FIN

Saint-Amand (Clier). — Imprimerie Blssiêke

ce problème est ramené au cas d'un extremom libre et la solution en est appliquée à diverses questions classiques.

D'ailleurs, la question est un cas particulier du problème, dit de La;/range, dans lequel il sagit dannuler la variation première d'une intégrale, qui dépend de fonctions inconnues assujetties, ainsi que leurs premières dérivées, à vérifier .les équations données, avec conditions aux limites quelconques. Ce problème conduit lui -mt-me h. un autre, dit problème de Mayer, que l'auteur traite en détail et qui donne lieu aux m^mes extensions successives que le problème fondamental : forme paramétrique, formule aux limites, limites variables, variations unilatérales, solutions discontinues; le cbapitre se termine (lar une application au mouvement d'un mobile pesant avec résistance passive, et par d'autres applications analytiques aux équations aux dérivées partielles. Le problème de Mayer amène enfin au problème général du Calcul fonctionnel, dont l'auteur résume les principes, d'après les travaux récnts ; il les applique au calcul de la variation infinitésimale des fonctions de Oreen et de Neumann, que l'on rencontre en Piiysique mathoiualique.

Le livre IIl traite des conditiotm de Vextremum libre. Après avoir trouvé une extrèmale annulant la variation première de l'intégrale, il s'agit de rechercher si elle fournit effectivement un extremum ; l'invariance du signe de la variation seconde est. à cet égard, une condition nécessaire : l'auteur étudie ce signe suivant les méthodes de Jacobi-Legendre, généralisées par Clebsch pour le cas de plusieurs inconnues ; puis il expose les méthodes de Weierstrass et de M.M. Darboux et Kneser, qui donnent des conditions suffisantes de l'extremum, par l'expression exacte de l'accroissement de l'intégrale quand on passe d'une extrèmale à une extrèmale voisine. Le chapitre suivant examine si les conditions que l'on vient de reconnaître suffisantes sont nécessaires ; il se termine par des exemples géométriques et mécaniques ; puis on passe au cas des limites variables, et, ensuite, à l'examen des variations unilatérales et des solutions discontinues, et, enfin, à l'étude des intégrales renfermant des dérivées d'ordre supérieur au premier. On revient alors aux méthodes anciennes pour les compléter de manière à obtenir des conditions suffisantes de minimum. Enfin, le dernier chapitre est consacré à un important théorèrne de M. Osgood ; il renferme l'exemple intéressant du mouvement dans l'air du solide de moindre résistance. Le volume se termine par une note complémentaire sur les fonctions implicites.

Le magistral ouvrage, dont nous venons d'analyser succintement le premier volume, renouvelle complètement un sujet intéressant et difficile ; il est aussi remarquable par la précision, la rigueur et l'élégance de la méthode que par l'originalité des aperçus et la richesse de l'information ; on y retrouve toutes les qualités de l'éminent professeur et du savant géomètre qui en est l'auteur.

M. Lelibdvrs, Professeur an Lvcée et à l'Ecole des Sciences de Rouen,

Extrait de la Tievue générale des Sciencex, du 30 avril 1910.

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