, au contraire, immobiles dans ce milieu, ils en reçoivent l'action directe. Ce phénomène est essentiellement produit par la déviation qu'éprouvent les molécules fluides en circulant dans les canaux ou fllets, de forme invariable, qui accompagnent, comme on l'a vu, constamment le corps; ou» ce qui revient absolument au même, il consiste en ce que les molécules du milieu, qui sont contraintes de cheminer dans le sens perpendiculaire à l'axe du mouvement, aussi bien que celles qui tourbillonnent latéralement ou à l'arrière du corps, etc., sont comme en repos par rapport à ce corps, et forment, en quelque sorte, partie de sa propre masse.
Les expériences de Dubuat sur les oscillations des pendules dans l'air et dans l'eau prouvent que le volume de ces proues 'et poupes fluides, ou» ce qui revient au même, le volume des filets déviés et entraînés uniformément dans chaque unité de temps, peut être fort considérable et s'élever au delà de vingt fois le volume du corps, quand celui-ci est un plan mince, frappé perpendiculairement à sa surface. Mais le rapport de ces mêmes volumes, qui est indépendant de la nature et de la densité du fluide ou du corps, est susceptible de varier avec la forme de ce dernier, suivant des lois qui ont été spécialement étudiées par Dubuat, pour le cas des prismes et des cylindres droits mus, parallèlement à leur axe, dans des fluides
(•) Principes d*hyttraulique^ t. II, scct. 1, cbap. 7, et »ect. 2, chap. i,
en repos. Pour de telscorps, le rapport /t, du volume du fluide entratné, à celui du corps, est représenté, très-approximativement, par la formule
» = 0,705 ~ — ho,i3,
L étant la longueur et ^ la racine carrée de Taire des s*eC' tions transversales du prisme; ce qui donne pour le volume absolu du fluide entraîné,
puisque AL est' celui du prisme.
Ainsi, pour L nul ou très-petit, c'est-à dire pour les plans minces, le volume dont il s'agit se trouve mesuré parla quantité o,7o5Av^, indépendante de leur épaisseur ou de la Iongueur des prismes; et, pour L, au contraire très-grand, ou A assez petit pour qu'on puisse négliger la valeur du premier terme de la formule vis-à-vis du second, le volume du fluide entraîné devient sensiblement proportionnel à cette longueur, A restant le même; ce que Dubuat attribue, soit à l'accroissement de la poupe fluide, à la diminution progressive de la convergence des flleis à l'arrière du corps, soit aux effets de l'adhérence et du frottement du fluide le long de ses faces latérales, effets que nous examinerons plus tard.
Les sphères ont été plus spécialement l'objet des expériences répétées de Dubuat, et II a trouvé, soit pour l'air, soit pour l'eau, que le volume du fluide entraîné s'écartait alors fort peu des o,585 ou 0,6 environ de celui de ces sphères. Ce résultat s'accorde, à quelques différences près ressortant de la nature et des dimensions des appareils, avec ceux qui ont été obtenus tout récemment dans des expériences, sur les oscillations du pendule, entreprises par MM. Bessel, Sabine et Bailly ; ce même résultat a été également vérifié par M. Poisson, au moyen d'une savante analyse, qui a été publiée dans le tome XI des Mémoires de l'académie des Sciences de l*Institut. Mais il nous suffit ici d'avoir appelé l'attention du lecteur sur un phénomène en lui-même très-digne d'intérêt, et qui doit exercer une influence nécessaire toutes les fois que
1>E8 BÉ8ISTANGSS. 58 1
la vitesse du corps change, et que, par conséquent, l'inertie de la masse fluide entraînée doit jouer un rôle appréciable.
Au surplus, les résultats qui viennent d'être rapportés, sont uniquement relatifs aux oscillations du pendule, et l'on sent fort bien que les circonstances d'un pareil mouvement sont très-distinctes de celles qui se rapportent au mouvement rectiligne et parallèle des corps; mais, comme Dubuat a eu l'attention de donner aux iiges de ses pendules de très-grandes longueurs, et de ne leur laisser faire qu'une simple oscilla* 4Jon, on doit provisoirement les considérer comme applicables à ce dernier mouvement, avec d'autant plus de motifs que, dans de récentes expériences sur la descente verticale des plans minces et des parachutes dans l'air, dont les résultats seront rapportés plus loin (Mo), H. le capitaine d'artillerie Didion, observateur très-consciencieux, est arrivé à des conséquences analogues à celles de Dubuat, don. memel paraissait ignorer entièrement l'existence
381. Lois de la résistance directe des /laides dans le mouvement uniforme. — L'ensemble des expériences connues apprend que, pour des corps semblables et semblablenient dirigés par rapport au sens du mouvement supposé toujours parallèle, la résistance dont il s'agit demeure sensiblement proportionnelle au carré de la vitesse relative, à la densité du milieu et à l'aire de la projection transversale du corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement; cet ensemble démontre, en outre, que la résistance reste indépendante de la nature du corps et de la pression statique ou naturelle du milieu, qui, en effet, redisons-le (377), ne saurait, entre certaines limites, modifîer par elle-même, d'une manière sensible, la mobilité de ses différentes parties, non plus que le mode de leur action sur le corps. Le petit nombre des restrictions souffertes par ce principe, ressort de la nature même du phénomène et de la manière dont les choses se passent, dans chaque cas, autour du corps; nous aurons soin de les Daire connaître dans le Chapitre suivant, mais, pour le moment, il nous sufflra de faire saisir par le raisonnement, et, en quelque sorte, de justifier par la considération des forces vives, la loi générale de la résistance telle qu'elle vient d'être énoncée.
582 MÊCAlflQUB INDUSTRIELLE.
Nouîj avons vu ci*dessus(379) que le corps (A) [PL Iff,Jig. Str et 53], soit qu'il demeure en repos dans un fluide en mouvement» soit qu'il se meuve lui-même dans un fluide immobile, considéré comme à peu près indéfini, conlraint les molécules de ce milieu à dévier de part et d'autre de sa surface anté* Heure et à affluer vers sa partie postérieure avec des vitesses qui dépendent essentiellement de la vitesse même du mouvement relatif, et doivent, à chaque instant, lui demeurer proportionnelles. Considérant ici spécialement le cas où le milieu résistant est en repos, et où le corps chemine parallèlement et uniformément en décrivant des espaces rectilignes e = V /, dans chacun des instants infiniment petits tau temps, il parait évident qu'à circonstances égales d'ailleurs, la somme des molécules déviées ou entraînées sera d'autant plus grande que le corps occupera lui-même un plus grand espace dans le sens perpendiculaire au mouvement; c'estrà-dire que si l'on projette, par exemplç, ce corps sur un plan CD perpendiculaire à AB, ce qui revient à lui circonscrire un cylindre parallèle à la direction du mouvement, et à couper ce cylindre par le plan CD, la quantité totale des molécules déplacées ou repoussées, pour des surfaces ou corps semblables dans toutes leurs parties, et qui seraient mus de la même manière dans le fluide, croîtra précisément en raison de l'étendue ou de l'aire de la projection dont il s'agit.
Mais elle croîtra aussi comme l'espace ou le chemin e, décrit dans chacun des instants égaux à t; nommant donc Q le volume total, en mètres cubes, de ces molécules entraînées par le corps (A), et A l'aire ou la surface, en mètres carrés, de sa projection sur CD, on conclura, par un raisonnement analogue à celui qui a été mis en usage dans les n""* 71 et 78, que Q croîtra comme Xe, c'est-à-dire deviendra double, triple^ etc., quand Ae sera double, triple, etc., pour le même corps ou pour des corps différents dont la surface serait semblable et semblablement dirigée par rapport au mouvement»
Plus généralement et plus simplement encore, on démontre par les principes de la Géométrie ( * ), que le volume de l'espace
(*) Ce principe est pour ainsi dire évident en lui-même et par la considé^
DBS KftSISTiLNCES. 583
envahi, déplacé en avant du corps, pendant qu'il décrit le chemin e, et par conséquent celui de l'espace qu'il abandonne en arrière, sont, tous deux, équivalents au volume de l'espace cylindrique qui serait décrit par l'aire A, dont il s'agit, si cette aire faisait réellement partie du corps et se transportait parallèlement à elle-même avec lui; ce qui démontre que le nombre, le volume Q, des molécules fluides déplacées en avant du corps ou replacées, entraînées en arrière, est bien proportionnel au produit Ae,
D'un autre côté, le corps (A), en cheminant dans le fluide, imprime aux molécules de Q une vitesse d'autant plus grande que la sienne l'est elle-même davantage : il est clair, par exemple, que, si le corps décrit, dans le même temps élémentaire /, un chemin double ou triple, il faut bien aussi, toutes choses égales d'ailleurs, que les molécules de Q décrivent des chemins doubles ou triples, dans ce temps, pour lui faire place ou pour remplir l'espace en arrière. Conséquemment la vitesse de chacune de ces molécules croit comme V, et leur force vive comme V; nommant donc p la densité (33), le poids, en kilogrammes, d'un mètre cube du fluide, observant (35) que le poids total du volume Q de ce fluide est mesuré par pQ, la force vive qui lui a été imprimée par le corps sera
proportionnelle (122) à ^ X V' ou à f— ^ X V% puisque Q
est lui-même proportionnel au produit Ae.
Le corps ayant donc communiqué une telle force vive au fluide qu'il chasse devant Jui, il faut bien aussi (135 et suiv.) que l'inertie des molécules de ce fluide ait opposé au mouvement uniforme du corps et dans le sens de AB une résistance totale R, qui restant la même pour la longueur infiniment petite e du chemin décrit par ce corps, aura détruit (71)
ration des portioas de volumes qui restent communes aux deux positions suc* ccssitet occupées par lo corps ou par le cylindre circonscrit; mais on le démontre directement aussi en observant que les trois volumes élémentaires à considérer, et qui ont pour mesure le produit Ae, peuvent être censés composés d'une infinité de petits prisme^ de même base et de même hauteur, dont les arêtes parallèles à la direction du mouvement sont dans le prolongement les unes des antres.
une quantilé de travail Re proporlionnelle à -- — V*; de
sorte qu'il faut bien encoreque le nombre des kilogrammes, R, contenus dans cette même résistance» soit proportionnel à
- 2 — V*, divisée par e, c'est-à-dire à p A — > ou simplement
à pXy\ puisque 2g' a la môme valeur (117) pour tous les cas. Donc enfin :
La résistance que l* inertie des Jl ni des, en repos , oppose au mouvement direct et uniforme des corps défigures semblables^ dirigés de la même manière, crott comme la densité p de ces fluides, comme le carré de la vitesse V de ces corps et comme l'aire A de la projection de ces mêmes corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement.
382. Règles ou formules pour calculer la résistance directe des fluides. — On se rappellera (118 et 119) que la quantité
— est précisément la hauteur due à la vitesse V du corps ; de sorte que le produit de cette quantité par l'aire A repré-
sente le volume d'un prisme ou cylindre qui a — pour hau-
I pA V'
teur, et A pour base : -^— V* ou pk — est donc (35) le poids
d'un tel volume du fluide; ce qui fait dire ordinairement que :
La résistance des fluides est proportionnelle au poids d'un prisme de ces fluides , qui a pour base la projection transversale du corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, et, pour hauteur, la hauteur due à la vitessse.
Cas du mouvement absolu et uniforme des corps. — Soit H = — celte dernière hauteur, telle que la donnerait la
Table placée a la tin de ce volume, R la résistance mesurée en kilogrammes; d'après ce qui précède, le rapport de R à
/iAH = p\ — sera à très-peu près constant pour un même
corps ou des corps semblables mus, dans un même fluide ou dans des fluides différents en repos, avec des vitesses V, rigoureusement uniformes, quoique distinctes. Nommant donc k
DBS RÉSISTAKGB8. 585
ce rapport constant, qui; dans chaque cas, devra être fourni par les données immédiates de l'expérience , et dépendra essentiellement de la forme du corps, ainsi que de quelques autres circonstances que nous ferons bientôt connaître, on aura pour calculer la résistance R, quand le multiplicateur ou coeffîcient k sera connu,
d'où il sera ensuite facile de déduire, comme on Ta indiqué (350) pour le frottement ordinaire et comme on le verra dans les applications, la valeur du travail absolu ou relatif détruit par la résistance et que devrait développer, en sens contraire, la force motrice pour entretenir l'uniformité du mouvement du corps dans le fluide. Pour le cas, par exemple, d'un corps mobile dans un fluide en repos, le travail dont il s'agit rapporté à l'unité de temps, croîtrait comme le cube de la vitesse, c'est-à-dire d'une manière extrêmement rapide par rapport à celui que réclamerait le simple frottement (350), ou même l'inertie relative au premier ébranlement du corps {U6).
Cas du mouvement relatif uniforme. — Les raisonnements qui nous ont fait parvenir (380) à la formule précédente, se rapportent essentiellement au cas d'un corps mû parallèlement à lui-même dans un fluide en repos; lorsque le fluide, animé d'un mouvement parallèle dans toutes ses parties, vient à l'inverse choquer un corps en repos, ou lorsque Tun et l'autre sont animés de mouvements rectilignes parallèles, les raisonnements dont il s'agit cessent d*avoir lieu, à moins qu'on n'admette, à priori, avec tous les Auteurs, en principe que les actions et réactions des corps ne dépendent (85 et 1C3 j que des chemins relatifs et nullement des vitesses absolues de ces corps. Raisonnant ici, en effet, à peu prés comme on l'a fait (163) dans le cas général du choc direct des solides : V et V étant les vitesses constantes et absolues du corps et du fluide par rapport aux objets fixes, aux rives, par exemple, s'il . s'agit d'un courant d'eau, il sufflra de remplacer la vitesse V, de la formule ci-dessus, par la vitesse relative du corps et du fluide, c'est-à-dire par la différence V — V ou V — V de leurs
586 MfiCAHlQCB IKDCSTIIBLLE.
vitesses absolues quand ils marchenc dans le même sens, ou. par la somme V -4- V de ces mêmes vitesses quand ils ma^ chent en sens contraire.
Mais, d'après le résultat de quelques-unes des expériences de Dobuat, qui seront rapportées plus loin, il ne parait pas qu'il soit permis de raisonner pour le cas des fluides ou d'un assemblage de molécules très-mobiles, comme cela parait iocontestablement permis pour les solides, où la propagation du mouvement s'opère (57, 65, 153 et 313), dans un temps souvent inappréciable, et l'on doit provisoirement admettre que le coçfficient k peut prendre des valeurs très-différentes, selon qu'il s'agit d'un corps mobire dans un fluide en repos, ou vice vend; la différence ne pouvant porter que sur l'intensité effective de la résistance» et non sur sa loi en raison du carré des vitesses absolues ou relatives.
Cas du mouvement varié. — On se rappellera que ces formules sont uniquement relatives au cas où le mouvement est parvenu à une rigoureuse uniformité, et que lorsqu'il varie à chaque instant, comme cela a lieu, par exemple, dans le cas des projectiles, il devient nécessaire d'avoir égard (380) à la masse du fluide qui accompagne le corps et en augmente l'inertie de manière à accroître la résistance quand le mouve* ment s'accélère, et à la diminuer quand il vient, au contraire, à se ralentir. Le volume de cette masse ayant, dans chaque ces, avec celui du mobile, un rapport déterminé, indépendant de sa densité et de sa vitesse, il ne s'agira que d'ajouter la va* leur M' de cette même masse à celle M du corps, dans la relation qui exprime la loi du mouvement; ou, ce qui revient au même, il ne s'agira que d'augmenter, dans le cas de raccélération^ et de diminuer dans celui du ralenlissemenif la valeur
ïi = kpkR = kpk — de la résistance uniforme, de la quan-
tité M' ^ qui représente (130) la force d'inertie de M', et dans
laquelle v exprime l'accroissement ou la diminution subis, pendant l'instant infiniment petit /, par la vitesse V, qui, de son côté, désigne ici. soit la vitesse absolue du fluide ou du corps, soit leur vitesse relative dans le mouvement parallèle.
BBS KÉSISTANCES. ^ 687
CAUSES ET CIRCONSTANCES PARTICULIÈRES QUI MODIFIENT L^lNTENSITft ET LA LOI DE LA RÉSISTANCE DES FLUIDES.
383. Des effets de la. cohésion des fluides, — Toutes les expériences connues s'accordent à prouver que, pour des nocuvements très-lents, la résistance des fluides décroît moins rapidement que le carré de la vitesse, et que celte déviation de la loi ordinaire devient surtout sensible pour les corps qui présentent une certaine étendue dans le sens du mouvement, réunie à de faibles dimensions transversales. Ces circonstances sont généralement attribuées à l'adhésion des molécules, soit entre elles, soit avec la surface du corps, ou plus spécialement, à la difflculté qu'elles éprouvent à se séparer, les unes des autres, dans leurs mouvements relatifs, et à prendre de nou* velles positions de stabilité (377). Si Ton suppose, en elTet, que, pour les liquides tels que l'eau, par exemple, ces forces dépendent très-peu ou point du tout de la vitesse avec laquelle IflT séparation des molécules s'opère (*), il en sera de même du travail résistant qu'elles font naître pour chaque élément de chemin parcouru; de sorte que la part de résistance qui leur est due, pourra conserver une valeur très-appréciable encore, dans les mouvements lents, quand celle qui provient des forces \iyes directement impriméesauxmoléculesliquides sera devenue insensible. Mais peqt-être est-il aussi exact de dire que, dans ces mouvements, les forces de cohésion des molécules ont plus de temps pour propager la vitesse de proche ^ en proche, dans l'intérieur du liquide, et pour augmenter ainsi le nombre, la masse totale des molécules entraînées; ce qui tend également à faire croître la somme des forces vives ou la dépense de travail moteur, un peu plus rapidement que ne l'indique la loi du carré de la vitesse. Quoi qu'il en soit, pour se former des idées un peu nettes
(*) L'inÛuence de cette vitesse pourrait certainement devenir sensible pour les gaz, dans le cas de changements brusques (224); mais, d'après les ingénieuses expériences de MM. Colladon et Sturm, il ne parait pas qu'il soit nécessaire d'y avoir égard pour l'eau et la plupart des liquides.
588 HfiCAMlQUB INDUSTRIBLLB.
sur le rôle joué par les forces de cohésion dont il s'agîl» il est nécessaire de distinguer, d'une manière plus précise que nous ne l'avons fait jusqu'à présent, l'action directe et normale du corps sur le milieu, de son action tangentiellé ou latérale, qu'on nomme proprement \e frottement des fluides.
384. Influence delà cohésion, dans V action directe ou normale. — Cette action des solides sur les fluides se distingue essentiellement, comme on l'a vu (374 et suivants), de leur action latérale ou tangentiellé, en ce que, dans la première, il y a déviation générale, et, dans la seconde, séparation et glissement réciproque des filets. Néanmoins cette déviation ne pouvant avoir lieu sans que les molécules des filets voisins se rapprochent ou s'écartent entre elles, il en résulte que les forces de cohésion se trouvent également mises en jeu dans les deux cas; mais les faits déjà connus tendent à prouver que la part de résistance due à cette cause est très-faible dans le premier, et peut, en général, être négligée. Toutefois, en raisonnant comme on Ta fait au n''38i, et considérant que, pour rétendue du chemin élémentaire e, décrit pdr le corps, le nombre des molécules directement ébranlées ou déviées est proportionnel au volume ke de sa course cylindrique dans le milieu, on sera conduit à représenter cette même portion de la résistance, par un terme de la forme a AT, a étant ud coefficient numérique à déterminer par expérience, et T ou aT une quantité relative à la dépense de travail que supposent la séparation, le déplacement mutuel des molécules voisines des filets, et qui pourra être constante si les forces qui unissent ces molécules sont, en effet, indépendantes de leurs vitesses de séparation.
Ainsi la résistance totale, due à l'action directe et normale du corps ou à la déviation antérieure des filets, pourrait être représentée par une expression de la forme
a AT -f. 6/>AV»=: A(aT -+- 6pV');
dans laquelle b est un nouveau coefficient numérique, analogue au coefficient A* (382), et qui dépend essentiellement des forces vives directement communiquées aux molécules du
DBS RÉSISTANCES. 56g
milieu, ou du rapport de leurs vitesses effectives à la vitesse V du corps supposé seul en mouvement.
385. Influence de la cohésion dans l'action tangentielle ou le frottement des fluides, — Cette action peut être attribuée à différentes causes, soit qu'on la considère comme le résultat de la rencontre directe çt successive des molécules fluides avec les aspérités qui tapissent la surface des corps solides même les mieux polis; soit qu'on suppose ces molécules simplement sollicitées par celles d'entre elles qui remplissent mécaniquement les pores de ces surfaces, ou qui s'y trouvent retenues, extérieurement, en vertu de cette force particulière nommée adhérence, et dont l'action ne saurait d'ailleurs se faire sentir qu'à une très-petite distance du corps, comme le démontrent beaucoup de phénomènes. De toutes manières, le nombre des molécules ainsi ébranlées doit, sous une vitesse relative V' donnée, demeurer proportionnel à l'étendue S de la surface sur laquelle le glissement s'opère; et, comme pour un corps de forme également donnée, ou pour des corps de forme semblable, les vitesses V et les chemins élémentaires e' = V'/, dépendant de ce glissement, doivent aussi (379) demeurer proportionnels à la vitesse V, et au chemin élémentaire e, du mouvement absolu ou relatif du fluide et du corps, on voit que le nombre des molécules directement ébranlées, par l'action latérale, dans chacun des éléments t du temps, ou pour chacun des chemins e, deviendra, à son tour, proportionnel au produit Se, qui représente un volume aussi bien que le produit Ae relatif à l'action normale.
Ainsi, en partageant, comme on l'a fait(384') pour cette dernière action, le travail relatif à Faction latérale, en deux autres dont l'un, représenté parle produit a'SeT, serait dû aux forces de cohésion qui naissent du déplacement relatif, de la séparation continuelle des molécules, et dont l'autre, représenté par le produit analogue b'SepW*, concernerait les forces vives Imprimées, détruites ou dissimulées (376 et 377), soit directement dans la région voisine du corps, soit de proche en proche en vertu delà communicatik)n latérale du mouvement, en faisant, dis-je, ce partage et raisonnant toujours comme au n^ 381, on sera conduit à représenterlla résistance latérale par
une expression de la forme a'ST-f- ft'S/iV' = S(rt'T -hfr'pV*); cd y V elT aji'ant une signification semblable (384.) à celle des coefficients a et 6 et de la quantité T, sans rien préjuger du reste sur leurs valeurs absolues, qui peuvent changer avec la nature du milieu et la forme du corps, quoiqu'elles soient censées indépendantes (379) de la vitesse uniforme, des dimensions absolues de ce dernier, ainsi que de Fintcnsité de la pression statique du milieu (377).
386. Expression générale de la résistance des milieux. — Pour analyser complètement les diverses causes de résistances qui s'opposent au mouvement des corps dans l'intérieur d'un fluide, il conviendrait encore de prendre en considération le frottement latéral éprouvé, parla masse qui circule autour de ces corps, de la part du fluide ambiant, non soumis directement aux effets de la déviation (378); il faudrait également établir des distinctions entre les frottements relatifs aux faces latérales de ces corps, et ceux qui concernent leurs faces antérieure et postérieure, lesquels dépendent de mouvements bien plus compliqués. Mais, au point de vue physique où nous sommes placés, ces différentes circonstances ne peuvent exercer d'influence que sur l'appréciation de la quantité S, qu'il faudrait, tout au moins, prendre égale à la somme des surfaces antérieure et latérale du corps, etc.
En résumé, la résistance totale provenant tant de râction directe d'un corps sur un fluide, que du frottement tangentiel, serait, dans nos hypothèses, représentée par la somme
A(aT-h6/>V')-hS(a'T-h6>V')=r(aA + a'S)T-+-/i(6A-h6'S)V«,
dont la première partie dépend essentiellement de la loi que suit l'intensité des forces de cohésion, et la seconde du rapport des vitesses ou des forces vives communiquées aux mo« lécules fluides.
Ces considérations à priori^ auxquelles nous sommes loin d'attacher aucune importance théorique, ont au moins l'avantage de faire sentir la nature des difficultés qui se sont offertes aux expérimentateurs pour démêler, dans chaque cas, le rôle des deux espèces de résistances qui viennent de nous occuper, et dont celle qui est relative au frottement a été l'objet de
DBS RfiSiSTANGBS. Sgi
quelques recherches spéciales que nous croyons utile de faire connaître dès à présent, afin de n'avoir plus à y revenir par la suite, puisqu'elle ne peut exercer d'influence appréciable que dans des circonstances tout à fait particulières (383).
387. Données expérimentales relatives à la loi du frottement des fluides, —On admet ordinairement, d'après les ingénieuses expériences de Coulomb (*), que ce frottement est entièrement indépendant de la nature particulière de la surface solide, de son degré de poli, de la nature de l'enduit qui la recouvre et de la pression naturelle ou statique du milieu : circonstances d'abord remarquées par Dubuat ( Principes d* hydraulique^ 1. 1, art. 34 et suivants), lors de ses belles et nombreuses expériences sur les lois de Técoulement des liquides dans les tuyaux et les canaux de conduite. Quant à l'intensité même de cette résistance, on la suppose, toujours d'après le résultat particulier des expériences de Coulomb, représentée, pour le cas des surfaces planes, par une expression de la forme
/iS(aV-h6V');
dans laquelle /? désigne, comme précédemment, la densité du milieu, S l'étendue de la surface en contact avec lui, V la vitesse du mouvement relatif dans 1^ sens de cette surface, a et b enfin deux coefficients numériques, dont le premier dépend essentiellement des forces d'adhésion des molécules fluides entre elles, et dont le second en serait tout à fait indépendant jusqu'à ce point de conserver la même valeur pour l'eau et l'huile, par exemple, tandis que Iç coefficient a prendrait au contraire, suivant ces mêmes expériences de Coulomb, des valeurs qui varieraient dans le rapport de i à 17.
On explique généralement la présence du terme en VSdans l'expression de la résistance, par la considération de l'inertie des molécules fluides entraînées; mais il n'est pas aussi facile de se rendre compte de celle du terme en V, qui provient des forces de cohésion du milieu, à moins d'admettre, avec
(*) Mémoire sur la cohérence des liquides, t. III (1801) àe^ Mémoires de Vin" stitut national, p. 261.
5^2, MfiCANlQUB INDUSTRIELLE.
M. Navier(*), que ces forces sont proportionnelles à la vitesse du déplacement relatif des molécules, dont l'intensité doit croître ici, en effet, proportionnellement à la vitesse V, selon les hypothèses et données expérimentales du n* 379. Quant à l'explication mise en avant par Coulonib lui-même, dans le Mémoire déjà cité (art. ii, p. 261 de ce Mémoire), et qui consiste à dire, suivant les raisonnements empruntés à l'ancienne théorie, que la résistance occasionnée parla cohérence des molécules doit, si cette cohérence est constante, être
directement proportionnelle* au nombre de celles qui se séparent dans un temps donné ou à la vitesse même du corps, il paraît peu nécessaire de la discuter ici; car aucun principe de Mécanique n'autorise, ce nous semble, une pareille conséquence, qui pourrait, tout aussi bien s'appliquer au glissement réciproque de solides, pour lequel Coulomb admet cependant (348 et 349) que la résistance due à la cohésion demeure constante.
I Enfin l'indépendance du frottement des fluides de la pression du milieu, de la nature des surfaces et du degré de leur poli, se justifie par des considérations physiques analogues à celles que nous avons exposées aux n®* 377 et 385. Dans le frottement des corps solides, comme on Ta vu (349), la force de cohésion joue un tout autre rôle, à cause que le déplacement relatif des molécules est Insensible, même pour des molécules situées à de très-petites distances des surfaces de contact dans l'intérieur de chaque corps; de sorte que les forces d'élasticité rapidement variables avec l'état de compression et le changement de forme sont seules mises en jeu, et ne peuvent occasionner que de simples vibrations indépendantes de la vitesse même du mouvement.
A la vérité, il résulte des considérations exposées au n*377, qu'une partie de la force vive développée dans les fluides, par
(*) Mémoire sur les lois du mouvement des fluides^ lu à rAcadémie 4c» Sciences, le i8 mars 1820. 11 est facile de a'assurer, en effet, que si les résultats de la savante analyse de ce géomètre conduisent, dans le cas des canaux et des tuyanx serrant à écouler les liquides, à une expression de la résistance, proportionnelle à la vitesse moyenne des filets, cela tient uniquement i rin> troduction de l'hypothèse dont il B*a|^t, dans les éciuations différentidles mêmes du mouvement.
DES bésistàï<gbs. 5q3
suite de la communication latérale du mouvement, pourrait être également dissimulée, en raison des oscillations particulières imprimées aux molécules; mais ces'oscillations, cette perte de force vive, ne sauraient être considérées comme indépendantes de la vitesse générale, qu'autant qu'elles résulteraient des perles mêmes de travail, dues à la séparation des molécules, pertes qui deviendraient ainsi, contrairement aux indications fournies par les expériences de Coulomb, la source d'une résistance constante, analogue à celle du frottement des solides, quoique sans rapport nécessaire avec l'intensité de la pression.
388. Incertitudes relatives à la véritable loi du frottement des fluides, — Les récentes expériences de MM. Piobert, Morin et Didion (*), les ont généralement conduits à rejeter, de la formule qui exprime la loi de la résistance des fluides; le terme proportionnel à la simple vitesse, pour le remplacer par un autre qui en est absolument indépendant, même dans le cas de l'air atmosphérique, où, néanmoins, il paraît difficile d'admettre l'influence des forces de cohésion ou de toute polarité des molécules (377). Quant aux liquides proprement dits, on serait d'autant moins fondé à repousser ce dernier résultat, à prion, que les expériences de Coulomb se rapportent au mouvement circulaire, alternatif et par conséquent variable, de disques et surfaces cylindriques autour de leurs axes naturels; circonstances qui peuvent, comme on le fera bientôt sentir (391), apporter des différences notables dans la nature des mouvements excités à Tintérieur des milieux, et, par suite, dans les lois de la résistance.
Mais il ne faut pas oublier, d'une autre part, une considération très-grave, qui milite en faveur de la loi expérimentale de Coulomb : c'est l'application heureuse qui en a été faite par M. de Prony d'abord, puis ensuite par M. Eytelwein, à l'établissement d'utiles formules qui représentent, avec un degré d'exactitude on ne peut plus satisfaisant, les données de l'expérience, relatives au mouvement des fluides dans les canaux
( * ) Mémoire, présenté au concours pour le grand prix de mathématiques de l'institul, sitr la résistance des fluides»
594 HÉGANIQUB INDUSTRIStLE.
et tuyaux de conduite, dont les parois occasionnent une résistance, un ralentissement de vitesse, dus aux causes mêmes qui viennent de ncrus occuper, pour le cas d*un corps isolé et mobile dans un fluide en repos (*)r Ajoutons que, dans des
(*) D*après le résultat particulier des recherches de M. de Prony, on pourrait prendre indiOeremment, pour calculer la résistance de Teau dans les tuyaux comme dans les canaux de conduite, à section uniforme, sans coudes sensibles,
p étant le poids du mètre cube du liquide, S sa surface en contact avec les parois et U une vitesse mojrenne qui, étant multipliée par Taire A de la section, doit reproduire le volume uniformément écoulé par seconde, au travers de cette section ; de sorte que cette valeur de U dîflR^re ici de la plus grande et de la plus petite de celles qui répondent aux filets les plus éloignés ou les plus voisins des parois solides.
D'après les recherches postérieures de M. Eytelivein, on aurait spécialement
R = /;S (0,00003^4 U + o,oooa8oU*)
pour les tuyaux de conduite, et
R=^S(o,oooo243U-»-o,ooo366U»)
pour les canaux reclilignes découverts; mais, dans le cas de vitesses un peu fortes, au-dessus de i mètre, par exemple, on pourra, sans erreur sensible, prendre approximativement pour les canaux et les tuyaux de conduite,
R =: o,ooo36^SU".
Quant à Tair ou aux gaz en général, dont les vitesses d'écoulement dans les
tuyaux sont toujours fort grandes et la cohésion ou l'adhérence très-faibles,
on peut négliger entièrement le premier terme de la résistance, et prendre
simplement, d'après le résultat des belles expériences de MM. d'Aubuisson et
Girard,
R r= o,ooo3a^SlI'.
D'ailleurs il est douteux que ces mêmes formules' puissent s'appliquer, avec une suffisante exactitude, au J^ottement d'un fluide indéfini coulant le long des parois planes d'un solide entièrement isolé dans ce fluide ; car la nature des mouvements excités, la marche des filets, l'ordre des vitesses ou ce qu'on nomme, à propreraeiil parler, le régime du fluide, sont aussi très>distincts dans les deux cas (37G% Enfin, il ne paraît pas non plus que, dans le mouvement varié du fluide ou du corps, c'est-à-dire avant l'instant où le régime est parvenu h un état permanent et uniforme, la résistance puisse être rcprê- ' sentée, encore moins mesurée par les expressions analytiques dont il s'agit.
Atidition à la Note prrcéelcntr, — De nouvelles expériences ont été faites, depuis cette époque, sur l'écoulement dos fluides :
Darcy a repris en détail la question du mouvement de l'eau dans les conduites; il a déterminé, à l'aide d'observations faites sur une grande échelle.
DBS R68ISTANCB8. SgS
expériences parUculîères» relatives à récoulement des liquides au travers de tuyaux capillaires ou d'un très-petit diamètre» M. Girard a été conduit, d'un autre côté» à représenter la résistance des parois au moyen f un seul terme proportionnel à la vitesse simple, tout terme relatif au carré de cette vitesse ayant disparu» même pour des mouvements que l'on peut considérer comme rapides. Or» cette circonstance est d'autant plus remarquable que, suivant l'analyse déjà citée de M. Na« vier(387), il faudrait l'attribuer essentiellement à l'adhérence §u liquide avec les parois» dont l'influence» pour des tuyaux d'un aussi petit diamètre, serait ainsi devenue prépondérante par rapport à celle des forces de cohésion mêmes des molécules de ce liquide.
*£^s considérations jointes aux différences spécifiques qui reSortent de la nature des mouvements excités dans chaque cas» suffisent pour montrer que la question du frottement dans les fluides et de l'Influence de la cohésion est bien loin d'être arrivée à une solution satisfaisante, même sous le point de vue purement expérimental; car» on ne doit pas se le .dissimuler» aucun des résultats des nombreuses expériences entreprises depuis Nev^ton et Désaguliers» ne peut servir à décider, d'une manière certaine, si» pour le mouvement rectiligne des corps dans l'intérieur des milieux, le terme de la résistance qui provient de cette cause est» ou constant comme on l'avait d'abord supposé, ou simplement proportionnel à la première puissance de la vitesse, comme on l'admet généralement d'après les expériences citées de Coulomb, et d'après celles du pendule» qui se rapportent à des circonstances de mouvement tout à fait exceptionnelles. Mais, attendu que la 'difficulté de
rinfluence de l'état des surfaces et du diamètre {Recherches expérimentales relatives au mouvement de l'eau dans les tuyaux, par H. Darcy; Paris, 1867^. Les travaux de MM. Pecqueur, BoDtemps et Zambaux, sur le mouvement des gaz dans les conduites, ont donné lieu à une Note de Poncelet {Note sur Us expériences de M, Pecqueur; Comptes rendus de V Académie des Sciences ai juillet iS45)f dans laquelle l'Auteur établit la formule du débit et pose des conclusions importantes sur l'écoulement des gaz au travers des oriOecs et des tuyaux. M. Resal {Recherches expérimentales sur l'écoulement des 'vapeurs ; An^ noies des Mines^ i865), en interpolant les résultats d'expériences exécutées avec la collaboration de M. Minary, établit une formule pour l'écoulement des vapeurs saturées à travers les ajutages. {Voir la seconde Note de la page Sg;.) (K.)
596 MfiCÀTIIQUB INDUSTRIELLE.
découvrir la loi de cette partie de la résistance, pour des fluides tels que Tair et l'eau, tient précisément à sa faible influence, cela diminue beaucoup les regrets que pourrait faire nattre Tabsence de toute formule rigoureuse.
Quant'aux milieux cohérents, aux fluides imparfaits tels que les pâles, les terres, les bois de diverses espèces, l'expérience, comme nous le verrons en son lieu, a prononcé, d'une manière décisive, en faveur de l'h^^pothèse qui suppose la part de résistance due à la cohésion des molécules, absolument indépendante de la vitesse du mouvement.
389. Influence de la compressihilité du milieu et de la xmriation de sa densité, — Pour les liquides proprement dits, qui sont très-peu réductibles de volume sous l'influence de la pression, les changements de densité au voisinage du corps demeurent insensibles; mais il en est autrement des milieux gazeux tels que l'air, par exemple : la densité est plus forte en avant et plus faible en arrière que celle qui corresponde l'état d'équilibre du fluide; circonstances qui, on le sent bien, tiennent à l'augmentation ou à la diminution mêmes de la pression en ces points. Dans l'opinion commune, ce fait expliquerait comment, pour de très-grandes vitesses des projectiles de rartillerie, la résistance croti d'une manière un peu plus rapide que le carré de la vitesse, ou que ne l'indique la for-
mule R = hpkVL = kpk — (382), dont le deuxième membre
devrait être alors augmenté d*une quantité sensiblement proportionnelle au cube de la vitesse, ce qu'on peut égaiemeni expliquer en supposant que le coefflcient k^ ou la densité/» du fluide, doit se trouver augmenté d'une fraction de l'un ou de l'autre, proportionnelle elle-même à la vitesse V. Toutefois le motif fondé sur le changement de la densité ne justifie qu'imparfailement cet accroissement relatif de la résistance, puisqu'il suppose implicitement qu'a vitesses égales, le nombre des molécules ébranlées ou déplacées le long de la route suivie par le corps est plus grand pour les gaz que pour les liquides, ce qu'il est bien difficile d'admetlre. Peut-être serait-il plus conforme aux données de la physique, d'avoir ici égard au rôle joué par la chaleur (2*24) dans la compression et la détente
DES RÉSI9TA?(GES. Sg'J
rapides qui s*opèrent au voisinage du corps, ainsi qu'aux effets qui peuvent résulter (380) de la variation même du mouvement des projectiles.
C'est d'ailleurs le lieu de mentionner un phénomène qui, dans l'opinion de beaucoup d'Auteurs, peut se présenter lors de ces mouvements très-rapides : la production d'un vide plus ou moins parfait en arrière du corps; vide qui se trouverait complètement formé dès l'instant où la vitesse du projectile S|tteindraitou dépasserait celle avec laquelle le fluide ambiant tendrait à s'y précipiter el s'y précipiterait (*), en effet, sous la seule influence de la pression statique (377), si les filets déviés en avant du corps, et qui ont acquis une vitesse comparable et contraire à la sienne propre, ne venaient combler, en partie, ce vide, au fur et à mesure de sa formation. Cette considération et l'ignorance où nous sommes des véritables lois de l'écoulement des fluides élastiques sous de fortes pressions (**), font sentir combien il serait difficile d'expliquer.
(*) Od prend ordinairement, d'après une formule contestable, en principe, quand il s'agit de pressions aussi fortes, pour la vitesse de rentrée de l'air dans le vide, une vitesse de {iG métrés environ, par seconde; mais, d'après les curieuses expériences do MM. Barré de Saint- Venant et Wantzel, ingénieurs des Ponts et Chaussées, expériences dont les résultats se trouvent consignés dans un Mémoire imprii||é au 37* cahier du Journal de V Ecole Polytechnique, la vitesse dont il s'agit serait bien loin d'atteindre une valeur aussi élevée, et serait au plus de 193 mètres par seconde, pour des orifices dont la petitesse laisserait, à la vérité, soupçonner une très-grande influence exercée par le frottement des parois. Enfin M. Navier, dans la note (</^), p. 3^6 du premier Tolume de V Architecture hydraulique de Bélidor, trouve que la vitesse pour laquelle l'air tend à se détacher de la face postérieure d'un plan mince, est de q65 mètres par seconde, en se fondant sur le résultat un peu incertain des expériences de Dubuat, relatives à la non-pression (378), expériences d'après lesquelles cette vitesse changerait avec la forme du corps, et serait, pour la sphère, par exemple, notablement plus grande que pour les plans minces, 342 mètres environ, suivant les calculs mêmes exposés par Dubuat, dans le n** 567 du tome II de wa' Principes d* Hydraulique. On voit donc qu'il s'en faut de beaucoup que la question se trouve aussi bien éclaircie qu'on le suppose ordinairement.
[**) Depuis cette époque, les lois du mouvement et de l'écoulement des gaz et des vapeurs ont été étudiées par divers auteurs, conformément aux principes de la théorie mécanique de la chaleur. Consulter \k ce &ujet les ouvrages cités dans la Note de la page 98, ainsi que les Mémoires de M. Grashof, Sur le mouvement permanent des gaz dans les conduites et dans les canaux» (K.)
SgB MfiCANIQOB INDUSTRIBLLE.
encore moins de prévoir à Tavance, tous les autres phénomènes qui peuvent accompagner des mouvements aussi rapides.
390. Influence de la forme des corps sur V intensité absolue de la résistance. — Les règles ou formules exposées dans les n*" 381 et 382 ne s'appliquent qu'à la résistance exercée par les fluides contre un même corps ou dès corps semblables; mais quand les corps diffèrent totalement, soit par la forme, soit par la manière dont ils reçoivent Taction de ces fluides, les résistances qu'ils éprouvent, dans des circonstances égales sous tout autre rapport, ne peuvent nullement se comparer. Ainsi, bien que pour de tels corps la densité p du fluide, leur section ou projection transversale A, et leurs vitesses relatives V, par rapport au milieu, soient les mêmes de part et d'autre, la résistance n'en est pas moins très-distincte, et, jusqu'à présent, l'expérience peut seule faire connaître, avec une suffisante exactitude, les modifications de valeurs qu'elle éprouve pour chaque forme particulière du corps.
Néanmoins, à l'égard des plans et surfaces minces non fermées, telles que celles des voiles de navires, des parachutes, ^tc, la forme du contour ou périmètre paraît exercer peu d'influence, à circonstances égales d'ailleurs. Ainsi, par exemple, une palette mince de i mètre carré, qui serait mue, dans l'air ou dans l'eau, avec une vitesse donnée, éprouverait sensiblement la même résistance si son contour avait la forme d'un triangle, d'un cercle ou d'un carré. Pareille chose aurait lieu, à très-peu près encore, d'après Dubuat, pour des prismes ou cylindres droits mus dans le sens de leurs axes, et qui, sous des longueurs proportionnelles à la racine carrée des aires A, de leurs sections transversales, offriraient néanmoins des formes, des contours différents dans le sens de ces sections.
On juge aisément aussi d'après les notions générales exposées aux n"^ 374 et suivants, que la forme de la partie antérieure du corps ou de sa proue, doit exercer une influence très-grande selon qu'elle est plus ou moins aiguë, plus ou moins bien raccordée avec les faces latérales; car, est-il bien nécessaire de le dire, l'acuité de cette proue favorise, en elle-même, l'écoulement du fluide le long de sa surface; elle diminue les effets
DBS BÉSI8TÀNCB8. 699
d'une déviation trop brusque, tandis que les arrondissements qui l'unissent aux faces latérales permettent à ce fluide de reprendre progressivement, le long de ces mêmes faces, une direction parallèle à celle de son mouvement primitif, et une vitesse à peu près égale, ce qui tend à détruire les tourbillons et les pertes de force vive. Toutefois, on.ne doit pas l'oublier, et l'expérience aussi bien que le raisonnement le démontrent, l'acuité de la proue, son allongement, ont une limite nécessaire, notamment dans le cas où elle se compose de faces planes; car lé frottement latéral sur ces faces vient jouer un rôle d'autant plus considérable, que leur étendue dans le sens du mouvement Test elle-même davantage.
La longueur relative du corps, dans ce même sens, parait aussi exercer une influence très-appréciable sur la diminution de la résistance totale, et nous avons vu (378) comment cette influence se trouve expliquée d'après le résultat des ingénieuses expériences de Dubuat sur la diminution progressive de la non-pression en arrière du corps, influence en partie contre-balancée encore par celle du frottement. Il n'est donc pas permis de confondre, comme on l'avait généralement fait avant ce célèbre ingénieur, la résistance d'un plan mince avec celle d'un prisme ou d'un cube de même base, bien qu'ils soient placés dans des circonstances semblables sous tout autre rapport.
Enfin l'influence de la forme de l'arrière ou de la poupe, quoique moins sensible que pour la proue, n'en existe pas moins, puisqu'elle peut favoriser le dégagement du fluide à l'instant où il quitte le corps, soit en diminuant la vitesse de son affluence dansTespaCQ continuellement abandonné en arrière, soit plus spécialement en s'opposant à la formation des tourbillons et des remous. Mais ici encore, l'allongement produit par la saillie de la poupe paraît être la condition principale, sinon unique, de la diminution de la résistance, et celte diminution serait peu sensible, par exemple, pour des corps prismatiques offrant déjà, par eux-mêmes, une certaine longueur.
391. Influence due à la nature particulière du mouvement curviligne, — - Jusqu'à Dubuat, on avait généralement admis
6oO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
que la résistance éprouvée par (es corps doués d'un mouve* ment circulaire, ou de rotation autour d'un axe fixe, devait, à circonstances semblables d'ailleurs, être la même que pour les corps animés d'un mouvement rectiligne parallèle; mais les motifs exposés par cet Auteur (*) et les expériences spéciales de M. Thibault ( ** ), que nous ferons bientôt connaître, ne permettent plus de l'admettre. Ces expériences démontrent, en effet, que dans le mouvement circulaire, la résistance pour un même corps, demeure à la vérité proportionnelle au carré de la vitesse, mais que, pour des corps différents, semblables d'ailleurs et semblablement dirigés, cette résistance, sous une vitesse donnée, crott un peu plus que proportionnellement à rétendue A, de la projection de ces corps sur un plan perpendiculaire, à chaque instant, à la direction du mouvement, projection qui se confond ici avec la section transversale ou méridienne de la surface annulaire circonscrite à celle du corps et qui est Venveloppe de ses diverses positions. L'accroissement de résistance dont il s'agit paraît être d'autant plus rapide d'ailleurs, que le corps se trouve placé à une plus petite distance de l'axe de rotation, et que ses dimensions, dans le sens de cette distance ou des rayons des circonférences décritesy sont, au contraire, plus grandes relativement aux dimensions transversales ou- parallèles à Taxe en question.
Ce n'est point ici le lieu d'entrer dans des détails sur les causes qui produisent cet accroissement relatif à la résistance, dont l'exposition complète appartient à une partie plus avancée de la Mécanique. Il nous suffit de remarquer que, dans le mouvement dont il s'agit, les différents points du corps ne sont pas tous animés de la même vitesse circulaire, et doivent donner lieu aussi à des mouvements et à des résistances partielles qui croissent rapidement avec leurs distances à Taxe de rotation; ce qui ne permet pas de prendre, comme on le fait ordinairement, pour vitesse moyenne, dans le calcul des résistances totales, celle du centre de symétrie de l'aire A, lequel doit être remplacé par un point situé un peu au delà par rapport
(*) Principes d* Hydraulique, t. II, art. 5oi et 5.^7.
(**) Recherches expérimentales sur fa résistance de l'air; Frest, p. 60 à W»; 33* et 33^ expérience.
DES mfiSISTANClIS. 6oi
à Taxe. Néanmoins cette circonstance ne paratt pas suffire pour rendre compte des accroissements de résistance observés dans chaque cas» et, selon M. Duchemin (373), il faudrait avoir égard parliculièrement à Tinfluence d'une cause beaucoup plus puissante, nommée force centrifuge^ et inhérente à la tendance qu'ont, en venu de Tinertie (55), tous les corps'soumis à un mouvement circulaire, de s'écarter du centre avec d'autant plus d'énergie, qu'ils s'en trouvent 'situés à une plus petite dislance. L'effet de cette force consiste ainsi, dans le cas présent, à ralentir le mouvement des molécules fluides qui circulent le long du corps, suivant des canaux ou filets dirigés vers l'intérieur ou l'axe de rotation; à accélérer, au contraire, celui des molécules qui marchent dans le sens opposé ou extérieur; enfin à déplacer, à déformer, en général, l'ensemble des filets auxquels Dubuat applique ( 380) la dénomination de proue ti poupe fluides; modifications qui doivent en entratner, quant à Fintensité de la résistance, d'autres d'autant plus appréciables que le mouvement du corps diffère davantage du mouvement rectiligne, et qu'il s'acccomplit ainsi dans un plus petit cercle par rapport aux dimensions transversales de ce corps. Mais il nous suffit ici d'admettre l'existence de la force centrifuge comme une donnée de l'expérience, et que l'on sente à peu près la nature de son rôle et de ses effets.
Quant à la résistance des corps soumis à un mouvement oscillatoire analogue à celui d'un pendule, on sent parfaitement qu'elle ne peut nullement se comparer à celle du même corps qui serait animé d'un mouvement continu, soit rectiligne et parallèle, soit simplement circulaire; car, indépendamment de l'influence qui peut être due à la variabilité de la vitesse, il arHve ici, de plus, que les mouvements excités dans le milieu, pendant la durée de l'une quelconque des oscillations, peuvent modifier beaucoup la résistance qui aurait lieu dans l'oscillation contraire, si le corps ne rencontrait qu'une masse fluide naturellement en repos, et ceci justifie ce que nous avons dit au n^ 388, touchant les incertitudes que laissent encore les expériences de Coulomb, sur la résistance latérale des fluides.
392, Influence de la proximité des corps par rapport aux
6o2 MÉCANIQUE IHOIJSTllBLLB.
surfaces qui limitent r é tendue d» fluide. — La masse des filets qui avoisinent latéralement les corps mobiles dans un Ouid^ en repos, coulant (379) comme dans une espèce de canal dont la section transversale offre un rapport déterminé avec celle de ce corps ou de l'étendue de sa projection sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, on conçoit et l'expérience démontre que, quand le milieu est limité, par exemple, par des parois solides, planes, parallèles à cette direction, elles doivent exercer une influence nécessaire sur l'intensité de la résistance, dans le cas où leur distance au corps est moindre que l'épaisseur du courant latéral formé par les filets, épaisseur qui, d'après les considérations du n* 378 et les indications de l'expérience {*), doit peu surpasser la moitié de la largeur correspondante du corps. L'influence du rétrécissement de ce passage, est évidemment de refouler le fluide en avant du corps, vers chacune des parois, et d'y augmenter la pression et la vitesse des filets; or cela ne peut avoir lieu sans une augmentation correspondante de la résistance, et sans que le corps éprouve une tendance à dévier latéralement, ou à s'écarter de ces mêmes parois (**).
Toutefois, nous verrons, dans le Chapitre ci-après relatif aux résultats de l'expérience, que, pour les corps flottant i la face de l'eau, l'influence des parois latérales se fait sentir i une distance beaucoup plus grande, attendu que le fluide ne pouvant s'échapper librement à la surface supérieure du corps et contre sa proue, est contraint de déverser latéralement, et d'augmenter ainsi la masse de la divergence des filets qui s'y meuvent.
Des circonstances analogues ont lieu pour un corps entièrement plongé dans l'eau, et mû parallèlement à sa surface de
(*) Principes d' Hj-dratilique de DiUntat, t. Il, 3* Partie, art. 582 et 583. Ce fait se trouve aussi vériflé par les expériences récentes et directes de M. ^ colonel Duchemiu.
( "* ) Cet effet a été particulièrement signalé pour les projectiles, par M. \f chef d'escadron d'Artillerie Piobert, dans un Mémoire, présenté en i836, à l'Académie royale des Sciences, sur les mouvements rapides dans les milieux /imités par des obstacles résistants, II résulterait des faits cités par l'Auteur, que l'influence des obstacles se ferait sentir, pour l'air, à des distances de beaucoup supérieures à la moitié du diamètre des projectiles.
DBS bésistàngbs. 6o3
niveau, quand il vient à se rapprocher de plus en plus de cette surface; mais ici Taccroissement de la résistance parait peu sensible; et, si Ton devait adopter les résultats des expériences de Bossut à ce sujet, résultats qui laissent beaucoup de doute, on devrait l'attribuer à ce que Teau s'élève elle-même ou gonfle de plus en plus en avant du corps, et qu'elle s'abaisse ou se ^déprime de plus en plus en arrière, de sorte qu'elle pèserait aussi sur le corps, ou le presserait en vertu de son poids, un peu plus en amont qu'en aval,
393. Modification particulière subie par la loi de la résistance, dans le cas des corps flottant à la surface d'un liquide, — Dans ce cas, comme dans le précédent, il se forme également à la surface antérieure du corps un gonflement ou remou produit par Taffluence des filets qui ne peuvent s'échapper vers le haut, et, à la partie postérieure, un abaissement de niveau, une dépression due à la difficulté que ces filets éprouvent pareillement à remplir le vide en arrière : cette dépression et ce remou, nommés généralement dénivellation, donnent nais-^ sance à un courant latéral, de l'avant à l'arrière, beaucoup plus rapide que dans le cas des corps entièrement plongés (392), qui se fait principalement sentira la surface supérieure du liquide, et dont l'intensité, par les motifs déjà exposés (ibid.), croit essentiellement avec la largeur transversale même du corps, plutôt qu'avec sa profondeur d'immersion.
D'après le résultat des expériences entreprises, en commun, par Bossut, d'Âlembert et Condorcet (*), sur la résistance des corps flottants, l'efi'et de ces dénivellations serait de faire croître la résistance un peu plus rapidement que ne l'indique le produit ;?AV% A représentant ici la projection, sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, de la partie du corps qui est plongée au-dessous du niveau du liquide, dans le cas du repos. L'accroissement de résistance proviendrait principalement de celui que subit la dénivellation ou la différence entre les niveaux en aval et en amont, et par suite duquel la valeur de A devrait être augmentée d'une quantité elle-même proportioanelle au carré de la vitesse. Pour les vitesses mé-
(*) Hjdrodjrnamique de Bossut, t. II, chap. i5, art. 891.
6o4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
diocres SOUS lesquelles Bossuta opéré, raugmentaiion de résistance a été peu sensible, et il est d*autant plus pennis d'en négliger la considération dans les cas ordinaires, qu'elle pouvait fort bien provenir du mode d'expérimentation mis en usage.
* Quant aux vitesses qui surpassent sensiblement i à 2 mètres, par seconde, les expériences récemment entreprises en Angleterre,, par MM. Macneill (*) et J. Russell (**), sur des bateaux longs dont la forme est représentée en élévation oblique, PL III, Jig. 57, et en plan,^g'. 58, ces expériences semblent établir, malgré les nombreuses anomalies qu'elles présentent, que la loi de la résistance, d'abord plus rapide que celle du carré de la vitesse, devient ensuite plus lente quand cette vitesse dépasse une certaine limite (3 à 4 mètres), susceptible d'ailleurs de varier avec les circonstances. Suivant M. Russell, celte loi éprouverait même, vers la limite dont il s'agit, ua changement brusque, par suite duquel la courbe qui a pour abscisses horizontales les vitesses, et pour ordonnées les efforts ou résistance^, au lieu de conserver la forme parabolique ABC {Pi,III,Jig. 59), qui convient à l'expression ordinaire pAV% dans laquelle on supposerait A constant, prendrait celle qui est indiquée en AB'C'D' (même figure). Ces déviations remarquables sont d'ailleurs attribuées à différentes circonstances sur lesquelles nous croyons devoir insister dès à présent et avant d'exposer les résultats particuliers de l'expérience, parce qu'elles se rattachent au point de vue général de la résistance des fluides.
394. Causes prétendues de la diminution relative de la résistance des bateaux rapides, — On a généralement attribué cette diminution dont, comme on le verra au Chapitre suivant, on s'est fort exagéré l'importance, à trois causes principales : i^ Tinclinaison sous laquelle s'effectue ordinairement la uac-
/ (*) Sur la résistance de l'eau à la marche des bateiutx^ i833, par J. Mw-
neill (^Annales des Ponts et Chaussées^ deuxième semestre, i834« extrait par M. Minard).
(**) Recherches expérimentales sur les lois de certains phénomènes hydrod^namiqueSf etc.y par John Russell (^Annales des Ponts et Chaussées, premier semestre, i838; traduit par MM. Emmery et Mary).
DBS RÉSISTANCES. 6o5
tion des bateaux rapides nommés bateaux-poste, et qui tendrait à soulever, à dégager la proue, en diminuant ainsi l'étendue de la surface de cetie proue, dircciement en prise avec le liquide; 2" l'action normale même que le TK^uide exerce de bas en haut, sur la surface inclinée de cette proue, et dont l'effet est également de soulever l'avant du bateau, en le forçant à prendre une inclinaison qui croit avec la vitesse, et sous laquelle il serait sollicité, de plus en plus, à sortir de l'eau, et à échapper à l'influence de son action directe, toujours proportionnelle à la section transversale maximum A, de la partie réellement plongée; S"* enfin la poskion que le bateau tend à prendre {PLIII,Jig. 60, 61 et 62), sous certaines vitesses, par rapport à une vague ou onde principale que son mouvement excite à la surface du liquide, qui occupe toute la largeur du canal, et dont, suivant M. Russeir,-la vitesse, indépendante de celle du bateau ainsi que de cette largeur, serait, très-approximativement, la vitesse due (119) à la moitié de la profondeur du liquide, mesurée du sommet de l'onde.
On conçoit, en effet, que dans ces dernières suppositions, et selon que le bateau marchera un peu moins vite, un peu plus vite, ou avec la vitesse même de l'onde, il tendra à se placer (/*/. III, Jtg. 61) sur la rampe ascendante qu'elle forme à la surface du canal, ou sur sa rampe descendante {PI, III, fig, 62), ou sur son sommet même(P/. Illyjig, 60), auquel, d'ailleurs, correspond une véritable position d*inslabilité.
Dans le premier cas, celui des petites vitesses, le baieau aura une tendance à s'immerger dans l'onde, et il offrira d'autant plus de résistance à toute accélération de mouvement, que la force motrice sera obligée d'en soutenir ou soulever le poids entier le long de la rampe. Dans le second, celui où le bateau marche en avant de l'onde, il tendra naturellement à descendre le long de la rampe contraire, en vertu de son propre poids; mais bientôt il excitera en avant de lui, une nouvelle onde qui lui présentera de nouveaux obstacles à vaincre, tandis que l'ancienne onde disparaîtra, et ainsi de suite. Enfin, dans le troisième cas, celui où le bateau se trouve établi sur le sommet de l'onde et se meut avec sa vitesse propre, il s'en trouvera dégagé en avant comme en arrière, ce qui doit produire une très-grande diminution de résistance relative ; mais, comme
6o6 MÊCàNIQUB INDUSTtIBLLB.
cette position se rapporte à un véritable état d'instabilité du corps, cela explique, suivant M. Russell, toutes les anonfialies et bizarreries offertes par le résultat particulier de ses expériences, notamment les changements brusques qui s'observent lors des vitesses de 3 à 4 mètres par seconde.
395. Examen critique de ces causes. — A l'égard de la première des opinions ci-deâsus, relative à l'influence de l'angle du tirage, l'expérience ne permet pas de l'admettre; car Tinclinaison des traits, de bas en haut, loin de favoriser la marche du bateau, lui est, au contraire, nuisible dans les cas de proues raccordées, en dessous, par un plan incliné, et c'est à tel point que, pour diminuer l'inconvénient attaché au soulèvement dû à cette inclinaison, les bateliers ont soin, généralement, de placer le point d'attache du cordage à l'extrémité supérieure d'un mât plus élevé que les rives, d'où s'effectue le halage; disposition dont l'influence pour contre-balancer l'action oblique sous la proue, est suffisamment sentie aussi bien que les inconvénients inhérents au soulèvement même de la proue, lequel est toujours accompagné d'un enfoncement équivalent de la partie postérieure, et d'où résulte, non pas une diminution, mais un accroissement de l'aire Â, de la plus grande section verticale de la partie réellement plongée.
Dans les bateaux rapides où la proue est terminée (PL JII^ Jig. 57 et 58} par une arête aiguë presque verticale, raccordée aux flancs par des courbes à inflexion très-adoucies, l'action oblique dont il vient d'être parlé, quoique moins sensible, n'en exerce pas moins une certaine influence que, dans l'état actuel de la navigation rapide sur le canal de l'Ourcq, on a soin de combattre au moyen d'un petit mât, élevé de o°*,9 à i mètre au-dessus des plats bords et servant à maintenir le trait de halage à peu près horizontal, ce qui soulage beaucoup les chevaux tout en diminuant la hauteur du remou antérieur. Bien mieux, il résulte des renseignements qui nous ont été communiqués par M. Morin, qu'un nouveau bateau, de même forme que les anciens, mais dans lequel la répartition des poids porte le centre de gravité un peu plus vers, l'avant, de manière à l'abaisser, est plus facile à maintenir, à conduire, et n'exige pas des vitesses aussi grandes, surtout à la descente. Mainte-
DBS RÉSISTANCES. 607
nant, doit-on admettre, avec M. Russell et quelques autres personnes, le soulèvement général, Vémersion de ce genre de bateau à de grandes vitesses, et .doit-on attribuer à cette circonstance la diminution correspondante de la résistance? On le pensera d'autant moins que cette prétendue émersion n'a clé observée que par des méthodes expérimentales indirectes et peu précises (*); qu'elle n'a pu être constatée d'une manière absolue dans les récentes expériences de M. Morin, où souvent le soulèvement, Témersion et la vitesse semblaient marcher en sens contraire; qu'enfîn une pareille cause de diminution de la résistance devrait se faire sentir aussi bien pour les petites que pour les grandes vitesses; ce qui est en contradiction formelle avec les données les plus certaines de l'expérience (392).
Tout ce qu'il est permis d'inférer de l'ensemble des faits déjà connus, c'est que l'angle sous lequel s'exerce la traction des bateaux, la hauteur et la position du point d'attache du câble, la forme, mais surtout l'inclinaison de la surface inférieure de la proue, enûn le mode même du halage, peuvent exercer une influence plus ou moins appréciable, sur leur marche et leur résistance, influence nécessairement variable avec l'intensité de la vitesse ou de l'effort moteur, et qui, réunie à l'instabilité naturelle aux corps flottants, à l'énorme influence que peut ici exercer l'Inertie de leur masse et dé celle du fluide entraîné quand le mouvement change (380), doit aussi apporter les plus grands obstacles à la rectitude des résultats, surtout dans le cas dés bateaux ordinaires à fond plat, terminés par une proue à ptan incliné par-dessous.
C'est d'ailletïrs, comme l'ont très-bien remarqué MM. Duehemin, Piob^rt, Morin et Didîon, dans leurs Mémoires à l'Institut, à cet\e ^êi^i^e cause qu'il faut attribuer, en majelire partie, les incerritèi(les;t>frertes par le résultat des expériences de Bossut, siir des l|^teaux de cette forme, et de celles qui ont été
(*) M. Riisë'eU s'est servi de tubes manométriques analogues à ceux dont il a déjà été parlé vers la fin du n® 378, mais qui, au lieu d'être recourbés horizontalement, n'offraient qu'une seule branche verticale implantée sur le fond du bateau; or les expériences de M. Morin prouvent que l'abaissement de l'eau datts les tubes n'a qu'une relation indirecte et fort compliquée avec la vitesse et l'imtftersion efleclivcs en chaque point.
6o8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
exécutées déjà anciennement, en Angleterre, sousladireciîon du colonel Beaufoy, sur la résistance de différents corps maintenus à une certaine hauteur au-dessous du niveau de l'eau, par le moyen de tiges verticales fixées à un bateau Qotiant, à proue inclinée par-dessous (*).
La formation, à certaines vitesses, de Tonde principale ou solitaire, comme l'appelle M. Russell, et son influence sur le phénomène de la résistance des corps flottants, notamment ravantage qu'elle offre d'augmenter la section d'eau et de faciliter la navigation dans des canaux peu profonds et étroits(392}, ne peuvent être l'objet d'aucun doute; un grand nombre d'observateurs en ont constaté l'existence sur les bateaux rapides en Angleterre et en France; mais nous ne pensons pas qu'il y ait lieu d'admettre toutes les propositions et les conséquences que cet ingénieur s'est cru autorisée établir dans son intéressant Mémoire, et l'on nous permettra d'émettre, dans le numéro suivant, les idées qui nous ont été suggérées par la vue des phénomènes, et par le résultat d'observations que nous avons eu occasion de faire, en 1828 et 1829, sur la production des rides ou ondes permanejites, à la surface des liquides en repos ou en mouvement (**).
396. Des rides ou ondes excitées à la surface libre des liquides, par les corps qui jr sont en partie plongés, — Lorsqu'on approche de la surface supérieure d'un courant d'eau réglé, uniforme, ou qu'on promène, avec une vitesse constante, à la surface d'un liquide en repos, l'extrémité inférieure d'une tige déliée, maintenue dans une position verticale, il se forme aussitôt, à cette surface, une série de rides saillantes ou d'ondulations permanentes, dont la forme et la disposition, par rapporta la position A., de la tige et à la direction BA, du mouvement, sont représentées dans lesy?g".63 et 65i PL ///, en projection horizontale, et dans la^^. 64, en profil suivant une direction parallèle à celle de ce mouvement. Les apparences (lu phénomène restent les mêmes quand c'est la lige qui se meut
(*) ?iautical and firdraulic experiments^ t. I*', in-4** de 688 pages, publti' à Londres en.i83j, par les soins et aux frais de M. Henri Beau foT, fils de TAuteur.
(**) j4nnales de Chimie et de Physique, a* série, l. XLVI, p. 5 (i83o).
DBS RÉSISTA^ICBS. 609
OU la masse licfuide, dont les dimensions absolues paraissent d'ailleurs exercer peu d'influence. La fg. 65 est spécialement relative au cas d'une vitesse de o'",3o environ par seconde, et \dijig. 64 à celle de 2 à 3 mètres. Lorsque le mouvement devient de plus en plus rapide, les rides se multiplient et se resserrent sans cesse jusqu'au point de se superposer en une seule, dirigée dans le sens du mouvement, ce qui nous a semblé avoir lieu pour des vitesses indépendantes des dimensions de la masse liquide, et que, dans nos premières expériences, qous avions estimées de 5 à 6 mètres environ par secdnde; chiffre qui nous paratt trop élevé, el qu'il serait plus exact, sans doute, de réduire à celui de 4 à 5 mètres, tout au plus.
Le nombre, l'espacement des rides, leur forme et leur orientation par rapport à la direction du mouvement, étant ainsi susceptibles de varier avec l'intensité et la direcUon mêmes de la vitesse, peuvent servir à étudier, à priori^ le régime d'un courant, en chacun des points de sa surface, sans y apporter un trouble sensible. Quoiqu'elles naissent ou disparaissent, pour ainsi dire insuintanément, quand la tige atteint ou quitte la surface supérieure du liquide, les rides ne s'en maintiennent pas moins sous une forme immuable tant que l'état du mouvement ne change pas, et pourvu seulement qu'une portion quelconque de la tige demeure en contact avec la surface dont il s'agit; car elles disparaissent également dès qu'elle se trouve entièrement plongée dans le liquide: c'est donc un phénomène excité à la couche de séparation de Teau et de l'air. Du reste, plusieurs systèmes différents de- ces rides peuvent se croiser et s'entrecouper sans se nuire réciproque ment, précisément comme les ondes mobiles et circulaires provoquées à la surface d'un bassin en repos, par un ébranlement quelconque (*). Seulement ici letf rides ne se réfléchissent point à leurs intersections avec les parois du bassin ou
(*) On sait qu'indépendamment de ces ondes à mouTement lent et uniforme, il B*en produit d'autres aux premiers instants de l'ébranlement, qui cheminent avec une vitesse uniformément accélérée (IQS et 109) : celles«ci nous paraissent appartenir à la classe des rides que nous avons obsenées, et c'est probablement h. leur présence qu'est due l'agitation des enux, mentionnée dans le Mémoire de M. Russell, comme servant de signe précurseur à l'arrivée des bateaux, etc.
610 héganioiTe industrielle.
canal qui renferme le liquide; elles s'y trouvent interrompues brusquement, et y donnent lieu à une série de proéminences et de creux, qui semblent se mouvoir avec la vitesse propre de la tige, ou qui sont immobiles en même temps qu'elle.
Ces phénomènes se reproduisent également pour les corps d'une grande dimension, tels que les bateaux mus à la surface de l'eau, sauf que les rides sont plus saillantes, plus larges et manifestent leur présence par une agitation, un clapotagey souvent nuisibles, sur les rives, et dont les effets sont trèsbien représe^ités par la ^g". 66, PL III ^ que nous empruntonsau Mémoire cité de M. Russell. On voit ici les ondes se recourber, s'infléchir à peu près perpendiculairement à la direction des bords du canal; mais cela paraît tenir uniquement à la faible vitesse et à la faible profondeur du courant le long de ces bords ; car on peut aisément vérifier le fait par soi-même, en promenant, verticalement et uniformément, un fétu de paille long et flexible, à la surface d'une flaque d'eau large, assez profonde et dont le lit présente une pente fortement adoucie vers les rive$.
397. Examen particulier du phénomène de Vonde solitaire qui accompagne la marche des bateaux rapides, — L'expérience démontre que, pour les bateaux, de même que pour les tiges déliées, les longues branches des premières rides venant à se resserrer de plus en plus, suivant leur axe de symétrie, à mesure que la vitesse augmente, finissent par se confondre d'une manière sensible, et cessent de rencontrer les rives et d'y produire le clapotage dont il a été parlé ; mais bientôt aussi, comme l'a observé M. Russell, à la multitude de ces rides ou ondes secondaires, succède l'onde calme, allongée et solitaire (394), dont jusqu'alors elles masquaient, dissimulaient la forme, et qui, tout en accompagnant le bateau, tend, ainsi qu'on l'a vu, à en modifier considérablement l'allure et la résistance. Les observations que nous avons eu l'occasion de faire en i838, sur la marche d'un bateau-poste, soumis à l'expérience par M. Morin, dans l'une des branches du canal de Saint-Denis, nous ont, de plus, démontré que la vitesse sous laquelle les ondes clapoteuses disparaissaient, était précisément celle pour laquelle il en arrivait ainsi à l'égard des petites
DES R6SISTAKC£S. 6i I
rides excitées, par la présence d'une lige déliée, à la surface supérieure du liquide, non loin du bateau.
Quand on vient à suspendre ou à ralentir brusquement la marche du bateau, Tonde solitaire continue à se mouvoir avec une vitesse qui, d'après les observations de M.Russell, serait, à très-peu près, celle que nous avons mentionnée plus haut ( 394'), et dont la loi, en raison de la profondeur, s'écarte peu de celle qui a été assignée, depuis longtemps, par les géomètres, aux ondes ordinaires. Mais, outre que ce fait est en désaccord avec le résultat des expériences en petit, déjà mentionnées (396), et dans lesquelles on a vu les rides ou ondes prendre la vitesse propre de la tige qui leur donne naissance à chaque instant, quelles que soient d'aifleurs, et la profondeur et les dimensions transversales de la masse liquide, il se trouve encore en cif^position formelle avec les résultats de nombreuses et récentes expériences faites, en grand, pai^ M. Morin, tant à Metz qu'à Paris, sur le mouvement des bateaux rapides de différentes formes. Ces résultats, consignés dans Tun des Mémoires adressés à l'Académie des Sciences, pour le concours au prix de Mathématiques, semblent établir, de la manière la plus positive, que la vitesse de la grande onde, même après l'instant où la marche du bateau a été suspendue, est précisément celle que ce dernier possédait primitivement, et qui a donné lieu à la formation de cette onde. Seulement la vitesse du bateau influerait sur la position qu'il prend par rapport au sommet de l'onde, en telle sorte qu'il se trouverait, relativemeQt, en arrière pour les faibles vitesses, en avant pour les grandes, et sur son sommet quand le temps nécessaire à la formation com plète de l'onde, sous chaque vitesse, devient égal à la moitié de celui que le bateau met à parcourir sa longueur totale.
On peut bien accorder qu'à l'inverse de ce qui a lieu pour les simples rides, dont le mouvement est essentiellement lié à celui du bateau et en subit à peu près toutes les variations, l'onde solitaire tende, en raison de l'inertie et de la grandeur de sa masse, à persévérer d'autant plus dans sa forme et son régime actuels, que la vitesse du bateau est plus approchante de celle qui correspond à la moitié de la profondeur du liquide dans le canal; mais il est, je le répète, impossible d'admettre avec M. Russell, qu'elle ne se forme et ne se maintienne que
6l2 HÉCAIIIQUB INDUSTRIELLE.
SOUS celle vitesse; el, jusqu'à ce que de nouvelles expériences aîeni prononcé d'une manière plus décisive encore, il ne sera pas permis d'adopier, sans une prudenie réserve» toutes les conséquences que cei habile ingénieur s*esicruaulorisé à tirer de sa loi expérimenlale, dans la Section IX de son Mémoire, pour rétablissement de la navigation sur bateaux rapides.
398. Observations diverses sur les phénomènes qui accom-pagnent le mouvement des bateaux isolés ou marchant en convoi. — Dans ce qui précède, nous n'avons point insisté sur les mouvements singuliers qui se produisent à l'arrière des bateaux rapides, par suite de la rencontre, en sens contraire, des courants latéraux avec celui du sillage ; ni sur la dépression extraordinaire observée lors des grandes vitesses, et par suite de laquelle le lit du canal a souvent été mis à découvert; ni sur les vagues aiguës et écumantes qui accompagnent alors b marche du bateau, en menaçant de l'engloutir aussitôt qu'il s'arrête, etc.; tous ces phénomènes, bien qu'intéressants en eux-mêmes et étroitement liés à celui de la résistance du fluide, n'en sont néanmoins que les effets, la conséquence nécessaires, et l'on en prendra une connaissance sufQsante en consultant \^s fig. 60, 61 et 66, PL II I^ empruntées au Mémoire de M. J. Russell.
Seulement, à l'égard du mouvement de transport des rides et des diverses ondes, nous croyons devoir faire remarquer, en faveur de quelques-uns de nos lecteurs, que ce transport n'est qu'apparent, une pure illusion, analogue à celle qui est produite par les ondulations d'une longue chaîne ou corde trèsflexible, ébranlée vivement et transversalement à l'une de ses extrémités, ou à celle que présente la surface d'un champ de blé dont les épis sont périodiquement agités, balancés par le vent; c'est-à-dire qu'il réside ici, essentiellement, dans uoe oscillation simple, accomplie par les molécules de la surface de l'eau, suivant des directions sensiblement verticales, et qui, pour la grande onde des bateaux rapides, ne se produit qu'une seule fois, dans chaque section transversale du canal, et di^ parait sans retour.
D'un autre côté, tous les faits précédents exposés, concernent spécialement le cas d'un corps soumis isolément à l'action
DES RÉSISTANCES. 6l3
d'un milieu; mais les phénomènes de mouvement et d'in* tensité de la résistance éprouvent des modifications notables, par suite de la présence de plusieurs corps. Quand, par exemple, des bateaux naviguent en convoi ^ l'expérience apprend qu'il y a de l'avantage à les placer à la file les uns des autres, les plus gros en avant, parce que les derniers cheminant dans la route de sillage, dans le courant postérieur, déterminé par le premier, éprouvent nécessairement une moindre résistance relative que celui-ci ou que s'ils étaient isolés; mais, comme le remarque fort bien Dubuat (Principes d'Hydraulique, t. Il, n** 585), il peut arriver, quand le canal est étroit et peu profond, que les derniers bateaux manquent d'eau, tandis que les bermes en amont, seraient inondées à cause du remou et de l'obstacle que le frottement, sur une aussi grande longueur, apporterait au prompt écoulement de l'eau, de l'avant vers J'arriére. Il est d'ailleurs à regretter que l'expérience n'ait point encore appris la loi de la diminution de la résistance dans des cas pareils.
399. Influence de la proximité et de la disposition des corps sur l'intensité de leur insistance. — Dubuat avait supposé que quand deux ou un plus grand nombre de surfaces minces telles que celles des voiles de navire, se trouvaient situées dans un même plan, avec de légers intervalles entre elles, la résistance de l'ensemble devait en être sensiblement augmentée, à causé de la difficulté que le fluide, supposé indéfini, éprouvait à s'échapper parles bords de chaque surface; mais les expériences de M. Thibault, déjà citées au n** 391, n'ont point confirmé positivement cet aperçu : la résistance semblait diminuer constamment avec l'intervalle des surfaces, formées ici de rectangles de mêmes hauteurs, et dont les bases inégales étaient rangées sur une même droite. Il n'en parait pas moins naturel de penser qu'un plan unique, percé de diverses ouvertures, doit éprouver une diminution de pression, proportionnellement moindre que l'étendue des vides qui s'y trouvent pratiqués.
Lorsque deux surraces ou corps quelconques égaux, se trouvent placés, l'un derrière Tautre, dans la direction de leur mouvement commun ou de celle du fluide, la résistance totale en est certainement amoindrie, mais pas autant qu'on pourrait
6l4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
le supposer au premier aperçu. Les expériences de M. Thibault (Ouvrage cité, p. 66 et 71), prouvent que, pour deux carrés minces, égaux, en carton, placés à une dislance égale à leurs côtés parallèles et de manière à se recouvrir, à s'abriter exactement, la résistance directe ou perpendiculaire est environ 1,7 fois celle d'un seul plan isolé. Cette proportion allait constamment en augmentant, à mesure que la surface postérieure, placée toujours parallèlement, à la même distance de la première, maïs latéralement à Taxe du mouvement, offrait des portions de plus en plus fortes de sa surface, démasquées par rapport à celle de l'autre; mais, chose remarquable, la résistance éprouvait un premier maximum représenté par le nombre 1,95, quand le plan postérieur se trouvait découvert de 0,4 environ de sa surface, après quoi elle diminuait à mesure que cetle fraction augmentait, jusqu'à se réduire au chiffre 1,84, quand elle devenait 0,9 : terme passé lequel la somma des résistances allait de nouveau en croissant, pour atteindre le chiffre représentatif 2,00, correspondant au cas de l'isolement complet des deux plans.
On sent toute l'importance de pareils résultats, pour les questions qui se rattachent à la voilure des vaisseaux ou des ailes de moulins à vent, et c'est par des nnioiifs semblables que nous appellerons l'attention du lecteur sur la diminution de résistance qu'éprouvent, de la part de l'air, les voilures ou wagont qui marchent en convoi, sur les chemins de fer, à des distances fort rapprochées entre elles. D'après le résultat d'expériences entreprises en Angleterre, par M. de Pambour (*), cette diminution, sauf pour la voiture placée en tête de toutes les autres, serait moyennement équivalenle aux { de la résistance qui aurait lieu sur la section transversale de chacune d'elles, considérée comme un plan mince entièrement isolé. Mais ces expériences, dans lesquelles on a beaucoup exagéré l'influence de la résistance de l'air, aux dépens de celles des frottements ordinaires, n'offrent point une appréciation exempte de toute chance d'incertitude, et, en réduisant convenablement la part qui doit être attribuée à cette influence, le rapport de
(•) Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences, t. IX, p. 213 ( i839).
BBS RÉSISTANCES. 6l5
la résistance des wagons postérieurs au M^agon de la tête, a élé trouvé beaucoup plus grand, confornoément au résultat cidessus des expériences de M. Thibault.
RÉSULTATS DE l'eXPÉRIEN'CE CONCERNANT LA RÉSISTA>'CE
DE l'air ET DE l'eAU.
Les considérations générales, exposées dans ce qui précède, nous ont appris à distinguer le ca§ où le mouvement du corps est uniforme de celui où il est varié, celui où irest circulaire du cas où il est simplement rectiligne et parallèle; enfln elles avertissent que la résistance des corps est, à vitesses et à projections d'aires égales A, sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, susceptible de varier avec la longueur, la forme de ces corps, et suivant qu'ils sont entièrement plongés ou simplement flottants à la surface des liquides, etc.
Ces circonstances nous obligent à subdiviser, en de nombreux paragraphes, les données fournies par le résultat de^ expériences connues; mais on verra que, malgré les efforts de beaucoup d'observateurs habiles, ces données, par les contradictions et les divergences qu'elles offrent, sont encore loin de présenter un ensemble satisfaisant, même sous le point de vue des applications pratiques. Peut-être est-il peu nécessaire d'ailleurs de faire observer que les résistances dont il s'agit ne comprennent nullement la perte de poids que les corps éprouvent toujours (&1) de la part des milieux dans lesquels ils sont plongés, et qui provient, comme on l'a vu (M, Note), de ce que le corps est poussé, de bas en haut, par une force totale égale au poids du volume de fluide qu'il déplace à l'état de repos. Nous verrons bientôt comment cette force influe pour modifler le mouvement dans le sens vertical; mais, pour le moment, il est inutile de s'en occuper, attendu que les divers expérimentateurs y ont eu égard dans les calculs, pour en ramener, quand cela était nécessaire, les résultats à ceux qui, par exemple, concernent le mouvement horizontal où la force dont il s'agit ne peut modifier sensiblement la résistance. Généralement aussi, on devra supposer, à moins d'un avertissement contraire, que cette résistance se rapporte à un mouvement parfaitement uniforme.
6l6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
Plans minces mus circulai rement y volants et roues à ailettes.
Nous commençons par exposer le résultat des expériences relatives au mouvement circulaire, parce qu*il a été le mieux éludié, et qu'il fournit des indications précieuses pour combler les lacunes que laissent encore les expériences relatives au mouvement rectiligne et parallèle.
400. Résistance directe dés plans mus circulai rement dans un fluide en repos. — D'après les anciennes expériences de Borda (*), qui a opéré sur des plans mobiles autour d*un axe vertical situé à une distance de i"", 20 environ du centre de ces surfaces, et dont la vitesse uniforme, dans Tair, n'a pas excédé 3 à 4 mètres par seconde, la résistance pourrait être sensible-
ment représentée par la formule K = kp\ — = /r/^AH (382);
mais le coefficient k serait susceptible de varier avec retendue de la surface A, supposée dirigée perpendiculairement au sens du mouvement ou suivant l'axe de rotation, et Ton aurait pour
A = o,oï2 environ If = iy3g
Ces résultats présentent quelques incertitudes, parce qu'on n'y a pas tenu compte, d'une manière exacte, des changements de densité de l'air à chaque expérience, non plus que des résistances ou frottements inhérents à la nature de l'appareil, et qui croissaient nécessairement avec l'intensité des efforts et des vitesses auxquels il était soumis dans chaque cas.
Dans d'autres expériences, faites au moyen d'un appareil à rotation et à contre-poids, imaginé par Robins et dont le volant avait, à peu près, i",36 de rayon, Hutton a trouvé (**), pour
mq .
A = 0,011 environ /r = i,24
( " ) Mémoires de V Académie des Sciences de 1 7G3.
(**) Nouvelles expériences d* Artillerie, traduction de O. Terquera, p. n7 et euivontes
DES BÉS19TANCES. 617
nombres un peu plus faibles que leurs correspondants ci-dessus, parce que, dans la méthode expérimentale de Robins, on défalque, en l'exagérant .un peu, rinfluence des résistances étrangères.
Ce sont ces résultats particuliers, concernant le mouvement circulaire, et quelques autres dont il sera bientôt parlé, qui avaient fait supposer généralement que la résistance des surfaces planes croissait, même dans le mouvement rectiligne, en plus grand rapport que leur étendue; principe qui n'offre en soi rien d'absurde, puisque des plans ou palettes minces ne sont pas des corps semblables, mais que les expériences positives de M. Thibault ne permettent plus d'admettre dans sa généralité.
Suivant ces expériences (*), faîtes sur des carrés en carton mince, placés à l'extrémité d'un volant de i*",37 de rayon, les vitesses étant comprises entre o",5 et 1 1 mètres par seconde, on aurait moyennement pour
mq
A = o,io3 •. A* = 1,784
La résistance, pour une même surface plane, croissait un peu plus rapidement que le carré de la vitesse, comme Hutton l'avait aussi remarqué dans ses expériences; mais cet accroissement était tout à fait négligeable pour des vitesses au-dessous de 8 mètres par seconde. L'Auteur ayant d'ailleurs tenu un compte suffisamment exact de la densité de lair et des résistances particulières de la machine, on ne peut mettre en doute l'accroissement progressif de la résistance avec l'étendue des surfaces, qui a été nié par quelques personnes, même pour le cas du mouvement circulaire. Néanmoins il est difficile de s'expliquer pourquoi les valeurs de A*, obtenues par M. Thibault, sont comparativement aussi grandes, par rapport à celles de Hutton et même de iforda.
401. Données particulières relatives à l'influence du mouvement circulaire. — Pour mettre cette influence dans tout son
(*) Recherches erpérimentaîes sur la résistance de l'air, p. ii, Cî, 128 cl ftaÎTantefl.
6l8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
jour, M. Thibault a fait mouvoir, dans des circonslances identiques et sous raciion d'un même contre-poids, trois plans en carton mince, de o"*ï,io3o4 de surface chacun : le premier était un carré, et les deux autres des rectangles égaux, mais dont le long côté, double de l'autre, fut alternativement dirigé dans le sens du rayon du volant, et dans le sens perpendiculaire, de manière que les centres se trouvassent, pour les trois cas, situés à la même distance, i'",37, de Taxe de rotation. Il a ainsi obtenu : pour
Le carré A' = i , 784
Le rectangle dans le sens du rayon /f = i,goo
Le rectangle dans le sens perpendiculaire. . fr = 1,677
Hutton, auquel on doit des expériences analogues (p. 118 et 119 de rOuvrage cité), sur l'influence de la position d'un rectangle dont la base' était également double de la hauteur, n'a point remarque cette influence; mais, comme il a opéré à des jours diO'érents sans tenir compte, dans les calculs, des circonstances atmosphériques, on ne saurait accorder le même degré de conflance à ses résultats, contre lesquels s'élève d'ailleurs la singulière coïncidence même d'une durée de I seconde, observée dans les deux cas, pour une révolution entière du volant.
Enfin M. Thibault ayant fait mouvoir, sous un même contrepoids, trois carrés minces de o'»,3?.3, o'»,2o.7 et o"*,i6i de côté, aux distances respectives de l'axe : ï"*,37o, o°*,966 et o",685, proportionnelles à ces côtés, les résistances, sous une même vitesse, ont été trouvées sensiblement égales entre elles; résultat d'où il est permis d'inférer, conformément a l'opinion de Dubuat, que, si le mouvement circulaire n'est pas propre à faire connaître la grandeur absolue de la résistance des surfaces, il peut, du moins, servir à en donner les valeurs comparatives, quand étant semblables et semblablement dirigées, ces surfaces sont, en outre, placées à des distances de l'axe de rotation, proportionnelles à leurs côtés ou dimensions homologues, circonstances pour lesquelles les valeurs de k deviendraient ainsi, à peu près, indépendantes de Taire A, de ces surfaces.
Si ce principe devait êlre admis dans sa généralité ou pour des surfaces situées à des dislances quelconques de Taxe de rotation, on en conclurait que, A' étant Taire d'un plan mince choquant perpendiculairement la masse fluide, à une distance /' de Taxe de rotation, sa résistance, sous une vitesse donnée et pour l'unité de surface, ou la valeur du coefficient h' à lui appliquer, serait la même que celle d'un autre plan mince, semblable et semblablement placé, ayant pour aire
A = A' jr;'> et dont le centre serait situé à la dislance /, de ce
même axe; ce qui permettrait de calculer le coefficient //, au moyen des valeurs de k rapportées ci-dessus, si Ton prenait pour / les longueurs relatives à chaque expérience (*).
Les divers résultats qui précèdent ne concernent d'ailleurs que la résistance de l'air, mais l'ensemble des faits d'expériences connues montre qu'ils peuvent être appliqués, sans erreur sensible, à la résistance de l'eau, à cela près de la densité j> (381), qui prend une tout autre valeur.
402. Résistance oblique des plans minces mus circulai rement dans l'air et dans l'eau, — Quand un plan MN ( PL III, Jig. 67 ) fait continuellement, avec la direction AB de son mouvement circulaire, l'angle aigu BAN, la résistance, estimée qm mesurée toujours dans le sens AB, de ce mouvement, c'est-à-dire perpendiculairement à l'extrémité du bras du volant qui imprime la vitesse circulaire au plan, cette résistance diminue d'autant
(*) D'après M. le colonel Duchcrain, oq aurait (jcnéraicmcnt pour comparer la rébtstance directe R', relatÎTe au mouvement circulaire d'un plan mince de surface A, dont le centre est à la distance /, de Taxe, à celle R, du mèroe plan, mû avec la même vitesse dans une direction rectiligne également perpendiculaire à sa surface, la formule empirique
dans laquelle k représente la valeur i ,!i5{, que M. Duchemin attribue (407) au coefficient relatif à cette dernière résistance, iP celui qu'on veut calculer, et s la distance du centre de graTîté de la surface A, à celui de la moitié de cette •Qrface, située du côté de l'axe de rotation. Il est facile d'apercevoir que cette formule, déduite, par l'Auteur, de considérations relatives à l'influence do la force centrifuge (391), satisfait aux indications fournies par l'expérience.
GlO MÉCANIQUE 1NDUSTR1F.LLE.
plus que l'angle BÂN est plus petit, ou que la projection CD, de la surface résistante, sur un plan perpendiculaire à AB, devient elle-même moindre; mais elle ne diminue pas dans le rapport exact de CD à MN, ou du cosinus {2ik, p, 892) de l'angle formé par ces lignes, dont la valeur est, comme on sait, égale au sinus du complément BAN, de cet angle à 90 degrés, c'està-dire au sinus de l* angle d'incidence du fluide sur le plan.
Lorsque le mouvement est purement rectiligne et parallèle, la résistance ne dépend évidemment, en aucune manière, de la position que peut prendre le plan MN, en formant, tout autour de la droite AB, des angles égaux à MAN; mais il paraît, d'après les expériences de M. Thibault, qu'il n'en est point ainsi dans le cas d'un mouvement circulaire, et que, notamment, cette résistance, quand le plan MN est dirigé suivant le rayon du volant passant par son centre de figure, est très-différente de celle qui a lieu quand ce plan renferme la parallèle à Taxe de rotation, menée également par ce'centre, auquel cas il est nécessaire encore de distinguer la double manière dont le plan peut recevoir l'action de l'air ambiant, selon que sa face antérieure se trouve tournée en dedans, vers l'axe, ou en dehors, dans le sens opposé à cet axe. Les considérations générales du t\^ 391, quoique très -imparfaites, peuvent s^vir à faire sentir, jusqu'à un certain point, l'influence de ces positions respectives sur l'intensité de la résistance, et l'on sent très-bien aussi que les positions symétriques que peut occuper, dans le premier cas, le plan MN, par rapporta l'axe du volant, ne sauraient, en aucune manière, modifler cette même intensité.
Vince (*) et Hutton (**J qui, de leur côté, avaient exécuté, dès 1778 et 1788, des expériences sur les résistances obliques de l'eau et de l'air, au moyen de volants à axes verticaux, n'avaient pas songé à établir ces distinctions, et s'étaient bornés à CQinsidérer le cas où l'ailette est dans le prolongement du bras ou rayon du volant. On trouvera les résultats de ces nombreuses expériences, rapportés dans le tableau suivant, aussi bien que ceux obtenus par M. Thibault, dans les trois
(*) Transactions philosophiques de la Société roj'ale de Londres; 1778. (**) Nouvelles expériences d'Artillerie, p. 117 et suivantes.
DBS RÉSISTANCES. 62 1
cas distincts qui viennent d'éire mentionnés, et dont le dernier est indiqué sous le nom de résistance latérale, les deux autres l'étant respectivement sous ceux de résistance extérieure et intérieure.
VALECRS DES HÉSI6TA!(CSS OBLIQCES CALCULÉES DANS LE SE:(S DO
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