SUR LES ARCS DES LIGNES APLANÉTIQUES

Par SI. William ROBERTS.

Les arcs des ovales de Descartes, ou, comme on a coutume de dire aujourd’hui, des lignes aplanétiqucs, quoique dépendant, en général , d’une transcendante fort compliquée, jouissent d’une propriété assez simple qui n’a pas encore, je crois, été remarquée.

On doit se rappeler que la courbe complete se compose de deux ovales conjugués [*]. Maintenant voici la propriété que je veux établir :

« Soient P,, P, deux points qu’un rayon vecteur, issu d’un foyer, « détermine sur la courbe; soient aussi P’,, P’, deux points qu’un » second rayon vecteur, tiré du même foyer, détermine d’une mail nière semblable. La différence des deux arcs P, P, et P, P', sera » égale à un arc d’ellipse. »

Pour le faire voir, nous chercherons d’ahord une formule pour la rectification de» courbes comprises dans l’équation générale

dans laquelle Û désigne une fonction quelconque de l’angle polaire to, et a. une quantité constante. On trouvera facilement que si s,, .i, sont les' arcs qui répondent à la même valeur de u , on aura, en

[•] l'air un article de M. Quételet, Xoiireoii.r Mémoires de l'Académie royale dt liruxetlrs, mute V, et Y Aperçu historique de M. Chasles, page 35o, noie XXL

faisant dù = Q'rfca,

i, — s, = 2 J" vü’ + 11” — a </ta.

Cela posé, considérons une ligne aplanétique. Sa propriété fondamentale s’exprime par la formule

r -f- mr' — n,

l • *• MM* *

où r, r' sont les rayons vecteurs tirés de deux points Hxes à tnt point quelconque sur la courbe, et m, n sont des constantes. En désignant par ta l'angle que fait le rayon r avec la droite (ci qui joint les deux points fixes, on trouvera, pour l’équation polaire de la courbe,

, /« — «»‘ccusw\ n* — m'c*

Cette équation s'identifie avec l’équation (i) en taisant

^ n — w:r cos«t «J — m- f*

ce qui donne

et, par conséquent, il vient, eu prenant ta entre deux limites quel conques ta0 et ta, ,

st s7

\ n* — i ne cos « -t- c’ rfta.

Mais l’intégrale

— a ne cos ta -t- c* rfta

est un arc d’ellipse, ayant pour grand axe a (w -H c), et pour excentricité ; ce qui démontre le théorème que nous nous avions

fl + f

énoncé plus haut.

ic)6 JOURNAL DE MATHEMATIQUES

La méthode de* coordonnées elliptiques fournit tres-simplement la valeur générale. de l’arc, sous la forme d'une fonction ultra-elliptique. En nommant •xh la distance donnée des foyers dans ce système des coordonnées, on sait que pour l’élément ds d’un arc de courbe quelconque, la formule suivante a lieu :

ds* = y») (-gf

Mais l'équation d’une aplanétique, entre les coordonnées p. et v, est évidemment du premier degré, en sorte qu’on a, p et q étant des constantes,

p. -i- pv — 9;

de là on déduit, pour la rectification de cette courbe.

Al' — »'/*7 ■' + [{(•' — 1 ) »’ + g' — Vpifr I

V (A1 — ly’ — A’— v + /j’v1)

expression dans laquelle la quantité soumise au signe radical monte jusqu’au septième degré, lorsqu’on la rainème à la forme ordinaire.

Dublin, le 10 avril i85o.

PURES ET APPLIQUEES.

NOTE

SUR 1.4