DU DERNIER NUMÉRO
1er problème. 1r» division :
quotient
reste
*e divition :
quotient
reste
3e division :
quotient
reste
4» division :
quotient
reste
•V dlrifion *
'J H»t W lui * •
(inni ieril
reste
6« division :
quotient
reste
7« divition :
quotient
reste
8* division :
quotient
reste
9* division :
quotient
reste
40e division
quotient
reste
2* problème.— La caisse remplie delà marchandise pèse 150 kilogr. ; quand elle est vide elle pèse 30 kilogr.; par conséquent, la marchandise qu'elle contient pèse 1 50 moins 30, c'est à-dire 4 20 kilogr. Si 1*0 kilogr. de marchandises coûtent 960 fr., un seul kilogr. au lieu de 4*0 coûtera 120 fois moins
ou Effectuant la division indiquée, on trouve no * '
pour quotient 8. Ainsi le kilogramme de marchan •
dise revient à 8 fr.
3« problème. — Puisque 147 mètres d'étoffe
coûtent 4 029 fr. , un seul mètre, au lieu de 1 029 fr.,
coûtera 147 fois moins, cest-a-dire -,»,-• Effectuant la division indiquée, on trouve |K)ur quotient 7 fr. qui est le pr ix du mètre.
4e problème.— En prenant la moitié de 40896fr., d'après le deuxième cas de la division des nombres entiers, on a pour quotient 5448 et pour reste une somme é^ale. En prenant le tiers de c< lie somme, le quotient est 4846 et le reste 3631. Le quart de 363* égale 908. Conséquemment la première personne aura 5448 fr., la seconde 4846 fr., et la troisième 908 fr.
5e problème. — Puisque le nombre des pièces de 5 fr. est le même que celui des pièces de S fr., on pourra réunir chacune de ces deux sortes de pièces une à une. Deux pièces ainsi réunies donneront une somme de 7 fr. Autant de fois 7 fr. seront contenus dans 2521t., et autant il faudra de pièces de 5 fr. et de pièces de 2 fr. pour payer la somme proposée en se conformant aux conditions de l'énoncé. En divisant 251 par 7, on a pour quo»
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tient 36. Par conséquent, on payera la somme proposée en donnant 36 pièces de o fr. et un égal nombre de pièces de 2 fr.
6* problème. — Autant de fois 840 ares contiendront 5 ares, autant il faudra de décalitres pour ensemencer le terrain donné. On aura donc cinombre de décalitres en divisant 840 par !>. Effectuant la division, on trouve pour quotient 168 qui exprime le nombre de décalitres nécessaires pour ensemencer le terrain.
7« problème. — En prélevant sur 24000 fr. II? 6000 fr. que la première personne doit avoir de plus que la seconde, il reste 48000 fr. qui, partagés entre les deux personnes, donnent pour chacune 9000 fr. La seconde personne aura donc en tout 9000 fr. La première aura les 9 autres 4000 fr., plus les 6000 fr. qui ont 'été d'abord prélevés à son intention. Ello touchera, par conséquent, une somme totale de 45000 fr.
8« problème. — Imaginons que pour faire commodément ce partage on ail fabriqué tout exprès des pièces de monnaie et qu'on leur ait donné une valeur telle qu'une seule de ces pièces compose juste la part de la troisième personne. Puisque la seconde reçoit trois fois plus d'argent que la troisième, sa part se composera do trois pièces de notre monnaie factice. Mais la première personne doit toucher le double de la seconde. Donc cIUrecevra 6 pièces de la même monnaie La troisième personne recevant 4 pièce, la seconde 3 et la première 6, les troU personnes recevront ensemble 40 pièces lesqurllcs vaudront 8000 francs. Puisque 40 pièces valent 8000 francs, une seule pièce vaudra 40 fois moins, c'est-à-dire 800 francs. La part de la troisième personne égale précisément uno de ces pièces, donc celte troisième personne recevra 800 francs. Puisque la seconde personne doit loucher 3 pièces, elle recevra trois fois plus, c'est-.'idire 2400 francs. Enfin la première personne aura
10 double de la seconde, par conséquent on h.i donnera 4î*00 francs. Puisqu'on connail la somme qui reviendra à chacune des trois per-onnes partageantes, lo problèmo so trouve résolu.
9* problème. — Au moment où les deux courriers se mettent eu marche, 240 kilomètres les séparent. Une heure après, l'un des courriers ayant fait 6 kilomètres et l'autre 4, ils se trouvent éloignés l'un de l'autre de 40 kilomètres de moiin qu'à l'instant du départ. Ainsi, pendant la première heure ils se rapprochent do 40 kilomètre-.
11 en sera de même pendant les heures suivante*. Quand les deux courriers se seront rapprochés di; 240 kilomètres, il est évident qu'ils se rencontre ront. Il suffit donc de savoir combien ils mettront d'heures pour se rapprocher de 240 kilomètres. Puisqu'ils se rapprochent de 40 kilomètres en uno heure, autant de fois 240 contiendra 40, autant il
s'écoulera d'heures avant leur rencontre. Mais 240 contient 24 fois 10. Donc les deux courriers se rencontreront 24 heures après leur départ. Le premier, faisant 6 kilomètres à l'heure, se trouvera avoir parcouru au bout de 24 heures 24 fois 6 kilomètres, c'est-à-dire 144 kilomètres. Le second parcourt en une heure 4 kilomètres. Par conséquent en 24 heures il aura parcouru 24 fois 4 kilomètres ou bien 96 kilomètres. Ainsi la rencontre aura lieu à 4 44 kilomètres du point de départ du premier courrier et à 96 kilomètres de celui du second.
40* problème. — Après qu'on aura ajouté aux 20 litres de vin le nombre de litres d'eau nécessaire pour qu'un Mire du mélange ne revienne plus qu'à 40 centimes, comme on suppose quo l'eau n'a aucune valeur, le mélange ne coûtera pas plus qu'auparavant. En conséquence, il reviendra à 60 centimes répétés 20 fois, c'est-à-dire à 4 200 cenlimes. Le nombre total des litres qui composent le mélange coûte 4200 centimes, et un seul de ces litres coûte 40 centimes. Donc autant de fois 4200 contient 40, autant il y aura do litres dans le mélange. 4 200 contient 40 trente fois. Donc le mélange se composera en tout de 30 litres. Puisque d'après l'énoncé du problème, il y a 20 litres de vin pur dans ce mélange, il faut absolument qu'on y ait introduit 40 litres d'eau.
ARITHMÉTIQUE
t»ES PROPORTIONS.
Définition. — On appelle proportion la réuoion de deux fractions égales.
Corollaire. — Puisqu'il a été démontré qu'une fi action n'est pas autre chose qu'une division indiquée, on pcul encore dire qu'une proportion est la réunion de deux divisions qui donnent le même quotient.
Manière d'ètrire une proportion. — Pour écrire une proportion, on écrit sur une même ligne horizontale les deux fractions qui la composent, et on met entre elles le signe =.
Exemple •' 4" = ïî est une P^porlion.
Remarque. — Les commençants sont quelquefois embarrassés pour écrire une proportion. Cependant rien de plus facile. Il suffit d'écrire une fraction quelconque, de placer à la suite le signe — et d'écrire une seconde fraction que l'on forme en multipliant les deux termes de la première par un même nombre entier quelconque.
Manière de lire une proportion. — Soit la pro-
L'ENCYCLOPtf DIR DES ÉCOLES
portion 4-= î°\ 0ri Pcut la ,ire de P,uflicurs manières: 1<> On peut dire: cinq sixièmes égalent dix douzièmes ; 2° On peut dire : cinq contient six autant de fois que dix contient douze ; ou bien 5 divisé par 6 égale 10 divisé par 4 2. 3o On peut dire d'une manière abrégée : 5 sur 6 égalo 10 sur 42.
Définitions. — Chacune des fractions qui composent une proportion s'appelle souvent un rapport. La fraction do gauche est le premier rapport, et la fraction de droite est le second rapport. On peut remarquer une fois pour toutes que les mots fraction, quotient, rapport ont la mémo signification.
Le numérateur du premier rapport s'appelle le premier terme de la proportion ; son dénominateur en est le second terme.
Le numérateur du second rapport s'appelle le troisième terme de la proportion, et son dénominateur en est le quatrième terme.
Dans la proportion -J- == -[-f, 5 est le premier terme, 6 le second, 40 le troisième et 42 le quatrième.
Les deux numérateurs des deux fractions s'ap pellent les antécédents do la proportion. Les deux dénominateurs en sont les conséquent*.
Le premier et le quatrième terme d'une pro portion s'appellent les extrême*.
Le second et le troisième s'appellent les moyens Dans la proportion précédente, 5 et 40 sont les antécédents, 6 et 12 les conséquents, o cl 4Î sont les extrêmes et 6 et 10 les moyens.
Remarque. — Autrefois on écrivait très-mal le proportions : on en plaçait le* quatre termes sur • une m*me ligne horizontale; entre les deux terme* de chaque rapport on mettait deux points (:), et entre les deux rapports on en mettait quatre I X ). La proportion -r = i: se serait écrito 5 : 6 :i: 10 : 42.
Si on écrivait mal les proportions, on les lisait plus mal encore. Les deux points s'énonçaient est à, et les quatre points s'énonçaient comme. On aurait donc lu la proportion précédente de celte manière : 5 est à 6 comme 40 est à 42. L'habitude, toujours si difficile à déraciner, fait qu'on lit encore souvent les proportions de cette manière. Quand on le fait, il ne faut jamais oublier que ces mots est à veulent dire divisé par, et quo comme signifie égale. Cela bien établi, il n'y aura pas d'inconvénient à lire les proportions comme autrefois.
