PROBLÈMES DIVERS
Dans les exemples précédents , nous avons choisi des problènaes se rapportant exclusivement à l'intérêt composé ou aux annuités, mais on conçoit qu'il peut se présenter des cas où ces deux genres d'opérations se combinent.
Par exemple, il arrive souvent que l'on verse comptant une certaine somme, à laquelle on ajoute chaque année une annuité convenue.
Ce cas mérite de lui consacrer une formule spéciale qui ne présente, d'ailleurs, rien de nouveau ; en effet ;
Un capital G vaudra après n années, en vertu de l'équation (V)
Mais, d'un autre, côté lesn annuités vaudront, d'après la formule (VI),
146 INTÉRÊT DE l'aRGENT*
Donc, en nommant S la somme de ces deux quantités, on aura :
S = - (R — 1) + RC . . (VIII).
Cette formule s'emploie lorsque Ton verse comptant une certaine somme, et que Ton y ajoute chaque année une nouvelle annuité.
La signification des lettres est la suivante :
C somme versée comptant.
a annuité versée chaque année.
r taux de l'intérêt.
n nombre d'années.
S somme due à l'expiration du temps.
R nombre donné par la table des valeurs de R ou par la formule (IV).
il est à remarquer ^ue si Ton fait dans cette formule C = 0, elle devient
rS=a(R — d) .... (IV)
qui est la formule relative aux annuités.
Si, au contraire, on y fait a = o, on retombe sur la formule de Tintérét composé
S = RC (V).
La formule qui précède peut donc servir d'une manière générale pour tous les cas.
Donnons quelques exemples comme application de la formule précédente.
INTÉRÊT DE l'aRGENT. 147
On verse comptant une somme de 1000 francs, et Ton s'engage, en outre, à desservir pendant 20 ans une annuité de 100 francs, le tout à l'intérêt de 6 p. c; combien (levra-t-on recevoir? •— Réponse : fr. 6885,60. . On se servira de la relation (VIII)
rS=«a(R— l)4'RrC dans laquelle on fera:
C== 1000; a= 100; r = 0,06; et îi = 20; au moyen de la table, on trouvera
R « 3,2071 d'où R — 1 = 2,2071.
Substituant ces valeurs, on aura :
0,06 S = 100 X 2,2071 + 3,2071 X 0,06 X 1000 relation de laquelle on déduira
Il est évident que l'on peut prendre pour Inconnue une quantité quelconque parmi celles qui composent cette équation, ce qui mène à la solution d'un assez grand nombre de problèmes dont nous allons présenter quelques exemples.
71*^ problème.
Un ouvrier fait un héritage de SOOO fr. : il voudrait qu*après avoir travaillé pendant 15 ans encore, il puisse jouir y au moyen d*uné somme qu'il ajouterait chaque année, d*un revenu de 1000 francs par an; il demande à combien doit s*élever Fannuité à payer, les intérêts étant comptés à 5 p, c. ? — Réponse : 448 francs.
Un revenu de 1000 francs à 8 p. c. exige un capital de 20 000 francs, donc S = 20 000.
L*équation (VIII), dans laquelle a est Tinconnue, nous servira à trouver la solution du pro))lème.
n=15; r = 0,05 donnent R== 2,0792; R— 1 = 1,0792
et comme on a
S = 20000; C=8000 on aura
d ob l'on déduira
a = 448 francs,
c'est-à-dire que dans ces circonstances, l'annuité devrait s'élever à 448 francs par an.
INTÉRÊT DE L'aRGENT. U9
l^'^ problème.
Par testament, il a été laissé à un enfant une somme de 6000 francs, plus une rente annuelle de 5j90 francs, mais le tout ne devant être reçu que dans 1:2 années, avec intérêts conorposés à 6 p. c; on demande la somme i\ payer àTexpiration de la douzième année? — Réponse : fr. 20 808,20
Dans l'équation (VU!)
S= -^.(B-ll + RC •
il faut substituer pour
n = 12; r = 0,06 ce qui donne
R == 2,0422; R — 1 = 1,0122 C = 6000; a = 500 et Ton trouvera :
ou
73* problème.
A la naissance d*un enfant, on verse une somme de 800 francs, et chaque année on ajoute la même somme
jusqu'à ce quMI ait atteint Tâge de 20 ans ; on demande ce qu'il pourra réclamer, dans le cas où les intérêts sont comptés 5 p. c? — Réponse : 17 860 francs.
Ici n = 20 ; I = 0,05 ; R = 2,6853 a = 300 ; C := 800 et réquation (VIII)
S = ^-(R- 1) + RC
donne pour résultat, tous calculs faits
S' = 17 860 francs.
Ce problème est relatif au cas exceptionnel où la première annuité est versée comptant, c'est-à-dire où i! y aurait une annuité de plus que le nombre n d'années.
74® problème.
On désire qu'un jeune bomme, parvenu à l'âge de 20 ans, jouisse d'un capital de 30 000 francs, moyennant un versement annuel dont on désirerait déterminer la quotité, sachant que le premier versement a été effectué le jour même de la naissance de l'enfant, et la dernière annuitédevant être effectuéeà l'expiration de sa vingtième année, soit 21 annuités en 20 ans; ce qui se décompose en 20 annuités, plus une somme égale à Tannuité, mais versée comptant, les intérêts étant réglés à 8 p. c.
INTÉRÊT DE l' ARGENT. 1(^1
Dans ces conditions, Téqualion (VIII)
S=£(R 1)4-RC
exige C = a et elle devient
en la résolvant par rapport à a on trouve
en faisant n = 20; r = 0,08; S = 30 000 on trouvera
a = 840 francs.
Nota. Si les annuités n'eussent été versées qu'à Texpiralion de chaque année, on eût eu C == o, l'équation qui eût déterminé le chiffre de chacune des âO annuités à verser se fût déterminée par l'équation •
et l'on n'eût trouvé que a = 907 francs.
I5t iNTÉRÉT DE L' ARGENT.
75® problême.
On verse 10 000 francs comptant, dans une opération commerciale, et Ton s'engage, en outre, à verser annuellement 1000 francs; les intérêts et part de bénéfices sont fixés à 10 p. c. par an; on demande combien de temps doit durer celte association, pour qu'elle ait procuré au préteur un capital de 50 000 francs.
L'équation
S =.^(R - 1) + RC
dans laquelle on fera a = 1000; C = 10000; S = 50 000; r = 0,10; ce qui donnera pour
Si l'on cherche dans la table, colonne 10 p. c, on trouve que le nombre 3 tient approximativement le milieu entre 12 et 13 ans. Il faudra donc une association de 12 ans 1/2 environ pour obtenir les 50 000 francs.
On conçoit qu'il est aisé de compliquer les problèmes d'une foule de circonstances accessoires ; ainsi Ton peut supposer que, pendant un certain temps» on paye des annuités, puis qu'on cesse d'en payer ou qu'on en versera de nouvelles d'un autre chifl're; on peut aussi varier l'intérêt; mais ce ne sont là que des complications apparentes, desquelles on sortira aisément au moyen des formules simples qui précèdent.
Voici un problème relatif à ce genre de questions.
76* problème.
On dépose dans une caisse unesoimnede 10 000 francs, à raison de 4 p. c. d'intérêts composés; 8 ans après, l'intérêt est porté à 6 p. c. et Ton ajoute clia({Ue année une somme de 1000 francs; cela dure 7 ans de plus. A l'expiration de cette quinzième année, on relire huit mille francs et on laisse le reste s'accumuler pendant 5 ans, à l'intérêt de 6 p. c; on demande de combien le déposant sera créditeur à l'expiration de cette période de vingt années?
Il suffit d'appliquer successivement les formules d'intérêt composé et d'annuités pour résoudre cette espèce de compte courant.
D'abord, 10 000 francs pendant 8 ans, à 4 p. c. d'intérêt composé, donnent par la formule (V)
dans laquelle on fait C = 10 000, et d'après la table R = 1,3686
ce qui donne, après la première période de 8 années,
puis cette somme de 13 68S,69 laissée pendant 7 ans à 5 p. c. augmentée de 7 annuités de 1000 francs au
même taux d'intérêt donne lieu d'appliquer la formule (VIII)
S = |(R 1) + CR
dans laquelle C = 13 688,69; a = 1000 ; r = 0,05; n « 7; R = 1,4071 qui donne pour résultat
A l'expiration de cette période, on retire 8000 francs. Il restera donc 1 9 399,1 3.
Cette dernière somme, mise à intérêt 6 p. c. pendant 8 ans, deviendra par la formule (VI)
Le déposant sera donc créditeur de 28 960 francs à Texpiration de ces divçrs comptes.
On aurait pu compliquer le problème en prenant pour inconnue un^des quantités qui entrent dans sa composition, soit le temps pendant lequel Tune des sommes est restée déposée, soit le chiffre du dépôt primitif, soit le taux de l'intérêt pendant l'une des périodes précédentes.
On voit que, quelque compliqué que puisse paraître un problème d'intérêt composé, il ne présente en réalité aucune difficulté qui ne trouve sa solution par les simples formules dont nous avons fait usage.
