TRIGONOMÉTRIE
1082. L objet spécial de la trigonométrie est de fournir des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle (angles et côtés), quand on a des données suffisantes pour les déterminer (969 à 972).
Bemarque. Un polygone quelconque étant composé de triangles, il en résulte que le but plus général de la trigonométrie est de soumettre au calcul, dans tout polygone suffisamment défini, les relations qui existent entre les directions et les grandeurs des côtés et des diagonales de ce polygone. *
DETERMINATION d'uN POINT.
1085. Moyen de fixer la position d'un point sur une ligne. Comme oti peut prendre sur une ligne, à partir d'un point de cette ligne, une même longueur dans les deux sens (556), il en résulte qu'il ne suffit pas de connaître la distance d'un point k un point déterminé de la ligne, pour connaître la position du premier ; mais qu'il faut en outre connaître le sens dans lequel on doit compter cette distance.
Pour simplifier les expressions et faciliter les calculs, on est convenu de considérer les distances portées dans un sens comme positives, et celles prises dans l'aptre sens comme négatives. Pour cette raison, dans les calculs, les premières distances s'affectent du signe +, et les s<icondes du signe — (410). On a l'habitude de considérer comme positives les distances portées dans le sens de gauche à droite et de bas en haut, et comme négatives celles comptées de droite k gauche et de haut en bas.
1084, Le point fixe 0 d'une ligne, k partir duquel on compte les distances prises sur cette ligne, prend le nom d'origine.
Quand la ligne sur laquelle on compte les distances est droite, elle prend le nom d'orr^.
La distance d'un point quelconque de l'axe k l'origine prend le nom d'abscisse; on la désigne généralement par x, que l'on afiecte du signe 4du du' signe — selon qu'elle est comptée dans un sens ou dans l'autfr.
Fig.
>1ff
358 QUATRIÈME PARTIE. — TRIGOîfOMÉTRlE.
I08S. Étant données deux directions xx' et yy\ que nous supposerons rectangulaires entre elles, on connaîtra laposi-tion d'un point quelconque du plan de ces deux directions quand on aura les projections de ce poird sur k» érêiiesxM! '0t yy' (689).
En effet, p et g étant les projections d'un point sur les droites xx^ et yy\ élevant des perpendiculaires indéfinies pM. et qM. à ces droites, chacune de ces perpendiculaires contiendra le point, qui est alors leur point unique de rencontre M. ^ Le point M étant déterminé quand on a se» projections p et g, comme ces projections le sont par leurs distances à une origine prise sur chacun dos axos rrx', yy' (1083), un point est donc déterminé dans un plan quand on connaît les abscisses de ses projections sur deux axes rectangulaires tracés dans ce plan.
On prend pour origine commune sur les axes xxf et yy' "le point de rencontre 0 de ces axes.
Ces axes prennent le nom d'axes coordonnés. L'axe xx' est Y axe des abscisses ou des x.
L'axe yy' est Yaxe des ordonnées ou des y, c'est-a-dire que les longueurs comptées sur cet axe à partir de Torigina 0 sont appdées ordonnées, au lieu d'abscisses.
'Ox est la partie des abscisses ou des x positives, et Ox' celle des abscisses ou des X négatives. De même Oy est la partie des ordonnées ou des y positives, et Oy' celle des ordonnées ou des y négatives.
L'abscisse Op de la projection p est aussi l'abscksc du point M. Comme (m a Op=: Mg, on voit qae Tub^cisse d>in peint estk difitanoedu poMBt à Taxe des y. Cette abscisse, que l'on désigne p«r se, «st poiâtîve on wégative selon qu'elle «eert comptée sur Ox ou surOx', c'««t-4MHre sel0ii^e le point est à droite on k gauche ée V^ae des y.
De même, Fordonnée^Og <1e la projection q est l'ordonnée an pointll. dn a aussi Oq = Mp, ce qui fait vo^ que Tondonuée d'un point quelconque est la distance de ce point k l'axe des x. L'ordonnée *e Aéskgme par la kttre y, et etle est positive on négative suivant que le point se ' trouve au-dessus ou au-dessous de Taxe des x.
L'abscisse et Tordonnée d'un point ©ont les coordonnées de ce p«tfft. Ainsi un point est déterminé par les veUeurs ntfj^briquês ^àe «©y coordwmées xety (44 1).
On a :
Pour M, x= + Op et y^^Oqi M', x = — Op' et y = + 0^; M", x = -0p' et y = -(>g'.; M'", X = + Op et y = — Oq\
Quand x«o, c'est que le point «et sitaé sur l'axe des y; y «^ «ùidif tte qu'il se trotrve sur l'axe des x^ et si l'on a à la fois x s-O •«! y«tfO, «>it qu'il est question de l'origine O des aises.
DÉTKRIUNATION D^UK POINT.
Fig. Î40.
Remarque 1. Ce qui vient d'être dit |)Our des axes pei-pendicutetree ^\ yy' s'applique h des axes faisant enti'« eux un angde quelconque; mais alors les lignes VLp, Mg..., qui se&tent t«(UJ<Mirti fiarallèles aux ax«s yy\ xx\ sont obliques sur les axes rei^ectifs xx' et yy'.
Remarque 2. Dans le cas où les axes soat reclangiftlaiires» jcùgnant OJf, le triangle rectangle OMp donne C^Oi]
La distance de l'origine^ à un autre poiai .qu«lco«q«e M', M".,. éoftBf la même relation avec les coordonnées du point 4M>iMtdéré.
IOÔ(;. 3Ioye7L de fixer la position (JCwi poùii dans Vespuoe.. ^ «léme qu'.un point est déierauûné sur tin piLiii par aee projections sur deux dpoiUes l'i^oiaiifiilaires tracées dans le plan (1085}, o» commît lapowlion d'un point quelconque de l'espace qitandses prcyections sur trois plansptsrpemiicuiaires entve eux sont déterminées (739).
En efifet, a, 6 et c étant les projecdiotts d'un point M sur les trois plans i8%, asùz «t .^Oz, déterminés par les axes reotangulari«s xx\ yy' et zz' qui sont leurs inlersectic^ns, si par chacun de ces points on élève une perpendiculaire au plan correspondant, chacune de ces perpendiculaires passera au point M, et ce point devant se trouver k la fois sur les trois perpendiculaires, il sera leur point unique de rencontre. Ainsi un point eslhien détermine par ses projections sur les trois plans.
Chacune des projections a, 6, c étant déterminée quand on -connaît ses projections respectives p eiq^p et s, q et s, sur deux axes, il en résulte que ces trois projections, etpar suite le point M, sont déterminées ifaand on connaît les trois points p, g, s, qui ne soat autre chose que les projectioiis du point M sur les iroifi^iLes xx\ yy\£z' («89, 747).
tLes Irois poinis p, 9, f, situés sur lesiax«>s, étant détenuinés pai* leurs ahscisses par rapport à l'origine 0 (4083), un point M est^donc déterminé quaiid on connaît les abscisies de ses pr<^ectioms sttr irais tmcs rcciangulaires.
Les trois axes nectangulaires xx\ yy\ xz' preuneat eoc^T le is/mn d'axes coor^nmés; xx' est ïaxe des x, yy' celui des y, et zs' celui des r. Les trois plans déterminés par ces axes scitnt appelés p/aTi^ coordonnés. Les abscisses Op. Oq et Os des projections du point H sur los axes sont appelées les coordonnées du point M ; Op en est Fahscisse x, Oç r«0irdonsée y. -et O Tordonnée 2. Ainsi un point est détenjnné par se» imordonnées (.1085).
djWBOXoeim a Op = Mc, Oç^Mô et 0<f = Ma, les coordonnées x^y et r d*un point sont donc éf^ales a«x dislanees de ce point aux plaas o»orwéMinés. Ces eoerdonnées sont positives ou négatives selon que les pro^ jections du point sur les aites sont sur les parties Gx, Qy et O2, ou sur
celles Oxf, Oy' et Oz'. Ainsi la coordonnée x sera positive ou négative selon que le point M sera à droite ou à gauche du plan i/Oz^ dit plan des y z; y sera positive ou négative selon que M sera en avant ou en arrière du plan xOz ou des x z, et enfin z sera positive ou négative selon que M sera au-dessus ou au-dessous du plan xOy ou des x y.
Quand x = 0, c'est que le point est sur le plan yOr ; de nit^ine si y=0, ou z= 0, c'est que le point est respectivement sur le plan xOr ou a:Oy.
Quand on a à la fois deux coordonnées nulles, c'est que le point est sur l'un des axes; ainsi pour x=0 et y = 0, le point est sur l'axe zz'. Si les trois coordonnées sont nulles, c'est que le point se trouve sur les trois plans coordonnés, et il ne peut être que l'origine.
Remarque 1 . Ce qui vient d'être dit pour des plans ou axes rectangulaires s'applique à des plans ou axes faisant entre eux des angles quelconques; seulement alors les perpendiculaires Ma, M6, Me aux plans de projection restant toujours parallèles aux axes, elles deviennent obliques. Les projections a, 6, c sur les plans coordonnes, ou celles p, ç, s sur les axes, au lieu d'être dos projections orthogonales, sont îilors des projections obliques.
Remarque 2. La distance OM, du point M k l'origine 0, étant la diagonale d'un parallélipipède qui a pour arêtes les coordonnées du point, dans le cas où les axos sont rectangulaires, le parallélipipède est rectangle, et l'on a
ÔM* = X* + y* + z\ (827)
Cette relation existe quelle que soit la position du point M autour de l'origine 0.
