MANIÈRE OE FAIRE LA SOUSTRACTION DES NOMBRES ENTIERS

Dans la soustraction des nombres entiers on distingue deux cas :

4«r cas. — Chaque chiffre du nombre inférieur est plus petit que le chiffre corrtsjmdaut du nombre supérieur.

î« cas. — Plusieurs chiffres du nombre inférieur sont plus grands que Us chiffres correspondants du nombre supérieur.

4" cas. — Soit, à soustraire 3J43 de 5398. Pour cela, on écrit le plus grand nombre 5398. Audessous, on écrit le plus petit, de manière que les unités de

colonne verticale, puis on tire un trait horizontal, on a :

Quelle est la cause de cette disposition ? On dispose l'opération de la sorte, en vertu do l'axiome qui dit qu'on peut retrancher l'une do l'autre des quantités de môme espèce, mais qu'on ne peut retrancher l'une de l'autre des quantités de natures différentes. Voici comment on effectue l'opération. On retranche des 8 unités du nombre supérieur les 4 unités du nombre inférieur, et on écrit les 3 unités restantes sur la colonne des unités. Do même, on retranche des 9 dizaines du nombre supérieur les 4 dizaines du nombre inférieur, et on écrit les 4 dizaines restantes sous la colonne des dizaines. On continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait effectué la soustraction par la colonne des plus hautes unités. Il est évident qu'en opérant de la sorte, on a retranché du nombre supérieur toutes les unités, toutes les dizaines, etc., du nombre inférieur. En un mot, on a retranché du nombre supérieur le nombre inférieur tout entier, et, par conséquent, on a atteint le but qu'on se propose en faisant une soustraction.

i« Ca3< Soit à souslia re 4873 de 3025. Pour cela on dispose l'opération comme dans le premier cas, et l'on a

Maintenant, le chiffre 3 des unités du nombre nférieur étant plus petit que le chiffre 5 de9 unités du nombre supérieur, on fait la soustraction de la colonne dos unités comme dans le premier cas cl l'on a pour reste î unités. Passant à la colonue des dizaines, on voit qu'il faut retrancher 7 dizaines de S dizaines. La chose serait impossible si l'on n'avait pas recours à l'axiome second de la soustraction, qui dit que le reste d'une soustraction no change pas quand on ajoute la même quantité au nombre dont on soustrait et au nombre que l'on soustrait. Alors, pour rendre possible la soustraction de la colonne des dizaines, on ajoute 40 dizaines au chiffre i de celte colonne ; mais en même temps, pour quo le reste de la soustraction ne change pas, on ajoute au 8 du nombre inférieur uno contuino, qui équivaut aux dix dizaines ajoutées à la colonne des dizaines De la sorte, la soustraction est rendue possible, et lo reste de l'opération n'est pus changé. On a recours a un artifice semblable chaque fois que la soustraction d'une colonne paraît impossible. En opérant comme on vient de le dire, on trouve pour reste 43t.

L'K.NCÏGLOl'KblE DES ÉCULES

Exempt. — Soil à soustraire 397, S52 de 630,975. On écrit d'abord lo plus grand nombre 630,975; au-dessous on place le plus petit, de manière que les unités de même ordre se trouvent dans une même colonne verticale, et I on tire un trait horizontal.

On a : 630,973

Puis, commençât par lu droite, on retranche les t imites du nombre inférieur des 5 unités du nombre »u|>érieur. On dit : de 5 ùlez 2, il reste 3 ; et l'on |K)se 3 sous la colonne des unité*. Ensuite, on retranche les 5 dizaines du nombre inférieur des 7 dizaines du nombre supérieur. On dit : de 7 ôtez 5, il reste 2 ; et l'on écrite* qui reste sous la colonne des dizaines. On passe à la troisième colonne, celle des centaines; on retranche les 8 centaines du nombre inférieur des 8 centaines du nombre supérieur. Alors, de 9 ôtez 8, il reste t. On écrit 1 sous lu colonne des centaines l'assaut à la colonne des mille, on dit : de zéro 6icz 7, cela no se peut. On ajoute 10 au zéro du nombre supérieur. Alors ou a 10 et téro font 10; ôtest 7, il reste 3 ; et Ton pose 3 sous la colonne des mille. Mais afin de ne pas changer la valeur du resu?, on ajoute aux diteines de mille du nombre inférieur une dizaine de mille. Cela s'appelle retenir, car on reporte aux dizaine* de mille du nombre inférieur les dix-mille qui ont été ajouiés au mille du nombre supérieur. On continue en disant : un de retenu a la colonne des mille et 9 font 10; do 3ôlez 10, cela ne se peut. On ajoute 10 au chiffre 3, on a 13 ; de 13 otez 10, il reste 3; on écrit 3 et l'on relient 1. On pusse à la colonne suivante et l'on dit : 1 de retenu et 3 font i; do 6 ôlez 4, d reste 2; on pose 2. — On a Jonc pour reste 233, i 23.

MBftiBTTB kt Hauvion aîné.

GfcOMÊTRIE ELEMENTAIRE

PROBLEMES SUR LES PERPESDlClfl.AlMRS.

59. Problème. — Mener une perpendiculaire sur le milieu d'une droite.

Supposons que l'on veuille mener une perpendiculaire sur le milieu de la droite Afi (planche 6, fig. 1). Pour cela, du point A comme centre, avec une ouverture de compas plus grande que la moitié do Ab, décrivons un arc de cercle; puis avec a même ouverture de compas et du point U comme Iccntre, décrivons, un second arc de cm le qui

c oupe le premier en C. Ce point C est un point de la perpendiculaire demandée, puisqu'il est également éloigné des deux extrémités de la droite AD. Maintenant du point A comme centre, avec une seconde ouverture de compas plus grande que la moitié de AD , décrivons au-dessous de celte droite un nouvel arc de cercle ; puis du point B comme centre et avec la dernière ouverture de compas, décrivons encore un autre arc de cercle, qui coupe le précédent au point O. Ce point 0 étant également éloigné des deux extrémités de la droite AB, appartient à la perpendiculaire demandée. Mais, le point C apparlieut aussi à la mémo perpendiculaire, donc la droit* qui joint les deux points C et O est perpendiculaire sur le milieu1 de AB.

60. — Problème. — Par un point pris sur une droite tnener «ne peritendicutaire à celle droite.

Supposons que par le point C pris sur la dreilo AD (fig. 2), on veuille mener une perpendiculaire à celle droite. Pour cela, portons, de chaque côte' du point C, des dislances égales, les distances Cl) et CE, par exemple. Maintenant du point D comme centre cl avec une ouverture de compas plus grande que DC, décrivons un arc de cercle; puis du point E comme centre et avec la même ouverture do compas décriv ons un second are de cercle qui coupe le premier au point ¥. Ce point F est titi point de la perpendiculaire, puisqu'il est «gaiement éloigné des deux points D et E; mais le point C est un autre point de cette perpendiculaire; par conséquent la perpendiculaire demandée est la droite qui joint le point C au point P.

61. Problème. — Par un porof pris en dehors d'une droite, mener une perpendiculaire à cette droite.

Supposons que du point A (ûg. 3) pris en dehors de la droite CD, on veuille mener une perpendiculaire à celle droite. Pour cela, du point A comme centre cl avec une ouverture de coaqias assez grande, décrivons un arc de cercle qui cou|>o la droite Cl) en deux points H et K. De ces deux points pris successivement comme centres et avec une même ouverture de compas, décrivons deux arcs do cercle qui se coupent en O. Le point A est également éloigné des deux points H et K, donc il appartient à la perpendiculaire menée sur le milieu de HK. De monte le point O étant également éloigné des points il et K appartient aussi à la perpendiculaire élevée sur le milieu de HK. Donc la droite AO, qui joint les deux points A et O, est perpendiculaire sur le milieu de HK. Mais HK est une partie de la droite CD. Donc AO est perpendiculaire sur la droite CD.

inÉORIE PKS P.(aUr.ELES

bi, Dëliuittun*. — Ou appelle parallèles des

L'ENCYCLOPEDIE DES LLULKS 01

droites situées dan* le même plan et qui ne peuvent pas bv rencontrer, à quelque distance qu'on les prolonge.

On appelle sécante une droite qui en coupe deux autres, parallèles ou non.

Exemple : Soient deux droites quelconques AD et CD ^lig. 4), la droilo FE, qui coupe res deux droiles, est une sécante. Elle forme avec ABcl CD huit angles que, pour abréger, nous désignerons par les chiffre* 4, i, 3, 4, b\ 6, 7 et 8.

On appelle angle, externe tout angle situé en dehors des deux droites. Los angles 4, 2, 3 et 4 sont des angles externes.

On appelle angle interne tout anglo situé en dedans des deux droites. Les angles îi, 6, 7 et 8 sont des angles internes.

Les angles 5 et 8 considérés ensemble sont dits alternes-internes. Pour que deux angles soient alternes-internes il faut qu'ils remplissent trois conditions, savoir : 4« il faut qu'ils soient tous les deux internes; 2» il faut qu'ils soient placés chacun d'un côté différent de la sécante; et 3»> il faut qu'ils ne soient pas adjacents. Les angles 6 et 7 sont aussi dos anglos alternes-internes.

Les angles 4 et 4 considérés ensemble sont dits alternes- externe*. Pour que deux angles soient alternes-externes , il faut qu'ils remplissent les trois conditions suivantes : <o il fa„i qu'ils soient externe*; *« Il faut qu'Un soient placés cl«

lactin

d'un côté dilléront de la sécante, et 3° il faut qu'ils ne soient pas adjacents. Les angles 2 et 3 sont aussi des angles alternes-externes.

Les angles i et H considérés ensemble sont dits conexjtowhiutt. Pour que deux angles soient correspondants, il faut qu'ils remplissent trois conditions, savoir : 1' que l'un soit externe et l'autre interne ; *• il faut qu'ils soient placés tous les deux du même côté de la sécante ; 3- enfin, il fout qu'ils ne soient pas adjacents. Les angles 4 et 6 sont des angles correspondants. ]| en est de môme d** angles 3 et 5, ainsi que des angles 4 et 7.

Les angles 5 et 7 sout appelés angles iiirmcHr» d'un même côté. Pour que deux angles soient intérieurs d'un même côté, il faut : 4« qu'ils soient internes; J° qu'ils soient situés d'un même côté de la sécante.

Dans un triangle on appelle angle extérieur celui qui est formé par un côté et par le prolongement d'un autre côté.

63. Théorème. — Dans tout triangle, tnwjle extériemr etl plu* grand que son alterne-interne.

Soit le triangle BAC (fig. 5). Si I on prolonge le côté BG, l'angle ACD sera un angle extérieur. Il faut prouver que cet angle ACD est plus grand que son aliernc-interno BAC. Pour cela, partageons le rôle Ai: en deux parties égales ; soit <) le milieu de AC Joignou» la awuU O au puiut U et prolon-

geons In li^ne BO d'une quantité égale à elle-même, jusqu'en E. Joignons le point E au point C par une ligne droile. Les deux triangles ABO et CEO, qui résultent de ces constructions, «ont éganxi En effet, le côté AO égale le côté OC, puisque le point 0 est le milieu de AC ; le côté OB égale lo côté OE par construction ; les angles AOB et COB sont é;^au\, comme opposés par lo sommet. Les deux triangles ABO et CEO sont donc égauxj, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux. Mais dans des triangles égaux, à des côtés égaux sont opposés des angles égaux ; par conséquent, l'angle BAO. opposé au côté BO, égale l'angle ECO opposé au côté EO. L'angle ECO étant contenu dans l'angle extérieur ACD, il s'ensuit qu'il est plus petit que lui, et comme l'angle ECO est égal à l'angle BAO, on en conclut que cet angle BAO ou BAC est plus petit que Vangle ACD. C. Q. F. D.

64. Théorème. — Dfif.tr droites perj>endiculaires à une troisième sont parallèles entre elles.

Soient une droile AB (fig. 6) et deux autres droites, CD et EF, qui lui sont perpendiculaires. Il faut prouver que CD et EF sont deux droiles parallèles entre elles. Supposons que ces deux droites ne soient pas parallèles : alors elles se rencontreraient quelque |»ar t, au point i i par exemple. Cela étnnt, de ce point 0, extérieur à la droire AB, on pourrait lui mener deux perpendiculaires, ce qui a été prouvé impossible. Il est donc également impossible, que les deux droites CD et EF se rencontrent. Mais nous avons appelé parallèles des droites qui no se rem ontrent pas; donc les droiles CD et EF sont parallèles.

Hautton ainé.

PHYSIQUE

DESCMPTION DB LA MACHINE PNEUMATIQUE ACTUELLEMENT EN l'SAOB.

Noos avons déjà vu quelles furent les premières modifications apportées à la machine pneumatique d'Otto de Guérie Le par Boyle et Denis Papin. C'est surtout entre les mains de ce dernier qu'elle subit do notables perfectionnements. Ainsi, il imagina d'employer deux corps do pompe dans lesquels se meuvent des pistons munis de tiges à crémaillères. Les dents de ces crémaillères engrènent a%ec relies d une roue i-iluée eutre les liges des deux piston*, et i*ltu roue