RELATIONS D'ESPACE

voudrait décrire par le langage la configuration d'un pays, la position, les dislances relatives et l'orientation des différents lieux serait inintelligible, tandis que sur une carte tout est clair et l'esprit saisit aisément les formes des diverses contrées, le cours des fleuves, l'étendue relative des terres et des mers. Dans une antiquité déjà bien reculée, les Grecs employaient les cartes de géographie.

Quand une surface est de forme rectangulaire, elle exprime par son étendue le produit de deux grandeurs égales à deux des côtés adjacents. L'expression de carré d'un nombre employée comme synonyme du produit de ce nombre par lui-même montre combien est naturel ce mode de représentation graphique substitué à certaines opérations arithmétiques. Un rectangle exprime le produit de deux facteurs inégaux. Enfin, nous verrons, dans beaucoup de représentations graphiques de phénomènes, que la mesure des aires ou surfaces, faite au moyen du planimètre, donne d'une façon rapide et sûre des résultats numériques difficiles à obtenir autrement.

L'espace considéré suivant ses trois dimensions nous donne la connaissance complète des corps ou des formes que présente la nature. A défaut de la sculpture ou des plans en relief qui nous fournissent la plus parfaite expression de ces formes, on peut représenter graphiquement des solides dans l'espace.

La géométrie descriptive, par l'artifice des projections, représente à ses initiés les dimensions des corps situés en dehors du plan de la figure tracée ; mais il est une représentation qui, pour être moins rigoureuse et moins complète, n'en a pas moins une grande valeur à cause de la facilité qu'on éprouve à l'interpréter: c'est la perspective. Familiarisés depuis longtemps avec ce mode de représentation des formes par les peintures et les dessins que nous voyons partout, nous comprenons aisément la forme et les dimensions relatives des objets qui sont figurés de celte manière.. Ajoutons que dans ces dernières années, grâce à la belle invention de Wheatstone, nous avons, au moyen do figures planes, la sensation complète du relief. En regardant dans un stéréoscope deux images tracées suivant une perspective différente, comme celles qui se peignent dans chacun de nos yeux quand nous les dirigeons à la fois sur un même objet, nous avons la même sensation que si un objet réel était placé devant nous et si nos deux yeux

à la fois, dirigés sur cet objet, en exploraient chacune des parties différentes ' .

Détermination graphique de la position d'un point ou d'une série de points sur un plan. — Le moyen que le géographe emploie pour exprimer la position des différents lieux du globe en les rapportant à deux degrés terrestres, l'un de latitude et l'autre de longitude, n'est autre que celui qu'emploie le géomètre quand il veut exprimer sur un plan les positions relatives de différents points les uns par rapport aux autres : il détermine la position de chaque point par rapport à deux lignes qui se coupent à angle droit et qu'on appelle coordonnées rectangulaires ^ Comme une ligne quelconque peut être considérée comme formée d'une série de points placés les uns à la suite des autres, on aura représenté sur un plan cette ligne avec sa direction et ses inflexions diverses quand on aura déterminé la position de chacun des points de cette ligne.

Soit, par exemple, à représenter le cours d'un ruisseau qui serpente sur le sol : traçons sur le terrain deux lignes qui se coupent à angle droit et que nous représenterons sur le papier par les droites ox et oy, figure 3; ce seront les coordonnées dont l'une ox s'appelle axe des abscisses ou simplement axe des ce; l'autre axe des ordonnées ou des y. Un réseau de lignes parallèles à ces deux axes et se coupant comme eux à angle droit sert à faciliter la détermination du lieu oii chaque point doit être figuré sur le plan.

1. Les images stéréoscopiques donnent même la sensation du relief dans des cas où nos yeux ne peuvent la fournir. Ainsi quand nous regardons un objet éloigné, l'écartement de nos yeux ne constitue plus une parallaxe suffisamment étendue, et chacun des yeux voit l'objet sensiblement sous le même angle que l'autre. Or, avec la photographie, on peut avoir deux images d'un même objet prises de deux points très-éloignés l'un de l'autre. Dans ces conditions, un village apparaît comme un amas de ces maisonnettes qui servent de jouets aux enfants et qu'on observerait à très-courte distance. Dans une exposition scientifique anglaise, j'ai vu des photographies stéréoscopiques de Saturne avec son anneau. Les épreuves avaient été prises à des époques différentes, de sorte que l'astre observé sous deux angles différents, son anneau se détachait avec ■un tel relief que l'on eût cru pouvoir le saisir à la main.

2. On pourrait déterminer la position d'un ou de plusieurs points par rapport à des points fixes ou à des lignes quelconques. Aussi le nombre des systèmes de coordonnées est-il pour ainsi dire illimité; mais le plus répandu, à cause de la facilité de son emploi, est celui dans lequel les coordonnées sont les dislances à deux axes se coupant à angle droit et qu'on appelle, pour celte raison, rectangulaire ou orthogonal.

RELATIONS D'ESPACE. lî

Soit un premier point du ruisseau situé sur le terrain à deux mètres de l'axe des a? et à douze de l'axe des y. Si nous convenons de réduire au millième les dimensions que le plan devra représenter, la position de ce premier point sera en l, à 2 millimètres de l'axe des et à 12 millimètres de l'axe des y. Un second point situé à 5 mètres de l'axe des x et à 15 de l'axe des y sera représenté sur le plan en 2, et ainsi de suite pour la série des points du ruisseau. La ligne ainsi construite par une succession de points exprimera toutes les inflexions du ruisseau, la longueur relative

Fig. 3. Conslruction d'une courbe sur un pl;

«t la direction de chacune, d'elles avec une fidélité d'autant plus grande qu'on aura déterminé des points plus rapprochés les uns ■des autres*.

Descartes imprima une direction nouvelle à ce mode d'expression des relations au moyen de deux coordonnées. Il découvrit que les différents points des courbes engendrées par les sections coniques présentent avec deux coordonnées orthogonales des rapports simples susceptibles d'être représentés par une

1. Toute détermination de la position d'un ou de plusieurs points se fait de la même manière; les noms seuls des coordonnées sont parfois différents. Ainsi, au lieu d'abscisses et d'ordonnées, les géographes emploient tes noms de latitude et de longitude, les astronomes ceux d'ascension droite et de déclinaison.

équation; il fonda ainsi la géométrie analytique. Or, cette découverte devait donner aux expressions graphiques une portée nouvelle et beaucoup plus grande. Au lieu d'exprimer seulement des relations d'espace, les courbes devaient s'appliquer à l'expression des relations de deux grandeurs quelconques*.

Courbe exprimant la relation de deux variables.

Courbe exprimant la relation de deux grandeurs quelconques. — Dans l'exemple ci -dessus indiqué, la courbe tracée sur le papier exprimait pour chacun de ses points des relations d'espace ; or, dans la conception la plus générale de la méthode graphique, on doit exprimer des relations de tout genre, et il n'est pas nécessaire que les mesures comptées sur les ordonnées et les abcisses correspondent à des grandeurs homogènes. Si nous supposons, par exemple, que les divisions comptées sur l'axe des x correspondent à des temps, tandis que sur l'axe des y elles correspon-

I. Le rôle de Descartes est apprécié de la manière suivante par Duhamel (Des Méthodes dans les sciences de raisonnement) :

Après avoir rappelé que l'équation d'une courbe était connue, dans certains cas, par les plus anciens géomètres, Duhamel ne montre pas seulement Descartes comme le généralisateur de l'application de la science des nombres à la théorie des courbes, mais il fait voir encore que l'illustre philosophe recourait aussi dans un grand nombre de cas à l'application de la géométrie, à l'expression des nombres et à la comparaison des grandeurs. A l'appui de sa manière de concevoir le génie de Descartes avec son éclectisme, Duhamel cite un passage du Discours sur la Méthode, que nous croyons intéressant de reproduire :

« Je n'eus pas dessein, dit-il, de lâcher d'apprendre toutes ces sciences particulières qu'on nomme communément mathématiques ; et voyant qu'encore que leurs objets soient différents, elles ne laissent pas de s'accorder toutes, encore qu'elles ne considèrent autre chose que les divers rapports ou proportions qui s'y trouvent, je pensai qu'il valait mieux que j'examinasse seulement ces propositions en général, et sans les supposer que dans les sujets qui serviraient à m'en rendre la connaissance plus aisée, même aussi sans les y astreindre aucunement, afin de les pouvoir d'autant mieux appliquer à tous les autres auxquels elles conviendraient; puis, ayant pris garde que pour les connaître j'aurais quelquefois besoin de les considérer chacun en particulier et quelquefois seulement de les retenir ou de les comprendre plusieurs ensemble, je pensai que pour les considérer mieux en particulier je les devais supposer en des lignes à cause que je ne trouvais rien de plus simple, ni que je pusse plus distinctement représenter à mon imagination ni à mes sens; mais que pour les retenir ou les comprendre plusieurs ensemble, il fallait que je les expliquasse par quelques chiffres les plus courts qu'il me serait possible, et que par ce moyen j'emprunterais tout le meilleur de l'analyse géométrique et de l'algèbre, et corrigerais tous les défauts de l'une par l'autre. »