LITRE II. — ANGLES POLYÈDRES. POLYÈDRES. SYMÉTRIE

composées d'un même nombre de triangles, de quadrilatères, de pentagones situés de la même manière. Ainsi deux prismes ou deux

pyramides sont de même espèce, lorsque leurs bases ont le même nombre de qôtés.

738. Deux tétraèdres sotit égaux : 1” quand ils ont un angle solide égal compris entre trois arêtes égales chacune à chacune et situées de la même manière; 2" quand ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et situées de la même manière; 3” lorsqu’ils ont une face égale adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et situés de la même manière; 4 * lorsqu’ils ont les arêtes égales chacune à chacune et situées de la même manière (730).

739. Deux prismes sont égaux lorsqu'ils sont un angle dièdre à la base égal et compris entre deux faces égales chacune à chacune et situées de la même manière. Deux prismes droits de même base et de même hauteursontégaux. Tous les cubes qui ont un côté égal sontégaux.

760. Dans tout polyèdre le nombre des sommets augmenté du nombre des faces est égal au nombre des arêtes augmenté de deux unités. Ainsi, S étant le nombre des sommets, F celui des faces, et A celui des arêtes, on a

761. Le nombre des conditions nécessaires pour l’égalité de deux polyèdres de même espèce (757) est égal au nombre A des arêtes.

762 . La somme des angles plans de toutes les faces d'un polyèdre est égale à autant de fois quatre angles droits qu’il y a de sommets moins deux dans le polyèdre. Ainsi, j étant la somme des angles plans exprimée en angles droits, et S le nombre des sommets , on a

s—U( S— 2); pour S=8, r=4(8 — 2) = 24 droits. (565)

763. Dans tout parait élipip'ede (747) : 1° les diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales; 2° la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés. Ainsi, A, B, C, D étant les diagonales, et a, b, c étant les trois côtés différents, on a

Pour le parallélipipède rectangle, les quatre diagonales sont égales, et on a

4Ds=4a* + 45* + 4c5 ou D,=a*+6* + c5,

c’est-à-dire que le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des trois côtés.

Si le parallélipipède est un cube, les trois côtés sont égaux, et on a

D‘ = 3c», d’où ^ = V3. (648)

192 TROISIÈME TARTIE. — GÉOMÉTRIE DE LESPACE.

Ainsi le rapport de la diagonale au côlé du cube est égal à la racine carrée de 3.

764. Deux points sont symétriques par rapport à un troisième, lorsque celui-ci divise en deux parties égales la droite qui joint les deux autres.

Deux points sont symétriques par rapjwrt à wie droite ou à un plan, lorsque cette droite ou ce plan est perpendiculaire au milieu de la droite qui joint les deux points.

763. Deux droites sont symétriques par rapport à un point, à une droite, à un plan, lorsque leurs extrémités sont symétriques par rapport à ce point, A cette droite ou à ce plan.

Ce point, cette droite, ce plan s'appellent respectivement centre de symétrie, axe de symétrie, plan de symétrie.

766. Deux polygones ou deux polyèdres sont symétriques par rapport à un point, à une droite ou à un plan, lorsque chaque sommet de l’un est symétrique d'un sommet de l’autre par rapport au point, à la droite ou au plan dont il s’agit.

767. Deux droites, deux polygones ou deux polyèdres symétriques nar rapport à une droite sont égaux entre eux.

768. Deux droites ou deux polygones symétriques par rapport à un point ou par rapport à un plan sont égaux.

769. Deux angles polyèdres ou deux polyèdres symétriques par rapport à un point ou par rapport à un plan ont les angles dièdres homologues égaux et situés dans un ordre inverse.