ARPENTAGE

1240. Tous les végétaux croissant verticalement, la surface utile, c’est-à-dire productive, d’un terrain est la projection sur un plan horizontal de sa surface proprement dite. Le but que l’on se propose en arpentage (1181) est donc de déterminer l’aire de cette projection, c’està-dire l’aire de la surface prise par cutcllation (1180).

Si l’on a levé le plan du terrain , la géométrie et la trigonométrie fournissent des règles pour calculer l’aire de la figure que forme le plan, d’après les cotes qui y sont inscrites, ou en prenant les longueurs et les angles nécessaires à l’échelle et au rapporteur.

Quand on n’a pas le plan du terrain, on peut le lever d’abord, puis évaluer l’aire; maison se contente le plus souvent d'un simple croquis, sur lequel on inscrit, à mesure qu’on les obtient sur le terrain, les longueurs nécessaires à l’application des règles de la géométrie.

Les arpenteurs ne se servent habituellement que de leur équerre, de la chaîne et de jalons (1192, 1194, 1197).

1241. Soit à déterminer la surface <Tun terrain ABCDEF dont le contour est polygonal et Vintérieur accessible.

lr* méthode. On décompose le polygone en triangles, et mesurant les côtés de ces triangles, on en détermine l’aire par la formule 3“ du n“ 1005.

2e méthode. Après avoir mené et mesuré les diagonales AC, AD, AE, on les considère comme étant les bases des triangles qui composent le terrain ; avec l’équerre d’arpenteur on mène les hauteurs BP, DQ... de ces triangles; on mesure ces hauteurs, et on applique la règle du n“ 636.

3* méthode. On mène une diagonale , la plus grande ordinairement [fig. 274), à laquelle on mène avec l’équerre d’arpenteur des perpendiculaires par les sommets. Le polygone se trouve ainsi décomposé en triangles et en trapèzes rectangles faciles àévaluer (636, 640, 1177).

Au lieu d'une diagonale, on peut prendre une transversale quelconque du polygone. La disposition du terrain indique ordinairement la direction qu’il convient de donner à cette transversale pour rendre les opérations faciles ; le plus souvent on la trace dans la direction de la plus grande dimension, et de manière à diviser le terrain en parties à peu près équivalentes.

On peut encore remplacer la transversale par une droite extérieure

Fip. 297.

ARTENTAGE.

au polygone. L'aire est alors égale à la différence de deux sommes de

trapèzes {Jig. 273).

1242. Lorsque le terrain est accessible à Vinlérieur et limité par une courbe quelconque , on applique la 3* méthode du n* précédent Ainsi on trace une transversale aussi grande que possible, et on lui mène des perpendiculaires assez rapprochées pour que l’on puisse négliger la courbure des parties qu'elles interceptent sur le contour. Il convient que les perpendiculaires divisent ta transversale en un nombre pair de parties égales, afin de pouvoir appliquer les formules des n“ 1178 et 1179.

Si le contour du terrain n'est courbe que dans une partie, enjoignant par une droite les extrémités de la courbe, le terrain se trouve divisé en deux portions , dont une se mesure par l'une des méthodes du n° précédent , et l'autre comme ci-dessus.

Ordinairement, pour abréger les opérations, on emploie la méthode dite par compensation , qui consiste à substituer au terrain à mesurer un terrain polygonal qui l’excède en de certaines parties et y rentre dans d’autres, mais de manière que les parties ajoutées et retranchées se compensent; c’est ce qu’indique la figure 298, dans laquelle les parcelles Internes et externes désignées par le même numéro sont approximativement équivalentes.

On conçoit, du reste, qu’on pourrait, si l’on voulait agir en toute rigueur, mesurer d’abord le polygone auxiliaire, puis, à l’aide des formules des n" 1178 et 1179, les parties ajoutées et retranchées. Lorsqu’on opère ainsi , on prend ordinairement un polygone auxiliaire ayant ses sommets sur le contour du terrain.

1243. Quand le terrain ABCDE est inaccessible à l'intérieur; s’il est

par exemple couvert de constructions, d'arbres ou d 'eau. On trace en dehors un polygone MNPQ dont l’aire est facile à mesurer, tel qu’un rectangle ou un trapèze rectangle. On évalue, en opérant comme aux n" 1241 et 1242, la surface comprise entre le périmètre de ce polygone et celui du terrain , et en retranchant cette surface de celle du polygone on a l’aire cherchée.

si le terrain était limité par une courbe quelconque, on opérerait d’une manière analogue, en appliquant les formules des n“1178 et 1179.

Dans le cas où le terrain serait inaccessible , mais découvert , s’il était, par exemple, séparé du terrain où l’on se trouve par une ri-

Fig. 299.

Fig. Î9R.

vière, od déterminerait les coordonnées d'autant de point* qu’il serait nécessaire de son contour par rapport à deux axes rectangulaires Ox, Otf tracés sur le terrain accessible f fig. 275), et à l'aide de ces coordonnées on calculerait l’aire du terrain par la 3* méthode du n" 1251, pour le ca* où on a recours à une droite tracée hors du polygone.

1 244. Soit à résoudre le problème le plus habituel de l’arpentage, qui consiste à prendre dans une pièce do terre une partie d’une surface déterminée.

1° Soit à prendre dans la pointe A une surface déterminée S qui soit limitée par une droite parallèle à une droite donnée. Sur AB ou AC on mesure une certaine longueur AD ; par le point D on mène une parallèle DE à la droite donnée (1229) ; on détermine l’aire s du triangle ADE; on calcule le quatrième terme de la proportion

JlSrrAb’.-X*, d’où

on prend AM = x, et menant MN parallèle à DE, le triangle AM N satisfait à la question. En effet, les deux triangles ADE et AM N étant semblables, S' étant l’aire du second, on a (653)

stS^AD’tÂM’ ,

Fig. 300.

Fig. 301.

et les deux proportions précédentes ayant trois termes égaux, on a bien S = S’.

2° Dans le cas où la première pointe A du terrain serait insuffisante, on déterminerait l’aire s du triangle aAC, et le problème serait ramené, comme au 1", à prendre dans la pointe a une partie aMN dont l’aire fût égale àS + r.

3“ Dans le cas où on aurait à prendre un trapèze MNnm à partir de MN, qui peut être un côté du terrain , on mesurerait aM et l’aire du triangle aMN, et on calculerait am en opérant comme on l’a fait au 1° pour AM.

Remarque. Les trois problèmes précédents montrent assex comment l’on opérera dans un cas quelconque, et les deux derniers font voir qu’en

AEPRSTAGK.

général les problèmes de cette espèce no sont que la réunion de plusieurs semblables au 1", auquel on les ramène toujours.

12415. Pour partager un triangle en un certain nombre de parties équivalentes par des droites allant du sommet à la base, on divise la base en un même nombre de parties égales, et on joint le sommet aux points de division (636).

Par la même marche, on peut diviser le triangle en parties qui soient entre elles dans des rapports donnés (919).

1240. En divisant les deux bases d’un trapèze en un même nombre de parties égales, ou qui soient entre elles dans des rapports donnés, et joignant les points de division, le trapèze se trouve divisé en parties équivalentes ou en parties qui sont entre elles dans les rapports donnés (640, 919).

1247. Pour diviser de même un rectangle ou un parallélogramme, on divise la base en parties égales ou en parties qui soient entre elles dans les rapports donnés, et par les points de division on mène des parallèles aux côtés adjacents à la base (634, 639, 919).

1248. Diviser un triangle ABC en parties équivalentes, ou en parties qui soient entre elles dans des rapports donnés, par des droites parallèles à la base BC. Ce problème peut être résolu comme celui 1* du n° 1244-

Pour diviser de même un trapèze, on opérerait comme au 2“ du n» 1244.

MN étant la droite qui divise le triangle en deux parties égales, on a (643)

Pi*. 302.

|:s=an’:ac\ d’Où AN

AC

On peut déterminer AN géométriquement. Sur AC comme diamètre on décrit une derai-clrconférence; au centre O on élève une perpendiculaire ; on joint AE, et prenant AN = AE, le point N appartient à la parallèle MN. En effet, on a (619)

AC

ac:ae=ae;ao ou ac:an=an:-^-,

d’où

Si AMN était le tiers du triangle ABC, on aurait

|:S=ÂN*: ÂC1, d’où AN = *>

Si AMN était les 1 de ABC, on aurait

Is.-SrrÂN’iAC’, d’où AN =

On opérerait de même pour un rapport quelconque, c’est-à-dire pour résoudre d’une manière générale le problème énoncé.

Ce problème général se résout aurai géométriquement. Ainsi, on divise AC en parties égales ou en parties qui soient entre elles dans des rapports donnés (919); par les points de division on élève des perpendiculaires à AC ; on joint le point A aux intersections de ces perpendiculaires avec la demi-circonférence AEC ; on reporte les cordes qui en résultent sur AC à partir du point A, et les parallèles à BC menées par les points obtenus divisent le triangle ABC en parties qui sont entre elles comme les parties de AC. Ainsi , AC ayant été divisé en deux parties égales (fig. 302), le triangle se trouve divisé par MN en deux parties équivalentes ; si AC a été partagé en trois parties égales, le triangle l'est également en trois parties équivalentes, etc.

NIVELLEMENT

PRINCIPES

1249. Nous avons vu comment on obtient la projection d’un terrain sur un plan horizontal (1212 et suivants) ; mais si cette projection est suffisante pour l’arpentage (1240) , 11 n’en est pas de même lorsqu'il s’agit d’établir des travaux de construction , tels par exemple que des conduites d’eau, des canaux, des routes, des chemins de fer, etc.; il est alors nécessaire d’avoir les distances des divers points de la surface du sol à traverser à ce même plan horizontal, ou mieux à une surface sans aspérités concentrique avec la surface de la terre. Le but du nivellement est de déterminer ces distances, ou les différences entre ces distances,

La surface concentrique à laquelle on rapporte les différents points nivelés est dite surface de niveau ou de comparaison. La distance d’un point à la surface de niveau est la cote de ce point.

12150. Les instruments dont on fait usage pour niveler sont le niveau et la mire. La mire est une règle graduée que l’on fait successivement poser verticalement, par un aide appelé porte-mire, sur les points à niveler. Les niveaux permettent de diriger dans l’espace, vers la mire, des rayons visuels horizontaux.

NIVELLEMENT

12tfl. Soit à déterminer les cotes de deux points A cl B de la surface

du sol. On éta- Wl3, blit le niveau en

un point S, situé ù peu près à la même distance horizontale de A et B; puis, faisant placer la mire en

A, on dirige un rayon horizontal qui détermine le pointa, et par suite la distance A a , qu’on lit sur la mire. Ensuite faisant placer la mire au point B, on détermine la distance B6.

Supposant Aa=l“,3é7 et Bè = 0“,754, la différence de niveau des points A et B est 1“,347 — 0“,75é = 0",593, et si le plan de comparaison a été pris à 100“ au-dessous du point A, la cote de ce point 100“, 000, et celle du point B, 100“,000 + 0“,593 = 100",593.

La surface de comparaison se prend toujours de manière qu'elle laisse tous les points à niveler d’un même côté, afin que toutes les cotes aient le même signe. Au lieu de prendre la surface de comparaison au-dessous du point à niveler le plus bas, on peut la prendre au-dessus de celui de ces points qui est le plus élevé.

I2i*2. Nivellement simple. Il peut arriver que d'une même station du niveau on puisse niveler un certain nombre de points ABCD... Dans ce cas, au fur et à mesure qu’on obtient les résultats, on les inscrit sur le cadre suivant, préparé à l’avance, et qui constitue un carnet de nivellement.

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