Correspondance, Ed. Gî'jsin, VII

Il est un point pourtant où la géométrie cartésienne s'est rapprochée singulièrement de l'idée de limite, et où les vues que donne Descartes, pour incomplètes qu'elles soient, devaient le conduire au calcul nouveau s'il avait su leur adjoindre le postulat de la continuité. Nous voulons parler de ce curieux problème de r « arcufication » qui a été traité par Descartes dans ses notes manuscrites' et sur lequel M. Moritz Cantor appelle à juste titre l'attention -. Descartes n'avait pas consacré ses efforts à la rectification des courbes algébriques, qu'il estimait le plus souvent impossible « à cause que la proportion qui est entre « les droites et les courbes n'étant pas connue et même, « je crois, ne le pouvant être par les hommes, on ne pourrait « rien conclure de là qui fût exact et assuré''. «Par contre il croyait possible de résoudre le problème inverse. On peut tenter de trouver une circonférence de même longueur qu'un carré donné ; c'est le problème de 1' « arculicalion « que Descartes résout d'une manière rigoureuse. Le point intéressant de sa démonstration est qu'il est pour la première fois fait usage de la sommation d'une série infinie. Cette série est la progression géométrique très simple.

dont la somme est égale à 4/3. A chacun des termes de cette série correspond la construction d'un polygone qui permet d'approcher davantage de la solution. Mais c'est seulement la limite de ces polygones, le cercle lui-même, qui est la solution véritable. Ici encore Descartes, bien (pi'il fasse ajjpel à des considérations de limite, reste au fond sur le terrain arithmétique. La somme dont il se sert est un mombre lixe, de tous points identique à un nombre fractionnaire. C'est seulement s'il avait envisagé des séries inlinios dont les termes dépendent d'une variable que Descartes aurait franclii l'intcM'valle qui sépare l'Algèbre du Calcul Intlnitésimal.

A partir de Descartes, le calcul intlnitésimal lit pres([ue partout l'objet exclusif des recherches. Les problèmes (pion put