Arilh. l'n'tv.. p

la construction graphique. C'est elle en dernière analyse qui doit nous fournir le point cherché, et il ne nous sert de rien de connaître le degré des lignes qui donnent une intersection, si le tracé de ces lignes est trop difficile pour que l'intersection soit délerminable ^ Voilà pourquoi les anciens, sans souci du de^ré, ont eu raison de mettre' sur le même rang la droite et le cercle, comme étant également faciles à décrire. Voilà pourquoi Newton, soccupant avant toutes choses delà « simplicité de description » emploie des courbes simples, quoique transcendantes, pour résoudre les problèmes du troisième degré. Est-ce à dire que ces problèmes ne pourraient s'aborder systématiquement au moyen des courbes du second ordre ? Descartes pensait que si, et théoriquement il avait raison ^ Mais l'esprit de Newton ne peut se satisfaire d'une construction qui n'est que rigoureuse. La seule rigueur n'éclaire pas l'esprit, lorsqu'elle nous éloigne de la pratique, et de la vraie simplicité.

C'est à cause de ce double goût de la pratique et de la simplicité que Newton a donné à son traité d'algèbre le titre (ï Arithmélique universelle. Par là il voulait d'abord faire voir que la méthode mathématique est proche du « bon sens », que l'Arithmétique et la Géométrie doivent aller de pair avec l'Algèbre. Au systématisme cartésien, qui prétendait appliquer partout la seule analyse, il essaye de substituer un ensemble de procédés variés, mais concourants. Ensuite il prétendait montrer que le sentiment de ce qu'est une fonction, plus peutêtre que le maniement des formules, est essentiel à la géométrie analytique. Un mécanisme purement abstrait ne peut donner aucune solution utile, s'il ne s'inspire du besoin de la

\. Curvarum usus in geometria est ut per earum iiitersectiones problemata solvantur. » — Enum Lin. Test. Onlinis, § VH, éd. Castillon, p. 267.

2. Le mathématicien Beaudeux, dans une note ajoutée à l'Arithmétique de Newton, essaye de répondre aux objections de ce dernier, et de résoudre les pro])lémes du 3= et du 4° degré au moyen d'une parabole donnée et d'un cercle. Tout en reconnaissant que la parabole, môme limitée à une petite région du plan, est d'un tracé plus difficile que la conchoïde de Nicomède, il prétend pouvoir pourtant en faire usage, car « puisfpie la même parabole peut servir à la construction de toutes les équations du 3" et du 4" degré, il est clair qu'alors on peut bien prendre la peine de la traiter avec exactitude. » {Arith. Univ., p. 173, en note).

Cette méthode, qui se trouve déjà dans Descartes, est également indiquée par Newton, dans son Avilit,. Univ., p. 100.

L'ARITHMETIQUE ET LALGEBRE 3t

mosure et des notions que suggère l'expérience. Enfin, dans l'Algèbre elle-même, la simplicité à laquelle on aspire ne doit pas se concevoir indépendamment de la pratique. Si une solution est utilisable, fùt-elle irrationnelle ou transcendante, elle est simple dans le vrai sens du mot. Sur ce point Newton s'oppose à l'école matbématique cartésienne, bien qu'à d'autres ésfards il en soit l'héritier direct. Ses Q,oùts d'observateur et de physicien le rapprochent davantage de lluyghens, qu'il cite toujours comme un modèle de finesse et de lucidité. Les anciens mêmes, malgré l'imperlcction de leur analyse, avaient eu mieux que Desrartes, le sentiment de l'usage vrai du calcul. « Si nous possédions tout ce qu'ils ont écrit, dil Newtoa quelque part, sans doute qu'il ne resterait aux modernes riend'utile à découvrir ». Cela tient à ce qu'ils ont toujours su proportionner leurs méthodes à la nature des problèmes qui se l)Osaient à eux. Après avoir longtemps sacrifié l'utilité à la seule élégance, ils se sont décidément tournés vers le côté ])ratique, cherchant, dans des constructions aisées, la solution des problèmes difticiles. C'est aussi la tendance de Newton. L'Arithmétique et l'Algèbre ne sont que l'expression précise du bon sens. Nous allons voir que l'Analyse proprement dite et le calcul infinitésimal s'acquittent, dans un autre domaine, d'une fonction analogue.

C'est un fait général dans l'histoire des idées que l'influence exercée par les sciences exactes sur les progrès de la philosophie. Une telle irîfluence n'a pu être douteuse que dans les siècles de mysticisme oa aux époques de bouleversement moral qui ont signalé les crises de l'histoire. Il est clair que le moyen âge, aveuglé par la foi, les contemporains d'Epicure ou de Zenon, désireux surtout de sérénité morale, les poètes-philosophes d'Alexandrie, attendant dun amour divin toute paix intellectuelle, devaient ailleurs que dans la science chercher d'obscures inspirations. Et encore ne faudrait-il ici affirmer qu'avec réserve. Le labeur scientifique du moyen âge a été plus grand quon ne dit généralement^ et son influence sur la philosophie scolastique s'est montrée directe et profonde. Epicure ou Lucrèce, tout en méprisant la science, s'en servent à •chaque instant, et l'on peut dire que leur morale môme est remplie de physique et de mathématiques. En tous cas, de Platon Jusqu'à Kant, chaque système rationnel de philosophie s'est vu accompagné d'un système scientifique nouveau, comme aussi chaque progrès dans les sciences a entraîné une modification •dans la vue d'ensemble qu'on se faisait de l'univers.

Il est une remarque qu'il faut ajouter. Si les sciences ont dû quelque chose aux progrès de l'esprit philosophique, c'est presque toujours dans leur partie concrète ou appliquée. Les idées toutes formelles d'Aristote sur la matière et l'être ont mar- <[\iè d'une profonde empreinte - les premières recherches sur la

L Cf. par exemple Canlor, Gesch. d. Malhem, t. II. 2. Voy. Lange, Ilist. du Matérialisme , V. I.

physique. Démocrite, par sa théorie du monde autant que par ses essais d'expériences, a été, comme Ta fait voir M. Berthelot, le véritable initiateur de la chimie. L'école néo-académicienne et l'école sceptique ont introduit l'esprit critique en médecine. Les préceptes logiques de "Bacon ont servi de rèo-le aux sciences expérimentales.

Au contraire, si nous nous demandons quelles sciences ont aidé le plus au développement des idées philosophiques, nous verrons que, toujours et partout, ce furent les sciences mathématiques. L'arithmétique de Pythagore a donné aux anciens la première notion de l'harmonie naturelle. La géométrie était pour Platon le passage nécessaire de l'erreur à la sagesse. Les progrès de l'algèbre ont amené Descartes à la recherche d'une méthode philosophique possédant à la fois la clarté et la rigueur. Spinoza, Leibniz, Kant ont tiré de leurs idées sur l'étendue les véritables prémisses de leurs systèmes. Il semble ([u'il y ait là une loi générale, d'après laquelle les idées de rapports sont les plus propres à servir de base aux autres. La manière dont nous concevons la grandeur, la continuité, les relations de figure, la réalité que nous donnons à nos expressions et à nos formules, déterminent le fond même de nos idées. Le sens des conceptions les plus simples varie selon le cadre où nous les plaçons, et le système qui semblait évident au disciple d'Aristote parce qu'il croyait vivre au centre d'une sphère linie, semblera impossible au philosophe moderne, par cela seul que la géométrie Ta rendu familieravec la notion d'étendue sans limites.

L'invention du Calcul Inlinitésimal, qui a rendu possible la théorie des fonctions, est une de ces découvertes mathématiques dont le contre-coup était inévitable sur la marche des idées. Si l'on considère la philosophie de Descartes, dont l'auteur croyaità coup sùrqu'elle répondraitpendantlongtemps à toutes les exigences de l'esprit moderne, et si l'on se demande pourquoi, trente ans après la mort de Descartes, son système n'avait plus d'adhérents que parmi les obstinés ou les retardataires, on est obligé d'admettre l'explication que lournit l'histoire : la méthode de Descartes, entièrement inspirée de ses découvertes mathématiciues, avait été un instrument utile tant que ces découvertes ne lurent pas dépassées. Sa géométrie, et surtout son iii.ocii. 3

algî'bre, sa manière de discuter les équations, de classer les courbes, de construire graphiquement les problèmes, étaient autant d'innovations dont on ne saurait nier l'importance et qui, avec les travaux de Fermât, ont fait progresser les mathématiques plus que des siècles n'avaient fait. Descartes avait donc eu raison lorsqu'il s'en était inspiré pour trouver une méthode universelle. Sa philosophie, ayant la même certitude que celle dont la géométrie se pique, et profilant à sa façon du progrès immense accompli par cette science, était naturellement faite pour donner confiance. Il était difficile de croire qu'après une réforme si importante ne vînt pas une période d'évolution paisible, où la philosophie d'une part, les mathématiques de l'autre, se développeraient spontanément dans le sens marqué par Descartes.

C'est cependant le contraire qui eut lieu. Les mathématiques, orientées par Fermât et Descartes, venaient de recevoir une impulsion qui devait aller en s'accélérant. Comme Descartes avait cru trouver dans l'algèbre l'instrument tout-puissant de la raison, les précurseurs de Newton et de Leibniz, tentèrent de chercher dans un symbolisme nouveau le moyen d'aborder des problèmes imprévus. C'est par la physique que commencèrent à se faire jour les lacunes de la théorie cartésienne ; ce sont aussi les hypothèses physiques de Descartes qui amenèrent d'abord la refonte de sa géométrie. Le but essentiel du cartésianisme avait été de rendre les mathématiques immédiatement applicables à la réalité, telle du moins que le concevait l'esprit constructif du maître. On peut dire que le môme but est celui de Newton, puis de son école. Mais l'esprit d'observation propre à celle-ci l'obligea voir la réalité dune laçon moins simple et moins schématique. Les relations numériques entre les objets, c'est-à-dire l'algèbre proprement dite, ne représentent que l'aspect momentané des choses, l'ordre universel tel que le conçoit l'intuition cartésienne. Les lois du changement et du mouvement ne peuvent s'élucider par l'Algèbre toute seule. La continuité qui y préside a besoin d'une expression spéciale, et c'est la Géométrie Infinitésimale qui va la fournir'.

1. « C'est l'étude scientifique des pliénomènes naturels qui avait guidé Newton et Leibniz, comme leurs prédécesseurs, jusqu'à leurs découvertes

L'idée dune « Géométrie des Infinis » n'était pas absolument nouvelle. Sans remonter aux premiers aperçus que nous ont laissés les anciens eux-mêmes, on sait que dès le xiv« siècle, les géomètres s'étaient préoccupés de l'idée de limite. Campanus^ et Thomas de Bredwardin- avaient, semble-t-il, rencontré il'insurmontables difticultés à définir l'angle suivant lequel une droite coupe une courbe, principalement au cas où la droite est mobile et tend, à la limite, vers l'une quelconque des tangentes ù la courbe. Celte difficulté ne fut surmontée que deux siècles plus tard par les travau.xde Cardan. Dans son Opus nomim de pvoporlionibus, publié àBàle en 1570, on trouve la définition rigoureuse delanglede contact ou de contingence. C'est l'angle que forme une courbe avec sa tangente regardée comme limite de sécantes infiniment voisines. Une telle notion avait été suggérée à Cardan par l'étude de l'intersection des courbes. Si nous convenons demesurer l'angle de deux courbes par l'angle des tangentes au point commun, il estclair qu'entre deuxcercles par exemple, nous pourrons en insérer une infinité d'autres se coupant sous des angles de plus en plus petits :ilsuflira de diviser en un nombre croissant de parties égales l'angle des tangentes pi'imilivcset de considérerles droites de division comme les tangentes à des cercles nouveaux. Nous obtenons de la sorte des angles « indivisibles », c'est-à-dire infiniment petits, dont la somme reproduit l'angle donné. Mais que devient la construction si les deux cercles sont déjà tangents? Est-il possible de mener entre un cercle et sa tangente un autre cercle faisant avec la tangente un angle moindre que le premier? Cardan répond très liardiment que tous les cercles intercalés entre un cercle donné et sa tangente forment, aussi bien avec la courbe qu'avec la droite des angles égaux. Ces angles ne sont pas de grandeur finie, ce sont les « indivisibles » de tout à l'Iiciire. Et si l'on demande comment il est possible qu'un angle évanouissant (celui de la sécante et de la tangente) demeure supérieur

(Icliiiiliv es : une fois aciinises les dcii.x nolions (rinlcL,M';ilc cl di- (litYcrctitirlli-, c'est encore rcliaic do la iialurc (|iii devait en diriici'i' les |»renuères applicaliDiis. » — i'ainie\é, le l'ru/ili'ine moderne de 1' iii/(';/rnliou îles éi/iuilions di If érentielles {Ihdl. des Se. Mul/i.. T. X.WIll. |>. r.l3).

1. Jean Cain|)aniis de Novare, chapelain du jiape rri)ain IV de 1201 ii 1281

£. l'iociiraleur de l'Université d'Oxford vers I32i>.

à un angle fixe (celui de la tangente et du cercle), nous dirons que ce dernier, pris à larigueur, est exactement nul. Aussi bien ce qui nous intéresse n'est pas son évaluation directe, c'est la manière dont on s'en rapproche. Lorsque la sécante tend à se confondre avec la tangente, l'angle de ces deux droites tend lui aussi vers zéro, ce qui n'empêche que la variation plus ou moins rapide de l'angle de contingence, c'èst-à-dire d'une quantité constamment mobile, peut donner l'idée d'une propriété fixe de la courbe, savoir de sa courbure^. Cardan, pais Pelelier, partirent de là pour construire les tangentes et les normales aux courbes.

Vers la fin du xvi'' siècle et au commencement du xvii^ siècle des considérations dun ordre tout différent amenèrent les mathématiciens à la nécessité d'une géométrie infinitésimale. Les sciences physiques et astronomiques se voyaient arrêtées dans leur développement par l'absence de moyens analytiques propres à mener à bout leurs calculs. La découverte du théorème des aires, dont les applications devaient être si fécondes, posa tout de suite le problème des quadratures planes. L'étude des solides planétaires, des volumes de révolution, dont l'astronomie faisait si souvent usage, obligeait à l'emploi de cubatures dont Archimède n'avait pu donner la méthode. De là les célèbres recherches tentées par Kepler et Guldin' en vue de mesurer les solides par des méthodes analogues à celles dont Archimèdes'était servi pourévaluer les aires. C'est dans sdiStereoniplria Doliorum que Kepler a donné l'essentiel de ses artifices avec quelques exemples importants (quadrature du cercle, cubature du tore, volumes des solides ayant la forme « d'une poire, d'un citron, d'une olive^* »). Il est douteux que Kepler ait possédé une méthode infinitésimale véritable, et l'on peut supposer que dans bien des cas il avait appliqué à la géométrie

1. « Cum ergo circuli curvilas maneat, ot anguliis tendat in punclum I)eri)eLua diminutione, necesse est ut curvilas circuli imiu-diat dlvisionem recte. » — Opus Novum de Pi'oportionibuis, L. XVI, De subtilitate.

2. Paul Guldin (1577-1643), né à Saint-Gall, débuta comme orfèvre, puis entra dans l'ordre des Jésuites (la97). 11 enseigna à Rome, à Vienne et à Graz. C'est dans l'ouvrage en 4 volumes intitulé Cenlrabari/ca (163ô-16il) qu'il énon(,-a la fameuse « règle de Guldin » destinée à ramener aux quadratures les cubatures de révolution.

3. Voy. Opem Kepleri, Ed. Frisch, T. IV, p, 551-G46, et Cbaslcs, Aperçu llisiorifjue, p. 56.

un procédé de tâtonnement et d'approximation semblable à celui qu'il employait en astronomie. On sait que les lois portant son nom ont été le fruit d'inductions laborieuses, fondées sur l'accumulation des expériences. Il semble admissible qu'un tel observateur, plus soucieux de vérification que de démonstration, ait cberché à essayer des formules dont l'expérience lui fournissait le contrôle. Il ne prétendait pas, de son propre aveu, être « apodictique », et il a énoncé parfois des tbéorèmes inexacts en invitant d'autres à en chercher la démonstration. Ce ([u'il faut reconnaître chez Kepler, ce n'est donc pas un pressentiment exact du calcul infinitésimal, c'est plutôt un ensemble d'intuitions heureuses, qui ne tarderont pas à être reprises et précisées. On peut citer comme particulièrement curieuse la relation dont il se servait pour la mesure des zones sphériques, et qui équivalait à l'intégration formelle de smo^ Mais nous devons signaler surtout son interprétation des maxima et des minima, qui allait être le point de départ des travaux de CaDalieri et d'Huyghens.

C'est encore le besoin de la mesure, l'étude des solides présentant le volume le plus grand sous une surface donnée qui n oblige Kepler à traiter dans sa Doliométrie- des conditions analytiques du maximum ou du minimum. Aux environs d'un maximum ou d'un minimum la variation d'une courbe commence par devenir insensible '■'. A la différence de ce qui se produit dans le voisinage d'un point ordinaire, l'accroissement d'une quantité qui a|)proche d'un maximum ou d'un minimum est d'autant plus petit qu'on est plus près de l'avoir atteint efl'ectivement. Dans le langage qui s'est généralisé depuis, nous traduirons fidèlement la pensée de Kepler en énonçant cette formule :

Aux environs d'un maximum, les décrémenls de la fonction sont des infiniment petits du second ordre ; il en est de même

1. La somme des sinus des arcs de 1», 2", 3»..., cp\ est égale au sinusvevse de '.^, ou, cii langage moderne : P sin o do -rz { — cos o.

Voy. GiiiiUier, Veber eitie Merkicurdif/e Bezieliuiuj zvisclien l'appiis und Kepler (Bibliolheca Malhemalica d'EnestrOni, i88S. p. Sl-87).

iJ. Opéra Kepleri, IV, 60i'-012.

3. « In iisarliciiiis, in quihus a minori ad maximum itorunuiuc ad minu.s ni mutalio, Icge ali<|ua cinnli, semper cslali(iuuus(iue insensibilis illa differentia ». Dolionu'tria, I'. Il, 'l'Ii. '21.

de ses incréments au voisinage d'un minimum. La variation (differentia) d'une quantité qui oscille périodiquement entre une série de maxima et de minima sannulle aussi périodiquement dans chacun des intervalles qui sont parcourus. On voit que Kepler, guidé sans doute par le sentiment de la continuité, était arrivé presque d'instinct aux résultats qui seront établis bientôt par Huyghens.

L'École Italienne, inspirée également par le souci de satisfaire aux exigences de la physique, s'était orientée dès la fin du XVI* siècle vers la géométrie des indivisibles. Les mémorables travaux de Galilée, de Toricelli et de leurs élèves, eurent pour effet d'aiguiller les recherches vers l'analyse des grandeurs continues. Limportance pratique de la gravité, l'expression, mathématique des lois que Galilée en avait données \ la tentation d'analyser par le calcul les trajectoires des mouvements curvilignes, étaient autant de raisons qui devaient diriger les géomètres vers des applications mécaniques. La théorie du centre de gravite leur permettait de donner une signification concrète aux quadratures les plus simples, comme inversement les considérations de symétrie qu'on tirait de l'étude de la pesanteur devaient donner des indications précieuses pour faciliter certains cas de sommations.

Cavalieri publie en 163o sa géométrie des indivisibles, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promola. Nous savons que cet ouvrage a été connu de Galilée, avec qui Cavalieri entretint une correspondance, malheureusement mal connue, d'où il résulte pourtant qu'en 1626 le géomètre italien possédait déjà tout l'essentiel de sa méthode. L'originalité de Cavalieri se montre surtout dans le rôle qu'il assigne aux indivisibles. 11 n'est pas le premier qui ait songé à envisager une figure comme la somme d'éléments infiniment petits, mais il est le premier qui ait interprété dune façon rigoureuse le sens de ces indivisibles. Ce sont des éléments de comparaison qui ne doivent figurer que dans des rapports. Si nous leur donnons une existence absolue, nous retombons dans

1. «C'est en différenciant que Galilée déduit desese.\périencessurle i)ian incliné les lois de la pesanteur, que Newton déduit des lois de Ké|)ler le l)rincipe de la gravitation universelle. » — Painlevé, le Problème moderne de l'inléfjralion des équations difj'érenlielles [Bull. Se. Malh. T. XXVIII» 193).

les difficultés que les sophistes anciens avaient déjà aperçues et que les artifices des géomètres modernes n'ont pas suffi à lever. Il est impossible de comprendre qu'une somme de quantités nulles soit finie, et si ces quantités ne sont pas nulles ou ne voit pas ce que leur petitesse peut ôter de leur complexité. La vérité est que les indivisibles, ou éléments des figures, comme tous les autres symboles successivement introduits par les géomètres, n'ont et ne peuvent avoir qu'un sens relatif.

De même qu'on a institué des unités finies pour mesurer les quantités constantes, de même il faut des unités infiniment petites pour mesurer des quantités variables. L'introduction des nombres fractionnaires a permis d'évaluer l'aire d'un carré (juelconque à l'aide dune unité de même espèce et de ses sousnuiltiples, c'est un besoin de mesure analogue qui a fait créer les infiniment petits. Comme la longueur d'une ligne n'est susceptible de mesure que sur un espace assez restreint pour qu'on })uisse ly considérer comme homogène, il faudra se servir (f unités très petites, grâce auxquelles cette homogénéité sera respectée. Comme l'aire d'une surface change de nature lorsqu'on se déplace sur la surface, il faudra employer des étalons superficiels assez petits pour s'appli([uer sans erreur apj)réciable dans les régions où la surface reste uniforme. Ces étalons infinitésimaux, ces éléments d'aire et de longueur, disparaîtront finalement du calcul, où ils n'auront servi que (1 intermédiaires, comme dans la géométrie ordinaire l'unité choisie n'intervient jamais dans l'estimation relative des grandeurs. Comparer les rapports des figures, au lieu de comj)arer les figures elles-mêmes, telle est la grande innovation de Cavalier!, il énonça le premier théorème de calcul intégral qui fut à la fois rigoureux et fécond : les rapports de deux volumes finis sont les mêmes que ceux de la somme des volumes élémentaires ([ui les composent'. Par là il admettait à. la fois la réalité du continu et la possibilité de sa mesure. Malgré l'obscurité de ses écrits, il contribua plus qu'aucun autre par sa Géométrie des Indivisibles comme par ses Exercices de Géométrie au dév('loppemcnt de la science nouvcdlc.

Fermât, (|iii fui en tout un inventeur, ne semble avoir ci»nnu