H' = ^-^ [(T;. - /;.) AL - (Q + Q') (L

pour la deuxième,

(r,-/',.)AL-f-2QH'

[(i;-/:.)AL-+-2QH']' Q»H'

4(H'-hL'-/')» H' -4-L'-/'

formules dont nous ferons bientôt l'application à un exemple particulier.

Quant au cas où la rupture du prisme s'opérera avec une certaine vitesse que nous continuerons de nommer V, il est aisé d'apercevoir, en se reportant aux raisonnements du n** 324, ou au principe des n°» 136 et 137, que la première des équations rapportées ci-dessus (342) demeurera applicable, pourvu qu'on

498 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLE.

y remplace / par V =r IL, et T^ par la résistance vive du prisme que fournissent directement les Tables ou les données de l'expérience; c'est-à-dire qu'on aura la relation

V' Vî,, ,, (T, -C)AL

— — Li — I -pr pr

qui fera connaître immédiatement Y» ou sa hauteur due,

H= — > au moyen de V,, ou de sa hauteur due (34-2),

H, = ^ ^, H', quand tout le reste sera donné à priori.

Cette même relation permettra, à l'inverse, de calculer la résistance vive, T^, du prisme, quand il sera possible d'observer directement, dans des expériences, la valeur finale de V et de / ou L' ; ce qui peut se faire au moyen de procédés faciles à imaginer, et sur lesquels il serait ici inutile d'insister. La relation dont il s'agit donne, en effet, par des transformations algébriques très-simples, cette autre formule :

(Q + Q')(L'-/') . {Q + Q')/Vî

AL AL \^g 11g i

qui est, ainsi que les précédentes, susceptible d'une interprétation très-claire, et propre à en faciliter les applications et l'intelligence. Il suffit, pour cela, de remarquer que le rapport

T indique la charge, par millimètre carré, qui a lieu après

l'instant du choc; que — = — z= 1 — 1' exprime la différence

des allongements proportionnels, relatifs à la rupture et à la charge permanente, Q; qu'enfin le facteur, dans lequel entrent V et V,, représente simplement la différence H, — II, des hauteurs dues à ces vitesses.

3/1-4. Questions particulières concernant la rupture des prismes par le choc, — Soit, en premier lieu, un barreau de fer de 100 millimètres carrés de section, de 3 mètres de longueur, soumis préalablement à l'action permanente de 200 kilogrammes, sous laquelle il a déjà pris un allongement de

D£S RÊSISTANCK8. 499

0,000 1 X 3'"=:o"',ooo3, le coefficient d'éiaslicitè^E, étant supposé de 20000 kilogrammes par millimètre carré; on demande quel est le poids qui, en tombant sur cette charge, de la hauteur H' = 2", ou avec la vitesse verticale, V a= 6*", 26 par seconde, serait capable de rompre instantanément ce barreau, dont le fer est d'ailleurs supposé très-ductile, et d'une qualité comparable à celle du fer qui a été soumis, par M. Bornet, à une expérience dont les résultats sont consignés dans le tableau du n« 289?

En consultant le tableau du n^ 296, qui découle directement du précédent, on trouve que la résistance vive de rupture d*un tel fer, par millimètre carré de section et par mètre de longueur, a pour valeur approximative, la quantité de travail T,. =:4^«'",5; c^ qui donne, pour résistance vive totale, Tr, du barreau,'r^.AL = 4*'*"*>5 X loox 3 = i 35o»^»".D'un autre côté, on lit sur la ligne horizontale correspondante au premier de ces nombres, que l'allongement final, ou à l'instant qui précède immédiatement la rupture, est de 132""", 5 pour i mètre de longueur, ou de 0^,3975 pour les 3 mètres, allongement visà-vis duquel on peut négliger celui qui est dû à la charge permanente des 200 kilogrammes, de même aussi qu'il sera permis de négliger le travail tr

ou C.ALz= j200^»X0"*,0003=::0'^«'",03,

relatif à cette dernière (257), par rapport à celui des i85o kilo- ^rammètres que suppose la rupture effective. On aura donc approximativement, pour le cas qui nous occupe,

(T; - t',. ) AL = 1 35o''»»', L'-l'=: o»», 397 , QH' =^ 200^» X 2"» = 4oo''«"', O'H' 80000

-ces quantités étant substituées dans la seconde des formules du précédent numéro, qui se rapportent au cas particulier où le choc est censé produire strictement la rupture, sans force

5oO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

vive excédante, il viendra

d'où résulte, pour la valeur qui doit être donnée au poids du corps choquant, Q'=858^»,o6 — 200''» = 658^», 06.

Si, tout restant d'ailleurs semblable, on se donnait, à priori^ cette même valeur, et qu'il s'agît, à Tinverse, de rechercher quelle devrait être la hauteur minimum, U', d où il faudrait laisser tomber verticalement ce poids, pour produire la rupture immédiate du prisme, on aurait recours à la premièredes formules mentionnées, par laquelle on obtiendrait, en effet,

ce qui peut servir de vérification au résultat de nos premier» calculs.

Si, au lieu d'un barreau de fer ductile, on en avait considéré un de fer fort ou d'acier trempé, on aurait dû s'attendre, d'après les observations du n*" 296, à des résultats trèsdifférents, c'est-à-dire beaucoup plus faibles que ceux qui viennent d*èire obtenus. Et, en ellei, si l'on prend, conformément aux indications du tableau de ce numéro, pour l'acier trempé et recuit au bleu de ressort, V^. == o'^»™, o58, 1 = 0,002 5^^ et qu'on tienne compte, ce qui est nécessaire alors, des valeurs o",ooo3 elo''"'",o3, de / et de ^, on trouvera, en prenant, par exemple, Q'r=658^«,o6,

H' = 77?Fîrhr7J ' 7^'*"» ^7 - SSS'^'' «6 >< o", 00726 ) = o»\ 0022,

hauteur de chute fort petite par rapport à celle qui produisait la rupture dans le cas précédent.

345. yéutve question relative au cas où le choc ne serait pas suivi de la rupture immédiate du prisme, — Si Q', H' ou V%

DBS RÉSISTANCES. Soi

liaient à l'avance connus ou donnés pour le barreau de fer qui nous a d'abord servi d'exemple, on serait naturellement conduit à rechercher l'étal auquel le choc le ferait parvenir, à l'instant où le plus grand allongement se serait opéré, et, notammenl, on aurait à s'assurer si la rupture immédiate pourrait s'ensuivre, et quelle serait, dans cette hypothèse, la vitesse finale, V, conservée par les masses qui se sont choquées. Or Tavant-dernière des formules posées dans le n** 3^3, donne, sur-le-champ, pour calculer la hauteur due à cette vitesse,

OÙ il n'y aura qu'à substituer, aux différentes lettres, les valeurs qu'elles représentent, et qui, par hypothèse, sont toutes connues.

Par exemple si, tout restant le même que dans la dernière des questions du n''345 ci-dessus, on se donnait de plus, arbitrairement, Q'= looo*'*, on trouverait

„ / I ooo \ * ^ ^ I 35o H = X 2 4- o'»,397

= i«,389-f-o'",397 — !•", i25=ro™,66i,

hauteur à laquelle correspond, d'après la Table (119), une vitesse de S'^fGo par seconde.

Mais si, au lieu d'un résultat positif et absolu» tel que le précédent, on eût obtenu un négatif, c'est-à-dire si la somme des termes soustractifs de H l'eût emporté sur celle des termes additifs, alors la valeur de V, fût devenue imaginaire ou impossible, et l'on eût, par là, été averti que l'hypothèse de la rupture était absurde, et qu'il eût été nécessaire de recommencer les calculs sur une tout autre base.

Cette circonstance arriverait, en particulier, si l'on prenait

i}'==S5o^*, par exemple, au Ijeu deiooo kilogrammes, et c'est

ce qu'on voit, à priori, par le résultat que nous avons obtenu

ci-dessus (34>i), pour la valeur de Q', qui produit strictement

la rupture. 11 conviendrait alors de se reporter au cas générai

U ( 3W ), où V devient nul sans que, pour cela, L' ou / = j- et T,

^2 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

cessent d'élre inconnus; ce qui donnerait ici, en continuant de négliger la considération des quantités très-petites /'^ et r

ou i'

T'^Q±Q: . ^ 75o 3ooX75o

pour l'équation de la droite dont il a été parlé dans cet endroit, et à l'aide de laquelle on efTectuera les constructions ou tâtonnements qui s'y trouvent indiqués.

Supposant, par exemple, i = o,iooo, allongement proportionnel voisin de celui, o,i325, qui correspond (3W) à la rupture du prisme de fer dont on s'occupe, on en déduira

T^ = 7,5 X o, looo -h 2,689 =: 3^»"», 439,

pour la valeur du travail que devrait développer la résistance, V\ d'un prisme de même matière, de i millimètre carré de base et I mètre de longueur, sous un effort capable d'un pareil allongement, si la valeur particulière, attribuée à ce dernier, était exacte, ou que celle de V fût réellement nulle quand il a lieu pendant le choc.

Or, d'après les résultats de l'expérience, rapportes sous ht lettre (F) au n*» 289, ou donnés par la courbe (F) de \'àjig. 4^» PL II, on trouve, par une première approximation, que la résistance P', dont il s'agit, est moyennement égale à 3i kilogrammes, pour tout l'intervalle compris depuis £ = 0, 1000 jusqu'à I i=o,i325, où la courbe diffère peu d'une ligne droite; on aura donc, pour le travail correspondant,

31*^*. (0,1 325 — 0,10000) = i'^»"',oo75,.

lequel, retranché de la valeur maximum 4''*", 5o attribuée (3^4) à la résistance vive de rupture également par millimètre carré de section et par mètre de longueur, conduit à la quantité de travail, 3*'»", 4925, supérieure encore, mais de très-peu, à celle qu'a fournie directement l'équation ci-dessus; ce qui prouve que l'allongement final du prisme, sous le choc, a été pris un peu trop grand. En le réduisant d'une irès-pelile quan-

DES RÉâlSTANCBH. 5o3

tité, qu'il est facile de déterminer approximativement par les données de la^g^. 4^, et recommençant les mêmes opérations, sauf à évaluer, cette fois, si le cas Texige, d'une manière plus rigoureuse, Taire de la courbe (F), comprise entre les coordonnées qui correspondent au plus grand allongement, o, 1 3^5, et à celui dont il s*agit, onarriverait promptement, par ce tâtonnement, à une valeur de i ou de T,,, aussi exacte qu'on puisse le désirer, et qu'on obtiendrait d'ailleurs directement par la méthode graphique du n® 3^2, si la coui'be auxiliaire, dont il y est parlé, se trouvait tracée ainsi que la droite représentée par l'équation, ci- dessus, en i et T^.

Mais, quel qne soit l'attrait qui s'attache à de semblables questions, l'étendue excessive qu'a prise, comme malgré nous, l'exposé des matières traitées dans les précédents Chapitres, et dont l'utilité et l'importance, sous le point de vue pratique, pourront nous servir d'excuse, cette étendue nous oblige à terminer ici le cercle, naturellement très-vaste, des applications qui concernent la résistance directe des corps, limités, même, aux solides cylindriques et prismatiques.

FROTTEMENT DES SOUDES.