Livre XVI, Du mouvement des satellites (décembre

Enfin le volume est terminé par un supplément imprimé sur le manuscrit trouvé dans les papiers de Laplace après sa mort (1827), et partagé en trois paragraphes : sur le développement en série du radical qui exprime la distance mutuelle de deux planètes ; sur le développement des coordonnées elliptiques ; sur le flux et le reflux lunaire atmosphérique.

D'après les développements donnés antérieurement, il suffit de nous arrêter sur le livre XII. Laplace y établit d'abord les lois générales de l'attraction des sphères, lorsque la force est une fonction quelconque de la distance, et pour en tirer l'explication des phénomènes que présentent les fluides élastiques, il fait les suppositions suivantes : les molécules des gaz sont à une distance telle que leur action mutuelle soit insensible, ce qui lui paraît être la propriété caractéristique de ces fluides et même des vapeurs qu'une légère compression ne suffit point à réduire en partie à l'état liquide ; ces molécules retiennent par leur attraction le calorique et leur répulsion mutuelle est due à la répulsion mutuelle des molécules du calorique, répulsion évidemment indiquée par l'accroissement du ressort des gaz quand leur

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température augmente ; enfin cette répulsion n'est sensible qu'à des distances imperceptibles.

En développant ces hypothèses, il obtient les lois du mélange des gaz, puis les équations différentielles de leur mouvement, qui Idifîèrent essentiellement des formules connues en ce qu'elles contiennent les forces qui résultent du développement de la chaleur par l'accroissement de densité des diverses parties des gaz en mouvement. Ces forces n'ont aucune influence sensible sur les mouvements de l'air considéré en masse, ... mais elles ont une influence considérable sur ses vibrations.] C'est là le point capital de l'analyse de Laplace, de quelque façon que l'on apprécie ses hypothèses.

L'application la plus importante que l'on ait faite des équations du mouvement des fluides élastiques est relative à la vitesse du son dans l'air. Newrton en a donné la formule que l'expérience ne confirme pas : la différence avec l'observation s'élève au sixième de la vitesse totale. Laplace a remarqué le premier qu'en ayant égard à la chaleur qui se développe dans les vibrations des gaz et qui augmente leur ressort, on avait l'explication véritable de la différence observée, et Poisson a développé sa remarque ; enfin, il est parvenu au théorème suivant publié dans les Annales de Physique et de Chimie (1816) : [La vitesse du son est égale au produit de la vitesse que donne la formule new^tonienne par la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante à sa chaleur spécifique sous un volume constant.] Ce rapport est déterminé par l'expérience de Clément et Desormes, et confirmé par celles de Gay-Lussac et Welter ; d'autres expériences de Laroche et Bérard viennent encore à l'appui de la théorie.

On comprend qu'après avoir si bien réussi à expliquer tant de phénomènes divers par la considération des forces

attractives et répulsives qui ne sont sensibles qu'à des distances imperceptibles, Laplace n'ait jamais abandonné la théorie de l'émission de la lumière, et que rapprochant ses nouvelles recherches de celles sur l'action capillaire, il écrive encore : [Tous les phénomènes terrestres dépendent de ce genre de forces, comme les phénomènes célestes dépendent de la gravitation universelle. Leur considération me paraît devoir être maintenant le principal objet de la philosophie mathématique. Il me semble même utile de l'introduire dans les démonstrations de la mécanique, en abandonnant les considérations abstraites de lignes sans masse flexibles ou inflexibles et de corps parfaitement durs.]

L'introduction à cet ouvrage, ou Essai philosophique sur les probabilités, est une exposition magistrale, digne pendant de VExposition du système du monde, des principes de la théorie des probabilités et de leurs applications les plus intéressantes, sans le secours du calcul. Elle n'a paru qu'avec la seconde édition de l'ouvrage, en 1814 ; ne suffit-il pas d'ailleurs pour la dater d'en citer ce passage, d'une vérité plus éclatante encore aujourd'hui qu'il y a cent ans, et commentaire admirable de VEt nunc reges intelligite : [Ainsi des chances favorables et nombreuses étant consteimment attachées à l'observation des principes éternels de raison, de justice et d'humanité qui fondent et maintiennent les sociétés, il y a un grand avantage à se conformer à ces principes et de

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graves inconvénients à s'en écarter... Co.isidérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernements qui en ont fait la base de leur conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude à tenir ses engagements leur a coûtés. Quel immense crédit au-dedans ! quelle prépondérance au dehors ! Voyez, au contraire, dans quel abîme de malheurs les peuples ont été souvent précipités par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'une grande puissance, enivrée de l'amour des conquêtes, aspire à la do.nriination universelle, le sentiment de l'indépendance produit entre les nations menacées une coalition, dont elle devient presque toujours la victime. Pareillement, au milieu des causes variables qui étendent ou qui resserrent les divers états, les limites naturelles, en agissant comme causes constantes, doivent finir par prévaloir.]

Nous en avons dit assez précédemment pour faire comprendre l'esprit général de cette introduction à une science qui a commencé par la considération des jeux, pour s'élever ensuite aux plus importants objets des connaissances humâmes. Contentons-nous de transcrire encore les dernières lignes : [Si l'on considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a donné naissance, la vérité des principes qui lui servent de base, la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes, les établissements d'utilité publique qui s'appuient sur elle, et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore par son application aux questions les plus importantes de la philosophie naturelle et des sciences morales ; si l'on observe ensuite que, dans les choses mêmes qui ne peuvent être soumises au calcul, elle donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugements, et qu'elle

apprend à se garantir des illusions qui souvent nous égarent, on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos méditations et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.]

La Théorie analytique est divisée en deux livres dont le premier a pour objet le Calcul des fonctions génératrices ; nous avons déjà vu comment Laplace envisage ce calcul d un point de vue très général, et lui rattache sans nécessité un grand nombre d'autres questions. Dans une première partie, intitulée : Considérations générales sur les éléments des grandeurs, il expose sa théorie, qui étend à des caractéristiques quelconques la notation cartésienne des exposants, et montre avec évidence l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques ; l'intégration des équations linéaires aux différences en est une conséquence immédiate : c'est le calcul symbolique, dont on peut faire remonter l'origine à Leibniz.

La Théorie des approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres, forme la seconde partie ; on y trouve encore les méthodes d'intégration des équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites que nous avons déjà décrites, et de nombreuses applications.

Le livre II est la Théorie générale des probabilités. Après avoir rappelé les principes généraux de cette théorie, Laplace résout d'abord un grand nombre de problèmes relatifs au jeu, qui ont déjà, tous, plus ou moins occupé les géomètres du XVIII® siècle et lui-même ; et il applique à leur solution ses formules d'approximation pour les fonctions de grands nombres. Il traite ensuite des lois de la probabilité qui résultent de la multiplication indéfinie des événements ; de la théorie des erreurs et de la façon de combiner les observations pour obtenir les résultats moyens les plus avantageux ; de

la probabilité des causes et des événements futurs, tirée des événements observés ; de l'application du calcul des probabilités à la recherche des phénomènes et de leurs causes. Arrêtons-nous un instant sur ce dernier point pour signaler quelques considérations nouvelles intéressantes. Comme exemple, Laplace choisit l'étude de la variation diurne du baromètre ; il apprécie la probabilité de l'existence d'une cause constante qui la produit, et la trouvant très glande, détermine la valeur la plus probable de l'étendue de cette variation, ainsi que l'erreur qu'on peut commettre sur cette évaluation. Il a fait de même à l'égard des petites inégalités constatées dans les mouvements célestes, et c'est la grande probabilité de leur existence réelle qui l'a conduit à en rechercher les causes. [On voit par là combien il faut être attentif aux indications de la nature, lorsqu'elles sont le résultat d'un grand nombre d'observations, quoique d'ailleurs elles soient inexplicables par les moyens connus... On peut encore, par l'analyse des probabilités, vérifier l'existence ou l'influence de certaines causes dont on a cru remarquer l'action sur les êtres organisés... Les phénomènes singuliers, qui résultent de l'extrême sensibilité des nerfs dans quelques individus, ont donné naissance à diverses opinions sur l'existence d'un nouvel agent que l'on a nommé magnétisme animal, sur l'action du magnétisme ordinaire et l'influence du Soleil et de la Lune dans quelques affections nerveuses, enfin sur les impressions que peut faire naître la proximité des métaux ou d'une eau courante... Nous sommes si éloignés de connaître tous les agents de la nature, qu'il serait peu philosophique de nier l'existence des phénomènes, uniquement parce qu'ils sont inexplicables dans l'état actuel de nos connaissances. Seulement nous devons les examiner avec une attention d'autant plus scrupuleuse

qu'il paraît difficile de les admettre, et c'est ici que l'analyse des probabilités devient indispensable pour déterminer jusqu'à quel point il faut multiplier les observations ou les expériences pour avoir en faveur de l'existence des agents qu'elles semblent indiquer une probabilité supérieure à toutes les raisons que l'on peut avoir d'ailleurs de la rejeter.] Les derniers chapitres sont consacrés à diverses applications aux sciences économiques ; ils traitent des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations quelconques ; des bénéfices dépendants de la probabilité des événements futurs, tels que ceux des établissements fondés sur la probabilité de la vie ; de l'espérance morale ; de la probabilité des témoignages et de la bonté des jugements des tribunaux. Nous avons déjà dit quelques mots sur ce dernier point ; quant à l'espérance morale, on sait qu'elle correspond à l'Idée que, plus on est riche, moins une somme très petite peut être [avantageuse, toutes choses égales d'ailleurs] ; de sorte que [la supposition la plus naturelle que l'on puisse faire est celle d'un avantage moral réciproque du bien de la personne intéressée.] Mais Laplace fait aussi remarquer avec soin que l'avantage moral que peut procurer une somme espérée dépend d'une infinité de circonstances propres à chaque individu, et qu'il est impossible d'évaluer.

Le principe de l'espérance morale avait été mis en avant par D. Bernoulll pour expliquer la soi-disant différence entre le résultat du calcul et l'indication du sens commun dans le problème connu sous le nom de paradoxe de Saint' Pétersbourg, proposé pour la première fois par Nicolas Bernoulll, et qui a si fort exercé les géomètres du temps : Deux joueurs A et B jouent à croix ou pile, la partie ne comportant pas plus de n coups, et s'arrêtant dès que croix

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arrive ; si c'est au premier, au second, au troisième... coup A payera à B deux, quatre, huit... francs. Il est clair que pour l'égalité mathématique du jeu, B doit donner n francs à A en commençant le jeu, somme qui devient infinie, si le jeu continue à l'infini ; et cependant personne à ce jeu ne risquera avec prudence une somme même assez modique telle que cent francs, malgré la possibilité de gagner 2"^ francs, si croix n'arrive qu'au dernier coup.

L'ouvrage est complété par des additions et quatre suppléments dont nous avons déjà eu l'occasion de parler suffisamment pour qu'il ne soit pas utile d'y revenir. Constatons seulement, pour conclure, que la Théorie analytique est très loin d'être une simple collection de formules relatives aux principaux problèmes qui relèvent du calcul des probabilités; c'est peut-être plus encore une théorie philosophique qu'une théorie analytique des probabilités.

En terminant cette étude trop sommaire, il nous reste un vœu à exprimer : c'est que, malgré son imperfection, elle inspire au lecteur la même résolution qu'au général Bonaparte écrivant à Laplace pour le remercier de l'envoi d'un volume de la Mécanique céleste. « Les premiers six mois dont je pourrai disposer seront employés à lire votre bel ouvrage. »

ABBE^ILLE. — IMPFlMtRlE F. PAILLART.

PAYOT & C'^ 106. Boulevard Saint-Germain, PARIS-VI^ D ACHALME

DirKteur de Laboratoire à l'École des Hautes-Etudes.

Les Edifices physico-chimiques