Principes. L. I, S. 13, Pmp. XLII

LA I'I1YSIQL-|: MATIIKMATIQUE ET LE MECANISME 369

Expliquons cette idée sur un exemple classique. On sait que longtemps la théorie des gaz s'est contentée d'une simplicité apparente (juelle empruntait aux \o\s dt* Boyle et de Gay-Lussac. Quoi do plus évidemment simple que la proportionnalité des densités aux pressions, ou des volumes aux températures absolues ? 11 semble qu'il n'y ait pas lieu de chercher plus loin une explication plus instructive des faits. Et en effet la simplicité apparente qui est le propre des lois comme celles de Boyle <?t de Gay-Lussac a été longtemps invoquée comme le meilleur iu'gumeiit (Ml faveur de leur exactitude.

Nous savons pourtant que la théorie des gaz a dû se modifier avec le progrès des expériences. Les propriétés mécaniques et thermiques des gaz ont dû se concilier avec des observations nouvelles, touchant le frottement et la diiïusion. En même temps le besoin s'est fait sentir d'expliquer les propriétés des mélanges de gaz en faisant appel au plus petit nombre d'hypothèses possible. On a cherché à rendre compte de l'égalisation spontanée des températures et des pressions au sein d'un Tnélange gazeux. De là la théorie dite cinétique dont le point de départ est le suivant. La simplicité des lois que suivent les <orps gazeux est une sim|)lici(é purement apparente. En réalit('' les gaz se composent d'nun inlinité de molécules en mouvement dont nous ne percevons que lagitalion moyenne. Les directions et les vitesses y sont variées à l'inlini, et si Ton étu- <lie le mouvement d'un gaz comme un problème de mécanique lationnelle, on peut dire que la (Complexité des données délie loiilc solution rigoureuse. Malgré cela une théorie a pu s'édiiier, (pii retrouve par un mode nouveau de calcul loutc^s les j)ropriétés élémentaires d<'S gaz. Il a fallu substituer ;i reliide <l'é(luations exactes, l'étude des valcins )n<njennes. V.w se fou - •<laiit justement siu- l'e.xtrème complexilc'' ^\^•> l'ail.-;. (|iii veut que |)armi les molécules en mouvemeid toutes les directions et btub'S les vitesses soient représentées, on a pu (l('-ni(inlifi' •(pie les vitesses moyennes, et par suiti' les pressions et les tmnpcralnves moyennes, suivent des lois sim|)les ([ui se ralla- <'henl lune ;i I autre ( >n retrouve donc la sim|)licilé de la nature, mais sous la forme d'une sim|»licite cailic'e. OluKpie niouvemenl nu)l<''cidaire. |)ris isolément, s'elTeclue suivaid des lois compli(piées. I-'.n «ombinaid ces lois toutes différentes lii.oi.ii. â4

entre elles on retrouve une régularité apparente. C'est justement le propre de la théorie cinétique des gaz, et de toutes les théories analogues^ de substituer un calcul de moyennes, qui conduit à des apparences d'ordre, aux calculs exacts de l'ancienne physique, pour qui l'ordre est supposé tout dabord.

Newton a fort bien compris le parti que pouvait tirer la physique de ce calcul des valeurs moyennes. Mais l'instrument mathématique dont il disposait n'était pas assez perfectionné pour lui permettre d'édifier des théories complètes. ÎMalgré cela on trouve dans VOptique un certain nombre d'exemples curieux de cette façon de procéder.

La sommation d'une infinité d'éléments permet do se rendre compte, d'après Newton, de l'origine des couleurs naturelles"-. Il ressort en effet des théorèmes de l'optique qu'une lame mince d'une substance transparente prend sous l'action de la lumière solaire une teinte parfaitement déterminée. Cette teinte, comme il ressort de l'expérience des « anneaux », est fonction de l'épaisseur de la lame, pourvu que cette épaisseur soit très petite. Elle est même fonction périodique de l'épaisseur, c'està-dire que si l'on fait croître celle-ci de façon que la teinte passe du rouge au violet, un nouvel accroissement de l'épaisseur donnera une couleur « rouge du second ordre » à laquelle succéderont l'orangé, le vert, le bleu « du second ordre ». Il est possible d'obtenir de la sorte une succession continue de spectres qui peuvent s'étendre jusqu'au cinquième ou sixième ordre. Faisons alors l'hypothèse naturelle que les corps se composent de molécules très petites, assez minces pour présenter le phénomène des anneaux. Ceci ne veut pas dire que les molécules soient de forme lamellaire, mais simplement que leur diamètre moyen est du même ordre que celui d'une lame mince. Alors la molécule possédera une coloration propre, qui est caractéristique de son épaisseur. Si un corps est suffisamment homogène pour que les molécules d'une certaine espèce y prédominent, la couleur propre de ces molécules l'emportera d'autant. Un corps sera bleu ou vert lorsque la dimension moyenne

\. La théorie éleclroniciuc des métaii.K, j)ar exemple. 2. V. Lecl. OpL. L. II. P. III. i'rop. VU i\ X.

des particules qui le composent est celle qui correspond à l'apparition de ces couleurs ^

On voit que la sommation d'un grand nombre de phénomènes peut arrivera simplifier le phénomène résultant. L'interférence de la limiière réfléchie par une lame isolée est un phénomène extrêmement complexe que Newton est obligé d'analyser minutieusement. Au contraire, l'effet moyen des phénomènes du même genre qui se répètent sur un grand nombre de molécules est relativement simple. On s'explique par les couleurs d'interférence les couleurs naturelles qui paraissaient d'abord i)lus simples que les premières. Maintenant quelle est la « cause efiiciente », la « raison » du mécanisme des interférences ? C'est ce que Newton essaye d'expliquer, mais ce qui n'est pas essentiel pour comprendre sa théorie, pas plus que dans la Uiéorie cinétique des gaz il n'est nécessaire de connaître la « cause » (|ui jtrésideà la distribution des vitesses. C'est précisément l'avantage du calcul des moyennes d'éliminer par la loi des grands nombres les difficultés qui sont inextricables dans un cas isolé. La sommation d'éléments semblables devient de la sorte un instrument de simplification d'une portée presque illimitée. Chaque fois que le physicien se trouve en présence de phénomènes naturels qui lui paraissent sans lien, — couleurs propres des corps d'une part, couleurs de lames minces de lautre — , il devra rechercher s'il n'est pas possible de voir dans l'une l'eflV't moven de l'autre.

Ou'elle recherche le simple par voie de sommation ou par voie de décomposition, laj)hysique mathématique est astreinte à observer une loi fondamentale, la loi de sijmétric. Cette loi est la traduction en langage positif de l'ancien principe de raison suffisante, mis |)ar Leibniz à la base même de la i)liysi- (|ii<'. Leibniz se sert du jjiincipe de raison suffisante pour juslilicr les axiomes de l'optitiue et ceux de la mécanique. Si la lumière se j)ropage en ligne droite, c'est, comme l'avait déjà pensé Descartes, parce (pfil serait contraire à la simplicité des Voies divines (pi iiii nioiiN t-ment commencé dans une certaine

I. {',{' l)lrii iiii t•^' \ cil m- M'idiit |iii-< loiijoiirs les mCnifs. Ils in-iiscnl ji|)|t;iiliiiir ;i (les spectres (linViciils. Ainsi le hlm du ciel osl d'jiitivs Nc\s loii laiitùt celui du premier, laiitiit celui du .second ordre. Le verl des pluiile.s appartieiil iiu Iroisiéme ordiv, piirfois uu <iualrlèmc.

direction déviât sans raison de son chemin. De même l'équilibre d'une balance soumise à des poids égaux provient de l'apparente indifférence où elle se trouve entre deux actions contraires. D'une manière g-énérale, le principe de raison suffisante est législateur, non seulement en métaphysique, mais en physique. Soit qu'il s'agisse de faire voir pourquoi un phénomène a lieu, soit qu'il faille expliquer pourquoi il ne se produit pas, le principe de raison suffisante donne l'explication décisive.

Il est certain que Newton n"a connu que fort tard les idées personnelles de Leibniz sur la physique, et qu'il n'a pu songer dabord à les combattre, mais les tendances métapliysiques de Leibniz n'étaient que la continuation de celles de Descartes, et ces dernières étaient connues de Newton par les polémiques soulevées en Angleterre autour delà cosmologie cartésienne*. Newton se montra hostile de bonne heure à l'introduction dans les raisonnements physiques d'arguments ou d'axiomes métaphysiques. Le principe de raison suffisante sous la forme rudimentaire qu'il possède chez Descartes, comme sous la forme explicite que lui donne Leibniz, doit être exclu de la physique.

A la place de ce principe logique, Newton substitue un principe mathématique, qu'on pourrait nommer le principe de symétrie. Lorsqu'il y a symétrie dans les conditions déterminantes d'un phénomène, il y a aussi symétrie dans le phénomène lui-même, ou, plus brièvement, la symétrie de la cause entraîne la symétrie de l'effet. Ce n'est pas là un principe rationnel, qui s'appuie sur des considérations déductives. C'est l'expression mathématique d'un fait d'expérience, savoir que les actions physiques s'exercent indifféremment dans toutes les directions. A vrai dire, il n'y a même là qu'une application de la loi de continuité. Si une perturbation physique se produit sans être astreinte à choisir une direction plutôt qu'une autre, elle continue à se propager de la même manière dans toutes les directions. Aussi la loi de symétrie va-t-elle pouvoir s'appliquer directement aux faits avec le même degré d'exactitude que la loi de continuité.

Une première application de la loi de symétrie est 1 étabHs-

!. »;t'. Il/sl. du Carlrsiaitisme j)ar /•'. Boi/illier, T. II, Cli. \.\\i.

LA IMIYSIQUli MATIŒMATIQUE ET LE MÉCANISME 373

scment d'un théorème des Principes qui équivaut au célèbre théorème d'Huyi^diens sur la propagation des ondes'. Il s'agit (ic faire voir que la propagation d'une onde sphériquepeut être envisagée comme un phénomène d'interférence, chaque position de l'onde pouvant se déduire d'une position antérieure par la construction d'ondes auxiliaires ayant leurs centres aux (lifîérents points de celle-ci. Ces ondes auxiliaires représentent les perturbations issues de chaque point de l'onde primitive regardé comme source d'ébranlement.

Il suflit pour ét;d)lir ce théorème d'observer qu'une fois l'ébranlement initial donné au fluide, les ondes qui s'y propagent obéissent à la seule action de la pesanteur. Lorsque le front de l'onde atteint une certaine position, Newton fait voir que les parties les plus élevées du liquide tendent à descendre dans les dépressions que laissent entre elles deux ondes successives, et que cette tendance n'étant réglée que par l'aflion de la seule pesanteur, doit être la même partout et dans tous les sens. Les parties les plus hautes du liquide tomberont non seulement dans le sens radial, qui est celui de la |)ropagation, mais elles tomberont avec la même vitesse dans le sens transversal, qui est perpendiculaire au premier. Il s ensuit qu'elles créent, par raison de symétrie, des ondes secondaires autour de chaque point de l'onde primitive, et l'enveloppe de ces ondes secondaires, qui est symétrique par rapport à lOnde primitive, ne sera autre chose qu'une nouvelle position de cette dernière.

C'est par un raisonnement fondé comme le précédent sur des considérations de symétrie (pie Newton s'élève, à hi lin de 1 opti(|ue, jus<(u';i une conception voisine de la théorie ondulatoire (le la lumière. Il ne s'agit plus là d un théorème, mais <l un<' simple « (piestion » présentée volontaiivnienl pai- Newton sous forme hypothéti(iue*. Cette question se pose à propos de la double réfraction, (pii venait d être étudiée jiar Uuyghens. Newton conmiente ce fait (pTun rayon de lumière naturelle qui a traversé ini prisme de spath se trouve dédoublé en deux rayons bien distincts. L'un suit les lois ordinaires de la rélrac-

\. Principes, L II. S. S. Vr»\>. .\l.ll.

2. Opl. quiesl. XWL « Aiiiioti radiorum liimitiis (livcisa .suni Uilt»ra, (liv«»rsis projtriflutilxis coiiKciiilis pra'dila ? »

tion (refractio iisitata), l'autre subit une réfraction anormale (refractio inusitata) . Si maintenant nous recevons l'un et l'autre sur un deuxième spath à angle droit avec le premier, il est extrêmement remarquable que chacun des deux rayons subit une réfraction unique. Mais le rayon qui s'est réfracté d'abord suivant la loi de Descartes subit maintenant la réfraction extraordinaire, et c'est le rayon extraordinaire qui va obéir aux lois de la réfraction normale. Il est facile de déduire de là avec Newton que la dissymétrie dans les effets doit provenir d'une dissymétrie dans la cause. Il faut que le rayon de lumière naturelle, que nous avons considéré jusqu'ici comme symétrique, présente en réalité un côté (latus) par lequel il est plus propre à subir la réfraction ordinaire, et un autre, à 90° du premier, par lequel il est plus adapté à la réfraction extraordinaire ^ C'est en analysant cette idée profonde que Newton s'est rapproché d'une façon remarquable de la théorie ondulatoire de la lumière. Il suffirait de remarquer que la dissymétrie du rayon peut se traduire géométriquement par la notion d'un plan de polarisation pour rattacher les observations de Newton à la conception vibratoire de l'éther.

On voit quelle importance acquièrent de la sorte les considérations de symétrie en physique. Ce sont elles qui nous permettent de choisir entre les différentes représentations mécaniques d'un phénomène. Déjà Newton se trouve obligé, pour satisfaire à la symétrie propre de l'optique cristalline, d'attribuer aux particules lumineuses des formes géométriques, jouissant de la même symétrie. Si, au lieu de s'en tenir à la forme àes particules, Newton s'était attaché à la symétrie du mouvement, il est hors de doute qu'il eût édifié une véritable théorie matliématique de la lumière.

Comment se déterminera l'expression numérique des lois physiques ? C'est là le problème essentiel de la Philosophie Naturelle. Comme l'algèbre nous fournit l'équation d'une courbe géométrique, la Philosophie Naturelle doit nous faire connaître l'équation d'un phénomène réel. Cette équation est générale-

4. Ibid. « Ilabenl i^^iliir singiili radii lumitiis bina latera inicr se ex advcrso opposila. (iiiil)ii.s (iiiidcin iateribus congeiiila est propriotas ca, e qua pendet refractio inusitata ; altéra aiitem bina latera, proprietatis isliiis oxpertia. »

meut simple. Elle exprimera par exemple la résistance d'un fluide en fonction de la vitesse du corps qui s'y meut, ou la distance parcourue par le son en fonction de l'élasticité et de la densité du milieu. Pour trouver l'équation d'un phénomène de ce genre, Newton se sert constamment de la même méthode. C'est la méthode des coeftlcients' indéterminés de Descartes transportée du domaine algébrique au domaine physique.

Remarquons en effet, lorsque nous cherchons par exemple la loi qui lie la résistance de l'air à la vitesse du corps qui s'y meut, que nous parlons d'une notion de résistance très vague donnée par le bon sens. Celte notion nest pas pour cela stérile ou antiscientifique. C'est bien d'elle que nous devons partir pour nous élever à la loi scientifique. Seulement elle est indéterminée, et nous devons faire effort pour la préciser. Pour cela il convient de remarquer que sous le nom de « résistance <le lair » nous englobons des réalités physiques bien distinctes. Le bon sens même nous apprend que la résistance de l'air vient en partie de son inertie, en partie de son élasticité, de sa ténacité, de son frottement interne '. 11 y aura lieu d'affecter d'un terme spécial chacune de ces résistances et d'écrire que la résistance totale, telle que les mesures la fournissent, est la somme des différents termes.

D'ailleurs les suggestions du bon sens ou les analogies de l'expérience nous portent à croire que chacune de ces résistances ne suit pas une loi entièrement différente des trois autres. L'expérience montre que les différentes résistances sont toutes proportionnelles soil à la vitesse, soit au carré de la vitesse. Nous les rangerons alors en deux groupes, selon que le terme qui les rej)réscnle sera de la forme \\ ou de la forme BV-. Les nombres A et B sont des coelficienls indéterminés que les mesures doivent faire connaître-. Si nous avons trouvé empiriquejiiciit p(»ur la résistance totale des valeurs R, R ,R' correspondant aux vitesses V, V ,V" , nous pourrons écrire les équations simultanées

l\ = AV + HV»

ir = AV -I- HV'^

K " = AV" -I- BV"2

\.\. Vrincipes, L. II. S. 8, Prnp. L\.