GC'=HH'X

Après avoir déterminé deux points G' et B au delà de l'obstacle (fig. 370), on peut obtenir tous les autres en plaçant simplement des jalons dans leur alignement; mais la proportion pourra servir de vérification.

2* Peur 'prolonger AB au delà d'un obstacle qui arrête la vue^ on peut

mener à Téquerre respective- ^' ment B6 perpendiculaire à AB,

6c à B6, cC=B6 à 6c et CD à Ce; mais comme un petite erreur faite dans le tracé des perpendbculaircs conduit à une droite CD qui est loin de se trouver dans le prolongement de AB, il est préférable d'opérer comme au 4'.

Quand on opère sur un terrain étroit, comme dans un rue, on est obligé d'avoir recours à ce dernier moyen ; mais alors, pour plus d'exactitude, on mène d'abord 6c parallèle à AB au moyen de deux perpendiculaires élevées en A et B ; puis on mène CD parallèle à 6c par le même procédé (1355).

15^9. Tracer une circonférence passant par trois points A, B, C. !• Le terrain étant accessiblcy on cherche le centre de la circonférence en élevant des perpendiculaires au milieu de deux des droites qui joignent les points donnés (980, 1324). Puis, suivant des rayonnements autour du point 0, portant le rayon OA, on détermine autant de pointfif que l'on veut de la circonférence. Cette courbe peut même être tracée d'une manière continue avec la chaîne ou une corde quand le rayon OA ne dépasse pas 10 ou 20 mètres, et que le terrain n'offre pas de trop grandes aspérités.

2* Lorsque le centre est inaccessible^ ou même quand le rayon dépasse 20", remarquant que le point m appartenant à la circonférence, on a l'angle m=C (654), et par suite mAC=mBC = a. On établit le graphomètre en A, on dirige son alidade fixe suivant AC, et avec son alidade mobile on fait poser sur le prolongement de km un jalon qui détermine un alignement Am faisant avec AC un angle a =20", par exemple. On établit alors le graphomètre en B, on dirige son alidade fixe suivant BG, et avec Talidade mobile on fait

Fig. 371.

Fig. 373.

5iS SIXIÈME PARTIE. — LEVER ]»BS PLANS. AKPENTAGE. NIVELLEMENT.

placer sur le prolongement de hm un second jalon qui détermine Talignement Bm faisant avec BC Tangle 7nBC=7nAC=20". Un opénitear placé en A et un autre en B font alors poser par un aide un jalon à la rencontre des deux alignements «t et Bm, ce qui donne le point m. On détermine de même autant de poijjts que Ton veut de l'arc CmA. Remarquant que pour un point quelconque s^ de Ttre CsB oo a aussi Fangle MG=^BC, on détermine autant de points que Ton veut de OB eu opérant comme pour Tare CmA.

Quant k Tare ApB, on commence par déterminer des stations A et B un de ses points p, en remarquant que Tangle p est le supplément de C (65Ô), et que par suite pAB-f pBA est le supplément de CAB + CBA, Appliquant alors la méthode précédente à chacun des arcs kp et pB, on détermine autant de points que l'on veut de Tare ApB.

n est évident que dans la pratique, pendant que le graphomètre sera en station en A, on déterminera à gauche et à droite de AC, et à gau* che et a droite de Ap, autant d'alignements qu'il sera nécessaire» et faisant avec AC et avec Xp les angles a de 5% 10*, 15*. .. ; ce n'est qu'alors qu'on mettra l'instrument en station en B pour déterminer les alignements faisant avec BC et avec Bp, à gauche et à droite, les mêmes angles a de 5*, 10*, 15**... Chaque couple de deux alignements faisant le même angle a du nît^me côté de AC et BC ou de Ap et Bp déterminera un point tel que m et s.

Il convient de prendre pour stations les extrémités du côlé opposé à celui des angles du triangle ABC qui diffère k moins de dO*; les points trouvés sont mieux déterminés.

Deux opérateurs ayant deux grapbon^tres établis l'un en A et l'autre eu B résoudraient le problème précédent beaucoup plus rapidement, puisque, sans faire poser des jalons à l'extérieur de la circonférence, ils feraient directement placer par un aide les jalons qui déterminent d/es points de cette circonférence.

154M>. Baccoréement de deux alûjfnemenfs droits CA et DB. Lorsqu'une route, un chemin de fer ou un canal change de direction, on raccorde ordinairement les deux portions droites par un arc de cercle tangent à ces deux droites.

Après avoir mesuré l'angle w des deux alignements, comme le rayon OA =i r est génénéralement choisi d'après la configuration du sol, la nature et l'importance de la voie, il y a lieu de déterminer les points de contact A et B, c'est-a-dire leur distance i au point de concours ï des alignemenU- Or le triangle rectangle OAT donne

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bSVEn DES PLANS.

^ = rtangAOT =

tang-to

Si Ton avait donné i^ on aurait

r = ^tang-co.'

Représentant la corde AB par 2c, les deux triangles rectangles semblables OAE et OTâ (675) donnent

< =r r : OT ou ^r» 4- <*, d*où c =

rt

Pour tracer Varc AB, remarquant que, pour un point quelconque m de cet arc, les deux angles a faits Tun par Am avec la tangente AT, et Fautre par Bwi avec la corde AB sont égaux (634), il en résulte que Ton peut opérer en suivant la même marche qu'au T du numéro précédent, soit avec un, soit avec deux graphomètres.

On peut aussi déterminer les points de Parc AB à Vaide de leurs coordonnées.

.' V En prenant AO pour axe des x et AT pour axe des y, on a pour

un point quelconque m (676)

d'où

y=s ^x[ir'

Donnant k or différentes valeurs, on calculera à Taide de cette formule les valeurs correspondantes de y, et Ton déterminera ainsi autant de points qu'on voudra de la courbe.

2* En prenant la corde AB pour axe des x et OT pour axe des y, on a, pour un point quelconque m,

y = EF=OF-OE.

Le triangle rectangle OFm donnant

0F=: Vr«— «»♦ etceluiOAT(675),

7*=OExOT, d'où OE = ^ = -p:^, on a denc

Deux valeurs égales et de signes contraires de x donnent la même valeur pour y; ce qui devait être, puisque la courbe est symétrique par

rapport à l'axe des y. Ainsi il suffira de faire seulement pour un côté de la courbe les calculs qu'exige la formule précédente. On a, du reste, dressé des tables spéciales dont remploi abrège et facilite notablement les opérations.

La longueur de Tare de raccordement se calcule comme il a été indiqué au n" 733.

Les courbures uniformes étant les plus favorables à Faction des moteurs et à la facilité de la circulation, on doit toujours donner la préférence aux raccordements par un arc de cercle; mais la présence d'obstacles, tels que des accidents du sol , un cours d'eau, des constructions, ne permettent pas de faire les tangentes TA, TB égales entre elles, et par suite d'employer un arc de cercle. On a alors recours à un arc de parabole, que Ton trace comme l'indique la fig. 316, ou par le procédé suivant, basé sur cette propriété de la parabole : le point m,

milieu de la droite qui joint le point de concours T des tan- /^^ v^ gentes au milieu E de la corde

AB des contacts, appartient à la courbe ; de plus, menant par m une parallèle T'T" à AB, cette droite est tangente à la parabole. Il résulte qu'en répétant pour les points T' et T" la construction qui a donné le point wi, on obtient les points n et n' appartenant aussi à la parabole, et Ton conçoit qu'en continuant ainsi de suite on obtiendra autant de points que Ton voudra de cette courbe. Il est à remarquer que toutes les droites TE, T'F... sont parallèles entre elles.

Au lieu d'employer un arc de parabole, on peut avoir recours à deux arcs de cercle tangents entre eux, et tangents l'un en A à CA et l'autre en B à DB; mais alors le problème est indéterminé.

1561. Trois points X, B, C, situés sur un terrain uni^ étant rapportés

g^^ en a, b, c sur une carte, déterminer sur

cette carie la position m du point M, cToà

^'-'^ "^x^ les distances AB et AC ont été vues sous des

0, angles a et ^ qu'on a mesurés. Sur ab on

décrit un segment capable de Tangle a, et sur ac on en décrit un autre capable de l'angle p (985); les circonférences de ces segments se coupent au point cherché m. Le moyen de déterminer la position d'un point par rapport à trois autres peut être employé dans le lever des plans et la construction des cartes. C'est ce que fait un ingénieur hydrographe en construisant la carte des écueils ou des fonds d'une côte; il détermine la position d'un point M où il pratique un sondage, par

LEVER DES PLANS

rapport k trois points A, B, C de la côte, en mesurant les angles a et ? sous lesquels il voit de ce point les distances AB et AG.

Fig. 378.

1362. Déterminer la distance AB de deux points séparés par un espace

inaccessible»

V Si d'une extrémité de la droite AB on peut voir un jalon planté à Tautre extrémité, aux points A et B on élève des perpendiculaires à AB (1324), on prend

. Aa = B6, et Ton a

ab = AB.

Fig. 370.

2* Si un obstacle empêchait de voir un jalon en B quand on est au point A, on tracerait un alignement AC ; on mènerait par le point B une perpendiculaire BC a cet alignement, et, mesurant AC et BC, on aurait (704)

AB=/ÂC* + BCV

1565. Trower le rayon d'une enceinte circulaire dont Vintérieur est inaccessible^ d*une tour ou d^un bassin^ par exemple,

V On circonscrit à la tour un triangle dont on mesure les trois côtés; on construit sur le papier, a une échelle convenable, un triangle semblable, et le rayon du cercle inscrit dans ce triangle est, à Téchelle choisie, le rayon de la tour (981).

2* On trace une droite ab à une certaine distance de la tour {Jig. 378); à cette droite, on élève des perpendiculaires aX et 6B qui soient tangentes au pied de la tour (1324), et la distance ab de ces perpendiculaires est le diamètre de la tour.

3^ On trace et mesure une base AB, et Ton détermine les angles a et ^ que fait AB avec les tangentes AC , AD à la tour. L'angle ^de ces tangentes est égal à a — p, et 0 étant le centre de la tour, on a Tangle

OAB = p+ ^5-^. On peut de même déterminer

rangle OBA. Dans le triangle ABO, le côté AB étant connu ainsi que les angles adjacents, on peut le construire à une échelle convenable sur le papier; on peut aussi mener AC, puisque Tangle CAO est connu; alors abaissant du sommet 0 une perpendiculaire OC sur AC, elle est, à

réchelle choisie, le rayon de la tour.

Bemarque. Les constructions des 2"* et 3* sont applicables lors même

qu*on ne peut approcher du pied de la tour.

Fig. 380.

5aa SIXIÈME PARTIE. — LEVER DBS PLANS. ARPENTAGE. NIVELLEMENT.

Fig. 381.

Pig. 3ft3.

Fig. 3?4.

1564. Troucer la distance AC dM point A au 'point inaccessible^ mais tisir ble, C(H35).

r Après avoir mesuré la base AB, ainsi que les angles A et B, on construit sur le papier, à une échelle convenable, le triangle ABC, ce qui fournit le côté AC à réchelle choisie, et par suite sa longueur réelle.

2* Lorsque le terrain accessible le permet, on trace deux alignements faisant avec la base AB les angles

BAC = BAC et ABC = ABC,

et C étant le point de rencontre de ces alignements, on a