LIVRE SECOND

condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple, tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé : et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan ; mais si c'est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme un lieu solide : et toutefois et quantes que cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelqu'une de celles que je viens de résoudre. Que si la ligne qui détermine ainsi le point cherché est d'un degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en môme façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s'il manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou sphérique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu'aient eu les anciens en cette matière a été de parvenir à la composition des lieux solides; et il semble que tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n'a été qu'à dessein de la chercher.

De plus, on voit ici que'ce que j'ai pris pour le premier genre des lignes courbes n'en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse, qui est tout ce que j'avois entrepris de prouver.

Que si la question des anciens est proposée en cinq lignes qui soient Quelle est la toutes parallèles, il est évident que le point cherché sera toujours en une P^mière et la

* plus simple

ligne droite; mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre de toutes les qui soient parallèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, et même ^^^"^ courbes que toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi à angles en la question droits, et enfin que le parallélipipède composé de trois des lignes ainsi tirées des anciens sur trois de celles qui sont parallèles soit égal au parallélipipède composé proposée en des deux lignes tirées, l'une sur la quatrième de celles qui sont parallèles, *^^°^ ligne», et l'autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troisième ligne donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu'on puisse imaginer après le précédent, le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite par le mouvement d'une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.

Soient par exemple les lignes données AB, IH, ED, GF, et GA (fig. il), et qu'on demande le point C, en sorte que tirant GB, G F, GD, GH et GM à angles droits sur les données, le parallélipipède des trois GF, GD et GH soit égal à celui des deux autres GB et GM, et d'une troisième qui soit AI. Je

30 LA GÉOMÉTIUE.

pose CB = y, CM = x, AI ou A£ ou G£ = a; de façon que le point C

Fig. ii.

Eî

étant entre les lignes AB et DE, j'ai GF = 2a — y, CD = a — y, et CH = y -f- a; et multipliant ces trois l'une par l'autre, j'ai y* — *iay^ — a' y -H 2a* égal au produit des trois autres, qui est axy. Après cela je considère la ligne courbe CE G, que j'imagine être décrite par l'intersection de la parabole CKN, qu'on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre KL est toujours sur la ligne droite AB, et de la règle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte qu'elle passe toujours dans le plan de cette parabole par le point L. Et je fais KL = a, et le côté droit principal, c'està-dire celui qui se rapporte à l'essieu de cette parabole, aussi égal à a, et GA = 2a, et CB ou MA = y, et CM ou AB = x. Puis à cause des triangles semblables GMC et CBL, GM qui est 2a — y, est à MC qui est .r,

xt/ comme CB qui est y, est à BL qui est par conséquent

xy

ceque KL est a, BK est a —

ou bien

2a 2a" — ay •

xy

Et pour-

Et enfin

pourceque ce même BK, étant un segment du diamètre de la parabole, est à BC qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté dix)it qui est a, le calcul montre que y* — 2ay' — a* y -h 2a* est égal à axy; et par conséquent que le point C est celui qui étoit demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne CE G qu'on veuille choisir, ou aussi en son adjointe cEGc, qui se décrit en même façon, excepté que le sommet de la parabole est tourné vers l'autre côté, ou enfin en leurs contreposées NIo,