Comp. Principes, L. I, S. 1, Scholie

courbe continue. Ainsi la continuité physique nous est révélée d'abord par nos diagrammes. De là nous nous élevons à la continuité géométrique, plus tard seulement à la continuité logique. La comparaison algébrique des nombres ne donne qu'une continuité abstraite, puisque la continuité véritable tire son origine du mouvement. Les aires successives décrites par le mobile, les distances parcourues par la masse qui tombe, s'ajoutent comme des flux réguliers. L'allure des formules algébriques qui traduisent nos observations, participe de la même régularité. Mais cette propriété de calcul ne s'impose pas comme une loi de l'esprit, elle résulte d'innombrables rapprochements entre les données de Texpérience.

On comprend alors que Newton donne une forme géométrique et quasi-concrète au principe de continuité. Lorsque les conditions expérimentales varient un peu, la courbe des observations se déplacera un peu également. Si par exemple le mouvement d'un projectile dans un milieu dépourvu de résistance se fait suivant une hyperbole, il faut que dans un milieu très peu résistant, quelle que soit d'ailleurs la loi de son action, la trajectoire, dans ses parties observables, se rapproche sensiblement de rhyperbole*. De même l'aire décrite par un mobile ne variera pas d'une façon brusque lorsque la trajectoire se déforme lentement, car l'expérience ne présente nulle part de lacune observable. La continuité mathématique résulte donc non de ce que nos idées s'imposent à la nature, mais du fait que nos systèmes de signes ont dû se plier aux observations. C'est pour cela que Newton fait appel à la continuité surtout dans les problèmes graphiques. De làrimporlance qu'il attache aux quadratures géométriques; de là Tusage des interpolations, qui reproduisent la continuité réalisée dans la nature. Kn entrant dans cette voie, Newton rendait possible la création d'une Géométrie Inlinitésimale. Pour lui la continuité ne se

1. V, Principes, L. II, S. 2, Prop. X. Scholie. « Cette ligne (trajectoire dans un milieu résistant] est donc du genre hyperbolique, mais c'est une espèce d'hyperbole qui est [>lus éloignée des asymptotes vers le sommet et qui dans les parties très éloignées s'en rapproche davantage que les hyperboles dont j'ai parlé ici. Mais cependant la différence qui est entre elles n'est pas assez grande pour qu'elles ne puissent pas être prises les unes pour les autres sans inconvénient dans la pratique. Et peut-être sontelles plus utiles que les hyperboles décrites avec plus de soins et plus composées, m

conçoit pas algébriquement et a priori. La coliésion d'une figure dans ses différentes parties, coliésion accessible à nos calculs parce qu'elle est vérifiable par nos sens, est la forme vraie du continu mathématique. Si Leibniz, par des notations conventioiHielles, a favorisé considérablement Tessor du calcul intégral, les procédés graphiques de Newton ont été surtout utiles dans Tétude des courbes algébriques et dans la géométrie des infiniment petits. La méthode de Puiseux, qui est inséparable des découvertes de Riemann, a son fondement dans une construction indiquée par Newton'.

Leibniz, semble-t-il, avait saisi la différence profonde (|ui le sépare de Newton, lorsqu'il écrivait au mois d'avril 1710 à l'abbé Conti, pour revendiquer la priorité du Calcul des Di/férences vis-à-vis de la méthode de Newton qui est ceUe de la Fluxion des Lignes. La voie que j'ai suivie, dit-il, est plus analytique, tandis que celle de Newton est plus voisine des con-sidérations concrètes. Et ailleurs il reproche à Newton de Irop particulariser ses solutions en leur imposant une forme figurée, au lieu que sa propre méthode est à la fois plus simple et plus universelle^. On conçoit en effet que Leibniz, parti des notions de caraclérisli<|ue universelle et d'Analyse combinatoire pour arriver à un calcul général des idées humaines, ait trouvé modeste et particulière la méthode de Newton. Il asj)irait à donner un système complet de toutes nos perceptions, et le point de vue métaphysique se mêlait étroitement chez lui au point de vue proprement mathématique. Procédant d'une façon toute différente, Newton ne séparait pas les considérations iniinitésimales des données physiques ou cinémaliques qui

i. V. Picard. Traité d'Analyse, T. If, p. 3i8.

2. Epist. Leibnitii ad abb. Conti. p. 396-7. « Ad hune rah'uluin pervt'iii, non per linearum Fluxiones. scd per niiinrroruin differonliMs, aiiin»ad\('rlans tandem qiiod lise difforenlia» applicala^ (piaiititalihus porpehio «TcsriMitibus evancscunt relative ad quanlilatos difTeronlcs. quainpiain suporsuiil in scriebus mirneroruin. VA banc viam magis analyticain cxi^limo. Cuiii ^eoinetriciis difTerentiarum calculus, qui idem est ac calculus Kluxiomiin, sit casiis peculiaris calouli analytici DifTj'iTnlianiin in ^'ciiere, qui casd.s peruliaris commodior (it ad differonlias rvanrscL'iitt's. w

3. Lettre de Tschirnhaus à Oldenburfl. 1 scptembiv l<i70 c ... Nim nl)stanle qiiod existimem. ad quanlitatem quiiinsis ad indriitain ^cMicin :i' piipollentem reducendam, fundamt>nta adlnur dari iM siinpliciuia «M uiiivcrsaliora... » — Dans sa deuxième leUn' à 01d<'nl>iir^', Nowlon se (l«;frii(i de cette critique (Cf. Kd. Castillon. f. 33Ui.

servent à les interpréter. Les idées de temps et de vitesse, de force et d'accélération, jouent un rôle essentiel dans Tapplication de la méthode des fluxions. En faisant appel à ces idées concrètes, Newton ne croyait pas particulariser sa méthode, il pensait la ramener à ses vraies origines et à son véritable emploi. Daprcs lui, les données continues de la mécanique sont la seule source de notre idée de continuité *. Si l'on s'en tient comme Leibniz à la logique, voire môme à une Arithmétique abstraite, on pourra bien parler d'une continuité fictive, conçue a priori comme un axiome métaphysique. Tandis qu'en faisant intervenir dès le début, dans les signes et dans les règles du calcul, une interprétation tirée du mouvement des corps, on est fidèle à la fois h l'instinct mathématique qui est avant tout un instinct de mesure, et à Tinstinct physique ou mécanique, qui exige toujours la possibilité d'un contrôle.

1. C'est en partant de là que Newton a été amené à réintégrer dans la géométrie cartésienne les constructions « mécaniques » des courbes. L'équation algébrique d'une courbe ne donne qu'une idée imparfaite de sa continuité. C'est en la décrivant par un mouvement convenable qu'on mettra cette continuité en évidence. Newton, en cherchant pour les coniques des descriptions mécaniques continues, a été conduit à des méthodes originales de transformation des courbes. 11 découvrit de la sorte l'homologie et peut-être l'homographie. — V. par exemple Principes, L. I. S. 4^ Lemme XXI et Prop, XXII.

Les Pnncipes Mathématiques de la Philosophie Naliirelle contiennent toute la mécanique de Newton. C est l'ouvrage qui est aujourd'hui encore à la base de la mécanique rationnelle, et Ton peut dire que tous les progrès faits par cette science depuis deux siècles ont été accomplis dans la voie indiquée par Newton. Mais aux yeux de Newton lui-môme, ce n'était pas la dynamique seule, c'était la physique tout entière qui devait se ranger sous ses Principes Mathématiques. Les lois de l'équilibre et du mouvement ne sont pas le seul cas d application de sa méthode. L'optique, l'élasticité, l'acoustique, la théorie du frottement, celle des marées, celle des courants lluides ou visqueux peuvent se traiter par les principes du calcul aussi bien que la Cinématique ou la Statique. Ainsi la portée de l'ouvrage ^e Newton est aussi étendue que le titre l'indique. C'est bien la <c philosophie naturelle » c'est-à-dire 1 ensemble des sciences physiques, que New^ton prétend constituer. Il se peut qu'au cours de son livre il consacre plus de développements à certains cas d'un intérêt tout particulier : la gravitation universelle, la théorie des marées, les lois du mouvement des solides dans un milieu résistant, tels sont les points qui sont traités avec le plus de détail. Mais ce ne sont pas les seuls qui soient mis en lumière. Au contraire on sent partout chez Newton le juste sentiment de la portée que peuvent avoir ses propositions. Il lui arrive fréquemment de faire ressortir l'analogie d'un problème mécanique et d'un problème physique, comme par exemple du problème de trois corps et de celui des mouvements de la mer. En ce sens on peut dire avec exactitude que les Pnncipes de la Philosophie

Naturelle sont le premier traité de Physique Mathématique.

II n'y a pas d'exemple avant Newton de phénomène physique Tieltement expliqué par une théorie mathématique complète. Si nous exceptons quelques travaux de Galilée sur les machines simples^ et quelques formules d'Archimède relatives à Thydrostatique, il nest pas excessif de dire que la physique du xvn'" siècle ne possédait aucune formule rigoureuse. Sous l'influence des recherches de Descartes, mais surtout grâce aux belles expériences de Pascal, on s'acheminait lentement vers un système de déterminations numériques d'où des relations fécondes devaient sortir. Newton est le premier qui ait fait passer en pratique l'idée d'une physique démonstrative. Pour lui le Calcul infmilésimal rend possible ce qui restait chez ses prédécesseurs à l'état d'indication idéale : l'assimilation des grandeurs physiques aux grandeurs géométriques et l'application aux symboles qui représentent les premières des modes opératoires admis pour les secondes. C'est en Mécanique pure certainement que cette assimilation est le plus facile. Mais la nature n'admet point de barrière enlre la mécanique des corps solides, la déformation des milieux élastiques et la fluidité des systèmes gazeux. Pareillement l'application du calcul ne se limitera point à l'étude des corps ou des corpuscules compacts. Les procédés qui servent à donner une idée des propriétés de la matière réussissent partout. Tout ce qui dans la nature est susceptible d'apparaître comme quantité peut être réduit en exj)r«'.ssion mathématique. La Physique Mathématique, loin d'être un chapitre de la Mécanique rationnelle, la renferme tomme cas particulier.

Les Principes se présentent comme un ouvrage d'une composition entièrement mathématique, lis sont divisés en trois livri's, vi chaque livre comprend, avec des définitions et des axiomes, une série de Lemmes, de Proi)Ositions et de Corollaires se suivant d'une façon démonstrative. On reconnaît là les longues chaînes de raisons qui caractérisent la méthode /^ucli- (li(Muie et que Descartes avait imitées dans les Principes de la Philosophie. Faut-il en conclure que Newton obéisse à une

1. Surtout \o levier. le nioude, la i)oulie. (lalilee donne aussi la théorie oxacto d'un uppareil (ju'il nuiniiio « bilanciollo » vi qui est une sorte de balance ljydr(>^lati((ue.

inspiration semblable à celle qui poussait Descartes, et qu'il croie ne pouvoir présenter de vérités certaines si elles ne revêtent une forme géométrique ? L*(puvre de Newton est-elle déductive comme le système de Descartes, est-elle au contraire indépendante de la forme qui la recouvre, expérimentale <lans son essence et mathématique seulement par accident ?

Afin de répondre à cette question, il faut remarquer que la première édition des Principes date de 1687 et qu'avant cette t'poque Newton s'était déjà fait connaître comme physicien et comme expérimentateur. Son invention du télescope de réflexion cl la communication qu'il fit à la Société royale de Londres des premiers résultats sur la dispersion datent de l'année 167i2. I/une et l'autre de ces découvertes avaient soulevé d'ardentes polémiques. Malgré la sûreté de sa méthode et la prudence de sosaffirmations, Newton s'était vu entraîner dans des débats très vifs, souvent plus passionnés que précis. D'un caractère naturellement inquiet et dune sensibilité aisément irritable, New- Ion, qui était sorti vainqueur de ces luttes, en avait gardé un sentiment d'aversion dont il ne se débarrassa jamais. Les polémiques personnelles, qui pourtant ne devaient épargner ni son astronomie, ni son optique, ni son calcul des fluxions, lui semblaient horriblement pénibles. L'expérience lui avait fait voir bien vite que l'accumulation des résullals concordants nesufiit pas à persuader toujours. L'aveuglement, les préjugés, le souci des théories admises sont des causes profondes de mésintelligence que l'évidence d'une expérience délicate ne sufïit pas toujours à lever. En vain Newton répondait h ses critiques : refaites les expériences et vous serez convaincus vous aussi. Les expériences étaient refaites dans des conditions logèrement différentes, et les résultats demeuraient discordants. C'est alors que Newton, pour couper dans la racine toute possibilité de dispute stérile, se décida, mais se décida malgré lui, à revêtir désormais toutes ses publications d'une forme strictement mathématique. Les Principes^ dès la première édition, furent écrits sur le modèle d'Euclide. L Optique^ dans ses éditions successives* devient de plus en plus géométrique. De cette façon Newton se donnait 1 avantage d'élimitcr à priori toutes

Blocu. U

les objections vagues portant sur des points de détail pour ne laisser place qu*à une critique serrée des arguments et des calculs.

Ce serait pourtant une erreur de croire que la forme mathématique semblât à Newton la meilleure en soi. S'il avait pu s'en dispenser, il est vraisemblable qu'il Teilt fait, comme on en peut juger par la fréquence et la longueur de ses Scholies. Les Scholies des Principes sont comme des points d'arrêt dans la suite des déductions mathématiques. L'auteur, las de rester sur le terrain de l'abstraction, y passe à la pratique en donnant soit des exemples, soit des analogies qui illustrent sa pensée. , Parfois môme il est montré dans les Scholies par quelle voie historique Newton s'est élevé à telle ou telle proposition, que la nécessité d'un enchaînement parfait l'a obligé d'exposer à son rang logique. D'autres fois il met en lumière les relations qui existent entre le théorème général qu'on vient de démontrer et certains cas particuliers où il a été établi précédemment. * Enfin il arrive que Newton consacre des Scholies à une justification de son mode de calcul et de sa terminologie mathématique. ^ De toutes laçons on peut dire que les Scholies renferment une bonne part de la physique de Newton et qu'on y trouve les vues les plus hardies de sa Mécanique céleste.

Dans VOptiqtie de 170'f les Scholies ne sufïisent plus. Newton se voit obligé d'intercaler dans la série de ses théorèmes des w Expériences » (expérimenta) qui sont les prémisses nécessaires dos arguments suivants. On voit que les goûts de Newton l'auraient porté de préférence vers un mode d'exposition qui fût plus souple et plus accessible. S'il a choisi l'appareil mathématique, ce n'est point par scrupule de rigueur, ou parce qu'il croyait impossible de trouver ailleurs une explication satisfaisante. L'esprit du physicien était trop développé chez lui pour qu'il plaçât la clarté sensible au-dessous de la précision géométrique.

Descartes, comme Spinoza, attachait aux démonstrations mathématiques une vertu particulière. 11 est impossible d'arri-

1. V. par exemple les Scholies des Probl. IV et V (Prop. IV et X) du L. I.

:2. C'est le cas du iScholie du L. I, sur la méthode dos premières et dernières raisons, p. 46 sqq.

ver, pcnsait-t-il, à une intuition vraiment infaillible, si l'on ne soumet pas la raison humaine à une discipline syllogisliquc et à un formalisme mental, il existe une méthode et une seule de se représenter les choses dans l'ordre où elles existent, c'est de les rattacher les unes aux autres par une nécessité géométrique. De là les démonstrations de la métaphysique cartésienne et les théorèmes célèbres de l Éthique. Newton est loin de ces arrière-pensées. Pour lui, comme nous allons le voir, la nature est un ensemble complexe qu'on peut aborder de différents côtés. 11 n'existe pas une déduction et une seule qui permette de construire l'univers. Le rôle des mathématiques n'est pas un rôle créateur. Elles doivent se contenter d'enregistrer d'une manière commode des correspondances qui échapperaient autrement. Leur rôle n*est vraiment essentiel que lorsqu'il s'agit de faire état d'une donnée pour en découvir d'autres par Texpérience. Là elles permettent de ramener une recherclie à ce qu'elle comporte d'indispensable et suppriment les intermédiaires. Si par exemple je veux démontrer que les planètes s'attirent en raison inverse du carré de leurs distances, le calcul apprend qu'il reviendra au même d'observer à l'aide du télescope si elles se meuvent sur des trajectoires elliptiques. Le calcul sert donc de passage entre le fait observé et la conclusion permise. Cette conclusion pourrait peut-être s'obtenir directement parla voie expérimentale. Mais si Ton veut éviter les objections stériles, il vaut mieux procéder par voie indirecte et substituer les mathématiques à l'expérience. La géométrie n'est pas une lîn que l'expérimentateur propose à ses reclierches, une expression définitive donnant prise sur la vérité absolue. C'est un moyen de persuader les incrédules par un langage plus clair que les faits.

Il est impossible de lire le début des Pnncipes sans être frappé de la gène qu'éprouve Newton à poser ses Définitions et ses Axiomes. Ce n'est pas qu'il s'agisse d'idées confuses. Newton n'énonce que des Définitions nettes et ses Axiomes n'ont rien d'arbitraire. Mais l'ordre systématique où il les range a quelque chose de factice. On sent que les notions primordiales* mises par lui à la base des sciences physiques ne pou vont

i. Principes, Ed. Caslillon, L. I, p. 1-16.

s'établir déductivcment et qu'en môme temps elles sont incompréhensibles sans les Lois énoncées un peu plus loin K Si Tordre et la connexion des choses étaient les mêmes qiie l'ordre et la connexion de nos idées, les définitions de Newton ne seraient pas acceptables, parce qu'elles ne forment pas une série linéaire. La définition de la force, celle du mouvement, celle de l'espace sont solidaires Tune de l'autre et il est impossible de dire laquelle des trois donne logiquement naissanceaux deux autres. De même, le principe d'inertie, le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, le principe de Newton, sont inséparables les uns des autres. Ils servent à comprendre les définitions précédentes en même temps qu'ils se justifient par elles. Ainsi il faut admettre dès l'abord que la suite réelle des idées n'est pas rendue exactement par Tordre mathématique dont se sert Newton. La liaison véritable des concepts est ici une dépendance mutuelle. Toutes les notions qu'on rencontre au début des Principes forment un système, mais la valeur de ce système ne vient pas de ce qu'il oITre une apparence déductive, elle vient de ce qu'il forme un groupe coordonné dont les éléments se conditionnent les uns les autres. Montrons d'abord le nMe qu'assignait Newton aux Définitions mécaniques analogues aux Définitions de la géométrie euclidienne. De là nous |)asserons aux Axiomes ou Lois du mouvement, ([ui éclaire iront en retour les définitions posées.

Il est nécessaire de mettre à la base de la Physique' Mathémati(jue des définitions rigoureuses. Cela résulte du programme» même que N(*wton s'est tracé. L'esprit de sa méthode est facile à saisir dès le début des Principes et déjà dans la préface écrite par Newton en 1686. « Toute la difficulté de la Philosophie, (lit-il, paraît consister à trouver les forces qu'emploie la nature par les phénomènes de mouvement que nous connaissons, (4 à démontrer parla ensuite les autres phénomènes, (l'est l'objet qu'on a en vue dans les propositions générales <lu T'" et du H* livre, et on en donne un exemple dans le IIP, en expli(|uant le système de l'univers. Car on y détermine par les propositions mathématiques démontrées dans les deux pn^niers livres les forces avec lesquelles les corps tendent vers le soleil et les

\. Ibid. p. 17 sqq.

planètes. Après quoi, à Taide des mêmes propositions mathématiques, on déduit de ces forces les mouvements des planètes, des comètes, de la lune et de la mer^ ».

La méthode de Newton va donc être mixte. Il esl loin de croire qu'un procédé synthétique, analogue i\ celui de la physique cartésienne, suflise à constituer toute la sci(»nce. Une pareille conception pouvait se justifier à l'époque d'Aristole où le monde réel était divisé en genres correspondant aux catégories de notre esprit. Alors on peut comprendre qu'un petit nombre de définitions absolues contiennent en puissance tout le savoir humain. 11 sulïira d'appliquer une logique rigoureuse à la classification des formes pour faire la synthèse du réel.

Déjà Descartes est moins excusable d'avoir voulu constituer une hiérarchie de phénomènes sur le seul fondement de quelques définitions premières. Il devait comprendre que la variété de la nature dépasse de beaucoup la sphère de nos prévisions et qu'à aucun moment nous ne pouvons prétondre à un système de définitions assez vaste pour embrasser tout le possible. Les découvertes physiques, géométriques, astronomiques, presque contemporaines des écrits de Descartes et pourtant incompatibles avec eux sont une preuve que le cadre de ses Principes était trop étroit. Les notions de « mouvement », de « choc », de «quantité d^action », qui sont à la base des Météores devaient céder la place aux idées nouvelles de force vive, d'inertie et de travail. Celles-ci à leur tour se modifieront bientôt, et Newton bien qu'il en fasse usage, ne leur attribue pas une valeur absolue.

Pour lui, la partie synthétique de la science, celle qui déduit des définitions admises la suite des vérités qu'elles renferment, n'est ni la seule, ni la plus importante. Elle doit toujours être précédée de recherches analytiques, qui aboutissent justement aux définitions. Prenons par exemple la notion de moment, telle qu'elle intervient au début de la théorie de l'équilibre des corps solides. Celte notion ne doit pas être envisagée» à la manière cartésienne comme une définition légitime en .soi, parce qu'elle est claire et distincte, et applicable aux choses parce qu*elle est a priori. Ceci ne saurait expliquer ni pourquoi