Tableau des

carrésjet des cubes des nombres entiers

non supé-

rieurs à 10 :

Racines

Carrés

Cubes

251. Le carré d’un nombre entier d’un seul chiffre n’a qu’un ou deux chiffres; celui de deux en a trois ou quatre; celui de 3 en a 5 ou 6, etc. De là il résulte que pour avoir le nombre des chiffres de la racine carrée d'un nombre entier donné, il suffit de séparer ce nombre en tranches de deux chiffres, sauf à n’en laisser qu’un à la dernière tranche. Le nombre des tranches indique le'nornbre des chiffres.

252. Le carré d'une quantité formée de deux parties se compose : 1» du carré de la première partie ; 2° du double produit de la première partie par la seconde ; 3* du carré de la seconde.

Ainsi (3 + 5)*= 31 + 2 x 3 x 5 + 5* = 9 + 30 + 25 = 64.

Comme cas particulier, le carré d'un nombre composé de dizaines et (T unités se compose : 1“ du carré des dizaines ; 2“ du double produit des dizaines par les unités; 3» du carré des unités :

255. La différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit de ces nombres, plus un.

234. Pour extraire la racine, carrée d'un nombre entier, 74529 par exemple, on le sépare en tranches de deux chiffres à partir de la droite, sauf à ne laisser qu’un ou deux chiffres à la dernière tranche à gauche (le nombre des tranches indique des chiffres de la racine) (231), et on tire un trait vertical à sa droite pour le séparer de la racine. On prend la racine carrée 2 du plus grand carré 4 contenu dans la première tranche à gauche 7; cette racine 2, qui ne peut avoir qu’un seul chiffre (231), est le premier chiffre à gauche de la racine. On retranche le carré du chiffre trouvé de la première tranche à gauche; à la droite du reste 3

!i(i PHEJIIÈBE PARTIE, — ARITHMÉTIQUE.

on écrit la tranche suivante 45 ; on sépare le premier chiffre 5 à droite du nombre qui en résulte; on divise la partie à gauche 34, considérée comme exprimant des unités simples, par le double 4 de la partie obtenue de la racine, ce qui donne pour quotient le chiffre 8, qui est le chiffre suivant de la racine, ou un chiffre trop fort. Pour le vérifier, on l’écrit à la droite du double de la partie obtenue de la racine ; on multiplie le nombre 48 qui en résulte par 8, et le produit 384 étant plus fort que le nombre 345, c’est que le chiffre 8 est trop fort. Opérant sur le chiffre 7 comme sur le chiffre 8, le produit 329 du double de la partie de racine obtenue par ce chiffre étant moindre que 345, 7 est le chiffre suivant de la racine. On retranche le double produit 329 de 345; à la droite du reste 16 on écrit la tranche suivante 29; on sépare le chiffre 9 4 droite du nombre qui en résulte; on divise la partie à gauche 162, considérée comme exprimant des unités simples, par le double 27 x 2 =54 de la partie de racine obtenue, ce qui donne pour quotient le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop fort; on le vérifie comme dans le cas précédent, et on continue ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait opéré sur toutes les tranches.

En général , on se dispense d’écrire les produits par les chiffres de la racine, et on retranche ces produits au fur et à 'mesure qu’on en obtient les chiffres; c’est ce qui a été fait dans la seconde- manière d’opérer cidessus.

238. Quand, pendant l’extraction de la racine carrée, le reste qui correspond à la partie de racine obtenue n’est pas moindre que le double plus 1 de cette partie de racine, la partie de racine obtenue est trop petite au moins d’une unité ; et lorsque le reste est moindre que le double plus 1 de la partie de racine obtenue, cette partie de racine no peut être augmentée de i.

Ainsi le dernier reste doit toujours être moindre que le double de la racine plus 1. Lorsqu’il est moindre que la racine, cette racine est approchée par défaut à moins d’une demi-unité. Dans le cas contraire, cette racine augmentée d’une unité est approchée par excès à moins d’une demi-unité.

230. Si, comme dans l’exemple précédent, on obtient un dernier reste nul , c’est que le nombre proposé est un carré parfait.

Si au contraire le dernier reste n’est pas nul, c’est que le nombre pro-

LIVBK IV. — CARRÉS, CUBpS, RACINES CARRÉES ET RACINES CUBIQUES. 57

posé n’est pas un carré parfait. La racine obtenue est alors sa racine à moins d’une unité par défaut (235), c’est-à-dire la partie entière de la racine exacte (170). Elle est la racine exacte du plus grand carré parfait contenu dans le nombre proposé, et le reste est la différence entre le nombre proposé et ce plus grand carré. La racine exacte du nombre proposé, quoiqu’elle existe, ne peut être exprimée exactement par aucun nombre, entier, fractionnaire ou décimal ; elle est incommensurable (206), et ne peut par conséquent non plus être exprimée par un nombre décimal périodique (189 et 190).

257. Pour trouver la racine carrée d'un nombre entier, 74529 par exemple, à moins d'une unité, il suffit d’extraire la racine carrée , à moins d’une unité par excès, du nombre 74500, formé en prenant sur la gauche du nombre proposé plus de la moitié des chiffres et en remplaçant par des zéros les autres chiffres. Ainsi , extrayant la racine carrée de 74500, on obtient 272 avec 516 pour reste; la racine de ce nombre, approchée par excès à moins d’une unité, est alors 273, et c’est le résultat demandé.