LX-HMY-hNZ=:o

Soient jr^y^zles coordonnées d'un point fixe quelconque de Taxe du complexe, a, j3, y les angles de Tune quelconque des directions de cet axe avec les axes coordonnés. La projection U du vecteur V sur Taxe du complexe a pour expression

U=: Xcosa-HYcos^ H-Zcosy.

On sait également que le- moment K du vecteur V par rapport au même axe est donné par la relation

K = (L -H :;¥ — yZ) cosa H- (M + ;rZ — jsX) cosp -h (N -hjX — J7Y) cosy.

En substituant ces expressions de K et de U dans la relation (i) qui définit le complexe et que nous écrirons

K + Xti=o,

on obtient une équation linéaire et homogène entre les six éléments X, Y, Z, L, M et N. On peut récrire

en posant

AX 4- B Y 4- CZ 4- DL 4- EM 4- FN = o.

Xcosa Xcos(3 Xcosy

^cosy jcosa

I cosa cos(3 cosy

jcosy 2 cosa j?cosp

= pF,

= pA, = pB,

= pC;

p désignant un coefficient de proportionnalité.

Inversement, toute équation telle que (2), linéaire et homogène entre les coordonnées X, Y, Z, L, M et N définit, quels que soient les coefficients A, B, C,D, E, F^ un complexe linéaire.

Pour établir cette proposition, il suffit de montrer que le système des équations (3) et (4) permet de déterminer a:,y^ Zy a, (3 et y.

Or, des équations (4) on conclut immédiatement cosa, cosp, cosy, après en avoir déduit

D'autre part, en ajoutant les équations (3), après les avoir multipliées respectivement par cosa, cosp, cosy, on obtient

(5) l = p^M) + BE + CF) = ^^±^^^.

Les équations (3) linéaires par rapport aux seules inconnues restantes a:, y, z se réduisent à deux, en raison de la valeur (5) donnée à 1, On peut dès lors les considérer comme étant les équations de trois plans qui se coupent suivant une même droite. Le complexe linéaire, qui a pour axe cette droite et dont le paramètre est déterminé par la relation (5) est donc bien défini par l'équation (2).

Pour que le complexe linéaire soit un complexe spécial, il faut et il suffit que le paramètre X soit nul et, par suite, que les coefficients de l'équation (2) vérifient la relation

AD 4- BE 4- CF = o.