LIVRE V

DÉFINITIONS

292. On nomme rapport le résultat de la comparaison de deux quantités de même espèce. Cette comparaison se fait en prenant la différence des deux quantités ou en cherchant le quotient de Tune parTautrc.

Le rapport arithmétique ou par différence des deux quantités 18 et 6 est la différence 12 de ces quantités. On récrit

ia-6 ou 18—6,

et on renonce 18 est a 6 ou 18 moins 6.

Dans le cas où le second nombre est plus grand que le premrer, la différence ou rapport s'affecte du signe —, qui indique une quantité qui n*a pu être retranchée (30). Ainsi

Le rapport géùméérique ou par quotient d'une quantité 18 à une autre * 6 eat le quotieot 3> de la. prexnière par la seconde (205). On récrit

et on renonce 18 esta 6, ou 18 ditdsé par 6, ou encore le rappoHde 18 d 6.

Remarque. Lorsqu'on emploie le mot rapport sans aucune indkatifkii, OA entend toujours parler d'us rapfiert géométrique.

293. Dans les rapports aEiÉhmétiqii& et géométrique porécédents (29^), 18 et 6 sont les deux termes du rapport; le premier, terme 18 en e&t FûB»r técédent^ et le deuxième 6 en est le conséquent.

204. Un rapport arithmétique étant la différence de deux quantités, les propriétés posées n" 27, 33 et 60 se répètent ici. Ainsi, par example, un rapport arithmétique ne change pas lorsqu'on augmente avi qu'on ditnimie ses deux termes d'une ynême quantité.

De même, un rapport géométrique étant le quotient d'une quantité par une autre* les propriétés posées n"' 68, 69, 70, 71 et 74 sa répètent ici. Ainsi, par exemple, un rapport géométrique ne change pas (jfltand on multiplie ou quxind on divise ses deux termes par un même nombre.

298. L*ensemble de deux rapports arithmétiques égaux forme une proportion arUhméHque. Ainsi le rapfport de 8 à 4 étant égal à celui de

i04 PREMIÈRE PARTIE. — ARITHMÉTIQUE.

13 à 9, ces quatre nombres forment une proportion, que Ton écrit

et que Ton énonce 8 ^^ à 4 comme 13 est à 9, ou 8 moins 4 égale 13 mmns 9.

296. De même, Fensemble de deux rapports géométriques égaux forme une proportion géométrique. Ainsi le rapport géométrique de 8 k 4 étant égal k celui de 12 k 6, ces quatre nombres forment une proportion géométrique, que Ton écrit

8 12 8:4:: 12:6, ou 8:4=12:6, ou encore r = Ty

et que Ton énonce S esta k comme 12 e^^ à 6, ou 8 divisé ^b.t 4 égale 12 divisé par 6, ou encore le rapport de S à i égale le rapport de 12 à 6.

Remarque 1. Deux rapports incommensurables sont égaux y lorsque l'antécédent du premier rapport contient une fraction de son conséquent, aussi petite que Ton veut, autant de fois qae Tantécédcnt du second rapport contient la même fraction de son conséquent (153 et 211).

Bemarque 2. L'expression proportion^ sans aucune autre indication, désigne toujours une proportion géométrique.

207. La raison d'une proportion est Tun des deux rapports égaux qui forment cette proportion (292).

898. On dit que quatre quantités 8, 4, 12, 6 soni proportionnelles on en proportion^ lorsque le rapport 8 : 4 de la première k la seconde est égal k celui 12:6 de la troisième k la quatrième. On dit aussi, dans ce cas, que les deux premières ou les deux dernières quantités sont dans un rapport direct ou en raison directe avec les deux autres.

Si les quatre quantités 8, 4, 6, 12 sont telles que le rapport 4:8 de la seconde k la première soit égal au rapport 6:12 de la troisième k la quatrième, on dit qu'elles sont réciproquement proportionnelles ^ inver* sèment proportionnelles ^ dans un rapport inverse ou encore en raison inverse.

Deux quantités 8 et 4 variant de telle manière, qu'k une nouvelle valeur quelconque 12 de la première corresponde une valeur 6 de la seconde telle que l'on ait

on dît que ces deux quantités varient proportionnellement ou dans un rapport direct ou encore en raison directe.

On dit, au contraire, que deux quantités 8 et 4 varient dans un rapport inverse ou en raison inverse , lorsqu'à une nouvelle valeur quelconque 6 de la première correspond une valeur 12 de la seconde telle que l'on a

299. Dans toute proportion arithmétique ou géométrique, on i^ipelle

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LITItE V. — RAPPORTS. PROPORTIONS. PROGRESSIONS. i05

respectivement premier antécédent^ deuxième antécédent^ premier conséquent et deuxième conséquent^ rantécédent du premier rapport, Fantécédent du second, le conséquent du premier rapport et le conséquent du second. Le premier et le quatrième terme d'une proportion sont les extrêmes^ le deuxième et le troisième sont les moyens,

500. Le quatrième terme d'une proportion est ce qu'on nomme une quatrième proportionnelle aux trois autres termes (298). C'est une quatrième arithmétique ou une quatrième géométrique suivant que la proportion est arithmétique ou géométrique.

soi. Dans une proportion arithmétique telle que

dont les moyens sont égaux, le terme moyen 7 est une moyenne arithn métique entre les deux autres 5 et 9, et le ternie 9 est une troisième arithmétique aux deux autres 5 et 7.

Une telle proportion est dite continue^ et on peut l'écrire f5 •7-9.