TROISIÈME RÉDUCTION
96. Pour réduire une fraction à ga Plus simple expression, il de faut d’abord diviser le numérateur et le dénominateur par un | €
même nombre, et répéter cetté opération sur les deux termes de
la fraction résultante Jusqu'à ce qu'on ait obtenu une fraction L irréductible (*),. | : =
Soit 2£, les deux termes étant divisés par 2, donnent 43 ; ceux-ci ns étant divisés par 3, on a $, et si l’on divise aussi ces deux derniers’ ti termes par 3, on obtient 4 pour la plus simple expression de 34. m
97. On peut abrégér cette simplification successive en divisant les deux termes par leur plus grand commun diviseur, c'est-à-dire se par le plus grand nombre qui. puisse les diviser sans reste. V
Ainsi, dans l’exemple précédent, l'opération aurait pu être simpli- te
‘ fiée en divisant ses deux termes par 18, nombre qui est leur plus grand commun diviseur. m
La théorie du plus grand commun diviseur, que nous allons donner, suppose, pl pour être bien @omprise, la connaissance de ce qui suit :
J nt 1° Un norñbre est dit MULTIPLE d’un autre lorsqu'il le contient exactement un nt certain nombre de fois, et celui-ci est dit SOUS-MuLTIPLE du premier. Ainsi 20 est multiple de 4, Parce que 5 fois 4 égalent 20; et 4 est sous-mul- de tiple de 20, car il le divise sans reste (205 — 4), di ® Un nombre est dit PREMIER, lorsqu'il n’est divisible que par lui-même et Due tic par l’unité. + x du 96. Que faut-il faire pour réduire une fraction à sa.plus simple expreksion ?— 97, Peut-on abréger‘ces simplifications successives ? Le À à 5 Un nombre est divisible : .
ar 2, lorsque son dernier chiffre est pair ou zéro ; - 3, lorsque la somme de ges chiffres, considérés comme des unités simples, ] égale 3, ou un multiple de 3; 7?
LE 4, lorsque le nombre formé Par les deux derniers chiffres à droite est divi- 1 sible par 4 ; —5, lorsqu'il est terminé par 5 ou 0; — 6, lorsqu'il est divisible par 2 et par 3, parco que2 X3 — 6, et que 2 et 3 sont premiers entre eux ; e , lorsque le nombre formé Par les trois derniers chiffres à droite égale un A multiple de 8; s :
et lorsque La somme des chiffres, considérés comme des unités simples, égale — tra ou un H 3—— EE —— ——— * Ÿ res "0, lorsqu’il est terminé > zéro; : qu'i -— 11, lofsque la somme des chiffres dos rangs impairs, à partir de la droite, nue eee des rangs pairs, ou que l’une surpasse l’autre de 11, ou d’un mul- } 9 tip e © Al,
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RÉDUOTION DES FRACTIONS.
Il suit de 1à que 2, 8, 5 11, 13, 17, 19, eto., sont des nombres premiers, et ue 4, 6, 9, 12, n’en sont pas, car ils peuvent être divisés par 2, par 3, ou par , Ou par tous les trois. \ 3° Éoux nombres qui n'ont aucun diviseur #fommun sont dits PREMIERS ENTRE EUX
Ainsi, 4 et 9 sont dans ce Cas ; car 2, qui est sous-multiple de 4, n’est pas di-
viseur de 9; et 3, qui est diviseur de Y, ne.l’est pas de 4; 6 et 9 ne sont pas « premiers entre eux, car ils ont 3 pour diviseur commun. ;
49 Un nombre sous-multiple Un autre nombre divise un multiple quelconque de ce second nombre. Ne
Ainsi, 12 étant divisible par 3, 36, multiple de 12, sera aussi divisibl ‘par 3. En effet, 12 qui contient 4 fois 3, étant contenu 3 fois dans 36, celui-ci éontiendra 3 fois quatre fois trois, c’est-à-dire 12 fois exactement. \ :
= 59 Un nombre étant décomposé.en deux parties ayant un divise <6mmun, te diviseur sera aussi sous-multiple le ce nombre, : *
Soit le nombre 24 divisé en deux parties 16 et 8 ; jo dis que 4, diviseur commun de 16 et de 8, divisora-üussi 24 sans reste. Occi est évident : le-quotient de la division du nombre ontier doit égaler le total des quotients de la division de ses parties ; et si x-ci sont entiers, leur somme, ou le quotient du pretnier
re étant divisé en deux parties, si ce notnbre et l’une de ses par. actement divisés par un autre nombre, celui-ci divisera aussi exacteméïit l’autre partie.
En effet, le quotient du nombre entier étant égal à la somme des, deux quotients partiels, si l’un de ces quotients est entier, l’autre le sera aussi par une suite nécessaire; autrement il en résulterait cètte absurdité, qu'un nombre entier serait égal à un nombre fractionnaire. à
98. Pour trouver Te plus grand commun diviseur des deux termes d’une fraction, il faut diviser le dénominateur par le numérateur ; s’il ne reste rien, Ce sera le numérateur qui sera le plus grand commun diviseur; s’il y a un reste; il faut diviser le numérateur par le reste, le premier reste par le second, et éontinuer ainsi la division jusqu'à ce qu’elle se fasse sans reste. Le dernier diviseur qu'on aura employé sera le plus grand commun diviseur, par lequel il faudra diviser les deux termes de la fràction. Si le dernier diviseur était l'unité, la fraction serait irréductible. ; |
Exemple. :
On demande la plus simple expression de 447.
| OPÉRATION. | 1365! 11 | 1 | 2.Quotients. 117| 39 1365 39 195 | 117 IV 78 À 39 Divisurs ol 3 1961 3 78 39 00 se ns
Ayant divisé le dénominateur par le numérateur, il rôste 78; je divise le nu-
—-mérateur-par ce nombre, et il reste 39; je-continue-à diviser ainsi Pavant-dernier
reste par le dernier, et je frouve que 39 ne donne pas de reste, d’où je conclus. qu’il est le plus grand commun diviseur ; je divise les deux termes de la fraction i
98. Que faut-il faire pour trouver le plus grand commun diviseur des deux termes d'une fraction ? , HSE
par 39; et j'ai 3 pour numérateur de la nouvelle frastion, et 35 pour dénominatour ; ce qui done #5 pour la plus simple-expression de 154%. Se
La raison de cette règle bst facile à comprendre : 89 divise 39 x 2, c'estàdire 78; il divise aussi 78 + 39, c’est-à-dire 117 ;. il divise ne X 11) +78, c’est-à-dire 1365 ; il est donc commun diviseur des deux termes de la fraction proposée.
Il est aussi leur plus grand commu diviseur; car s’il y en avait un autre, il faudrait qu'il divisât 1365—(117 x 11) + 78 ; qu'il divisût aussi 117 = (78 x 1)+ 39 ; et encore 78 = 39 x 2, et enfin 39: or
s’il est plus grand que ce dernier nombre, il ne peut pas le diviser ;
donc, 39 est le plus grand commun diviseur des deux termes de cette fraction. - È
St
