CHRONOLOGIES COMPARATIVES

Hanovre depuis Georges I" jusqu'à Victoria. Une bande teintée formée de hachures représente la durée de la vie de chacun des souverains ; elle commence à la date de la naissance, qu'on lit sur l'une des abscisses où les dates sont numérotées de dix en dix années, et finit à la date de la mort.

La durée du règne est figurée par une bande noire. Les généalogies se comprennent aisément, car la bande qui correspond à la vie de chaque souverain se détache de celle qui mesure la vie de son père comme une branche se détache d'un tronc.

On voit dans ce tableau que depuis l'avènement de Georges P' jusqu'à celui de Victoria, la succession au trône s'est faite en ligne directe; que les deux fils de Georges III ont régné tour à tour, et qu'une régence de dix ans a marqué les dernières années de Georges III.

La durée comparative des règnes apparaît au premier coup d'œil; l'âge des souverains au moment de la naissance de leur fils est également indiqué lorsque ceux-ci ont régné. La ligne de vie de la reine Victoria ne se détache pas de celle des souverains qui l'ont précédée, parce qu'elle est petite-fille de Georges III par le duc de Kent qui n'a pas régné.

Ravivés par l'inspection de ce tableau graphique, les souvenirs historiques prennent une précision et une sûreté qu'ils empruntent à la mémoire des yeux.

Sur le même tableau se trouvaient représentées les successions des divers lords chanceliers pendant la même période, toutes les variations de la dette, de l'importation et de l'exportation, les variations du budget des recettes et des dépenses de l'État. Enfin, et nous avons reproduit cette partie du tableau comme l'une des plus intéressantes, une ligne horizontale coupée en tronçons de longueurs variables exprime, pour l'Angleterre, les périodes alternatives de paix et de guerre pendant l'espace de temps considéré. Quelques mots explicatifs rappellent dans le tableau original quelles étaient les puissances engagées dans la lutte, de même que pour la généalogie des souverains, le nom de chacun d'eux est inscrit devant sa ligne de vie.

Cet extrait ne donne qu'une idée insuffisante du tableau auquel il est emprunté, et que les ressources de l'impression polychrome rendent encore beaucoup plus expressif. Ajoutons que la multiplicité même des documents qu'il présente et qu'il ramène

à une chronologie unique est un des principaux avantages qui ne

saurait être reproduit dans notre petit format.

Les notions simples de grandeurs qui viennent d'être considérées isolément sont susceptibles de se combiner entre elles; or, de ces combinaisons naissent des notions plus compliquées comme celles de surface, de mouvement, de variation. Ces notions complexes trouvent dans la méthode graphique leur expression la plus parfaite.

Expression graphique des relations d'espace.

Nous concevons l'espace suivant trois dimensions : longueur, largeur et épaisseur; mais, pour exprimer cette triple notion, la méthode graphique ne dispose que des deux dimensions, longueur et largeur, que présente une feuille de papier; ces ressources suffisent, dans un grand nombre de cas, pour représenter les trois dimensions de l'espace, grâce aux procédés de la géométrie descriptive ou de la perspective.

On a vu comment la notion simple de longueur se traduit par une ligne ; ce sera l'expression graphique de l'espace considéré suivant une dimension^ c'est-à-dire de la distance qui sépare deux points. L'emploi du compas, du vernier ou du micromètre donne une précision merveilleuse à la mesure ou à la comparaison des distances qui sont représentées, tantôt en grandeurs réelles, tantôt amplifiées ou réduites à une échelle convenable. Cette possibilité de représenter les distances trop grandes ou trop petites à une échelle réduite ou amplifiée pour les besoins d'une compréhension facile, fait que, dans l'estimation ou la comparaison de ces grandeurs, nous jugeons mieux d'après les lignes tracées que nous ne le ferions à inspection des distances elles-mêmes.

L'espace considéré suivant deux dimensions nous donne la notion du plan. Des lignes tracées sur un plan expriment les différentes orientations ou directions ; enfin, l'espace limité par des lignes fournit la mesure des surfaces. C'est surtout dans les mesures de surfaces irrégulières que les constructions graphiques offrent toute leur importance, car rien ne saurait alors les remplacer. L'arpenteur n'a une idée exacte du terrain qu'il a mesuré que lorsqu'il en a tracé le plan sur son papier. Le géographe qui

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voudrait décrire par le langage la configuration d'un pays, la position, les dislances relatives et l'orientation des différents lieux serait inintelligible, tandis que sur une carte tout est clair et l'esprit saisit aisément les formes des diverses contrées, le cours des fleuves, l'étendue relative des terres et des mers. Dans une antiquité déjà bien reculée, les Grecs employaient les cartes de géographie.

Quand une surface est de forme rectangulaire, elle exprime par son étendue le produit de deux grandeurs égales à deux des côtés adjacents. L'expression de carré d'un nombre employée comme synonyme du produit de ce nombre par lui-mêriie montre combien est naturel ce mode de représentation graphique substitué à certaines opérations arithmétiques. Un rectangle exprime le produit de deux facteurs inégaux. Enfin, nous verrons, dans beaucoup de représentations graphiques de phénomènes, que la mesure des aires ou surfaces, laite au moyen du planimètre, donne d'une façon rapide et sûre des résultats numériques difficiles à obtenir autrement.

L'espace considéré suivant ses trois dimensions nous donne la connaissance complète des corps ou des formes que présente la nature. A défaut de la sculpture ou des plans en relief qui nous fournissent la plus parfaite expression de ces formes, on peut représenter graphiquement des solides dans l'espace.

La géométrie descriptive, par l'artifice des projections, représente à ses initiés les dimensions des corps situés en dehors du plan de la figure tracée; mais il est une représentation qui, pour être moins rigoureuse et moins complète, n'en a pas moins une grande valeur à cause de la facilité qu'on éprouve à l'interpréter: c'est la perspective. Familiarisés depuis longtemps avec ce mode de représentation des formes par les peintures et les dessins que nous voyons partout, nous comprenons aisément la forme et les dimensions relatives des objets qui sont figurés de cette manière. Ajoutons que dans ces dernières années, grâce à la belle invention de Wheatstone, nous avons, au moyen de figures planes, la sensation complète du relief. En regardant dans un stéréoscope deux images tracées suivant une perspective différente, comme celles qui se peignent dans chacun de nos yeux quand nous les dirigeons à la fois sur un même objet, nous avons la même sensation que si un objet réel était placé devant nous et si nos deux yeux

à la fois, dirigés sur cet objet, en exploraient chacune des parties différentes

Déterminalion graphique de la position d'un point ou d'une série de points sur un plan. — Le moyen que le géographe emploie pour exprimer la position des différents lieux du globe en les rapportant à deux degrés terrestres, l'un de latitude et l'autre de longitude, n'est autre que celui qu'emploie le géomètre quand il veut exprimer sur un plan les positions relatives de différents points les uns par rapport aux autres : il détermine la position de chaque point par rapport à deux lignes qui se coupent à angle droit et qu'on appelle coordonnées rectangulaires ^ Comme une ligne quelconque peut être considérée comme formée d'une série de points placés les uns à la suite des autres, on aura représenté sur un plan cette ligne avec sa direction et ses inflexions diverses quand on aura déterminé la position de chacun des points de cette ligne.

Soit, par exemple, à représenter le cours d'un ruisseau qui serpente sur le sol : traçons sur le terrain deux lignes qui se coupent à angle droit et que nous représenterons sur le papier par les droites ox et oy, figure 3 ; ce seront les coordonnées dont l'une ox s'appelle axe des abscisses ou simplement axe des ce; l'autre axe des ordonnées ou des y. Un réseau de lignes parallèles à ces deux axes et se coupant comme eux à angle droit sert à faciliter la détermination du lieu où chaque point doit être figuré sur le plan.

1. Les images stéréoscopiques donnent même la sensation du relief dans des cas où nos yeux ne peuvent la fournir. Ainsi quand nous regardons un objet éloigné, l'écartement de nos yeux ne constitue plus une parallaxe suffisamment étendue, et chacun des yeux voit Tobjct sensiblement sous le même angle que l'autre. Or, avec la photographie, on peut avoir deux images d'un même objet prises de deux points très-éloignés l'un de l'autre. Dans ces conditions, un village apparaît comme un amas de ces maisonnettes qui servent de jouets aux enfants et qu'on observerait à très-courte distance. Dans une exposition scientifique anglaise, j'ai vu des photographies stéréoscopiques <le Saturne avec son anneau. Les épreuves avaient été prises à des époques différentes, <le sorte que l'astre observé sous deux angles différents, son anneau se détachait avec un tel relief que l'on eût cru pouvoir le saisir à la main.

2. On pourrait déterminer la position d'un ou de plusieurs points par rapport à des points fixes ou à des lignes quelconques. Aussi le nombre des systèmes de coordonnées est-il pour ainsi dire illimité; mais le plus répandu, à cause de la facilité de son emploi, est celui dans lequel les coordonnées sont les distances à deux axes se coupant ■a angle droit et qu'on appelle, pour celte raison, rectangulaire ou orthogonal.

RELATIONS D'ESPAGE. 11 Soit un premier point du ruisseau situé sur le terrain à deux mètres de l'axe des xet k douze de l'axe des y. Si nous convenons de réduire au millième les dimensions que le plan devra représenter, la position de ce premier point sera en 1, à 2 millimètres de l'axe des x et à 12 millimètres de Taxe des y. Un second point situé à 5 mètres de l'axe des et à 15 de l'axe des y sera représenté sur le plan en 2, et ainsi de suite pour la série des points du ruisseau. La ligne ainsi construite par une succession de points exprimera toutes les inflexions du ruisseau, la longueur relative

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10 20 30 iO .W 60 70 80 90 100

Fig. 3. Construction d'une courbe sur un plan.

et la direction de chacune d'elles avec une fidélité d'autant plus grande qu'on aura déterminé des points plus rapprochés les uns <les autres ^

Descartes imprima une direction nouvelle à ce mode d'expression des relations au moyen de deux coordonnées. Il découvrit que les diff'érents points des courbes engendrées par les sections coniques présentent avec deux coordonnées orthogonales des rapports simples susceptibles d'être représentés par une

1. Toute détermination de la position d'un ou de plusieurs points se fait de la même manière; les noms seuls des coordonnées sont parfois différents. Ainsi, au lieu d'abscisses et d'ordonnées, les géographes emploient les noms de latitude et de longitude, les astronomes ceux d'ascension droite et de déclinaison.

équation; il fonda ainsi la géométrie analytique. Or, cette découverte devait donner aux expressions graphiques une portée nouvelle et beaucoup plus grande. Au lieu d'exprimer seulement des relations d'espace, les courbes devaient s'appliquera l'expression des relations de deux grandeurs quelconques*.

Courbe exprimant la relation de deux variables.

Courbe expinmant la relation de deux grandeurs quelconques. — Dans l'exemple ci-dessus indiqué, la courbe tracée sur le papier exprimait pour chacun de ses points des relations d'espace ; or, dans la conception la plus générale de la méthode graphique, on doit exprimer des relations de tout genre, et il n'est pas nécessaire que les mesures comptées sur les ordonnées et les abcisses correspondent à des grandeurs homogènes. Si nous supposons, par exemple, que les divisions comptées sur l'axe des x correspondent à des temps, tandis que sur l'axe des y elles correspon-

1. Le rôle de Descartes est apprécié de la manière suivante par Duhamel (Des Méthodes dans les sciences de raisonnement) :

Après avoir rappelé que l'équation d'une courbe était connue^ dans certains cas, par les plus anciens géomètres, Duhamel ne montre pas seulement Descartes comme le généralisaleur de l'application de la science des nombres à la théorie des courbes, mais il fait voir encore que l'illustre philosophe recourait aussi dans un grand nombre de cas à l'application de la géométrie, à l'expression des nombres et à la comparaison des grandeurs. A l'appui de sa manière de concevoir le génie de Descartes avec son éclectisme, Duhamel cite un passage du Discours sur la Méthode, que nous croyons intéressant de reproduire :

« Je n'eus pas dessein, dit-il, de lâcher d'apprendre toutes ces sciences particulières qu'on nomme communément mathématiques ; et voyant qu'encore que leurs objets soient différents, elles ne laissent pas de s'accorder toutes, encore qu'elles ne considèrent autre chose que les divers rapports ou proportions qui s'y trouvent, je pensai qu'il valait mieux que j'examinasse seulement ces propositions en général, et sans les supposer que dans les sujets qui serviraient à m'en rendre la connaissance plus aisée, même aussi sans les y astreindre aucunement, afin de les pouvoir d'autant mieux appliquer à tous les autres auxquels elles conviendraient; puis, ayant pris garde que pour les connaître j'aurais quelquefois besoin de les considérer chacun en particulier et quelquefois seulement de les retenir ou de les comprendre plusieurs ensemble, je pensai que pour les considérer mieux en particulier je les devais supposer en des lignes à cause que je ne trouvais rien de plus simple, ni que je pusse plus distinctement représenter à mon imagination ni à mes sens ; mais que pour les retenir ou les comprendre plusieurs ensemble, il fallait que je les expliquasse par quelques chiffres les plus courts qu'il me serait possible, et que par ce moyen j'emprunterais tout le meilleur de l'analyse géométrique et de l'algèbre, et corrigerais tous les défauts de l'une par Taulre. »