LIVRE III

lA alreoBféreaee «t le eerele.

628. Le cercle est uoie surîace plane daas Uqaeik est un jp^Mt O, tel que taules les droites menées de ce point au conloiir Fis» ^y de la surface sont égales entre elles. Ce point est le

ceatrA du cevole. Le contour ou périmètre du cercle /\^'~...\^ s'appelle droenférence. Toute droite OA menée du

l \ ^^ centre à la citconférence se nomme rayoru \ ^ \ / iiusi la circonférence est le lieu géométrique des

^3^ points si tués- à une distance du centre égale au rayon

Deux cercles de même r^yon sont égaux, et leurs civeonféceiiQeasoat éipales.

9Si^. L'arc est une partie BmC die la circonCéreaca. La corde ou sous^tendante d'un mrc est la droiia BC qui ^oÎAt las estré* mUés de Tare.

Toute corde £D qui passe par le centre est un diamètre, Sout diamètve est double du rayon. Gomme les rayons d'un même cercle sont qgaux entre eux, il en résulte aussi que tous les diamètres sont égaux.

Toute corde BC qui ne passe pas par le centre est moindre que le diamètre.

650. Tout angle AOD dont le sommet est au centre du cercle s'appelle arigle au centre.

631. Un angle au centre et un axe sont correspondants Vun à Vautre, lorsque Tangle a pour c6tés les rajoos ttanés aux extrémités 40 ïatc. Tels sont Tangle AOD et Tare AD.

452. La partie BmC de cercle comprise entre un arc et sa corde BC •e nomme seg^ment drcutenre. Cette ctypic es^fhi^aje du segment.

425. La partie AOD de cercle comfprise eotre ua arc AD et les rayons

QA, ÙD ioenés à ses extrémités s'appelle secteur circulaire, Uarc AD est

la base du secteur; le centre du cercle en est le sommet.

654. La pi js grande corde que Ton peut mener par le point m, pris

dans rintérieAir mu cercle, .est le diamètre S>D' #ui

passe par ce point; et la |)tliu petite est 1» cocde Al

perpendiculaire au diamètre DD'.

65^ Tout diamètre ]M)% perpendiailairt à «Oi corde AB, divise cette C4irde etcfaacua des arcssoa»tendus en deux parties ^ales : anA=: mB, Byi^M ^

UYH» nu ^ hà CiHOONFÉAMI» iEl HM HmChB.

Fî«. 48.

Fig. 4y.

6$$. ItauASMn jméine 4uu*cla ou dans deux ûenoAeft égêux :

4* Deux arcs égaux ADB, Â'D'H'sonl sous^tQiklus par des corde* ^g&les AB, A'B', et réciproquement.

2* De deux arcs, le plus grand est sous-entendu par la plus grande corde, et réciproquement

3- Deux cordes égales AB, A'B' sont également distantes du centre, OD = OD' (fig, 48), et réciproquement

i* Jà(B iieux isorde* AJ»« AW (fig. 19), la plus grande AiB ^st la moins éto*gDôe4u ceato, ÛA < Od', «I sécipistquemeat

4»' A des «ânes égaux A»B, A'D'B', IJlg. 47) eonreepondent des angles au cenlre € ^ C âgaux^ et réciproquemeal

6* A uji |iXus 4ÇFaod ^c corjres^ood un plue grand angle au centre, et réciproquement.

7* Deia cordes égales AB et A'B' {Jig, 47) sont les basée de segments égaux^ et jréciproquemaat

^ Deux arcs égaux ADa et X'IXB' ifig. 43) sont les bases de secteurs égàvj^ et réjciproquement

637. Une droite BG est inscrite dans un cereU{0g. 4S} \mm{\t^iÙm a •M exlfléflûléfi eof k cweonl'érettee.

•Si. L'angle GftD fermé par 4en «ordes qtri se renetmtrent 9iir tK qrcoaiëfence ^ap^He angle mscrit (fig, 4^.

<M. Fn aiigr/e ej< inscrit dons un segment lorsqu*il a pour côtés les droites menées d'un point de Tare du segment à ses extrémités.

MO. Un segment est capable dun certain angle lorsque tout angle inscrit dans le segment est égal a Tangle proposé (654).

641. Un polygone inscrit est celui dont tous les côtés sont inscrits dan» le cercle (Jig. 59). On dit alors que le cercle est circonscrit au polygone.

642. Lorsqu'une droite coupe une circonférence en deux points, elle pread le nom de sécante,

645. Une ligne droite X^ et une circonférence 0 sont taoigentei lorsqu'elles ont un seul point commun m. On peut considérer la tangpenle comme la posiiioo liioite d'une «étante dont l6« deux poiois d'intersealion se sont rapprochés de plus en pbis jusqu'à se confondre

La perpendiculaire AB menée à rextréiailé du rayon Om est tangente à la circonférence.

On dit également que la droite AB et le cercle 0 eoat tangente.

fig. 90.

644. Deux circonférences 0 et 0' sont tangentes lorsqu'elles ont un

seul point commun m. Elles

Fig. »i.

Fig. 52.

Kg

sont tangentes extérieurement ou intérieurement selon qu'elles sont extérieures ou intérieures Tune à Tautre. On dit également que les deux cercles 0 et 0' sont tangents.

Deux circonférences tangentes en un môme point à une même droite soiit tangentes entre elles.

Le point commun à une tangente et a la circonférence {fig. 50), ou à

deux circonférences tangentes (fig. 51 et 52), s'appelle point de contacL

64K. Deux parallèles interceptent sur la circonférence des arcs égaux;

cela est vrai quand les parallèles sont deux cordes

ÂB, CD, ou deux tangentes EF, GH, ou encore une

corde et une tangente AB, EF.

Réciproquement, deux cordes, deux tangentes ou une corde et une tangente qui interceptent des arcs égaux sont parallèles.

646. Un polygone est circonscrit à un cercle lorsque chacun de ses côtés est tangent à la circonférence en un point situé entre ses extrémités {fig. 60). On dit alors que le cercle est inscrit dans le polygone.

647. Une droite est normale ou oblique à une circonférence ouà^un arc qu'elle rencontre enun points selon qu'elle est perpendiculaire ou oblique à la tangente menée en ce point à la circonférence ou à l'arc (643).

648. Deax cercles ou deux circonférences sont concentriques lorsqu'ils ont même centre.

649. Lorsque deux cercles non concentriques sont dans un même plan, la droite indéfinie menée par les centres des deux cercles se nomme ligne des centres.

650. On peut toujours trouver un point également distant de trois autres non en ligne droite, et situé dans le plan de ces derniers. Ce point est le

centre de la circonférence qui passe par les trois points donnés (Voir Problèmes).

Par trois points non en ligne droite on peut toujours faire passer une circonférence ; mais on n'en peut faire passer qu'une.

Deux circonférences ne peuvent se couper en plus de deux points.

651. Lorsque deux circonférences sont tangentes extérieurement (fig. 51), la distance des centres est égale à la somme des rayons. Si les circonférences sont tangentes intérieurement ( fig. 52) , la distance des centres est égale à la différence des rayons.

La ligne des centres passe par le point de contact.

Fig. 54.

LITRE m. — LA CIRCONFÉRENCE ET LE CERCLE.

Kg. 55.

Lorsque deux circonférences n'ont aueun point commun, la

distance des centres est plus grande que la somme des rayons ou moindre que leur différence, selon que les circonférences sont extérieures ou intérieures Tune à Tautre.

6So. Lorsque deux circonférences se coupent, c'est-à-dire sont si"

Fig. 5l

Pig. M.

cantesy la ligne des centres est perpendiculaire sur le milieu de la droite mp qui joint les points communs, et la distance des centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence : on a 00' < Ow + O'm et 00' > Om— O'm (602). Réciproquement, quand la distance des centres est moindre que la somme des rayons et plus grande que leur différence, les circonférences se coupent.

Lorsque deux circonférences ont un point commun m hors de la ligne

des centres, elles se coupent en un second point p situé de Tautre côté

de la ligne des centres, sur la perpendiculaire à cette ligne et à la même

distance que le premier.

6M. Tout angle inscrit BCD est la moitié de Fangle au centre BOD

correspondant à Tare BD compris entre ses côtés.

Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux.

Tout angle GBD inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

La circonférence décrite sur une droite comme diamètre est le lieu géométrique des sommets de tous les angles droits dont les côtés passent aux extrémités de la droite (566).

Tout angle ACB formé par une tangente ÂC et une corde CB est moitié de fangle au centre COB correspondant a Tare BC compris entre ses côtés; il est par conséquent égal à tout angle inscrit dans le segment CDB qui a la corde GB pour base.

6S5. Dans tout quadrilatère inscrit lés angles opposés sont supplémentaires, A-|-C= B+ D = 2 droits, et réciproquement.

656. Dans tout quadrilatère circonscrit la somme AB + DC de deux côtés opposés est égale à la somme AD + BC des deux autres, et réciproquement.

657. Les trois bissectrices des angles d*un triangle se coupent en un même pointe, qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle [fig, 61).

Fip. 59.

Fig. 60.

mOlSIÉMB PAIITIK. *~ «âOM^hntlE PLANE.

\m trois bissectrices des angles extérieurs du triangle (ftg.Wl se ng^ et. rencontrent deux à deux sur chacune

des bissectrices des angles intérieurs, et ces points de concours sont les centres de trois cercles tangents chacun à un côté du triangle et aux prolongements des deux autres. Ces cercles sont dits exinscrits au triangle.

«;Î8. Les trois perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d^un triangle se coupent en un même point 0,qui est le centre du cercle circonscrit (fig. 63).

0i>9: Les trois médianes^ c'est-à-dire lès trois droites qui joignent les sommets d'un friangh! aux Aiilieux des côtés opposés se rencontrent en un même point, qui est le eenfre de gravité du triangle (Voir Mécanique).

090. On nommeoâflprodfcaf dedeuTcirconférences (Jlg. 64), le lieu ^ométHque XX', tel que de fun quelconque M* de ses points menant deux tangentes MT, MT^aux circonférences, ces tangentes sont égales. ÎX' étant une ligne droite perpendiculaire à la ligne des centres 00', menant une tangente commune extérieure aux deux circonférences {Voir Problèmes], déterminant le milieu M' de la partie comprise entre les points de contact K, K', ce milieu appartient à Taxe radical, qu^on trace alors en menant par M' une perpendiculaire à OO'.

^ les deux oireonférences sont tangentes intérieurement' ou extérieurement, l'axe radical est la tangente; commune menée au point de contact, et si les deux circonférences se coupent, Ta^e radical est la corde commune prolongée indéfiniment dans les deux sens.

Fig. 68.

PiR. ei.

UTRE nr. — i.as'»MT«OM»«gmt;iBiiM mtk •wtsmae des angles. 239