LIVRE TROISIKME
même que
z^ = pz* — i}z + r,
et par conséquent la liyno trouvée f!K qui a élé nommée z est la racine de celte équation, ainsi qu'il falloit déniontior. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle en changeant les signes -+- et — selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorlo, sans qu'il soit besoin que jo m'y arrête.
Si on veut donc, suivant cette règle, trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et ^ (fig. 28), chacun sait que posant ;: poiu' l'une,
comme a est à z, ainsi z à — » et — à —^; de façon qu'il y a équation
l.inventiuri
de deux
moyennes prf>-
porlionnelles.
entre a et — > c'est-à-dire a-
crq.
Et la j)ara])ole FAG étant décrite, avec la partie de son essieu AC qui est -a
la moitié du côté droit, il faut du point G élever la perpendiculaire CE égale
à -q, et du centre E par A, décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA
pour les deux moyennes cherchées.
Fïg. 30.
La façon de diviser un
Tout de même si on veut diviser l'angle NOP (fi(j. 30), ou l)ien l'arc ou anpic en trois.
portion de cercle NQPT en trois parties égales, faisant NO :^ 1 pour le rayon du cercle, et NP = g pour la subtendue de l'arc donné, et NQ = z pour la subtendue du tiers de cet arc, l'équation vient
Car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT, et faisant QS parallèle à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS; en sorte que NO étant 1, et NQ étant r, QR est z", et RS est s'; et à cause qu'il s'en faut seulement RS ou z* que la ligne NP qui est q ne soit triple de NQ qui est z, on a
g ^ 32 — 2*, ou bien
Puis la parabole FAG étant décrite, et CA la moitié de son côté droit
Que tous les
problèmes
solides se
peuvent
réduire à ces
deux constructions.
principal étant -■> si on prend CD =:
et la perpendiculaire DE
et
que du centre E par A on décrive le cercle FAjrG, il coupe cette parabole aux trois points F, cj et G, sans compter le point A (|ui en est le sommet; ce qui montre qu'il y a trois racines en cette équation, à savoir les deux G K et gk qui sont vraies, et la troisième qui est fausse, à savoir FL. Et de ces deux vraies c'est gk la plus petite qu'il faut prendre pour la ligne NQ qui étoit chercliée; car l'autre GK est égale à NV la subtendue de la troisième partie de l'arc NVP, qui avec l'autre arc NQP achève le cercle. Et la fausse FL est égale à ces deux ensembles QN et NV, ainsi qu'il est aisé à voir par le calcul.
Il seroit superflu que je m'arrêtasse à donner ici d'autres exemples, car tous les problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point qu'on n'a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu'elle sert à trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un angle en trois parties égales, ainsi que vous connoîtrez en considérant que leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des équations qui ne montent que jusques au carré de carré ou au cube, et que toutes celles qui montent au carré de carré se réduisent au carré par le moyen de quelques
Livnr, TnoisiKMK. 77
autres qui ne montent que jusques au cube, et enliii «m'oii peut ôlcr le second terme de celles-ci; en sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu'une de ces trois formes :
z' = — pz -I- 7, z» = + pz -+- 7, 2' = -I- pz — q.
Or si on a ;* =: — ^jz + q, la règle dont Cardan allrii)iio l'invenlion à un nommé Scipio Ferreus nous apprend que la racine est
Comme aussi lorsqu'on a z^ = + pz + q, el que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est
V'^-^h-^\^r''--êi"'-'V'
— ^sP
D'où il paroît qu'on peut construire tous les problèmes dont les difficultés se réduisent à l'une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour autre chose que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et l'unité.
Puis, si on a :;^ = 4- pz -f- q, et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, en supposant le cercle NQPV dont le demi-diamètre NO
y/lp,c'
soit l / - p , c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la
quantité donnée p et l'unité, et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce
cercle qui soit — ? c'est-à-dire qui soit à l'autre quantité donnée q comme
l'unité est au tiers dep, il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales, et on aura NQ la subtendue du tiers de l'un,
et NV la sub tendue du tiers de l'autre, qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.
Enfin si on a. z^ = pz — q, en supposant derechef le cercle NQPV dont
le ravon NO soit
et l'inscrite NP soit — ? NQ la subtendue du tiers P
de l'arc NQP sera l'une des racines cherchées, et NV la subtendue du tiers de l'autre arc sera l'autre. Au moins, si le carré de la moitié du dernier terme n'est point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième; car s'il étoit plus grand, la ligne NP ne pourrait être inscrite dans le cercle, à cause qu'elle seroit plus longue que son diamètre, ce qui seroit cause que les deux vraies racines de cette équation ne seroient qu'imaginaires, et qu'il n'y en auroit de réelle que la fausse, (jui, suivant la règle de Cardan, seroit
La façon
dxxpriincr la
valeur de
toutes les
racines des
équations
cubiques, et
ensuite de
toutes celles
qui ne montent
(jue jusquesau
carré de carré.
Au reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la valeur des racines par le rapport qu'elles ont aux côtés de certains cubes dont il n'y a que le contenu qu'on connoisse, n'est en rien plus intelligible ni plus simple que de les exprimer par le rapport qu'elles ont aux subtendues de certains arcs ou portions de cercles dont le triple est donné ; en sorte que toutes celles des équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.
Car si, par exemple, on pense connoître la racine de cette équation
Z^ = — qz 4- p,
à cause qu'on sait qu'elle est composée de deux lignes dont l'une est le côté
d'un cube duquel le contenu est - g, ajouté au côté d'un carré duquel
derechef le contenu est - q^ »', et l'autre est le côté d'un autre cube
4 ^ ii7 ^ '
dont le contenu est la différence qui est entre - g et le côté de ce carré
LivEu; Tnoisip-.MF:.
dont le couleiiu est - 7* — — p\ (\n\ oM tout en qu'un un .-ipprond jiar In
rè-^le de Cardan. Il n'y a point do doute qu'on ne connoisso autant ou |»lii.s distinctement la racine de celle-ci
Z'= + qz — p,
en la considérant inscrite dans un cercle dont le demi-diamètre est V/ r Pi
et sachant qu'elle y est la subtendue d'un arc dont le triple a pour sa
suhlendue — Même ces termes sont beaucoup moins embarrassés que les
autres, et ils se trouveront beaucoup plus courts si ou veut user de quelque chiflVe particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu'on fait du chiflre K C. pour expiimer le côté des cubes.
Et on peut aussi ensuite de ceci exprimer les racines de toutes les équations qui montent jusques au carré de cairé par les règles ci-dessus expliquées; en sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière: car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.
Il est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l'est pas. Mais si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des géomètres se réduit à un même genre de problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelque équation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu'on a choisi la plus générale et la plus simple. Et particulièrement pour ce qui est des problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir être construits sans qu'on y em[iloie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on peut assez trouver de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions, en l'une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, et en l'autre les deux points qui divisent en trois parties égales un arc donné ; car d'autant que la courbure du cercle ne dépend que d'un simple? rapport de toutes ses
Pourquoi les
probli'ines
solides ne
peuvent ftrc
i.onslruils sans
les sections
coniques, ni
ceux qui sont
plus composés
sans quelques
autres lignes
plus fomiois-'-es.
parties au point qui en est le centre, on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul point entre deux extrèuies, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné ; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points ditTérents.
Mais pour cette même raison il est impossible qu'aucun des problèmes
qui sont d'un degré plus composés que les solides, et qui présupposent
l'invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d'un angle
en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections
coniques. C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse,
si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne
courbe qui se déci'it par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite
en la façon ci-dessus expliquée; car j'ose assurer qu'il n'y en a point de
plus simple en la nature qui puisse servir à ce même effet, et vous avez vu
comme elle suit immédiatement les sections coniques en celte question tant
cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les
lignes courbes qui doivent être reçues en géométrie.
Façon Vous savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités qui sont requises
s n Ta e pour ^^^^ j^ construction de ces problèmes, on les peut toujours réduire à quelque
tous les équation qui ne monte que jusques au carré de cube ou au sursolide. Puis
pro mes savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette
réduits a une ' "
équation qui équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies, et avec " ^ de"' ^ "^ ^^'^ ^^^^ ^^ quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré dimensions, de la moitié de celle du second; et enfin comment, si elle ne monte que jusques au sursolide, on la peut hausser jusques au carré de cube, et faire que la place d'aucun de ces termes ne manque d'être remplie. Or, afin que toutes les difficultés dont il est ici question puissent être résolues par une même règle, je désire qu'on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu'on les réduise toujours à une équation de telle forme,
y' — P'f + 'pf — '>''/ -+- ^'f — ty + u = G,
et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée p. Puis ayant fait la ligne BK (fig. 31)
LIVHK XnoiSlKMK. 81
indéfinimenl longue des deux ctMés, et du jidinl H ay.iul lirt!: la jicrpcndiculaire AB dont la longueur soit -y), il laul dans un jilan séparé décrire une parabole, comme CDF, dont le côté droil principal soit
vu "^
([ue je noinnu.-rai n \Hi\w aluéger. A[)r('S cela, il laiil jidsrr le plan dans
Fifj. Si.
lequel est cette parabole sur celui où sont les lignes AB el BK, en sorte que son essieu DE se rencontre justement au-dessus de la ligne droite BK; et
avant pris la partie de cet essieu qui est entre les points E et D égleà »
i! faut ai)pliquer sur ce point E une longue règle en telle façon qu'étant aussi appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure toujours jointe à ces deux points pendant qu'on haussera ou baissera la parabole tout le long de la ligne BK sur laquelle son essieu est appliqué; au moyen de quoi l'intersection de cette parabole et de cette règle, qui se fera au point C, décrira la ligne courbe AGN, qui est celle dont nous avons besoin de nous servir pour la construction du problème proposé. Car après qu'elle est ainsi Dï.sc\mhs. — Géométrie. "
8'2 l.A GÉOMÉTRIE.
décrite, si on prend le point L en la ligne BK, du côté vers lequel est tourné
2 Km
le sommet de la parabole, et qu'on fasse BL égale à DE, c'est-à-dire à ;
pn
puis du point L vers B qu'on prenne en la même ligne BK la ligne LH égale à
t -1 et que du point H ainsi trouvé on tire à angles droits du côté qu'est
2n Km
r Vu
la courbe AGN la ligne HI dont la longueur soit —-r + — —
qui pour abréger sera nommé -, ; et après, ayant joint les points L et I,
qu'on décrive le cercle LPI dont IL soit le diamètre, et qu'on inscrive en ce
1 /« + p Vu
cercle la ligne LP dont la longueur soit 1/ ^ ; puis enfin du
centre I, par le point P ainsi trouvé, qu'on décrive le cercle PCN. Ce cercle coupera ou touchera la ligne courbe ACN en autant de points qu'il y aura de racines en l'équation, en sorte que les perpendiculaires tirées de ces points sur la ligne BK, comme GG, NR, QO, et send)lables, seront les racines cherchées, sans qu'il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette règle. Gar si la quantité s étoit si grande à proportion des autres p, q, r, l, et ij, que la ligne LP se trouvât plus grande que le diamètre du cercle LI, en sorte qu'elle n'y pût être inscrite, il n'y auroit aucune racine en l'équation proposée qui ne fût imaginaire; non plus que si le cercle IP étoit si petit qu'il ne coupât la courbe AGN en aucun point. Et il la peut couper en six ditïérents, ainsi qu'il peut y avoir six diverses racines en l'équation. Mais lorsqu'il la coupe en moins, cela témoigne qu'il y a quelques-unes de ces racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu'imaginaires.
Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouvement d'une parabole vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour la décrire : comme si, ayant les mêmes quantités que devant pour AB et BL (fig. 32), et la même pour BK qu'on avoit posée pour le côté droit principal de la parabole, on décrit le demi-cercle KST dont le centre soit pris à discrétion dans la ligne BK, en sorte qu'il coupe quelque part la ligne AB comme au point S ; et que du point T où il finit on prenne vers K la ligne TV
LIVnK TUOISIKMK. 83
égale à P>L; puis ayanl tiré la ligne S Y, ([u'ou on lire; une aiilro qui lui soif.
parallèle par le point A, comme AC, et qu'on en tire au.ssi une autre par S qui soit parallèle à BK, comme SC, le point G où ces deux parallèles se rencontrent sera l'un de ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut trouver en même sorte autant d'autres qu'on en désire.
Or la démonstration de tout ceci est assez facile ; car, appliquant la règle A E (fig. Si) avec la parabole FD sur le point C, connue il est certain qu'elles peuvent y être appliquées ensemble, puisque ce point C est en la courbe AGN
qui est décrite par leur intersection, si GG se nomme 7, GD sera — ? à cause
que le côté droit qui est n est à GG comme GG à GD; et étant DE qui
2 |/tt (/' 2 y II est ? de GD, on a ~- — pour G E. Puis, à cause que AB est à BE
pn
comme GE est à GE, AB étant -», BE est —
' 2^' 2n nij
Et tout de même en supposant que le point G (fuj. S-]) de la ci>urbe a été trouvé par l'intersection des lignes droites SG paiallêU' à BK, et AG parallèle à SV, SB qui est égale à GG est y; et BK étaul égale au côté droit de
la parabole que j'ai nommé ?r, BT est — ? car comme KB est à BS, ainsi BS
est à BT. Et T Vêtant la même que BL, c'est-à-dire -^— , BVest ^^^ — — ;
et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE, qui est par conséquent —
comme devant, d'où on voit que c'est une même ligne courbe qui se décrit
en ces deux façons.
Après cela, pourceque BL et DE (fig. 3i) sont égales, DL et BE le sont
aussi; de façon qu'ajoutant LH qui est •> à DL qui est -— -,
InVu 2?i ny
on a la toute DH qui est
vy
Vu
2n ny 9nVu
et en ôtant GD qui est — ■« on a GH qui est
py. yj^ ^ ^ y^
2n 7iy 2n Vu "
ce que j'écris par ordre en cette sorte.
1 tii -
— y' + r, v>f- + — 7^ — Vu
GH= - y^
et le carré de G H est
y'—p'f+i-,P^ 7=]>f+hVn-\-^^)y'+l- pV7()y''—ty
V^ Vu/ \ 'iVul \^^ I
Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le point C, comme vers N ou vers Q, on trouvera toujours que le carré de la ligne droite qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes et avec les mêmes sicrnes -h et — .
LIVIIK TKOISIKMF. 85
De plus, m étant -^' et LU étant :, If. e.st
''' '2» Km
à cause do l'annule droit IHL; et Ll^ étant
IPouICcst
1H- t' S W Vu f .
à cause aussi de l'angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur I H, IM est la différence qui est entre H en sorte que son carré est toujours
IM est la différence qui est entre H I et H M ou CG, c'est-à-dire entre — et v,
qui étant été du carré de IC, il reste
f« s V Vu '2
-+- TTT- — U'
pour le carré de CM, qui est égal au carré de GH déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par n*v/-, on a
— 11^ y'* -f- Imy^ — p Vu y- — sy- + y- ?/*
puis remettant — -y'' -h q '/'* — yP^'/^ pour n^y"", et ry^ + 2 Vit '/' h — ^-— ^ '/' Vu '^ ^ ' 2V1''
pour 2«iï/'; et multipliant l'une et l'autre somme par n^y^, on a
égal à
( , p' — ^i ) 'f + ( '' + î^ l^*< + ^^ Iî/' + It s — P l^" ) .'/%
c'est-à-dire qu'on a
if — jnf + qif — rif + sif — ty + u = 0.
D'où il paroit que les lignes CG, NR, QO, et semblables, sont les racines
de cette équation, qui est ce qu'il falloit démontrer.
L'invention de Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les
quatre ijfrnes a et h, avant posé x pour la première, l'équation est moyennes pro- ^ 7 j r x 1
'' " x" — fi'h = 0, ou bien x^ — a''hx = 0,
Et faisant y — a =^ x, il vient
ys Qaïf 4- ISa'/y" — lOa^y^ -+■ iba*y- — (Ga' + a^b) y -h a^ -+- a"h = 0; c'est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB, et
Va^ -+- ab
pour BK ou le côté droit de la parabole, que j'ai nommé n, et— Va^ 4- ab
pour DE ou BL, Et après avoir décrit la ligne courbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire
Ga^ ■+■ a'-b
