IV. — Constructions et relations métriques

1. Le mouvement d'un système étant défini d'une manière quelconque, il s'agira, à chaque instant du déplacement, de construire le centre instantané de rotation, la tangente à la courbe polaire, les cercles des inflexions et le centre de courbure de la trajectoire de chaque point. Nous sommes en mesure

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 25

de déduire les constructions dont il taudra faire usage dans chaque cas particulier des lois générales qui ont été établies dans les paragraphes précédents.

Le mouvement d*un système plan est déterminé dès que Ton connaît à chaque instant le centre de rotation. Ce point est à rintersection des normales aux trajectoires de tous les points du système; il est donc déterminé par deux quelconques d'entre elles. Il faut alors qu*à chaque instant on donne les trajectoires de deux points quelconques. Le système se déplacera d'une manière bien déterminée, dès que deux de ses points seront forcés de parcourir des trajectoires données qui peuvent être choisies arbitrairement.

Pour construire à chaque instant, en dehors du centre de rotation, la tangente à la courbe polaire ainsi que les cercles des inflexions et les centres de courbure de toutes les trajectoires, nous aurons besoin de connaître la correspondance quadratique qui caractérise l'instant considéré du mouvement. Comme nous venons de voir que les trajectoires de deux points définissent complètement le mouvement, nous devons nous attendre à ce que cette correspondance soit déterminée dès que nous connaîtrons les centres de courbure de deux points. En effet, nous verrons que, sideuxcouples (A, A'), (B,B') de points correspondants sont donnés, on peut construire le centre de courbure C correspondant à tout autre point C.

2. Nous avons déjà fait voir, dans l«e précédent paragraphe (III, 11), que, pour chaque droite d'un des systèmes qui passe par le point principal, la conique correspondante dans l'autre système se décompose en deux droites dont l'une est la ligne principale. Pour approfondir davantage cette question, nous reviendrons encore au cas de deux positions quelconques du système. Et comme les mêmes lois subsistent aussi bien pour le mouvement indirect que pour le mouvement direct, dans ce qui suit nous ne nous occuperons, en général, que du mouvement direct.

Si /o est une droite quelconque de <Jq passant par Ooi, et A© un de ses points, son rayon normal al coïncidera avec /J*; il en résulte que les points d'intersection de a^ et a\ sont sur /J*. Mais les rayons normaux al[ de tous les points de /

Fig. 8.

forment un faisceau perspectif à Z^*. Celui-ci coupe donc /;'* suivant une ponctuelle perspective à /f et projective à /J*, et chacun de ses points A' est l'intersection des rayons correspondants al et à\ .

Si nous passons à la limite, /J^ coïncidera avec /; le centre de courbure A' de chaque point A de /est donc sur /elle-même, et les points A et A' forment deux ponctuelles projectives superposées. Ces ponctuelles ont le centre instantané comme élément commun. Cela résulte aussi bien des lois de la correspondance quadratique que de ce fait que, passant en ce moment, en général, par un point de rebroussement, le rayon de courbure de sa trajectoire doit être nul. Si, de plus, Vet W (Jîg.S)

sont les points où / coupe les cercles des inflexions fv et «^, on a V0= OW et V et W'sont les points de chaque ponctuelle qui correspondent au point à rinfîni de l'autre. Les ponctuelles jouissent donc de la propriété que leurs points doubles coïncident avec le centre instantané de rotation.

On sait que, du moment que deuxpareilles ponctuelles sont superposées, on peut construire autant de couples de points correspondants qu'on le veut, dès que l'on connaît le point double et un couple de points homologues.

Maintenant nous allons voir que, conformément à ce qui a été dit plus haut, la correspondance quadratique est déterminée dès que l'on connaît deuxcouplesdepoints(A,A')et(B,B').I)ésignonsencoretoule droite passant par sous le nom de rayon normal, parce que c'est la normale aux trajectoires de tous ses points, et soient 4» h les deux rayons sur lesquels se trouvent les couples de points (A, A') et (B, B'). Nous pouvons sur la et /^ construire

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 27

les points V^ et V^ qui sont sur le cercle des inflexions. Alors ce cercle est déterminé puisqu'il est circonscrit au triangle VaV^O. Si maintenant /^est un troisième rayon normal quelconque, nous connaissons sur /^un couple dépeints correspondants formé de V^ et du point à l'infini. Nous savons donc construire le centre de courbure C de chaque point C de cette droite, c'est-à-dire que :

La correspondance quadratique entre les deux systèmes a et d' est complètement déterminée par deux couples de points correspondants.

Nous nous posons maintenant le problème : connaissant deux couples de points correspondants (AA'), (BB'), construire la tangente à la courbe polaire, les cercles des inflexions, et les centres de courbure dans chaque système. Les considérations suivantes nous fournissent le moyen d'effectuer ces constructions.

3. Soit {fig. 8) (A,A') un couple de points correspondants de (j et a' y et / le rayon normal qui les joint. Nous désignerons par /• et r' les distances des points A et A' à 0, et conviendrons que r et r' seront considérés comme positifs quand les points A et A' seront du même côté de la tangente à la courbe polaire que le cercle des inflexions de leur système, c'està-dire quand A sera du même côté que w^ k' du même côté que w'. Sur chaque rayon normal les directions positives sont donc opposées l'ime à l'autre. Comme A et A' forment des ponctuelles projectives, on a

AV.A'W'=OV =:0W' Posons encore

on a

{r—h){r'-h) — h} et

Celle relalion a lieu pour loul rayon normal. On peul en déduire une plus générale. Désignons par a Tangle que fail / avec la normale à la courbe polaire, elpar h^ le diamèlre du cercle des inflexions; on a

(3) (i: + l)cos«=i-.

L'expression qui figure dans le premier membre de V égalité précédente est donc une constante.

Appelons p le rayon de courbure AA', el posons AV = s.

Si donc nous prenons le point Q sur la droite / de telle façon que OA = AQ, Téqualion précédente nous donnera

QA =:A0 rziAV.AA',

c'est-à-dire que Q,V,0, A' forment une division harmonique, Q el 0, V et A' étant les couples de points conjugués.

Soit n la normale commune aux courbes polaires. Élevons en Q,A, VetA' des perpendiculaires sur /; elles rencontrent la normale aux points M, N, J, N' formant une division harmonique; J est le centre des inflexions, et N le milieu de OM. N et N' constituent un couple de points correspondants, et N' est le centre de courbure de la trajectoire de N.

Par suite :

Si N et W sont un couple de points correspondants sur la normale commune aux courbes polaires, en pî^oj étant NeiN' sur un rayon normal quelconque, nous obtenons encore des points correspondants.

Imaginons maintenant que l'on ait mené par tous les rayons normaux, et projetons sur chacun d'eux le couple de points (N,N'),tous les points A ainsi obtenus sont sur un cercle qui a ON pour diamètre, et les points correspondants appartiennent au cercle dont le diamètre est ON', c'est-à-dire que :

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN.

A tout cercle de <j qui touche la courbe polaire denO correspond dans (t' un cercle qui touche également la courbe polaire

€' de son système en 0.

Nous avons ainsi acquis une image tangible de la façon dont a lieu la correspondance entre les systèmes œ et œ'.

k. Soient maintenant Ip et Iq deux rayons normaux quelconques de 0". Nous désignerons les couples de points correspondants sur Ip par

(Cp> C»),

et sur Iq par

Si nous projetons de A^, et A^ les ponctuelles superposées sur Iq au moyen des faisceaux de rayons Ap{Aq, B^, C^, . . .), Ap{AqyBq, Cq, ...)> CCS faisccaux auTout cu commuu Ic rayou ApA' qui joint les points Ap,A^ au point double 0. Ils sont

donc en situation perspective, et les points d'intersection des rayons correspondants sont en ligne droite. Pour obtenir cetle droite, déterminons (Jig. 9) le point d'intersection Sade deux rayons correspondants quelconques ApC^^, A^C^, et joignons ce point à 0. Si nous choisissons maintenant comme sommets

3o CHAPITRE I.

des faisceaux projelanis deux autres points correspondants Bp et Bp de Ip, les points d'intersection des rayons correspondants seront aussi sur une droite, et si S^ est le point d'intersection des rayons homologues B^C^ et B^C^, la droite en question sera la ligne de jonction de S^ avec 0. Chaque couple de points du rayon Ip nous donnera donc une pareille droite. Mais toutes ces droites se superposent. Pour le prouver, nous n'avons qu'à faire voir que les points S^, S^ sont tous sur une même droite passant par 0. En effet, de C^ projetons la ponctuelle A^,, B^, ... et de C^ la ponctuelle A^, B^, ..., qui est projective à la première. Les deux faisceaux projetants ont en commun le rayon C^C^; ils sont donc perspectifs, et les points d'intersection des rayons correspondants sont tous sur une droite passant par 0. Mais ces points sont justement Sa et S*. Nous pouvons donc flnalement énoncer le théorème suivant :

Si Ip et Ig sont deux rayons normaux quelconques, (A^jAl),. (A<7, A^) deux couples de points correspondants quelconques pris sur ces rayons, les droites ApAq, A'pA'g se coupent sur une droite fixe.

Nous désignerons cette droite, dont la position ne dépend que de Ip et de Iq, par Upq, Mais nous pouvons imaginer que les ponctuelles projectives situées sur Ip et Iq déterminent la collinéalion de deux systèmes plans, alors sera le centre et Upq Vaxe de collinéation correspondant à Ip et Iq {^),

Pour déterminer sa position, nous nous servirons des points d'inflexion Vp et V^ des deux rayons normaux. Les points correspondants sont à l'infini. Donc V^V^ rencontre la droite de l'infini en un point de Upq, c'est-à-dire que Upq est parallèle à VpV^. Si nous menons encore la tangente ^ à la courbe polaire, on a A (^, /^) = A (/p,Wpg), parce que, d'après des théorèmes de Géométrie élémentaire, ces deux angles sont égaux à l'angle (V^V^O). Donc :

Si Ip et Iq sont deux rayons normaux quelconques, l'angle que la tangente à la courbe polaire forme avec l'un des

(') Aronhold, Principes ..., p. iSg.

MOUVEMENT d'UN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 3l

rayons normaux est égala V angle que fait Vautre avec l'axe de collinéation.

Supposons maintenant Ip fixe et faisons tourner Ig autour de ; Taxe de collinéation Upq tourne également autour de ; Iq et Upq engendrent deux faisceaux de rayons, et Ton a toujours !

A(^, lp)—N{lqy Upq), \

c'est-à-dire que les rayons Ip et Upq forment deux à deux un angle constant; en les adjoignant deux à deux comme correspondants , on voit que :

Si Ip est un rayon normal quelconque fixe, les faisceaux formés par tous les rayons normaux et les axes de collinéation correspondants sont deux faisceaux égaux et concentriques dans lesquels les rayons correspondants se coupent deux à deux sous le même angle que Ip et la tangente à la courbe polaire.

A chaque rayon normal appartient donc un faisceau bien déterminé d*axes de collinéation.

En ce qui concerne les angles formés par /p, Z^, Upq et t, on peut encore faire la remarque suivante : les rayons normaux Ip et Iq partagent le plan en deux régions; il résulte de la manière dont ont été établis les théorèmes précédents que Upq et t sont toujours dans la même région. Si donc Tune de ces droites est donnée, la position de l'autre est parfaitement déterminée.

5. En se servant des résultats précédents, on effectuera facilement les constructions dont il a été question.

Supposons que la relation quadratique soit déterminée par deux couples de points correspondants (A,A') et (B,B'), et appelons encore la et 4 les rayons normaux correspondants, nous obtiendrons la tangente à la courbe polaire de la façon suivante :

Menons AB et A'B', et joignons le point d'intersection S de ces deux droites à 0. OS sera l'axe de collinéation ««6- Maintenant, construisons une droite t, de telle façon que

h{tJb) — ^{layUab)

CHAPITBB 1.

et que c et Uat soient dans ia même région du plan, t sera la tangente en à la courbe polaire.

Cette construction, donnée d*abord par Bobillier, est connue sous le nom de construction de Bobillier (*).

Pour construire les points d'inflexion Va et V^ situés sur /« el Ibj nous procéderons de la façon suivante : Par A' menons une parallèle à Z^, et joignons à A le point où elle coupe Taxe de collinéation. La droite ainsi obtenue coupe Ib au point V^.

Fig. 10.

Si par Yb nous menons une parallèle à Uaby elle coupera la en Va. De cette manière le cercle des inflexions w de o- est luimême déterminé.

Si donc deux couples de points correspondants (AA') et (BB') sont donnés, on construira linéairement les points d'inflexion situés sur les rayons normaux correspondants.

On demande maintenant de construire le centre de courbure QJ correspondant à un point quelconque C de o'. Soit 4 le rayon normal sur lequel se trouve C, les droites AG et A'C se couperont sur Taxe de collinéation Uac^ Mais cet axe est déterminé, comme il résulte du dernier théorème, par le

C) Bobillier, Cours de Géométrie, i5« édition, p. 282.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN.

rayon l^ Donc, nous construirons Uac de telle façon que Uac fasse avec 4 le même angle que Z^, nous mènerons AC, et joindrons A' au point où AC coupe Uac> Cette droite rencontre le en C.

Si la tangente à la courbe polaire et un couple de points correspondants (A, A') sont donnés, le diamètre du cercle des inflexions pourra immédiatement être déterminé. Si nous traçons en effet la normale à la courbe polaire, le faisceau d'axes de collinéation qui lui correspond jouit de la propriété que chaque rayon normal est perpendiculaire sur son axe de collinéation. Donc {fig. Il), menons par A' une parallèle à la

Fig. II.

Fi

normale à la courbe polaire, élevons en une perpendiculaire sur le rayon normal /«, et appelons E le point d'intersection des deux droites. EA coupera la normale à la courbe polaire au centre des inflexions J.

Inversement on peut, étant donné le centre des inflexions, trouver le centre de courbure correspondant à chaque point A du système cr.

Enfin, mentionnons encore la construction suivante, qui permet de construire linéairement le point d'inflexion sur

chaque rayon normal, quand on connaît un couple de points correspondants sur ce rayon {fig. 12).

Menons par A une droite quelconque g^ et joignons un de ses points P à et à A'. Menons aIor»par une parallèle à A'P, et par son point d'intersection R avec g une parallèle à PO. Celle-ci rencontrera le rayon normal / au point d'inflexion V, sur le cercle des inflexions; car