La philosophie de Newton

Descaries avait cru fermement à la nécessité d'une mélhode tinique. Pour lui c'était une marque suftisante de la faiblesse des sciences de son temps, que la diversité de leurs procédés.

La logique pure, l'analyse des anciens, l'algèbre des modernes, sont trois branches de la science véritable, mais aucune d'elles isolément ne peut la suppléer. La logique nous frappe par sa rigueur, l'algèbre par son étendue, l'analyse par sa fécondité. Réunissons en un faisceau unique les ressources dont disposent ces trois sciences. Alors seulement nous parviendrons à l'Algèbre parfaite, qui est aussi la vraie logique. Mais si l'unité de méthode n'est pas acquise avant l'emploi du calcul, il n'est géométrie qui ne soit trompeuse ni déduction

qui ne devienne illusoire. C'est précisément parce que Descartes voit dans la géomélrie analytique le seul type de science parvenue à l'unité, qu'il prétend y trouver le modèle de toute pensée déductive.

Entre la mort de Descartes et le moment où Newton public» son Arilhmélique universelle, les mathématiques ont progressé dans des voies multiples. L'algèbre n'est plus cultivée seule. L'étude des nombres a été reprise par Newton, telle à peu près que Fermât lavait laissée, pendant que Leibniz fait voir, par ses travaux sur les séries infinies, que les développements numériques peuvent seuls mener à l'analyse des courbes. De la sorte ridée cartésienne que l'algèbre api)liquée à la géométrie, où, comme nous disons depuis, la géométrie analytique, est la méthode» unique de démonstration, reçoit un démenti. L'arilh-

métiquo, que Descartes avait reléguée au rang d'application particulière, est de nouveau rendue indépendante de l'algèbre, et, à certains égards, plus utile qu'elle.

Il est des notions, comme celle du nombre entier, que l'algèbre n'arrive ni à discuter, ni même à exprimer. Bien plus, il est vraisemblable que les progrès de l'arithmétique, particulièrement en ce qui concerne la théorie des nombres premiers, loin de nous mener uniformément à l'algèbre, nous conduiront de plus en plus à faire un départ entre nos notions, les unes proprement algébriques, se ramenant aux symboles des opérations, les autres de nature vraiment arithmétique, et nécessitant un mode de raisonnement distinct du mécanisme littéral. Newton a pressenti cette distinction, et on sait comme les récents progrès de la théorie des nombres ont confirmé sur ce point les vues de Newton ^

Aussi bien ce que nous venons de dire de l'Arithmétique peut s'appliquer avec autant d'exactitude à toutes les branches des mathématiques. Làoù Descartes, épris d'unité, et séduit par l'attrait de ses propres découvertes, voulait tout rédnire à l'algèbre. Newton, plus prudent, et plus instruit peut-être de l'évolution rapide des méthodes, se contente de voir des procédés connexes et qui convergent indépendamment. 11 ne lui déplaît pas d'avoir à sa disposition, dans les cas difficiles, plus d'un moyen, et si l'algèbre, par la docilité de son mécanisme, est généralement celui qui s'indique davantage, l'arithmétique, surtout pour le raisonnement concret, est souvent plus profonde et parfois seule utile. Dans bien des cas où l'algèbre mène péniblement au but, l'homme d'intuition verra d'un coup d'œil la solution arithmétique-. Et comme souvent l'algèbre elle aussi a besoin d'intuition, on peut dire que « l'Arithmétique est indispensable à l'Algèbre, et que leur réunion seule forme la science complète du calcul ».

1. Voy. par exemple les Leçons sur la Théorie des Ensembles de M. Emile horel. On doit raUacher également à l'Arithméticiue i)ure la plupart des travaux sur les notions de i)uissance et de nombre transiini.

2. " Parmi ces problèmes il en est quelques-uns que j'ai résolus sans le secours de l'algèbre ; et j"ai voulu faire rdmprendre par Ui (|ue ceUe question qui parait dillicile au ])rciiiicr i-(jup d'o'il. n'a pourtant pas toujours besoin d'algèbre pour être résolue. » — (Aritli. Univ., j). 251). — Les citations sont laites d'après la traduction Noël Beaudeux, Paris. 4802.

L'ARITHMETIQUE ET L'ALGEBRE 3

Quelle est donc la différence essentielle qui sépare l'Algèbre de l'Arithmétique, et nous autorise à faire de cette dernière une science originale ?

Si tous les problèmes étaient susceptibles de mise en équation, c'est-à-dire si, désignant l'inconnue par une lettre analogue àcellesqui marquent les quantités connues, il nous était toujours loisible de la faire entrer dans nos formules à seule tin de l'en dégager ensuite, l'Algèbre, par sa généralité, aurait place partout. Mais les ciioses se passent autrement. Comme Newton l'observe, il est tout un ordre de questions, et ce sont les questions arithmétiques, oùiln'y a qu'une marche possible, celle qui va du connu à l'inconnu. En vain nous supposerions connu le nombre à découvrir ; nous pourrons bien poser les identités auxquelles il doit satisfaire, mais la discussion de ces identités n'avancera pas le problème. Je suppose qu'on me demande de déterminer, s'il est possible, un entier x tel que ax soit congru à h suivant le module n ; je pourrai bien poser la relation qui exprime l'ensemble des données

ax — b ^ 0 (mod. n.)

Mais tandis que l'équation algébrique

ax — b =: 0.

fournit tout de suite la formule de résolution

ici le cas est différent ; l'existence d'une solution est incertaine, et, s'il en existe une ', il n'y a pas de formule qui la détermine : c'est seulement par voie synthétique que le nombre x peut se trouver, et encore sa recherche complète nécessite-t-elle une série d'essais.

Ainsi le signe distinctif des questions d'Algèbre, c'est qu'elles peuvent toujours, sinon se résoudre, du moins se mettre en équation, tandis que l'Arithmétique, réduite à l'emploi de la seule synthèse, est quelquefois parfaitement topique, mais parfois aussi pleinement im])uissante. Il est donc juste de dire,

\. Il siiClit fiuo a .soit ineinior avec /(. <tn sait (lu'il y a alors une iiilinité de solutions.

comme le pensait Descaries, que l'application de l'algèbre est plus vaste que celle de l'aritlimétique, mais en même temps il faut reconnaître que lalg-èbre laisse en dehors d'elle toutes les questions, cependant fort nombreuses, qui sont rebelles à la mise en équation.

L'illusion de Descartes en faveur de l'algèbre s'explique aisément. A vrai dire, sa grande invention, l'artifice qui lui a permis d'étendre à l'infini le domaine du calcul, c'est l'emploi général qu'il fait de la méthode des coefficients indéterminés. Descartes le premier a bien vu qu'il suffit de donner un nom aux- quantités encore inconnues (indéterminées) et d'exprimer algébriquement les relations qui les unissent aux données, pour obtenir, par l'identification des termes semblables, toutes les équations qui résument le problème. Comme les équations obtenues sont généralement simples, Descartes avait pu croire qu'une algèbre rigoureuse pourrait toujours en tirer la solution. Nous verrons plus tard comment Newton, revenant à ces équations composées que Descartes avait abordées à peine, fit voir que bien souvent leur résolution pratique est impossible, et inventa pour y remédier les méthodes d'approximation qui portent son nom. On pouvait dire dès lors quil n'y a pas de question algébrique qui ne soit résoluble, au moins d'une façon aussi approchée qu'on le désire ; en arilhmélique au contraire nous ne pouvons approcher de la solution sans l'obtenir tout entière. Souvent nous manquons de ressources, et là où l'algèbre fournit pour le moins des équations exactes, il arrive que l'arithmétique ne puisse absolument rien donner. C'est là le secret des difficultés que l'arithmétique, même de nos jours, a rencontrées dans l'étude des nombres premiers ; c'est aussi rexj)lication des rapides progrès de l'algèbre dans les matières qui y semblaient les plus rebelles. C'est sans contredit à Descartes et à sa méthode des coefficients indéterminés qu'il faut rapi)orter le mérite de ces progrès. « Que ne doit pas la Géométrie à son ingénieux artifice des indéterminées ? » dit le mathématicien Beaudeux dans son discours préliminaire à l'Arithmétique de Newton. On comprend que, séduit par la puissance de cette méthode, grâce à laquelle « on résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution par laritlimélique seule », Descartes ait songé à y ramener

L'ARITHMETIQUE ET L'ALGEBRE o

toutes les malhématiques. Nous venons de voir que Newton, moins ébloui des cas où l'algèbre réussit que soucieux de ceux où elle échoue, s'occupe d'abord de lui adjoindre l'arithmétique proprement dite. Il nous iaut montrer comment, de ces deux sciences connexes, il fait son Arilhméiique universelle.

La première chose qui frappe à la lecture de l'ouvrage de Newton, est l'absence voulue d'esprit systématique. Nous entendons par là que nulle part Newton n'a le souci de tout ramener à une « longue chaîne de raisons » permettant de déduire sans lacune de quelques théorèmes primitifs la suite des propositions secondaires. On sait le prix qu'attachait Descartes à cet enchaînement synthétique de toutes les vérités. Dans les Règles pour la direction de l'Esprit, comme plus tard dans les Méditations, il insiste sur ce point qu'une proposition n'est acquise que du moment où nous en voyons le lien avec toutes celles qui la précèdent. Un théorème, même important, n'a nulle valeur, s'il demeure isolé. Sa force réside en ce qu'il repose sur tous ceux qui viennent avant lui; c'est pourquoi la nouveauté qu'il apporte ne peut apparaître en pleine lumière si on ne la voit pas au jour des déductions déjà assurées.

Une telle conception était naturelle chez un métaphysicien doctrinaire, qui voyait d'emblée la science dans toute son unité, et attachait peut-être plus de prix à la place qu'occupe une notion dans le système de nos connaissances qu'à la notion elle-même. A coup sur, pour la stricte raison, il n'y a pas de science là où manque la cohésion, c'est-à-dire là où l'esprit ne peut passer d'un terme à l'autre sans secours extérieur.

Le souci de la déduction linéaire n'est pas poussé à ce point chez Newton. Ce n'est pas à dire que lui aussi ne tienne à construire des ensembles corrects, et à rattacher toutes les propositions les unes aux autres. Mais, débarrassé d'arrière-pensées métaphysiques, préoccupé bien davantage d'aboutir à des règles pratiques, il s'efforce de justifier ses formules par l'exemple plutôt que par la logique, d'habituer l'esprit à l'exercice d'artifices multiples, plutôt que de lui faire voir au fond de toutes les méthodes un seul et môme procédé. S'il n'y avait là qu'une négligence, un moyen commode d'abréger les choses, on pourrait se permettre de voir chez Newton un certain défaut de rigueur. Mais c'est volontairement que Newton omet un

grand nombre de démonstrations, pensant rendre par là les énoncés qu'il donne plus intuitifs et plus utiles. C'est de parti pris qu'il néglige même « de démontrer les méthodes dont il est fait usage, parce qu'elles paraissent assez faciles et que leur démonstration aurait souvetit entraîné beaucoup de longueurs' ». La raison qu'il en donne, c'est que dans l'étude des sciences, « les exemples sont bien plus utiles que les préceptes- ». Assurément c'est une satisfaction pour l'esprit d'apercevoir comme dans une traînée lumineuse l'ensemble des théorèmes de la géométrie depuis le premier jusqu'au huitième livre d'Euclide ; et pour obtenir partout l'évidence et et I intuition, il faudra passer par la dure discipline que Descartes nous impose dans les Regulse. Mais ce long travail d'éducation par lequel la philosophie cartésienne essayait de supplanter la mémoire, cette habitude de pensée méthodique à laquelle chacun peut arriver par la seule raison, ce ne sont plus là pour Newton les premières exigences de la science. Il faut sacrifier tout, même la méthode, aux nécessités du succès.

Descartes voulait avant tout que chacune de nos connaissances fût reliée aux autres ; c'est un besoin de logique et de construction qui le pousse vers la méthode ; cette méthode existe, et elle est accessible, car tout rentre sous le domaine du « bon sens ». Les idées de Newton sont inspirées d'un désir différent. Ce qu'il faut avant tout, c'est être armé devant une difliculté qui se présente; la solution des problèmes importe plus encore que la rigueur des démonstrations ; à l'évidence purement rationnelle qui seule satisfait l'esprit cartésien, Newton, poussé surtout par un besoin pratique, substitue une évidence moins nette, mais plus rapide. Savoir résoudre un cas donné, par une méthode ou par une autre, voilà ce que doit nous apprendre la science du calcul ; son étude sera par suite d autant mieux menée qu'elle sera plus suggestive, et si la liaison des différentes parties de la science ne nous apparaît ])as toujours nettement, les garanties que donne la pratique ])euvent y suppléer. On voit que, pour Newton, il existe dans les mathématiques mémo une part de sentiment. Sans cesse

^. Arilh. Univ., p. 52.