OBJET DU TRAVAIL. — HISTORIQUE

L'élude expérimentale des phénomènes de polarisation voltaïque a porté jusqu'ici presque exclusivement sur les points suivants: déterminer la force électromotrice acquise par le système de deux électrodes ayant servi à effectuer Télectrolyse d'un composé chimique; étudier les variations decette force électromotrice lorsqu'on change la nature des électrodes, celle de Télectrolyte, la densité du courant, la température, etc., en un mot les conditions dans lesquelles a eu lieu Télectrolyse.

A côté de ces phénomènes, soigneusement décrits dans les auteurs, il existe une autre classe de faits intéressants, jusqu'ici peu étudiés ; c'est à ces faits que se rattache l'importante question que je me suis efforcé d'élucider et dont je vais d*abord poser les termes.

Lorsqu'un voltamètre est mis en relation avec une pile constante dont la force électromotrice est très faible (quelques centièmes de volt), il ne se produit aucun dégagement de gaz, et le courant qui a pris naissance lors de la fermeture du circuit s'affaiblit et disparaît sensiblement au bout d'un temps très court. Ce phénomène est dû à la polarisation des électrodes ; chacune d'elles acquiert, par le fait du passage de l'électricité, des propriétés nouvelles, en vertu desquelles le voltamètre est transformé en un véritable électromoteur opposé à la pile. La force électromotrice rapidement croissante du voltamètre atteint presque aussitôt celle de la pile, et à ce moment le courant est sensiblement arrêté.

Ainsi, pour polariser un voltamètre de façon à donner une force électromotrice déterminée, il faut une certaine quantité d'électricité, qui est rendue si l'on ferme le voltamètre sur lui-même par un circuit métallique. L'objet du présent travail est de mesurer la plus petite quantité d'électricité nécessaire pour communiquer, par polarisation, à une électrode une force électromotrice déterminée, J. de Phjs,, t. X. (JuiUet 1881.) ?0

278 R. BLONDLOT.

et, uhe/'ieu/e/nent, de rechetckei' les lois (jui lient les valeurs nuniérii/ues de cette charge électri(/ue à celle de la force électromotrice (juelle a produite.

J'exposerai d'abord rhistoriqiie de la question.

Le point de départ des recherches qui ont été tentées jusqu'ici sur le sujet qui nous occupe est l'analogie entre une surface polarisée et un condensateur électrique, tel que le carreau de Franklin ou la bouteille de Le^de. Au point de vue descriptif, l'analogie des propriétés est évidente : pour charger un condensateur de façon à établir une différence de potentiel déterminée entre ses armatures, il faut une certaine quantité d'électricité, dont l'introduction se traduit par un courant décharge; le retour à l'état neutre produit de même un courant de décharge, égal en quantité au premier. Les particularités les plus minutieuses de la décharge des condensateurs se retrouvent dans celle d'un voltamètre polarisé. Je citerai Clerk Maxwell (*) : « Si, dit-il, après que les électrodes ont été réunies pendant un temps suffisant pour produire une décharge en apparence complète, de telle façon que le courant ait disparu entièrement, on les sépare pour un temps, et qu'on vienne à les réunir, on obtient une seconde décharge dans la même direction que la première; c'est ce qu'on appelle la décharge résiduelle, et c'est un phénomène présenté par la bouteille de Leyde aussi bien que par la pile secondaire. » On sait aussi que M. Bernstein a pu constater des oscillations électriques lors de la décharge d'un voltamètre, absolument comme dans celle d'un condensateur.

Une analogie de propriétés si complète et si frappante se poursuit-elle au point de vue quantitatif? On sait que, pour un condensateur donné, la lame isolante étant du reste constituée par de l'air ou un diélectrique quelconque, la différence de potentiel des armatures est proportionnelle -^ la charge de l'une d'elles, de telle sorte qu'on peut écrire, en appelant y lachargede l'armature positive. Ci la différence de potentiel entre les armatures et C une constante à laquelle on a donné le nom de capacité,

q "Ce.

Cette proposition, prévue par la théorie, se vérifie entièrement par

(') >^ Treatisc on electiiclty and magnetisni, vol. I.

rexpérience dans le cas d'un condensateur. Il était intéressant de savoir si la capacité d^ une surface polarisée est constante.

Le premier travail institué dans le but de résoudre la question est du à M. C.-F. Varley et a été présenté à la Société royale de Londres en 1871, par sir William Thomson ('). Voici la mélhode employée par M. Varley. Un voltamètre est mis en relation pendant un certain temps avec une source d'électricité possédant une force électromolrice connue ; on le décharge aussitôt en le fermant sur lui-même au moyen d'un circuit métallique comprenant un galvanomètre : la quantité d'électricité qui s'écoule est mesurée par l'impulsion de l'aiguille, et l'on a ainsi, d'une part la force électromotrice du voltamètre, puisqu'elle fait équilibre à celle de la source, d'autre part la charge, mesurée par la déviation du galvanomètre. Le rapport delà charge à la force électromolrice donne la capacité.

Cette méthode est une de celles que l'on emploie pour mesurer la capacité des condensateurs; seulement, ici, la charge, au lieu d'ctre instantanée, a duré de dix à trente secondes.

Lesrésultats desexpériences deM. Varley formentdeux Tableaux; d'après le premier, la force électromotrice variant de 0^^,02 à i^t6, la capacité aurait varié de i à 3,5; d'après le second, de i à 3,10; ce n'est que jusqu'à o*Jo8 qu'elle pourrait être considérée comme constante. Au contraire, un condensateur observé parallèlement a montré une exacte proportionnalité entre la charge et la force électromotrice.

M. Varley termine ainsi son Mémoire : « Les valeurs des Tableaux ne sont qu'approximativement vraies. Il y a dans ce genre d'expériences une difficulté considérable, qui provient de ce que la déchargen'eslpassensiblementinstantanée etde ce quel'absorption est très grande. » Cette phrase résume très bien la difficulté de la question. On sait en effet qu'une lame polarisée se dépolarise d'ellemême avec le temps, c'est-à-dire que la différence électrique entre le métal et le liquide environnant tend à reprendre sa valeur normale. Celte dépolarisation spontanée augmente la charge apparente,

(*) Polar ization of metallic surfaces in aqueous solutions, etc., by Crou>yell FlktwooD Varley. Communicated by sir W. Thomson, F. R. S. Received oclober 1870, fead jaouary i8;i.

28o R. BLONDLOT.

puisque celle-ci doit subvenir à la déperdilion de force éleclromotrice pendant toute la dlirée de la charge (dix ou trente secondes). Le courant de décharge se trouve de même modifié, car un phénomène tenant à la même cause que la déperdition, mais inverse de celle-ci, fait que l'électrode ne restitue sa charge que progressivement.

La méthode de M. Varlev est donc, d'après l'appréciation de son auteur lui-même, entachée de causes d'inexactitude, et les résultats obtenus ne doivent pas être regardés comme définitifs. De plus, la capacité mesurée est celle du voltamètre dans son ensemble, et la part de chacune des électrodes n'a pu être faite.

MM. Kohlrausch et Nippoldt ont pubhé, en 1869 et 1872 (*), un travail dont l'objet principal est l'étude de la résistance galvanique des liquides; la question de la capacité de polarisation y trouve place incidemment, à l'occasion du problème suivant: Un ^voltamètre étant intercalé dans le circuit d'une machine magnétoélectrique, en même temps qu un électrodynamomètre, trouver les relations qui existent entre la déviation de ce dernier et les constantes des trois appareils.

Si Ton admet que la force électromotrice de polarisation est proportionnelle à la quantité d'électricité qui a traversé le voltamètre, on pose facilement une équation différentielle dont l'intégration donne la relation cherchée. M. Kohlrausch a trouvé une concordance suffisante entre les nombres du calcul et de l'expérience tant que la force électromotrice de polarisation a été inférieure à o**,6; il a donné, de plus, la mesure en unités absolues de la capacité entre les limites précédentes.

On voit que ces résultats ont été obtenus à l'aide d'une méthode extrêmement détournée, en se servant de l 'électrodynamomètre, instrument toujours peu sensible ; la polarisation du voltamètre n'y entre qu'en bloc, sans que chacune des électrodes ait pu être traitée en particulier; il n'a pas été tenu compte, dans le calcul, de la dissipation spontanée de la polarisation, laquelle peut influer sur les phénomènes; enfin, la méthode en question ne permet pas d'étu-

(*) F. K0HUIAC8CH und H. Nippoldt, Pogg. Ann., Bd. CXXXVIU, p. 282; 1869. - F. KoBLBAiiscH, Nachr. d. A'. Gôtt, Gcscllschaft, 25 sept. 1872, S. !\b'i, et Po^. Ann., Bd. CXLVIII, S. 143 (1873).

CAPACITÉ DE POLARISATION. a8i

dier la capacité correspondant à des forces électrom6lrrcé&: pou? lesquelles elle ne serait pas constante. Nous remarquerons texîfeaccord qui existe entre MM. Varley et Kohlrausch : M. Varley admet la constance de la capacité jusqu'à o**,o8 seulement, et M. Kohlrausch jusqu'à o**, 6, c'est-à-dire entre des limites près de dix fois plus éloignées.

Après le travail de M. Kohlrausch, nous trouvons dans les Annales de TFiedeniann ( * ) un Mémoire de M. Henvig, publié en décembre 1877 et intitulé Sur la signification de la polarisation relativement aux propriétés électriques des liquides. Une erreur mathématique qui se trouve au début même du Mémoire enlève malheureusement à celui-ci son intérêt. M. Herwig prend pour point de départ la constance de la capacité de polarisation c; il pose une équation différentielle qu'il peut intégrer, uniquement dans la supposition que c est constant : or l'expérience montre que c est variable. M. Herwig se sert néanmoins de l'équation intégrée pour déterminer les valeurs de c. Il y a là une faute de logique qui nous dispense de pousser plus loin l'analyse du travail de M. Herwig. Je renverrai d'ailleurs à un Mémoire de M. Colley, pubhé en 1879 dans les Annales de TViedemann et intitulé Sur la polarisation dans les électrolytes (2). Le jugement porté par M. Colley sur le Mémoire de M. Herwig se résume dans cette phrase, que je cite textuellement : « Il déterminait la capacité par la mesure d'une grandeur indépendante de la capacité ( *). »

A la fin du Mémoire même que nous venons de citer, M. Colley rend compte des mesures qu'il a effectuées personnellement, relativement à la capacité de polarisation (*). Il prend pour point de départ : 1** la supposition que le courant de charge peut être considéré comme instantané ; 2® une hypothèse sur le décroissement continu du courant de convection (il appelle ainsi, avec MM. Helmholtz et Herwig, le courant dû à la dépolarisation spontanée), à savoir que le courant de convection diminue dans les

(') H. Herwig, Ueber die Bedeutung der Polarisation fur das electr. f^erhaltcn der Pliissigkeiten {Wicdemanns Animlen^ 1877, n«» 12, S. 5G6).

(*) R. Colley, Ueber die Polarisation in Electrolyten i^Wiedcmann's Annalen, 1879, n« 6. S. aofi).

(') ÏAico citato, S. 206.

(*) Ibid.

a82 U. BLONDLOT.

J)remiers moments en progression géométrique ; 3*^ la supposition implicite que la capacité est constante, c'est-à-dire qu'on a en vue la capacité moyenne clans Tintervalle de force éleclromolrice considéré ; 4*^ ^I' Colley admet enfin que le courant de conveclion n'exerce aucune influence sensible sur rélectrodynamomètre (les indications de rélectrodynamomètre étant proportionnelles aux carrés des intensités, si celles-ci sont très-petites, leurs carrés seraient négligeables). Le problème traité par M. Colley est le suivant : étant donné un Daniell, un voltamètre et un galvanomètre (ou un électrodynamomètre) sur un même circuit, calculer la première impulsion du galvanomètre (ou de rélectrodynamomètre) lorsqu'on ferme le circuit. Les hypothèses énoncées plus haut permettent d'écrire des équations (^)qui donnent les premières impulsions des deux instruments en fonction : i° de la capacité inconnue c; 2" de la résistance inconnue r du voltamètre; 3** d'une quantité 9o se rapportant au courant de convection. A Taide de la seconde de ses hypothèses, M. Colley détermine approximativement Oy par quatre expériences faites à part avec le galvanomètre. Chacune des impulsions initiales étant ensuite déterminée par Texpérience, il reste deux équations qui permettent d'éliminer r. Dans une autre série d'expériences, M. Colley a rendu /• négligeable et c très grand : de cette façon on a deux équations devant donner la même valeur de c.

Le degré de certitude des résultats dépend de celui des suppositions qui servent de base à la méthode. La seconde d'entre elles est certainement inexacte : d'après son énoncé, le courant de convection partirait d'une valeur finie pour ^ = o(-) et diminuerait ensuite graduellement. Or M. Colley dit lui-même (') : « L^ courant de convection est proportionnel à la différence de polentiel... » 11 suit de là, quand bien même la proportionnalité ne serait pas rigoureuse, que ce courant part de zéro pour/==oeI croît ensuite à mesure que la polarisation se produit (^). Par con-

(') Désiyiiéps dniis le Mémoire suis les n"* 34 et 35. (*) f'^oir la fi^. G, PL Ilf du Volume Vil des Annales </r Uicdcniann. (') P. 216.

(*) Le d -croisseraent qui succède au bout d'un temps très long provient d'un pbclomèiic consécutif à la polarisation.

CAPACITÉ DE POLARISATION. a.^3

séquenl, la valeur de Oq? calculée comme il a été rapporté, est erronée. Je passerai sur Thypothèse de la constance de c, parce que, bien que M. Colley s^en soit servi dans ses calculs, ses équations peuvent être établies d'une façon tout à fait indépendante par la considération de Ténergie. Nous accorderons également la quatrième proposition, comme une approximation.

On voit par là que, puisque d'une part, dans l'observation de réleclrodynamomètre, on néglige systématiquement la convection et que d'autre part la correction apportée à la déviation du galvanomètre est fausse, cela revient à ne tenir aucun compte de la convection dans aucune des observations. Or, une telle méthode ne peut conduire qu'à des résultats inexacts et à une valeur beaucoup trop grande de la capacité, attendu que, pour la force clectromolrice de i daniell, la convection est énorme et que cette convection dure pendant tout le temps de la demi-oscillation du galvanomètre, temps considérable relativement à celui de la charge. Les causes d'erreur sont ici les mêmes que dans les expériences de M. Varley.

Récemment (1879), dans un travail ayant pour ùirc Sitr remploi du télcpJione pour les mesures électritpies et gnhaniqnes ('), M. ^^ Wietlisbach a été amené, comme M. Kohlrausch, à l'occasion de mesures sur la résistance des liquides, à étudier la capacité de polarisation. Prenant pour point de départ la constance de la capacité, il fait le calcul relatif au pont de Wlieatstone dans le cas où le courant consiste en vibrations sinusoïdales et où les différentes branches des conducteurs contiennent des forces électromotrices résultant, soit de la présence de résistances liquides capables de polariser les électrodes, soit de celles de bobines s'induisant elles-mêmes parles variations du courant. Le pont contient, au lieu du galvanomètre, un téléphone qui doit être réduit au silence.

Dans un cas spécial, le calcul permet de déduire de l'observation la capacité de polarisation, supposée constante; l'auteur donne une mesure eflTectuée de cette manière.

(*) Veher Anwendung des Trlephons mt electrUchcn und gaU'anischen Messungen; Inaugural-Dissertation. Zurich, 1B79. Ce travail a été analysé par moi dans lo Journal de Physique, t. IX, p. 97.

a84 E. BOUTY.

On peut appliquer à la méthode de M. Wietlîsbach, presque idenlique avec celle de M. Kohlrausch, les mêmes critiques qu'à celle-ci, sauf ce qui a rapport à rélectrodynamomètre : on peut surtout lui reprocher d'être basée sur des hypothèses, de ne tenir aucun compte de la déperdition, d'être détournée et restreinte dans ses applications. Le Mémoire de M. Wietlisbach renferme d'ailleurs des développements intéressants sur les idées émises par Cl. Maxwell et M. Helmholtz relativement à la polarisation.

{A sanTc.)

ÉaUATIONS FONDAMENTALES DU MAGNÉTISME INDUIT, D'APBES MAXWELL; Par m. E. BOUTY (»).

I. Considérons un très petit aimant AB dont les deux pôles A et B contiennent des quantités de magnétisme égales à m et sont séparés par une distance a. Le potentiel produit par cet aimant en un point P dont les distances à ses deux pôles sont /* et / est

Soit £ l'angle de la droite OP, qui joint le milieu de l'aimant au point P, avec la direction BA de l'axe magnétique; on a à la limite

r' — ;• = « cos£,

macosz

ou, en désignant par M le moment magnétique ma,

V =z -- COS£.

(') Pour facililcr au lecteur rintulligeucc du Mémoire original de M. Greenhill, nous avons cru devoir le faire précéder de la démonstration des théorèmes fondamentaux du magnétisme induit. Nous empruntons les démonstrations à Maxwell, dont M. Greenhill adopte les notations.

II. Considérons un solide C aimanté dans toule sa masse. Chacun des éléments de volume dans lesquels on peut le décomposer peut être considéré comme un aimant dont le moment magnétique M est proportionnel au volume dx dy dz de Télément, mais varie d'ailleurs d'une manière continue en grandeur et en direction avec les coordonnées x, r, z du point O, centre de gravité de Télément. On a donc, en désignant par I une fonction convenable de x^y, z^

M =1 1 dx dy dz,

I est le moment magnétique rapporté à Tunité de volume, ou Vintensité de l'aimantation au point O.

Le moment magnétique M et par conséquent Tintensité I de Taimantation peuvent être décomposés suivant trois axes de coordonnées; désignons par X, |jl, v les cosinus des angles de la direction du moment magnétique avec les axes, par A, B, C les composantes de rintensité I; on a

A = IX, B = IîJi, C = Iv,

et \ jjL, V sont des fonctions continues des coordonnées x, y^ z du point O.

Nous nous proposons de former le potentiel V au point P, provenant de l'aimantation du solide C. L'élément rfV, fourni au potentiel par le volume dx dy dz, est

oV =: —, coitdx dydz.

Soient S, Tj, Ç les coordonnées du point P :

r ros£ = X(? — x) -4- |i.(T. — y) 4- v(!; — z). 8V=: [A($ — .r) -4- B(r, -y)-^Ca — z)] y^dxdrdz.

Cette expression doit être intégrée en étendant les limites de l'intégration au volume entier du corps :

(I) \^J^ff[\{l-x)-^B[r,-y}-^C(Ti-z)]y^dxdydz,

28G E. BOUTY.

L*intégralion par parties donne

( \^. f f kj dvdz -+- f fBjdzd.c+ r fc y dx dy

Les trois premières intégrales doivent cire étendues à la surface entière, la dernière an volume entier du corps.

Soient ly m, n les cosinus des angles que fait avec les axes la direction extérieure de la normale à la surface; la projection d'un élément de surface d'à sur le plan des j^s est /rfS, mais elle a aussi pour expression dy dz\ on a donc

/<^/S = dydz, mdSz=:dz dx, ndS ^=^ dœdVj 1 / Ta jA^'dz -f- ( Tb -dzdjc \ -i- f I Cjdidy:^. r ({M-hBm-hCn) jdS. Posons

(5) p^- L*équation (p.) devient, d'après (3), (4) et (5),

(6) X^ffldS^ffftd.drd..

La valeur (6) de V est identique à celle que l'on obtiendrait en supposant que ce potentiel provient d'une double distribution magnétique, l'une superficielle, de densité o-, l'autre solide (c'est-àdire étendue à toute la masse), de densité p. On peut donc, au point de vue analytique, substituer à une distribution réelle quelconque de l'aimantation cette double distribution fictive : l'expression du potentiel, et par conséquent celle de la force exercée par Faimanl en un point quelconque extérieur à sa masse, demeure la même.

IIL La force provenant du magnétisme de C en tout point ex-

Bm +

du-

dC.\

^di)

Imeur à raîmanl a pour composantes

Pour déterminer la force en un point intérieur à Tainiant, nous imaginerons qu'on creuse autour de ce point une cavilé de très petite dimension, à Tintérieur de laquelle nous supposerons placé un pôle magnétique égal à Tunité. La force agissant sur ce pôle dépendra en général de la forme de la cavité et de la direction de Taimantation au point considéré. Il est donc nécessaire d'indiquer la forme et la position que l'on attribue à cette cavité; cela fait, la force à laquelle est soumis le pôle unité peut être déterminée comme s'il était extérieur à l'aimant.

Considérons d'abord une portion d'un aimant dans lequel nous supposeronsTaimantation uniforme dans une certaine région autour du point P, d'où il résulte, d'après l'équation (5), que la densité p de la distribution solide de magnétisme y est nulle; creusons dans celte région une cavité cylindrique, dont l'axe, passant par le point P, est dirigé dans le sens de l'aimanlation , et terminée par deux bases planes normales à l'axe. Les parois latérales du cylindre ne portent aucune distribution magnétique, puisque son axe est dirigé suivant l'aimantation; quant aux bases, elles sont revêtues de quantités de magnétisme égales et contraires dont la densité superficielle est I pour l'extrémité négative du petit aimant enlevé, — I pour l'extrémité positive. L'action Rde ces deux bases s'ajoute à l'action générale du magnétisme libre de l'aimant; nous devrons en tenir compte.

Prenons en second lieu une portion d'aimant dans laquelle l'aimantation n'est pas uniforme autour du point P. Nous supposerons alors le cylindre assez petit pour que la distribution solide que nous enlevons avec lui soit uniforme. Mais, puisque, dans des solides semblables, la force exercée en un point donné P, par une distribution uniforme de matière attirant ou repoussant d'après la loi de Newton, varie proportionnellement aux dimensions linéaires, l'altération de la force exercée sur le pôle unité par l'ablation de la distribution solide portée par le cylindre tendra vers zéro avec les dimensions de la cavité : on n'aura donc pas à en

288 E. BOUTY.

tenir compte, pourvu que les dimensions de la cavité soient inGniment petites.

D'une manière tout à fait générale, la force à l'intérieur d'une telle cavité se compose donc : i** de la force dont les composantes sont

__d\ dV __^dx dy dz

1^ de la force R provenant dés distributions portées par les deux bases de la cavité cylindrique infiniment petite et dont les composantes sont proportionnelles à celles de l'aimantation .

Nous sommes encore libres de faire tendre vers zéro le volume du cylindre en assignant au rayon de sa base a et à sa demi-longueur / tel rapport que nous voudrons.

En premier lieu, supposons le rapport -r négligeable. La quantité de la distribution portée par l'extrémité négative du cylindre est ira^ij \^ force exercée à une distance b sur le pôle unité est

sensiblement tt — I et tend vers o avec -r- Dans ce cas, la force R b^ b '

est négligeable et les composantes de l'action résultante au point P

sont

~ dx ' ^ ~~ dy^ ^ ~~ dz'

Nous appellerons conventionnellement a, p, y les composantes de \a force magnétique à l'intérieur de l'aimant.

En second lieu, supposons le rapport - négligeable. Le point P

se trouve placé entre deux disques plans très voisins sur lesquels la densité du magnétisme libre est égale à 4- I et à — L Nous nous proposons de trouver la force exercée au centre de la cavité quand le volume de celle-ci tend vers zéro.

Le rapport T étant supposé infini, nous avons à considérer la

force exercée sur un point P placé entre deux plans parallèles A et B indéfinis et portant des distributions homogènes de magnétisme libre égales et contraires. Le potentiel n'est fonction que de la distance z du point P au plan A et l'équation de Laplace se ré-

duil à

d'où

-j- z=: consl. ; az

la force est invariable quelle que soit la position du point sur une normale aux deux plans : il suffit de savoir la calculer pour une position particulière du point P. Mais en un point infiniment voisin du plan A, sur lequel la densité du magnétisme est -|- I, la force a pour expression

au centre de la cavité, la force conserve la même valeur.

Ainsi, dans ce deuxième cas, la force R est dirigée dans le sens de Taimantation et égale k^izl] ses composantes sont 4'ï^A., 4*^^» 4tîC; les composantes de la force résultante sont elles-mêmes

Nous appellerons la force résultante au centre d'une cavité en forme de disque plat V induction magnétique au point P.

IV. Considérons un aimant très étroit par rapport à ses dimensions longitudinales; Tintensîté moyenne de Taimantation dans une section transversale, multipliée par la section, peut être appelée h puissance de l'aimant dans cette section. Un filament de matière magnétique aimanté de telle sorte que sa puissance soit la même dans toutes les sections s'appelle un solénoïde magnétique.

Soient m la puissance du solénoïde, dl un élément de longueur, rla distance de cet élément à un point P, e l'angle de r avec Taxe du solénoïde ; l'élément de potentiel en P fourni par l'élément de solénoïde est

. mdsco9,t m dr ,.

dW — 5 =:-r --j-dl.

/•* /•* dl

i^yo E. BOUTY.

Intégrant depuis r, jusqu'à r^, on a

dC -^ dz-

Cette expression ne dépend que de la puissance du solénoïde et des distances de ses extrémités au point considéré : elle est indépendante de sa forme. Si Taxe d'un solénoïde est une courbe fermée, ce solénoïde est sans influence sur le potentiel en tout point extérieur, et par conséquent sur la force exercée.

Lorsqu'un aimant peut être divisé en solénoïdes soit fermés, soit se terminant à la surface de l'aimant, on dit que raimantatioii est solénoïdale, et l'aimant peut être remplacé par une distribution de magnétisme libre entièrement superficielle. D'après l'équation (5), on doit avoir dans ce cas

V. Une couche mince de matière magnétique aimantée transversalement, de telle sorte que le produit de son épaisseur par l'intensité de son aimantation est constant, s'appelle une lame magnétique ; le produit constant <I> est désigné sous le nom de puissance de la lame.

Soient dS un élément de surface de la lame, r sa distance au point P, £ l'angle de /* avec la normale à la lame; l'élément fourni au potentiel V par l'élément dS de la lame est

Mais en désignant par eu l'angle sous-tendu par dS au point P :

r^dvù ^= dS cosî, d'où

d\ z=.^dio,

Une lame magnétique fermée sous-tend un angle solide nul en tout point extérieur à la lame et, par suite, fournit un élément

nul au potentiel; elle sous-tend un angle égal à 4"^ cl fournil un élément égal à 4''^^ au potentiel en tout point intérieur. Elle ne fournit pas d'élément à la dérivée du potentiel : son action en tout point, soit extérieur à la lame ou enveloppé par elle, est donc nulle. Quand un aimant peut êlre divisé en lames magnélicjues fermées ou avant leurs bords sur la surface de raimant, raimantation est dite lamellaire. En désignant par ç la somme des puissances de toutes les lames traversées par un point mobile en passant d'un point donné au point (j:, y, z)^ la dernière lame traversée donne au\ trois composantes de îf un accroissement qui, d'après la définition des lames magnétiques, est

' cU dy dz

La quantité ç ainsi définie est la même quel que soit le chemin suivi par le point mobile. Nous la désignerons sous le nom de potentiel de l'aimantation : elle doit être soigneusement distinguée du potentiel magnétique.

VI. Pour déterminer la distribution du magnétisme induit dans une masse de fer doux sous l'influence de forces extérieures données, on admet, d'après Poisson, que l'aimantation d'une particule magnétique située en un point quelconque P ne dépend que de la force II à laquelle elle est actuellement soumise. Celle-ci résulte en partie des forces magnétiques extérieures, en partie des forces exercées en P par la masse de fer doux aimantée.

L'intensité de l'aimantation au point P est dans la direction de la force résultante H et l'on admet, dans la théorie du magnétisme que nous exposons, qu'elle est proportionnelle à la grandeur de cette force, ce qui n'est pas rigoureusement vérifié par l'expérience. Soit /: le coefficient de proportionnalité; nous l'appellerons coefficient d* induction magnétique.

Les deux parties de la force H ont l'une et l'autre un potentiel. Soient U le potentiel total, V le potentiel des forces extérieures, il le potentiel du magnétisme induit :

(n) Ui=V-+-i>.

aga E. BOUTY.

Les composantes a, ^, y de la force résultante H sont

elles sont liées aux composantes A, B, C de Taimantation par les

relations

d{kV)

dans lesquelles A" représente le coefficient d^induction magnélique. En posant

(15) o—^kV,

Les équations (i6) expriment qu'il y a un potentiel de l'aimantation, et que, par suite, Taimantation est lamellaire.

D'après Téquation (5), la densité p du magnétisme libre àTinlérieur de Taimant a pour expression générale

__{d^ dB dC\ fdoL d^ d^;\

P - \djc'^ dy "^ 5F; - ~ ^\Tx ^Tr'^dl)'

Or Téqualion de Laplace appliquée au potentiel U, dont a, % ^ sont les dérivées premières changées de signe, donne

doL d^ d^: , dJc^Ty-^dz^^''^'^ donc

Celte dernière équation, identique àTéquation (9), exprimeque

la distribution du magnétisme dans Taimant est solénoïdale. Il n'v a de magnétisme libre qu'à la surface de Taimant.

VIL Soit V la normale menée en un point de la surface de Taimant et dirigée vers Tintérleur. Les composantes de la densité superficielle T suivant les trois axes sont A, B, C, c'est-à-dire que, d'après les équations (16),

Le potentiel Û dû à cette aimantation (équation 6) esl représenté par

dS,

La valeur Q est partout finie et continue, et obéit à Téquation de Laplace aussi bien à l'intérieur de l'aimant qu'à l'extérieur.

Distinguons par un accent la valeur de il en dehors de Faimant, et désignons par v' la normale dirigée vers l'extérieur de la surface; on doit avoir à la surface même de l'aimant

el, d'après un théorème connu,

dû du' , , d^ f I d\ » , / / d\ a

</v rtv av av \ a V <

d'après les équations (17), (i5)et(i2), ou encore

. ,^da dû^ , , d\ 1.9) (, + 4WO^ + ^-f-4W..^=.o.

Posons (20) ik — i-^\T:k,

t^t supposons, pour plus de généralité, que le milieu extérieur csl lui-même magnétique et que le coefficient d'induction qui le caractérise est A', d'où

ji.'=i-+-47:A'.

Les quantités ix et jjl' s'appellent capacités inductives JiiagrK'tit/ues

y. de Pkys., t. X. (Juillet 1881.) ^ I

J94 A. -G. GREENHILL.

de l'aimant et du milieu. Celte dernière est égale à i quand le milieu est de Tair.

L'équation (19) se transforme par Tintroduction des coefficient |JL et [jl' et peut s'écrire

dV ,dV'

Celte équation ne diffère de Téquation (19) que par Tintroduction de la somme --7 — h -7-, > identiquement nulle et par Tintroduc-

lion des termes -\- ^Tzk' --rj -\- ^izk' -7-, qui s'annulent quand on fait k' z= o.

\111. Pour déterminer le magnétisme induit dans un corps homogène et isotrope limité par une surface S et soumis à des forces extérieures dont le potentiel V est donné, il faut trouver deux fonctions Q et Û' satisfaisant aux conditions suivantes :

1** A rintérieur de la surface S, la fonction û doit être finie, continue et obéir à l'équation de Laplace.

2° En dehors de la surface S, la fonction ù! doit être finie el continue; elle doit s'annuler à une distance infinie et elle obéit à Téquation de Laplace.

3" En chaque point de la surface on doit avoir û= û', et l'équation (19) ou son équivalente, l'équation (21), entre les dérivées de û et de U', doit être satisfaite.

SUR LE MAGNÉTISME IHDUIT D'UH EUIPSOIDE CREUX; Par m. A.-G. GREENHILL.

Poisson a résolu le problème de l'induction magnétique d'une masse de fer doux limitée par deux sphères concentriques, sous l'action de forces magnétiques quelconques, et aussi celui de Tinducti(»n d'un ellipsoïde plein, placé dans un champ magnétique uniforme.

Guidés par ses méthodes analytiques, nous pouvons aisément

MAGNÉTISME INDUIT. agS

étendre la solution au cas d'une niasse de fer doux limitée par deux ellipsoïdes homofocaux.

Soient

a* -h X, 6* -h Xi c' -h Xj ~ l'équation de la surface interne,

celle de la surface externe, et posons

^-J, («M-xyp'

où

P^ = (a«-hX)(6*4-X)(c'^X);

par suite,

Pour exprimer A, B, C au mojen des fonctions elliptiques de Jacobi, nous devons (en supposant a> b ^ c) poser ( * )

a«4-Xz=(a'' — c»)^,

c' -h X — (a* — c*) — ,- > ' sir a

le module des fonctions elliptiques étant l'excentricité de l'ellipse

(*) Les notations employées sont celles de Jacobi, si ce n'est qu'on a écrit, conformément à l'usage le plus répandu aujourd'hui, sna, cnx, dnx au lieu de sinama cosams, Aama.

2()6 A.. G. GREENHILL.

, , . là'- — ^* ,

cl par suite égal a i / —, -•> el alors

A = I sn^ oLcIoL

«cnî

^7^.[;^Jogn(a + K)-|a].

Pour un ellipsoïde de révolution aplati, a = ù , l = o, el, par

suite,

«2 -I- X m ( «* — c* ) coséc* a,

c' 4- X ~ (a*-— c^)col*a, A = -j sm*at/a = ^ (a — sinacosa),

Cz=z 1 langea r/a=i ^-(langa — a).

IMur un ellipsoïde allongé de révolution, i = r, /= i, cl

a* 4- X =1 («2 <^.2) coth^a, c' H- X =: (a' — c-*) coséch'a.

A - '■ I langh^a^a=: '- y (a — lanj^lia),

(i := '■ j 1 sin h^at/a^i ^ (^'"1*^ ^^^^1*^"" ^)'

{a- — c-y-'o (cr — c-y

Si /, /;/, u désignent les cosinus de direction de la normale au

point (x, j, z) de Fellipsoïde

alors

p.r py P^

/>« = («2 ^ X) /» 4- (6» -h X) //jî -h (c« -+- X) /i» = a«/* -H ^*m* 4- c^n^ -h X.

Par suite, en désignant par ch un élément pris sur la direction extérieure de la normale à Tellipsoïde,

^pdpzi^ip d'i 1= dX ou

et, par suite.

f=-ôi4%P = -3^<^-'"<^''

de ménie,

On peut aussi montrer aisément que A.x, Bj', C 5 et même

(B-C)j^, (C-A)..^, (A-B)xj,

satisfont à l'équation de Laplace.

Représentons le potentiel des forces magnétiques extérieures par

où X, Y, Z sont des constantes, et considérons d'abord, pour plus

aoS A. -G. GREENHILL.

<le simplicité, une seule composante, soit Xj?; Teffet général s'obtiendra par la superposition des effets séparés des composâmes Hx, Yy, Zz.

Désignons par Q le potentiel du magnétisme induit dû à la composante Xj: de V.

Alors, dans le cas de l'ellipsoïde plein, Poisson trouve que les conditions requises peuvent être satisfaites en posant

dans rintérieur de Tellipsoïde et

dans Tespace extérieur, A| étant la valeur de A à la surface de Tellipsoïde et L une constante à déterminer par la condition quk la surface

avec

-^ se rapporte à la direction intérieure de la normale à l'ellipsoïde, jjL est le coefficient d'induction, et les quantités accentuées désignent les mêmes quantités pour l'espace extérieur (*). Alors

et de même

(') Maxwell, Electricitr ami magnetism, t. Il, p. 5o.

M V et M 77- j' étant les potentiels interne et externe de Faiman-

tation induite par la composante Y y de V, et N^ et N .^- z par la

composante Z.3 de V.

Dans le cas de Tellipsoïde creux, si Q| désigne le potentiel du magnétisme induit dans la cavité, û^ dans l'espace extérieur, ûj dans la substance du fer, dus tous trois à la composante Xo* de V, alors, comme précédemment, nous pouvons satisfaire aux conditions du problème en posant

ûj =: L' ^ X, L 2 = Xx 4- L'-r- X, Aj A,

cl par suite

A la surface interne, puisque (ji'= i pour l'air,

celle équalion donne, après division par le fadeur commun /,

X + L=j.(^\ + L-L— ^— ^— + L-^— -^--j ou

A la surface extérieure,

cR\ d\.\ d'i ' rfv

et celte équation donne

,Aj-i-B^H-C,

^ , (X + L L ^^ ^ V ^l±^^) \ /V, — A; Al — Aj /

3oo A.-G. GREENHILL.

Les équations (i) et (:i) déterminent L et L'en fonction de X et donnent, par division,