DO

En recherchant simplement, d'après les nombres de ce tableau , ou plutùt (238) d'après les courbes continues qui donnent la loi des allongements représentés par ces nombres, les valeurs qui en résultent pour le coefficient d'élasticité E, des corps soumis à l'expérience, on arrive aux résultats suivants :

MÉCANIQUE 1NDU8T11BLLB.

XVTl'RE DES Srn>TA!<CES.

COEFPICIEMT

d'élastlclt« E,

par nillllm. carré.

Fil de cuivre, N» 1 .

Id. No 2 .

Id. INo 3 . .

Fil de laitox

Fil d'acier

Fil de fer

Tige de \erre, N» 1, Id. IN'o 2 ,

Id. NO 3

14 3oo

QOOOO 17900

5 5oo

kK

TALEUAt

oa rMaiiea.

Pour le laiton, le for et l'acier, ces nombres s'accordent très-bien avec les moyennes insérées dans la table du n** 298; et, ce qu'il y a de remarquable, le fer en fil continue (292) à donner ici un coefficient d'élasticité 17900 kilogrammes, un peu inférieur à celui qui se conclut des expériences sur les prismes non étirés ou passés à la filière.

Quant aux valeurs de E, relatives aux liges de verre, elles sont, tout au plus, les 3 de celles qui ont été déduites, au n** 267, du résultat des expériences de MM. Sturm et Colladon, expériences que ce dernier physicien se propose, au surplus, de répéter. Cette grande différence ne peut tenir évidemment qu'à des erreurs dobservation ou de mesure, à moins qu'on admette, entre les verres, une différence de constitution élastique (233), analogue à celle que présentent, eux-mêmes (293), les aciers, selon qu'ils sont plus ou moins trempés et recuits ; et, comme les résultats des expériences répétées, de M. Savart, sur les premiers, s'accordent sufTisaniment bien avec la moyenne d'entre eux, on devra provisoirement adopter, pour le verre, celte moyenne qui réduira ainsi (242 et 2l)7) à

= 0,000001 75 — /, et à - 0.000001 75 — 0,000 009.63 — - /,

les valeurs respectives des dilatations ou contractions linéaire? et cubique de cette substance, par atmos[»hère de traction ou de pression (*).

(•) roir les Notes des n'» 242 et 243. (K.)

Questions particulières relatives a la résistance

des matériaux.

301. Observations préliminaires. — Nous no A sommes beaucoup étendu, dans loul ce qui précède, sur ce qui concerne la résistance directe des corps à Textensîon et à la compression, parce que ces notions, non-seulement forment la base des plus importantes applications de la Mécanique à la science des machines et des constructions, mais encore sont Indispensables pour bien saisir et apprécier le rôle qiie jouent, dans une infinité de circonstances, les forces d'élasticité et de ténacité, soit des molécules individuelles, soit de leur ensemble constituant les divers corps solides en usage dans les arts.

En remplaçant, comme on le fait quelquefois, cetie exposi- -lion circonstanciée des résultats de l'expérience, par des tableaux résumés qui ne continssent que les moyennes générales relatives à chaque espèce de corps; en négligeant de les accompagner d'éclaircissements propres à en montrer le véritable esprit, ou le degré de précision et de certitude, quant aux diverses applications, nous eussions craint, dans une matière aussi grave, d'inspirer au lecteur une fausse sécurité, une confiance trop aveugle dans les résultats, qui ne serait pas moins dangereuse sous le point de vue de la solidité, que sous celui de l'exagération même des dimensions et de la dépense. C'est dans un but semblable que nous cro^'ons devoir faire suivre ces données expérimentales, de quelques applications particulières, en elles-mêmes fort simples, mais qui nous offriront l'occasion d'appeler ratteniion du lecteur sur divers faits d'expérience ou de théorie, qui ne sont point dénués d'un certain intérêt, et qui eussent difficilement trouvé place dans un exposé général.

302. Des plus grandes charges à faire supporter aux piliers en maçonnerie. — Demandons-nous d'abord quel est le maximum de la hauteur qu'il serait possible de donnera un pilier, cylindrique ou prismatique, appareillé en pierres de taille, de

398 HÊCANIQUI INDUSTBIBLLB.

Jaumoni, en usage dans la ville de Metz (259)» afin d*être assuré qu'il ne s'affaissera pas sous sa propre charge.

Il est évident que les sections horizontales du piller étant censées égales dans toute sa hauteur, il snfllra de considérer (258) ce qui a lieu pour Tunilé de surface de ces sections, sauf ensuite (2G4) à réduire les résultats dans la proportion indiquée par Tusage ou Texemple des constructions existantes. Or nous voyons, par la dernière des colonnes du tableau du n** 259, que le calcaire oolithiquede Jaumont,de première qualité, peut supporter, avant de rompre, une pression de 180 kilogammes par centimètre carré; et, par Tavant-dernière colonne, on trouve que son poids spécifique est 2,20; ce qui donne (35), pour sa densité ou le poids du mètre cube, 2200 kilogrammes. Donc, si nous nommons x la hauteur cherchée, en mètres, nous aurons pour calculer sa valeur

2 2oo'^*.:rr= 1800000"^»;

d*oii Ton tire x = 818™, 18, pour la hauteur qui produirait la rupture instantanée du pilier. Mais, à cause des motifs énumérés au n"264, on devra, dans une construction permanente, et attendu qu'il s'agit ici d'un assemblage de blocs de pierres, réduire cette hauteur au sixième au moins, ou, pour plus de sécurité, au ~, c'est-à-dire à Sx mètres environ, afin d'être assuré que les premières assises du pilier pourront supporter la charge des assises supérieures, d'une manière indéfinie, ou telle que l'indique l'expérience des anciennes constructions. Si ce même pilier devait porter, en outre de son propre poids, une charge additionnelle de 70000 kilogrammes, par exemple, sur chaque mètre carré, on poserait l'équation

2?On*^« y< X -h 70000''* — - ,', I 800 OOU*^* zr: 1800OO,

d'où l'on tirerait

X ~: = 5o mètres ,

hauteur un peu moindre que celle des piliers qui supportent le clocher de Mutle de la cathédrale de Metz.

303. Observations relatives à l'élasticité des pierres, — II nous serait impossible , dans le cas actuel , de calculer le tassement (261) ou TaiTaissement d'un semblable pilier sous la charge qu'il supporte; mais nous no devons point passer sous silence un fait qui s'observe sur le clocher dont il vient d'être parlé, fait qu'on peut également remarquer dans beaucoup d'autres, et qui prouve jusqu'à quel point les pierres, en général, sont douées d'élasticité : lorsqu'on met en branle la grosse cloche placée à la moitié environ de sa hauteur, et qui pèse près de iiooo kilogrammes, les oscillations des parties les plus élevées, situées à 85 mètres environ au-dessus du sol, sont tellement grandes, que c'est à peine si l'on peut s'y tenir debout (*). Des expériences, dans lesquelles on tiendrait note du nombre, de la durée de,s oscillations, et qui seraient faites à l'aide d'un pendule ou d'un instrument à niveau, convenablement disposé, seraient très-propres à faire connaître l'étendue de ces excursions du clocher, de pan et d'autre de la verticale; et elles mettraient ensuite à même de déterminer, approximativement, la compressibilitéet le coefficient d'élasticité des matériaux qui constituent ce remarquable édifice.

On arriverait encore plus directement au but, si, lors d'une construction nouvelle, on se servait du moyen déjà indiqué au n* 262, pour obtenir directement les accourcissements ou tassements éprouvés successivement par les premières assises d'une pile, en pierres de taille fichées, avec beaucoup de soin, en mortier ou ciment, dont on pourrait, dans tous les cas, négliger la faible influence, d'après les observations de M. Vicat.

Au surplus, les calculs ci-dessus supposent que les piliers, dont on avait à déterminer la limite de hauteur, étaient composés uniquement d'assises en pierres de taille bien dressées; mais s'ils devaient être simplement parementés en pareilles pierres, et que leur intérieur dût être garni en moellonnage, alors il conviefndrait d'avoir égard à cette circonstance, dans

(*) Des oscillations de même nature, produites par la simple action du vent, peuvent facilement être constatées au sommet des grandes cheminées d'usine. (K.)

4oO MÊCAIIIQUB* 11IDU8TU£LLB.

les calculs, et de réduire, suivant la proportion indiquée au n** 264, la charge permanente à faire porter aux piliers dont il s'agit.

304. De la forme la plus avantageuse à donner aux piliers ou supports isolés des édifices. — Le problème qui vient de nous occuper dans Tariicle précédent, donne lieu à une question fort iniéressante concernant la loi suivant laquelle on doit agrandir l'aire des sections ou assises horizontales des piliers, pour que la charge qu'elles supportent soit la môme en tous les points.

Soit [PL Ilyjig, 49) abdc une assise ou tranche très-mince d'un pilier en pierre, dont ABDC représente le profil. La surface de la base supérieure, a6, de cette tranche, aura à supporter tout le poids de la partie, â6BA du pilier, et de la surcharge en ÂB, s'il en existe. Celle de la base inférieure, c</, aura à supporter les mêmes poids, plus celui de la tranche abcd que Ton considère; donc Taire de cd, devra surpasser celle de a6, de toute la quantité relative à ce dernier poids. Or, si, pour fixer les idées, nous supposons les différentes sections du pilier circulaires, et ayant leurs centres situés sur l'axe * vertical IL, la tranche abdc pourra être considérée comme un petit tronc de cône, ayant pour volume le produit de sa section moyenne, m/i, par son épaisseur a/, mesurée sur la ver-

tirale du point a, c'est-à-dire r.,mo .ai; t. étant égal à 3,i4i6, et o étant le centre du cercle moyen dont il s'agit.

D*un autre côté, si nous supposons qu'on projelle verticalement îe cercle ab sur le plan de la section cd, on verra que l'excès de celte dernière sur ab sera mesuré par une couronne circulaire ayant pour surface le produit de sa largeur constante c/, par la circonférence moyenne qui répond au diamètre m/i, c'est-à-dire ci.T.iz.mo, Donc, si nous nommons/? le poids du mètre cube de la matière du pilier, et ^ = 7^ R (244 et 264), la charge permanente qu'on veut faire supporter, par mètre carré de surface , aux différentes sections horizontales de ce pilier, on devra avoir, d'après la condition indiquée cidessus.

p.K.mo ,ai =1 h*ci .9.r..mo,

DES RÉSISTANCES. 4o>

quelle que soit l'assise ou la iranche horizontale que Ton veuille considérer.

En divisant les deux membres de cette égalité par le produit Ti.mo, qui en est facteur commun, elle deviendra

p,mo,ai = !ik.ci, ou mo=:- r»

'^ p ai

et elle pourra, dans chaque cas, servir à calculer mo, quand le rapport de ci à ai, ou Tinclinaison de la génératrice ac, sur Taxe IL, c'est-à-dire Tinclinaison de la tangente en m, à la courbe de profil du pilier, sera donnée à priori, et réciproquement. Or nous allons voir que cela suflit pour qu'on soit en état de tracer celte courbe, de proche en proche, avec un degré d'approximation très-suffisant pour la pratique.

Prolongeons, en elîet, la direction de ca jusqu'à sa rencontre en /, avec l'axe IL du pilier; le triangle cai, semblable au triangle mto, donnera, par les principes de Géométrie connus,

ai l ci :: ot : mo, ou mo X ai = ci X ot.

Remplaçant donc le produit nio.ai, par sa valeur dans l'équation ci-dessus, et observant que ci devient facteur commun aux deux membres, et peut être supprimé, on aura

2 Ar p.ot=iilt; d'où l'on tire ot=: — •

Ainsi la distance ot, qu'on nomme la sous-tangente de la courbe AmC du profil, par rapport à l'axe IL, doit être une quantité constante et facile à calculer dans chaque cas.

Par exemple, dans celui de la pierre de Jaumont dont il a déjà été parlé (302), on aura, en prenant le mètre pour unité,

et par conséquent

ot = — = = i63™ ,64 ;

ce qui annonce que les inclinaisons des cléments de la courbe,

4o!l MfiCANIQUB INDU8TBIBLLE.

sur Taxe IL, ou la verticale, seront extrêmement faibles, et d'autant moindres que les rayons mo des sections correspondantes, seront eux-mêmes plus petits. D'après cette donnée, rien ne serait plus facile que de construire, de proche en proche, la courbe du profil AmC du pilier, soit en partant du sommet AB, s'il y a surcharge, soit en partant de la base CD, s'il ne doit point y en avoir. Sans nous arrêter à ces détails, auxquels le lecteur suppléera facilement, nous ferons remarquer que la courbe dont il s'agit est précisément celle que les géomètres nomment logarithmique^ parce qu'elle est telle, que ses abscisses ol, prises par rapport pu sommet I du pilier, ont un rapport déterminé avec les logarithmes hyperboliques des ordonnées correspondantes (198). C'est ce qu'il est facile de démontrer (*) à l'aide de l'équation p.mo.ai = :kk,ci,

(*) Pour s'en convaincre, il n'y a qu*à tirer de Téquation p.mo,ai = ak.ci dont il s'agit, la valeur de at\ é|;ale à raccroisscmcnt rs de l'abscisse Ir de a» et à laquelle correspond Taccroissement ci qu*a subi, de a en c, Tordonnée ar, de la courbe, qui peut être substituée à l'ordonnée moyenne mo, dans l'équation ci-dessus, si l'on suppose l'intervalle ai ou rs infiniment petit. On

aura ainsi

qA ci m ou rs =■ — X — ; p ar

ce qui montre que, pour obtenir l'abscisse entière I5, il faudra faire la somme cor-

ci I

rcspondante des valeurs du quotient — ou du produit — -et, relatives aux di*"-

férents accroissements infiniment petits ci reçus, par l'ordonnée ar, depuis A

jusqu'au point déterminé c, puis multiplier le résultat par le facteur commun

aA et constant — 9 opération qui, ici encore, s'effectue approximativement par la

méthode du n" 180; c'est-à-dire en calculant l'aire de la courbe qui a pour

ordonnées les difierentes valeurs de — f et, pour accroissements d'abscisses, les

ar

valeurs correspondantes de ci, qui sont les accroissements mêmes des perpendiculaires ou rayons ar de la colonne. Or, la courbe dont il s'a^rit ne sera évidemment autre chose (181) que l'hyperbole équilatère construite sur ces mêmes ordonnées et abscisses ; d'où il est aisé de conclure, d'après les observations du n^ 198, qu'en effet, la lon{^ueur \r ou \s, des abscisses propres du profil de la colonne, ont les rapports indiqués avec les ordonnées correspondantes, ar ou es, etc.

En général, on voit que, si la différentielle ou l'accroissement infinimenl petit dr d'une quantité^, variable avec une autre jc, dont elle dépend, doit

demeurer proportionnelle au produit -dx, de sa valeur inverse par l'accrois-

DES rêsistàncbs. 4^3

trouvée ci-dessus, ei de considérations géométriques semblables à celles que nous avons mises en usage dans les n®^ 181 ^l 198; mais nous nous contenterons d'indiquer ici les résultats, pour ceux des lecteurs qui désireraient les appliquer en se servant de la Table (n° II), placée à la fin de ce volume. Dans le cas d'une surcharge, de Q kilogrammes, placée sur le sommet de la colonne, on aura, en nommant b le rayon A[, -de ce sommet, qui sera déterminé par la relation

/e.7:.b'=Q, d'où b = i/^-,

et, dans celui oii il n'existe pas de surcharge et où Ton se donne, à priori, le rayon CL = B, de la base du pilier, on aura, à l'inverse,

oL= — X log. — ; p mo

relations qui serviront à calculer les distances ol et oL, répondant à un rayon quelconque mo, au moyen de la Table -déjà citée.

II est parfaitement évident, d'ailleurs, que tous les résultats qui précèdent sont indépendants de la forme, pleine ou évitée, des sections du pilier, pourvu que ces sections soient, pour les diverses assises, semblables et semblablement disposées autour de l'axe IL.

305. application particulière; limite de relevât ion des édifices. — Prenons toujours pour exemple, la pierre de Jaumont qui donne

-et supposons que le pilier doive porter une surcharge de

«ement correspondant dx de cette autre, la première peut toujours être déterminée par l'aire d'une certaine portion d'hyperbole équilatère, ou par le iogarithme népérien qui représente cette aire.

4o4 MÉCANIQUE 1NPUSTR»LLB.

25oooo kilogrammes sur le sommet. On calculera le rayon b^' par la relation

A"7r6'^= 25oooo*'^ ou i8oooo''»X 3,i4i6.ft'i= 25oooo^»"*;

ce qui donnera

2/1à Irès-peu près. Meitani celte valeur et celle de — dans Tavant*

dernière des formules du n° 304, elle deviendra

0l=:::lG3'",64Xl0g. '''^

Cela posé, demandons-nous à quelle hauteur, au-dessous de AB, se trouve placée la section //mdontlerayonmo = 2",28. On aura à chercher dans la Table (n"* II) le logarithme du quotient de 2,28 et de 0,67, quotient qui est 3,4o4 environ; on trouvera, pour celui du nombre 3,4o qui en approche le plus, en dessous, 1,22378; mais, comme le nombre proposé lui est supérieur de 0,004, et qu'une différence de 0,01, pour ceux de la Table, en donne une de 0,00293 dans les logarithmes correspondants, nous devons augmenter notre premier résultat des 0,4 de 0,00293, ou de 0,00117 environ; ce qui donne finalement, pour In valeur approchée du logarithme de 3,4o4r le nombre 1,22495, ou i,'>.25, avec une exactitude très-suffisante. Ainsi on aura

ol - : iG3"*,64 X i,'22G =- 200"», 46.

On trouverait de môme les autres coordonnées de la courbe, soit dans le cas dont il s'agit ici, soit dans celui qui répond à la dernière des formules du n® 304.

La hauteur qui vient d*êlre trouvée paraîtra énorme, el néanmoins elle croîtrait indéfiniment, quoique lentement, avec mo : par exemple, pour mo = dix fois o"',67 r:r 6™, 7, on trouverait

ol — i63"',()4X2,3o26 — 376"',8,

toujours en se servant de la Table; ce qui sennblerait prouver qu'avec de Tart, il serait possible de donner à nos édifices publics beaucoup plus de légèreté et de hardiesse qu'ils n'en possèdent actuellement. Mais il ne faut pas trop se hâter de tirer de pareilles conséquences, du résultat de calculs fondés sur des suppositions plus ou moins abstraites, et dans lesquels on ne tient pas compte de toutes les circonstances influentes, de toutes les chances de rupture et d'instabilité. Toutefois, ce ne saurait être un motif de négliger les indications de la théorie : lorsqu'elles peuvent s'accorder avec les prescriptions du goût et des convenances locales, elles conduisent toujours à des économies de construction qu'on n'oserait se permettre à priori, sans le secours du calcul.

306. Observations relatives à la forme de quelques parties des édifices et des objets naturels, — On peut croire, sans trop s'aventurer, que des considérations du genre de celles qui viennent d'être mises en avant n'ont point été totalement étrangères à l'établissement de quelques-unes des parties essentielles des édifices modernes, qui sont généralement constituées de blocs disjoints d'assez faibles échantillons, ou d'assises de pierres simplement unies par du mortier. La forme conique ou conoïdale, adoptée pour les colonnes isolées, notamment celle que le célèbre ingénieur anglais, Smeaton, a donnée à la tour et aux contre-forts extérieurs du phare d'Edystone, nous semblent tirer leur origine d'idées plus ou moins analogues à celles qui viennent d'être exposées. A la vérité, les édifices isolés, du genre des phares, et surtout celui d'Edys- Cone, dont le pied est violemment battu par les vagues de la mer, sont soumis à l'action de causes destructrices en apparence beaucoup plus puissantes que celles qui dérivent de la simple compressibillté des matériaux, et parmi lesquelles on doit particulièrement citer le choc de l'air en mouvement ou du vent, dont nous apprendrons plus tard à apprécier l'influence, mais il y a cela d'heureux, que l'élargissement suc- <;essif et rapide de la base des édifices, en raison de l'accroissement de leur hauteur, favorise la stabilité contre l'action de l'air et les causes d'ébranlement quelconques, avec d'autant plus d'efficacité que cette hauteur est elle-même plus consi-

4o6 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLE.

dérable; de sorte qu'en adoptant la forme logarithmique dont il s'agit, et qui, d'après l'observation déjà faite, s'applique tout aussi bien aux massifs pleins qu'à ceux qui sont évidés, il est toujours possible de satisfaire, à la fois, à toutes les conditions de stabilité.

Au surplus, cette même forme s'observe également dans la structure des tiges verticales des grands végétaux, notamment dans celle des arbres, dont le tronc, surmonté d'une tête épaisse, offre presque toujours une grande prise à l'action du vent, réunie à un grand poids. Le principe qui consiste dans l'agrandissement progressif de la base des corps, semblerait donc être l'une des conditions d'économie que la nature s'impose dans ses œuvres, et dont elle offre d'ailleurs beaucoup d'autres exemples non moins remarquables, dans l'évidement des tiges des roseaux et des graminées en général.

On vient de voir comment, dans un support isolé, composé de diverses assises indépendantes, la pression croissant du sommet à la base, il devient nécessaire d'adopter pour leur profil une forme conoïdale ou logarithmique. Mais il n'en est pas tout à fait ainsi des colonnes monolithes ou composées d'un seul bloc de pierre, supposées chargées ou non au sommet. Car, dans un solide homogène de cette espèce, dont la forme serait, par exemple, cylindrique, la section de moindre résistance, celle pour laquelle le renflement transveï^sal serait le plus grand avant l'instant de la rupture, se trouve, d'après le raisonnement et l'expérience (240, 258 et 281), située tantôt vers le milieu de sa hauteur, lorsqu'on peut négliger son poids propre, vis-à-vis de celui de la surcharge, tantôt un peu audessous de ce milieu, lorsqu'il devient nécessaire de tenir compte de l'influence de ce poids dans le cas de colonnes trèsélevées. Il en résulte que ce ne sont pas précisément les parties voisines de cette base*qu'il faut le plus fortifier, mais bien celles qui se trouvent situées un peu au-dessus, vers la section de moindre résistance dont il s'agit. Or celte observation, fort simple, donne une explication plausible des motifs qui ont pu conduire les Grecs, ce peuple si plein de goût et de véritable génie, à renfler le fût de leurs colonnes suivant la forme de la conchoide, dont le tracé est bien connu des architectes, et qui se rapproche beaucoup de celle de la logarith-

DBS RÉSISTANCES. 4^7

mique, vers la partie élevée de la colonne, où elle a pour asymptoie Taxe même de cette colonne. £n général, on aperçoit que les formes, les proportions et les principales dispositions adoptées dans les monuments de l'antiquité, ne sont point le résultat d'un pur caprice ou d'un simple esprit d'imitation, comme on pourrait l'admettre d'après un premier examen ; mais qu'elles dérivent, pour la plupart, de règles qui ont leur source dans les faits de l'expérience et la puissance du raisonnement. L'archilecture gothique elle-même, si bigarre qu'elle paraisse, est fondée, comme on l'a aussi reconnu, sur les principes d'économie et de stabilité des diverses parties des édifices, combinés avec ceux qui dérivent des idées religieuses et mystiques de l'époque.

307. Calcul de Véquarrissage à donner aux supports enbois(*). — Considérons un poteau carré, en chêne, po^é debout, et qui doit supporter une portion connue du poids dont est charge un plancher ou une construction supérieure quelconque. Supposons notamment que ce poteau, vertical, doive avoir 3",9o de hauteur, et porter une charge de :r8ooo kilogrammes à son sommet; cela posé, demandons-nous quelles sont les dimensions horizontales qu'il conviendra de lui donner, non-seulement afin de l'empêcher de rompre ou de fléchir transversalement^ mais encore pour être certain que son élasticité ne sera aucunement altérée; enfin demandons-nous aussi quel sera le tassement ou raccourcissement que sa hauteur pourra subir, et assignons-lui des limites convenables.

Comme nous ne connaissons pas, à priori, le côté des sec- .tions horizontales de cette pièce, dont le rapport à la hauteur exerce ici (269) une influence très-appréciable, faisons une hypothèse : supposons-le de o",5o, ou égal à v environ de sa hauteur totale; on trouvera, d'après les observations de ce numéro, que chacun des millimètres carrés de la section dont il s'agit pourra supporter, d'une manière permanente, un poids d'au moins o^S3o. P^ommant donc x, le nombre, inconnu, des millimètres contenus dans le côté de la pièce, x^ sera celui des millimètres carrés contenus dans Taire de sa section, et

(•) Foir la Note du n° 2i9. (K )

4o8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

Ton aura, pour calculer x^ la relation

OjSx'^aSooo'^»; d'où x ^ ^^93333 == SoS-'^jS.

Mais ces 3o5"",5 ne sont guère que le treizième de la hauteur de la pièce; donc on devra augmenter de quelque chose réquarrisstige trouvé. Afin de le découvrir, on remarquera, toujours d'après le n** 269, que, pour une telle proportion entre la hauteur et le côté de la section, la résistance doit être supposée réduite aux | environ de o^», 3o ou à o''»,25 par millimètre carré; refaisant, en conséquence, les calculs dans celto hypothèse, on trouvera

X = 2v^28ooo — 334*"", 6.

Pour calculer la quantité dont la pièce s'accourcira, on remarquera que, sous la faible charge de o^',i5 par millimètre carré, sa force d'élasticité ne saurait être aucunement altérée, et qu'elle peut être supposée (236 et 269) la même, à peu près, que si les fibres se trouvaient allongées au lieu d'être accourcies. On aura donc, d'après les n"* 271 et 275, la formule

de laquelle, en faisant P^::: 28000*^*, et A =(335)'= 1 12200""*'» environ, on tire: /:— 0,00021 pour raccourcissement proportionnel de la pièce; ce qui donne finalement, pour son tassement total, 3*",9X 0,00021 :=o'", 0008 environ. Ce tassement est trop faible évidemment pour qu'il soit nécessaire de s'en inquiéter dans les constructions, quand bien même on y com-* prendrait celui qui provient du refoulement inévitable des fibres aux deux bouts de la pièce, et qui ne peut guère être inférieur au premier, lorsque les faces n'à)nt pas été exactement dressées et dégauchies. Au surplus, s'il ne s'agissait que d'une construction provisoire, et qui ne dût, par exemple, subsister que pendant le cours d'une seule année, on pourrait évidemment (270 et suivants) diminuer de beaucoup l'équarrissage obtenu par ces calculs, ei courir la chance d'un plus grand tassement des fibres sans compromettre la solidité de l'édifice. •

DBS RfiSISTANGBS. 4^

Dans celle hypoihèse, il n'y auraii certainemenl aucun danger (268 el 272) à porler jusqu'à i^Soo = { 4^»,oo, par millimètre carré de section, la charge absolue d'e la pièce que précédemment on avait prise égale à o^»,3o seulement, et, en répétant les calculs de lâlonnemenl ci-dessus, on trouvera finalement xr=:22o millimètres environ, attendu encore qu'ici l'épaisseur de la pièce n'excédant pas le yï de sa hauteur, on doit réduire la charge (269) à 0,6 X i^Soo = o^«,6o à très-peu près.

368. Question relative aux effets mécaniques de la chaleur, — Proposons-nous de rechercher quel est l'etîort de traction qui serait exercé, par une barre de fer de 5™,5 de longueur, 60 millimètres de largeur et 3o millimètres d'épaisseur, contre deux supports invariables, dans lesquels ses extrémités auraient été solidement encastrées, à la température atmosphérique de 28 degrés centigrades, lorsque cette même température vient ensuite à s'abaisser à 10 degrés au-dessous de zéro, c'est-à-dire diminue, en totalité, de 38 degrés centigrades. On trouve, en premier lieu, d'après la Table du n" 26, que l'allongement ou la dilatation, par mètre, étant de o", 00 122 pour îoo degrés d'élévation de température, il sera de

38 X o", 0000 122 :=o™,ooo464>

également par mètre, pour 38 degrés; et, comme les contractions et dilatations correspondantes aux mêmes abaissements ou élévations de température, sont égales, on voit que o™, 000464 sera aussi raccourcissement que tendrait à prendre la barre, si elle était parfaitement libre. Mais, par hypothèse, elle reste allongée de toute cette quantité, par mètre courant de longueur, en raison de la résistance des supports; elle les sollicitera donc en vertu d'un certain effort qu'on trouvera (236) par la formule

attendu que l'allongement dont il s'agit ne dépasse pas la limite d'élasticité naturelle du fer (298). Dans cette formule d'ailleurs, on devra prendre

4lO MtCANIQUI niDIJSTBlILLE.

' si Ton adopte le millimètre carré pour l'uiiilé d*aire de la section; ce qui donnera pour l'efTorlP, attendu qu'ici i =o,ooo464>

Par conséquent, si, au lieu d'être inébranlable, chacun des supports n'est susceptible que d'une résistance limitée il cédera jusqu'à l'instant où cette résistance sera précisément égale à la force de traction correspondante de la barre, force que, pour un déplacement donné des points d'attache, on pourra calculer au moyen de la formule ci-dessus ou de celle-ci:

en ayant soin de diviser ce déplacement total, mesuré dans le sens de la barre, par la longueur entière de cette barre, afin d'en conclure l'allongement 1, par mètre, qui entre dans la formule.

Quant au cas où, au lieu d'une contraction, la barre, déjà encastrée à ses extrémités, subirait une dilatation par suite d'une élévation ultérieure de température, le petit nombre des données que l'on possède sur la résistance des métaux à la compression (281 et suivants), même aux températures ordinaires, ne permettrait pas de calculer, avec une suffisante exactitude, les cfTorls qui seraient dus à cette dilatation, et qui pourraient être accompagnés, dans quelques cas, d'une flexion transversale, d'une altération moléculaire dont il deviendrait bien difficile de tenir compte dans l'état actuel de nos connaissances.

309 Remarques diverses sur l'application du calcul à ces effets. — Les calculs que nous venons d'exposer donnent une idée de la manière dont on peut avoir égard aux etTets mécaniques dus à l'applicaiion de la chaleur aux pièces métalliques qui entrent dans la constitution des édifices, et dont nous avons cilé plusieurs exemples dans les préliminaires de cet Ouvrage (25). Les changements de température que nous avons eu à considérer dans ces calculs, étaient assez faibles, en effet, pour qu'il nous fût permis de supposer la résistance élastique de la barre à peu près constante dans les deux étals. Mais, si

la variation de température à laquelle se trouve soumise une pièce de fer était capable d'amener un changement notable dans sa constitution moléculaire, si, par exemple, on prétendait appliquer ces calculs au cas des bandes ou frettes de roues, aux ceintures des dômes des grands édifices, etc., pour la pose desquelles on fait usage d'une assez haute température, alors il deviendrait nécessaire d'avoir égard à ce changement d'état moléculaire, lors du refroidissement du fer, soit sous le rapport de l'affaibljssement de la ténacité provenant du recuit, soit sous celui de l'altération de l'élasticité qui résulte de rétendue même des allongements ou des contractions subis par chaque pièce; et c'est à quoi ou parviendrait, d'une manière approximative, à l'aide des données de la Table du n*" 289, ou d'une Table analogue, si la loi des dilatations relatives à de hautes températures était suffisamment bien connue. Or il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi ; et l'on sait, par les savants travaux de MM. Dulong et Petit, dans lesquels le platine, le fer et le cuivre notamment ont été soumis à des températures de 3oo degrés centigrades, que les dilatations suivent une marche progressivement croissante, variable avec la nature et l'état moléculaire de chaque corps. Toujours est-il que les effets dus à la contraction et à la dilatation des métaux par suite des changements de la température, doivent être d'autant plus considérables, que ces changements le sont euxmêmes davantage.

Quant aux allongements qui répondent à la limite de l'élasticité naturelle de chaque métal, on peut s'assurer, par la comparaison des nombres de la Table du n^298, avec ceux qui sont rapportés en détail dans les Traités de Physique, et dont nous avons donné un simple extrait au n"* 26, que, pour le plomb, le laiton, et le fer ductile, ou recuit en particulier, ces allongements correspondent toujours à des températures inférieures à loo degrés, et auxquelles par conséquent les calculs ci-dessus demeurent applicables. En effet, pour les métaux dont il s'agit, les allongements relatifs à la limite d'élasticité étant respectivement de 0,00067, 0,001 35 et o,ooo54, on trouvera, pour les limites correspondantes de la température, les nombres 23", 5, 69«,8 et 46°>6 environ.

Remarquons, au surplus, que, si les résultats des expé-

4l2 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

riences citées au n" 285 n'ont pas jusqu'ici permis de constater, avec exactitude, les diflférences de ténacité dues aux variations de température, cela tient essentiellement aux nombreuses causes d'incertitude qui accompagnent le phénomène de la rupture, et, surtout, à l'impossibilité d'opérer constamment sur un même corps ou sur des corps identiques. Or ces difficultés ne se présenteraient pas, si l'on se bornait à observer la loi des premiers allongements en deçà de la limite 011 rélaslicité s'altère, et l'on ne saurait trop encourager les physiciens et les ingénieurs à entreprendre de semblables expériences. Il serait possible, en effet, d'y tenir un compte exact des variations de la température, qui, pour les fils métalliques en particulier, doivent, comme on l'a vu, exercer sur ces premiers allongements une influence très-comparable à celle des poids mêmes que ces fils supportent, et desquels on conclut spécialement les valeurs du coefficient d'élasticité. A l'égard des bois, des pierres, et autres corps spongieux, on sait que l'influence des changements de la température peut être, en partie, masquée (11) par celle de l'état hygrométrique de l'air, de sorte qu'il deviendrait nécessaire d'en étudier séparément les effets, si l'on tenait à une rigoureuse exactitude. Mais, comme la quantité d'humidité ou de vapeur d'eau, contenue dans l'air atmosphérique à l'état naturel, est assez étroitement liée à l'élévation de sa température, il suffirait, quant à l'objet des applications ordinaires, de tenir note de cette dernière, dont les effets mécaniques, sur les pierres du pont de Souillac, ont été spécialement signalés et étudiés par M. Vicat, dans'un intéressant article inséré aux Annales des Ponts et Chaussées,

310. Formules et calculs relatifs à Vinjluence exercée par le poids des prismes sur leur résistance à l'allongement, — Soit ^B (Pl,I/,Jig, 5o), un prisme homogène, de longueur L et de section A, suspendu verticalement à un point fixe, Jy et chargé à son extrémité inférieure, B, d'un poids Q; nommons D la densité, et ;? = A.D le poids de l'unité de longueur ou du mètre courant de ce prisme. Considérons, en particulier, l'un de ses éléments, abcd, de longueur infiniment petite, ab ou cd, de poids p,ab, et situé à la distance 65, de l'extrémité

inférieure B dont il s'agit; ab et bB se rapportant, de même que L ou AB^ A et ;?, à Tétat primitif ou naturel de ce prisme, c'est-à-dire à celui qui correspond, par exemple, au cas où il se trouverait posé, dans toute sa longueur, sur une table de niveau, sans être sollicité par aucune force. Il est évident que, pour la position verticale, l'élément ab^ se trouvant chargé, dans l'état d'équilibre, du poids Q, augmenté de celui p.bBy qui correspond à toute la longueur 6£, il s'allongera d'une fraction i, de aft, qu'on trouvera au moyen de la formule du n*» 236, laquelle, en remplaçant ici P par Q -hp.bB^ donnera

.Q-hp.bB

et, par conséquent, pour l'allongement absolu de ab, . . Q-i-p,bB , [ Q p.bB\ .

formule qui aura lieu pour un élément quelconque du prisme, et qui suppose seulement que la charge, Q -h p.bB, n'excède jamais la limite pour laquelle l'élasticité cesse d'être parfaite, ou les allongements, d'être proportionnels aux charges correspondantes.

Allongement de la partie inférieure du prisme, — Si l'on veut maintenant obtenir la quantité dont se sera allongée toute la partie bB du prisme, il faudra évidemment faire la somme de toutes les valeurs du produit infiniment petit, i.aft, relatives aux différents éléments semblables, qui sont compris depuis le premier, abcd, jusqu'au point d'attache, fi, du poids Q. Or c'est à quoi l'on parviendra, par les méthodes dont on a fait usage notamment aux n"* 108, 110 et 135, c'està-dire en élevant aux extrémités, 6, de ces éléments, des ordonnées ou perpendiculaires, bb\ à l'axe du prisme, qui soient proportionnelles ou égales aux valeurs correspondantes de I. Car ces ordonnées se composant, d'après la formule cidessus qui donne /, d'une première quantité ou longueur constante bn=: BB'=.^~y et d'une autre, '^^'^^'e"» ^"'

4l4 MÉCAMQUB INDUSTRIELLE.

croît proportionnellemeni à la distance» bB, de chaque élément à l'extrémité inférieure du prisme, ces ordonnées, disons-nous, auront toutes leurs extrémités, B', 6', ^', situées sur une même droite, A'R, inclinée par rapport à Taxe AB, el qui formera, avec la portion bB de cet axe, et ses ordonnées extrêmes, BB' et 66', un trapèze, BB'b'by dont Taire

^bB(BB'^bb') = bB{BB'^\nb') ou 6fi/^-+-flA|\

représentera l'allongement total subi par la partie bB.

Allongement de la partie supérieure Ab. — Cet allongement sera évidemment donné par Taire du trapèze correspondant, bb'À' A^ qui a pour mesure

attendu qu'on a ici

(j + p.AB

et toujours

Q-^p,bB

Mais bB est la même chose que AB — bA ou L— bA^ et par conséquent, p.bB =p»L— p,bA; donc Tallongement cherché de 6A est

^^^V A.E ^TTË;- A.E ^^ ^m^^'

résultat auquel on arriverait directement encore par la considération de la figure.

Allongement total, — Considérant, en particulier, Tallongement total de la barre AB ou L, sous Tinfluence réunie de son poids et de la charge Q, on aura, d'après Tune ou Tautre des formules ci-dessus, pour calculer cet allongement que nous représenterons par /', l'expression

DBS RÉSISTANCES. ^ï5

qui se compose de deux termes distincts, dont le premier est relatif à rallongement que produirait la charge Q, indépendamment du poids des parties du prisme, et dont le second se rapporte essentiellement à ce dernier poids, considéré, à son tour, comme s'il agissait seul, et abstraction faite de Q. Or ce poids étant mesuré par le produit pL, on voit que, pour avoir égard à son influence, il suffira, comme cela a été indiqué au n" 243, d'en ajouter la moitié à celui de Q, pour olHenir, surle-champ, la valeur de rallongement total du prisme; ce qui n'empêche nullement que rallongement proportionnel, i, subi par l'élément situé en J , ne soit dû à la charge entière Q-t-pL.

Application numérique, — Supposons, afin d'offrir un exemple,

AB ou L==io"*, A=:o"'*i,oo25 ou 25oo"'"»^, et Q = 10000^»,

ce qui correspondra à une surcharge de —z — = ^^^0 seulement par millimètre carré. Soit, de plus,

D= 7800^» ou ;? = 78oo^»Xo"**ï,oo25 x i"= ^g^SS, E = 20000000000^' par mètre carré,

valeurs qui conviennent indistinctement (292) au fer forgé ou laminé, on aura, pour la première partie de l'allongement,

pour la deuxième,

; ^ L'= -^^ = o",ooooiq5.

On voit, par ce dernier résultat, combien peu le poids propre de la barre exerce d'influence pour le cas du fer; mais, en refaisant les mêmes calculs sur un prisme de plomb pareil, on trouverait que cette influence, quoique assez faible encore, devient néanmoins sensible, de même qu'elle le serait évidemment aussi pour ur>e barre de fer chauffée au rouge vif, etc.

4l6 MÉCÀlfIQUB INBUSTEIBLLB.

311. Limites nelatives et absolues, de la hauteur des prismes suspendus verticalement à un point fixe, — Parmi les questions intéressantes dont la solution se rattache au point de vue qui nous occupe, nous mentionnerons celles où l'on demande le maximun de hauteur qu'il serait permis de donner à un prisme suspendu verticalement à un point fixe, pour que sa force de ténacité ne put être vaincue, ou son élasticité être altérée sous l'action du poids de ses propres parties.

Limite relative à V élasticité. — L'élément supérieur de ce prisme devant supporter la charge /^L, tout entière, subirait un allongement proportionnel i', qu'on trouverait évidemment (236 et 310) par la formule

' ""ÂTË~ "¥"'

puisque p = A.D, et que l'élasticité est supposée parfaite; ce qui donnerait réciproquement» dans la même hypothèse, et en prenant seulement (298) /'= o,ooo5,

AEi' E.i' 2oooooooooo^« ^ ^

L = = ^=7- = ô — r- o'",ooo5 = 1282",

pour la limite de la hauteur qu'on devrait donner à la barre de fer, afin d'éviter que son élasticité ne fût énervée sous l'action, même momentanée (293), de son propre poids.

En recherchant, dans les mêmes hypothèses, quel serait l'allongement total, /', subi par celte barre de 1282 mètres de hauteur, on trouverait

/'= ji'L = ; o,ooo5 X 1282™ — o"',32o5, valeur qu'on obtiendrait directement aussi par les formules