BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE
The Physical Review;
T. X, n- 1, janvier 1900.
R.-A. Fessenden. — Détermination de la nature des grandeurs électriques et magnétiques, et de la densité et de V élasticité de l'èthcr, p. 1.
B.-E. MooRE. — Polarisation et résistance intérieure du *vollamHre à cuivre, p. 34.
H.-V. Carpenter. — Nouvelle méthode de comparaison de deux selfinductions, p. 52.
N« 2, février l'JOO.
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W.-J. HuMPHREYs. — Appareil pour la loi de Mariotte, donnant de bons résultats, p. 123.
CORNU. — HELIOSTAT ET SlDEROSTAi 249
SUR LA LOI DE ROTATION DIURNE DU CHAMP OPTIQUE FOURNI PAR LE SIDâROSTAT ET L'HÉLIOSTAT ;
Par M. A. CORNU.
Les appareils bien connus sous le nom d'héliostats et de sidérostals permettent d'envoyer dans une direction fixe, à Taide d'un miroir mobile, le faisceau de lumière émané d'un astre entraîné parle mouvement diurne. La théorie géométrique de ces appareils est très simple : elle réduit Tastre à un point lumîneux, le faisceau incident à un rayon rectiligne, qui décrit en vingt-quatre heures un cône de révolution autour de Taxe polaire de l'appareil, parallèle lui-même à Taxe terrestre. Pour obtenir la fixité du faisceau réfléchi, il faut et il suffit que la normale au miroir soit constamment parallèle à la bissectrice de l'angle que fait le rayon venu de lastre avec la direction fixe choisie: c'est la condition que réalisent d'une manière plus ou moins parfaite les mécanismes imaginés par S'Gravesande, Gambey, Silbermann, Foucault, etc.
Si Ton reçoit suivant l'axe principal d'une lunette le faisceau réfléchi parle miroir ainsi guidé, l'imagd focale de l'astre restera immobile au centre du champ de vision, malgré le déplacemaat angulaire de la voûte céleste. Mais cette con lition Je fixité, réalisée géométriquement pour l'astre visé, n'est plus remplie pour les directions voisines ; on constate aisément que le champ de vision tourne autour de son centre de manière à effectuer en vingt-quatre heures^ une révolution complète. La vitesse de rotation n'est pas uniforme, de sorte que le déplacement angulaire du champ varie avec le temps suivant une loi qu'il importe de déterminer.
Représentons la voûte céleste par une sphère de .rayon égal à l'unité et chaque ligne de visée sur le ciel par la trace sur cette sphère d'une droite menée par le centre parallèlement à cette direction.
Soit NESW, le cercle d'horizon réel ou fictif [fig. \)\ P, le pôle céleste; Z, le zénith; PZS, le méridien du lieu; PD, le cercle horaire de l'astre; D et D', le point de l'horizon réel ou fictif vers lequel le faisceau réfléchi est constamment dirigé.
La position de l'astre D est définie à chaque instant par sa distance polaire 8 = PD, et son angle horaire Al =: SPD compté positivement dans le sens du mouvement diurne, de l'est E vers l'ouest W. Do y. de Phfjs,, 3* série, t. IX. (Mai 1900.) 11
550 00 H Ni:
même, le point D' est déterminé par sa dislance polaire p = PD' et par Tangle co = SPD' que fait le plan PD avec le méridien. Nous appellerons plan de référence ce plan SPD', qui est par extension le cercle horaire du point D' M.
Si, au lieu de p et de w, on se donnait Tazimut a = SD' et Tare PS, supplément de la latitude L, on calculerait p et w à Taide des deux relations suivantes fournies parle triangle rectangle PSD':
cos p = cos a CCS L, lang fo =r . °- •
Pour que le faisceau émané de Tastre D soit constamment réfléchi en D', il faut et il suffit, d'après les lois de la réflexion, que la trace M delà normale au miroir soit maintenue par le mécanisme au milieu de Tare de grand cercle DD'. Connaissant à chaque instant la trace M de cette normale, on peut construire la trace de la direction suivant laquelle un rayon émané d'un point quelconque de la voûle céleste est réfléchi par le miroir ; il suffit de joindre ce point au point M par un arc de grand cercle et de prolonger cet arc d'une longueur égale. Ainsi rimage P' du pôle P est sur l'arc PM prolongé jusqu'au point P', tel que MP' = MP. L'image sphérique réfléchie des divers points de
(1) L'emploi de la projection stéréographique sur le cercle d'horizon permet de tracer l'épure rigoureuse de tous ces arcs de cercle ; il est bon de l'adopter pour vérifier graphiquement la grandeur et le sens des angles calculés.
Mais ce mode de projection a Tinconvénient de tant déformer la grandeur des côtés des triangles sphériques qui sortent du cercle d'horizon que l'usage de ces épures est plutôt gênant qu'utile pour la clarté des démonstrations : voilà pourquoi on emploie ici des figures schématiques en dehors de tout système régulier de projection.
HÉLIOSTAT ET SIDÉROSTAT 251
la voûte céleste est donc à chaque instant symétrique de leur position directe par rapport au point M.
11 en résulte que Torientation du champ de vision est entièrement déterminée par la connaissance de l'image réfléchie d'un point quelconque, en dehors de Tastre qui en occupe le centre. Le pôle P, par son immobilité sur la voûte céleste, est particulièrement désigné pour ce but, et son image D' constitue le repère le plus simple et le plus commode.
Nous allons donc calculer pour chaque appareil la distance et Torientation de Timage P' du pôle, c'est-àrdire la longueur de Tare D'P' et Tangle Y que fait cet arc avec le grand cercle PD'Pj^, trace du plan de référence,
Sid&OBlat, — Sous ce nom on désigne Tappareil spécialement construit pour diriger le faisceau réfléchi vers Thorizon sud.
L'avanlage de cette disposition, imaginée par Léon Foucault, est de réduire autant que possible Tangle d'incidence DM = D'M des rayons venant des asiles qui, à leur passage supérieur, culminent au voisinage du zénith ou de Téqualeur; les aberrations de Timage réfléchie causées par les imperfections du miroir sont ainsi notablement atténuées. La fig. 1 représente la disposition du faisceau issu de Tastre D et renvoyé par un sidérostat dans une direction horizontale faisant avec le méridien sud un angle a compté positivement vers Touest; a est généralement une petite fraction de l'angle droit.
i** Distance P'D' de V image P' du pôle au centre D' du champ, — L'arc D'P' estlecôté du triangle MD'P' symétrique du triangle MDP, puisque MD' = MD et MP' ::= MP. Ces deux triangles sont égaux comme ayant un angle égal en M compris entre deux côtés égaux. Les deux côtés DP' et DP, opposés à l'angle égal, sont donc égaux : D'P' =: DP =. 5. Donc : la distance DT' de C image du pôle à C image de Castre [centre du champ) est égale à la distance polaire de V astre visé. D'où il résulte que Cimage du pôle décrit autour du centre du champ un cercle ayant pour rayon la distance polaire de Vastre visi^.
2* Orientation de l'arc DP'. — Soit Y l'angle que l'arc DT' fait avec D'Pq, prolongation de la trace du plan de référence DP.
Y— PoD'P' — K — PD'P' m t: — (PD D + DD'P ) = ;: — (PD D + PDD),
car DD'P' =rz PDD' en vertu de l'égalité des triangles MDP et MD'P'. L'angle cherché Y est donc le supplément des angles à la
base du triangle PDD', dont le sommet est en P. De la formule de
Neper :
^ cos- (6 — c; ^
lang- (B + C» — j cotang^.
cos - (6 -\- c)
on déduit, en substituant A =: DPD' =: M — o>, ô =r p, c = 8,
1 cos|(p + B) j
ces- (p — 5}
expression qui donn? Torientation de l'arc D'P' et, par suite, la loi de la rotation du champ de vision, car l'A varie proportionnellement au temps .
Si Ton prend pour origine du temps le moment où Fastre visé est dans le plan de référence, / = o p3ur AI — co = o, et pour unité de temps le jour sidéral ou solaire (suivant Tastre considéré), on a M — (I) = Stt/, et Texpression de Y prend la forme symétrique
tang- Y ~ K tang- 2j:/,
avec
ros- (p + 8) C0S5 (p — h)
et M — fi = 2r.t.
On en conclut aisément :
a. La rotation du champ a la m('me p(^riode que le mouvement diurne.
b. Elle est continue et toujours dans le même sens^ direct ou inverse suivant le signe de K.
c. Le plan de référence est un plan de symétrie^ car Tangle Y prend des valeurs égales et de signe contraire à des époques équidistantes de pari et d'autre de Torigine du temps.
On pourrait représenter géométriquement cette loi de rotation par une courbe en prenant le temps comme abscisse, et l'angle Y comme ordonnée. Mais on aura une figuration plus directe de la rotation du champ en considérant Tare DT comme le rayon vecteur mobile du cercle décrit par l'image P' du pôle et en traçant les positions suc-
HÉLIOSTAT ET SIDÉROSTAT 253
cessives de ce rayon vecteur à des époques équidistantes, subdivisions aliquotes du jour. La fig, 2 offre une représentation de ce genre sur le plan tangent à la sphère en D'; les vingt-quatre positions successives de DT' se projettent suivant des rayons rectilignes ; elles correspondent à la subdivision du jour en vingt-quatre heures. L'origine du temps ^ = o correspond à D'P©, trace du plan de référence et axe de symétrie.
^•Jc^rrrT^*
3** Expression de la vitesse angulaire. — La vitesse angulaire de rotation à Tépoque t s'obtient en prenant la dérivée de l'expression de Y par rapport à t ; toutes réductions faites, on obtient la formule:
Le dénominateur étant essentiellement positif, la vitesse a toujours
le signe de K ; elle varie périodiquement entre la valeur 2:rK, cor-
2ic respondant aux époques ^ = o, 1, 2, ..., et la valeur -j^) corres-
pondant aux époques intermédiaires ^ =F 5' â' â' -m ^^^ passant par
la valeur 27r, vitesse angulaire du mouvement diurne, aux époques données par la condition :
cos^ T.t + K* sin^xr = K,
ou
IdLUgTZt =Z -j.
Comme les positions de Tastre les plus favorables à l'observation (passage supérieur) sont voisines du plan de référence ^ = o, la
vitesse de rotation peut être considérée comme constante et égale à 27tK, car cette vitesse varie peu aux environs de / = o, puisqu'elle
répond à un maximum ou à un minimum. La vitesse -jt n'est jamais
observable avec le sidérostat, qui ne permet pas d'observer les passages inférieurs.
L'unité de vitesse angulaire est évidemment celle de Sir ou d'une circonférence par jour ; si l'on voulait prendre une autre unité, exprimer, par exemple, la vitesse en minutes d'arc par minutes de temps, ou plus généralement en n"*** de circonférence par m"*** de
ti jour, il suffirait de remplacer ait par — • En effet, ce changement
d'unités revient à poser :
d'où :
dy' 1 n (H
dr, 'Ztz m dt
Comme il va n := 360 X 60 minutes d'arc dans la circonférence et
m = 24x60 minutes de temps, la vitesse SttK, devenue — K, est
ici égale à loK ; on retrouve bien 15' dangle par minute de temps pour la vitesse angulaire du mouvement diurne K = i.
4* Sen.s du mouvement de rotation du champ de vision, — On doit supposer l'observateur recevant le faisceau lumineux; par conséquent il dirige son regard vers le centre de la sphère suivant le rayon qui aboutit en D', d'où il résulte que le sens du mouvement de rotation sera celui qu'un observateur placé suivant la direction D' en dehors de la sphère attribuera au mouvement de l'arc D'P'. D'après l'expression de Y, .on voit que Y et .îV. = to seront de même signe, si le coefficient K est positif. On connaît le sens du mouvement diurne, c'est-à-dire l,e sens de la variation positive de -R; on voit sur la figure que, quand l'ascension droite de l'astre D grandit. Tare PD, vu de l'extérieur de la sphère, tourne dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre; donc pour K positif, Y varie dans le même sens. La condition pour que K soit positif est évidemment :
cos- (p + 5} > o, 2 '*° ■*" ^' ^ i' 3 < t: — p.
HÉLIOSÏAT ET SIDÉROSTAT 235
D'où Ton conclut :
Lorsque la dis lance polaire de V astre visé est moindre que le supplément de la distance polaire de la direction réfléchie ^ le sens apparent de la rotation du champ de vision du sidérostat est celui du mouvement des aiguilles d'une montre.
Il est de sens contraire^ si la distance polaire de l astre est moindre que ce supplément. L'observation avec une lunette astronomique ne change pas le sens de la rotation : le renversement des images se borne à tourner de ISO*" la direction origine D'Pq.
5" Distance polaire critique : champ de vision immobile, — La transition entre ces deux cas correspond à la condition K := o, c'està-dire cos- (p -j- ô) = o; la valeur de Y demeure constamment nulle,
quelle que soit l'ascension droite de l'astre ; donc :
Le champ de vision du sidéi'ostat reste rigoureusement immobile lorsque la distance polaire de l'astre visé est égale au supplément de la distance polaire de la direction réfléchie.
Ce cas d'immobilité absolue du champ correspond à une particularité géométrique qui rend le résultat évident : on démontre, en effet,
aisément que, si p -(- ^ === ^i ^'^^^ P^ï = 5 ! 1^ normale au miroir
devient normale à la ligne des pôles ; le miroir est donc parallèle à Taxe terrestre. En outre, l'arc PM bissecte l'angle DPD' ; par suite, le miroir tourne d'un angle égal à la moitié de la variation de l'angle horaire. Ce sont les deux conditions caractéristiques du Cœlostat de M. Lippmann(*), appareil très simple qui donne une image du ciel absolument fixe ; il se compose, en effet, d'un miroir tournant autour d*un axe parallèle à son plan et à l'axe terrestre avec une vitesse angulaire égale à la moitié de celle du mouvement diurne et de même sens.
Le sidérostat peut donc remplacer le cœlostat pour une région du ciel située autour d'un astre de distance polaire t ; il suffît de choisir pour direction du faisceau réfléchi l'une de celles qui satisfont à la condition p -f 8 =: ir, c*est-à-dire l'une des génératrices du cône de révolution faisant avec l'axe terrestre Tangle tt — 8 ou supplément de la distance polaire. Il est bon de connaître cette propriété du sidérostat, car on peut, dans certaines circonstances, l'utiliser sans grande complication expérimentale.
(1) C. R, de VAcad. des Sciences, t. GXX, p. 1015.
6* Siderostat oriente dans Je mMdien, — C'est le mode d'installation le plus ordinaire du siderostat; le faisceau réfléchi horizontalement est dirigé exact€ment vers le sud. 11 en résulte que eu = o, p=7c — L, L étant la latitude. L'angle Y est Tangle que fait Tare D'P' avec le méridien devenu le plan de référence et de symétrie. L'expression de Y prend la forme :
lang^Y = Kiang^Al,
avec
sini(L-8) K . ±
sini(L+5)
Les énoncés précédents deviennent alors très simples.
Avec le sidi/rostat orien(e' dans le méridien^ le champ de vision est immobile^ lorsqtie la distance de l'astre visé' est égale à la latitude du lieu d'observation; la rotation du champ a lieu dans le sens des aiguilles d'une montre, si cette distance polaire est moindre que la latitude ; en sens inverse, si elle est plus grande.
Le coefficient K, qui définit la valeur pratiquement constante de la vitesse de rotation du champ en fonction de la rotation diurne, est toujours plus petit que Funité.
En voici les valeurs numériques pour la latitude de Paris, L= 48** 50, B croissant de 10* en 10** (passage supérieur) :
0<» (pôle) -f- 1,000 TO*» — 0,213
Héliostat, — C'est l'appareil qui renvoie le faisceau réfléchi dans une direction voisine de l'horizon nord, rarement au-delà du NE ou du NW.
La /ig. 3 représente le faisceau issu de l'astre D et renvoyé dans la direction horizontale D", faisant avec le méridien nord un angle NPD*= a', compté positivement vers l'est. Le pôle est en P; SPD est
HÉLIOSTAT ET SIDÉROSTAT 257
Tangle horaire, et 8 la dislaDce polaire de Taslre visé D. Nous désignerons par «!>' = NPD'' et y = PD" Tangle horaire et la distance polaire de la direction réfléchie D'', qu'on déduit comme précédemment de Fazimut a' et de la latitude L au moyen du triangle rectangle NPD*. La normale M au miroir est au milieu de Tare DD'' et l'image F' du pôle sur Tare PM prolongé de telle sorte que
