CONSTRUCTION GÉNÉRALE DES COURBES REPRÉSENTANT DES ÉQUATIONS
1050. Étant donnée une équation entre deux rariables x et y, si l'on considère ces variables comme étant des coordonnées, chaque couple de valeurs réelles dez et y qui satisfont à l’équation détermine un point ; or, l’on conçoit qu’en faisant varier x d’une manière continue entre certaines limites, l’équation sera ordinairement satisfaite par des valeurs de y réelles et continues, et qu’alors on obtiendra une suite continue de points, c’est-à-dire une ligne. Ainsi, en général , une équation entre deux coordonnées représente une ligne (1014).
1031. Pour déterminer les points de la courbe, on prend ordinairement les valeurs de x en progression arithmétique (309), et on calcule celles correspondantes de y. C’est surtout quand la fonction est une fonction algébrique entière (388, 440) qu’il y a avantage à prendre cette , précaution, parce qu’alors on peut, pour abréger les calculs, faire usage des différences des valeurs de y pour calculer ces valeurs.
Soit, par exemple, à construire l'équation y=ax,+ b, dont la forme se rencontredans les équations relatives à la détermination de la courbe qu’affecte la chaîne des ponts suspendus. Supposant que l’on a
a=0,l et 6=1, d'où y = 0,l.r’ + l.
314 ClXQt lfcMF. l'AÜTlfe — (ifOMÊTRIK 1)KS COI RRÉS.
Lp tableau suivant montre qu’en donnant successivement à x les valeurs 0, 1,2, 3,... les valeurs que l’on obtient pour y sont telles qu’en prenant leurs différences premières 0,1, 0,3, 0,5..., puis les différences seconde,v entre les différences premières, ces différences secondes sont égales. Alors faisant successivement x = 0, 2=1 et x— 2, ce qui donne respectivement y = 1, y = 1,1 et y = 1,4, on a les deux différences premières 0,1 et 0,3, puis la différence seconde constante 0,2. Cette différence seconde ajoutée à la dernière différence première obtenue donnant la suivante, et chaque différence première ajoutée à la valeur précédente de y donnant la valeur suivante, on voit que par de simples additions successives on obtient les différences premières, puis les valeurs des ordonnées
abscisses x. . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8...
ordonnées y. . . 1 1,1 1,4 1,9 2,6 3,5 4,6 5,9 7,4...
différences lr". 0,1, 0,3, 0,5, 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5...
différences 2”". 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2...
Les valeurs négatives de i fourniraient les mêmes valeurs pour y. Selon que la fonction est du 2e, 3% 4'... degré, les différences constantes sont respectivement les différences secondes, troisièmes, quatrièmes, etc., que l’on obtient en calculant, 4 l’aide de l’équation, 3, 4. 5... ordonnées, et eu prenant les différences successives. Ayant la différence constante , on remonte aux autres différences et aux valeurs des ordonnées en opérant comme ci-dessus.
1032. Àü lieu de calculer toutes les ordonnées poür construire la courbe y = ftr* + fc, bn peut ne calculer que les trbis premières ordonnées équidistantes AO, BP, CQ; mener les parallèles AF, Btt à l'axb Or, fce qui déterhiibe les deux premières différences premières BH, CO, et prolonger AB, ce qui donne la différence seconde constante CC'=CG — C'G=CG— BH. Pour avoir la quatrième ordonnée DR, bd prolonge BC jusqu’en D', et on prend D'D = Ce'. On détermine de la
même manière la cinquième ordonnée ES et toutes les suivantes, et • raccordant tous les points ABCD... par une courbe, elle est la représentation de l'équation y=ax% + b.
1033. Fonctions empiriques. Dans la pratique, il arrive journellement que des observations ou dos expériences fournissent une série de couples de valeurs correspondantes de deux variables, sans qu’aucune équation algébrique puisse représenter la loi qui lie les deux variables. Dans ce cas, prenant les valeurs de l’une des variables pour abscisses, et celles correspondantes de l’autre variable pour ordonnées, en raccor-
Fig. les.
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