Lettre de Leibniz au marquis de L'Hôpital, déc

2. Cf. Leibniz et Pascal, par C.-J. Gerhardt, Gon)i)tes Rendus de l'Acadoniie de Berlin. 1891, p. 10o3 sqq.

3. Characteristica Realis est une expression qui semble avoir été créée par un Anglais, Georges Dalgarno, auteur d'un Ars Sifjiwnim, vulf/o Characler Universaiis et Litigaa l'hilusophica (16G1).

LORIGINE DU CALCL'L DES FLUXIONS 49

toute langue en général, par un système de signes ralionnels, exactement appropriés à la pensée. L'idée de Leibniz nétait pas très éloignée de l'idée cartésienne iVénuméraUon^ Il voulait décomposer en éléments simples l'ensemble de nos notions, affecter à chacun de ces éléments un signe distinctif, et remplacer le travail du raisonnement par un mécanisme s'exerçant sur ces signes. On peut voir là une première tentative d'Algèbre Logique ou d'Algèbre Universelle. Des essais du même genre avaient été tentés par deux logiciens Anglais, Dalgarno et Wilkins^. Leibniz, qui eut connaissance de ces travaux bien après avoir publié les siens, leur reproche d'une façon générale d'être plutôt grammaticaux que logiques. Ce qu'il faut, c'est un système de lettres sur lesquelles ou puisse opérer non par la syntaxe mais par l'Algèbre proprement dite. Les signes de l'addition \ de l'égalité, de la multiplicalion, de la division, doivent pouvoir, si l'on classe convenablement les idées, servir à les combiner sans faute, et ainsi la réalité de la pensée pourra correspondre à des opérations formelles. Il est vrai que Leibnitz n'a donné nulle part l'exposé complet de sa science caractéristique. Il a tenté de faire dans quelques-uns de ses écrits l'analyse des concepts fondamentaux, dans d'autres il esquisse leur synthèse au moyen de l'art combiiiatoirc. Mais le rapport de ces deux procédés n'est pas délini clairement par Leibniz. Faut-il conclure que cet esprit encyclopédique avait fini par renoncer à sa Caractérisque Universelle ? Il serait plus exact de dire qu'il aperçut la nécessité urgente de mettre à la b^se de la logique une théorie plus comj)lète des nombres. L'analyse d'un tout donné en éléments indivisibles est un problème hors de la portée de l'Arithmétique ordinaire. Nos idées présentent entre elles une suite de différences continues. Or les diflcrenccs intlniment petites ne l)euvent entrer utilement dans nos calculs que si elles reçoivent des symboles nouveaux et si on les soumet à des opérations

1. La pliilosopliie de Leibniz, vers 1G66, était encore fortement maniuée (le liiilluence cartésienne.

2. L'ouvrage de Wilkins parut en 1668 sous le titre An Essaij lowards a heul Cliaracter and a P/illusophical LinQuaf/e, u-ith an ulphabetical Dicliunanj .

3. Le signe -j- est déjà utilisé par Leibniz comme signe de l'addition

l<ij,'iipi('.

Bi.ucii. 4

;jO la philosophie DE NEWTON

spéciales. De lu vient la nécessité de créer au préalable une Alg("brc infinitésimale, si l'on veut aboutir à une Logique Universelle. C'est donc par le Calcul rfes notions et le Calcul des difféj-ences que Leibniz a été conduit à l'Analyse infinitésimale.

Les mathématiciens de l'école anf,daise, qui furent à peu près les seuls maîtres de Newton, introduisirent dans la science un certain nombre d'idées nouvelles qu'il est essentiel de connaître si l'on veut apprécier exactement l'originalité de Newton luimême. Parmi ces idées, il en est deux qui devaient se montrer particulièrement fécondes. Les géomètres angFhis firent voir d'abord que la sommation des aires repose sur un calcul d'approximations. Ils montrèrent ensuite que l'algèbre ordinaire ne suffisant pas à effectuer simplement des opérations différenlicllcs, d'autres règles de calcul étaient nécessaires.

John Wallis \n\h\u\ en IHGo son Arithméticpie Universelle '. Cet ouvrage qui fui loiigtem[)S classique était le comj)lément naturel des travaux de (^avalieri. Au lieu de s'en tenir aux (piadratures entières, c'est-à-dire à la mesure de l'aire des courbes ayant pour ('-(pialion générale ;

ax^'

Wallis api)liquc la méthode des indivisibles à toutes les paraboles d'ordre rationnel.

y =r (IX ~ + />■'-• 7

Il divise l'aire interceptée par la conrlK», l'axe de a; et deux j)arallèles ù l'axe des y en un grand nondu-e d'aires infiniment petites, de même largeur /, et donl la hauteur est déterminée par ré(piation de la courbe. Chacune de ces aires infiniment déliées peut s'assimiler d'une manière approchée à l'aire du rectangle ayant/ pour base et // pour hauteur. 11 y a \h un premier emi)loi delà méthode des approximations. De plus, lorsqu'on ajoute; toutes ces aires, Wallis conslale (juOn obtient toujours en facteurime série ;i fermes numéricpies, (pii s*; prolonge d'autant plus loin (|iie la division de la courbe a été ellemême poussée plus loin el dont la valeur intégrale devrait

\. Arilhinelica Universalis seii Nova Mclliodi/s iii'/itir/nK/i in curvilineorinn quadraiiircun.

L'OIUCINI'; 1)11 CALCUL DKS l'I.UXK^NS ol

iiilcrvcMiii' dans la soliilioii complMc. MallKMii'cusciiKMil ccl le valeur iiil ('Ivraie ii csl (•onimc ([iic [tour un | ici il i k m il in ■ de séries, par ('X(Mn|)l(' |)iiiir la iiro^rossion ^éc^iiuHriciuc duiiL Descarics avail fait. iisa}^(>'. Mais silol. ([tidn opcTO sur des courbi^s compli(pi(';cs, on i-cncoiilre (l(\s séries miniériquos dinicilciiKMil soinjnal)k\s. l'n lions inrinr la parabole

;/ = ax'^

v\ (di("ccli(ins à ovaliuM" l'aire (pTclle limile avec sa lan^'Oiitc enlri' les abscisses o et .r. Nous devrons d(''C(iiiip<i--(>r I inlervalU; ox' en un iKunbre li'ès yi'and ;/ de jiarlies I rès peliles /. do telle façon (pie ni — ■ JC. Addilioiinanl alors bvs reelan^les |iarlicls, il vient pour l'aire deinaiidée :

A = (//-./ + «(2^-./ + (i{:\l)-.l +...+ n{nl)i.l ou A = ai' (1 4- 2' -f ;{- +...+ h-).

l/(\\|)ression comprise eiilre parenthèses ne semi)lail pas, «itix yeiiK de W'allis, susceptible d une évalualioii coiumocUv Pourtant, lorsipie n esl iiiiL;-raiid nond)i'(\ W'allis avail li'ouvé, jiar un calcul approché, que cetle soinnie leiid iinironnéinent vei's 1 expression simple —- . (lomme nous n avons à nous occuper (pie du cas où )i auL;ineiile indéiiiuuKMil , l'approximation admise par W'allis devient eii(i('rem(Mil lég'itim(>.

Généralisant alors ce procéd('', Wallis avait l'ait porter s(\s efforts sur l'é val ualiond(>s loue lions de i>-rands nombres. Il avait essayé métho(li( pi ement (le sommer, non seulemeiil les séries do puissances enti(M'(ïs, mais les séries de puissances ralioniielh>s de nombres entiers. On lui doil à ce su je l( les formules exac les, de iiKMiie (pi il savail faire usajj^e de |)roduits('t de (piotionts iiilinis'-. Il a])pli(piait (h'^jà pour élablir ces formules dans le cas (les ex|)osanls h-acliiinnaires, les procédés (l'interj)olation dont N<î\vton devrait lirer un si t^raiid |iarti. C'esl seulement dans le cas des piiissaiicis né^'ativ(;s (|no sa mélbode élait parfois en échec, (^est aux lra\au\ de Mercalor (pi il faul faire remon- Icr 1,1 solution de celle diflicullé.

\ . Viiy. plus hiiiil.

1*. Coiiimi' par (>.\('m|)li' la (l'Ichrc roninilc ipii a ^'ardc'" .son iinm cl (|iii pcniicl (i'c.\priiuiT r sons la forme (l'iin produit inliiii de rraclioiis croissaiik's.

Mercator ^ arriva, par des divisions successives, à ramener la quadrature des puissances négatives aux quadratures positives obtenues par Wallis. Il donna l'aire de l'hyperbole équiiatcre à l'aide des logarithmes, en se servant d'approximations successives tout à fait semblables à celles qu'employait Wallis pour mesurer l'aire delà p^lrabole. On voit que les séries numériques, à peine entrevues par Descartes, prirent tout de suite chez les mathématiciens anglais une importance capitale. Dans l'impossibilité où ils se trouvaient de les sommerrigoureusement, ils furent amenés à en rechercher des valeurs asymptotiques. Par leurs approximations arithmétiques ils ouvraient la voie aux approximations algébriques qui permettent de négliger les inliniment petits en face de quantités qui demeurent finies. C'est le progrès qui va être accompli par le maître de Newton, Barrow.

Le problème des tangentes se posait à celte époque non comme un problème descriptif mais comme un problème métrique. Le but que l'on poursuivait n'était pas seulement d'obtenir par un moyen ou par un autre le tracé des tangentes. On cherchait à évaluer la longueur comprise entre le point de contact et l'axe des abscisses (tangente proprement dite) ou encore la projection de cette longueur sur l'axe (sous-tangente) afin d'en déduire une construction graphique simple et rigoureuse^. Barrow aperçut nettement les relations de similitude qui existent entre le triangle formé par la tangente, la sous-langente et l'ordonnée, et un autre triangle infiniment petit, formé des différences infinitésimales tant de l'abscisse que de l'ordonnée et de la corde qui joint deux points voisins pris sur la courbe. Ce dernier triangle devient à la limite rigoureusement semblable au premier, et Leibniz lui donnait pour ce motif le nom de triangle caractéi'istique. Si les deux points choisis sur la courbe sont voisins, mais ne coïncident pas, le Iriangle caractéristique ne donne qu'une idée approchée de la position relative de la tangente par rapport aux éléments fixes de la courbe. Mais cette

1. De son vrai nom Nicolas Kauf'inann, né dan.s le Holstein, étudia à Copenhague, puis à Londres, où il fut membre de la Sociélé Royale. Sa Logarillunoteclinie fut publiée en 1668. Elle se trouve dans le T. ( des Scriptoves Logarilhmici de Francis Maseras (Londres, 1791-1807, 6 vol.).

2. Cependant Roberval en France avait découvert une méthode des tangentes [)urement cinématique et laissant de côté tout calcul.

idée est d'autant plus exacte qu'on se rapproche davantage de la coïncidence, et cela suffît pour qu'on puisse négliger dans le calcul algébrique toutes les grandeurs destinées finalement à disparaître du résultat.

En partant de là, Barrow exprime la grandeur l de la soustangente en appliquant l(\s théorèmes relatifs aux triangles semblables et négligeant à la limite toutes les quantités évanouissantes. Si nous appelons x -\-a,y-\-e\ les quantités infiniment voisines des valeurs x et y, la grandeur / de la soustangente s'obtiendra de la façon suivante : 1° dans l'équation de la courbe on remplacera x ciy par x ■■\- a, y -{- e et dans le développement ainsi obtenu on négligera partout les puissances supérieures ou les produits de a et de e, 2" on effacera dans les deux membres les termes indépendants de a et de e, 3" on remplacera enfui a par / et e par y, et l'on résoudra par rapport à /.

Par exemple l'équation

a-5 + if — r^

donnera successivement x^ + Sx-a + y^ + Sy-e = ?"' puis Sx-a -|-3//-e= o. enfin ^ = — — , (-). Barrow applique avec succès la règle que nous venons de dire à un grand nombre de courbes dont l'équation permet la séparation des variables. Mais lorsque les variables ne peuvent être séparées, la méthode de Barrow esten défaut. Pourtant les coniques elles-mêmes se présentent parlois sous une forme qui contient le produit des variables. Si cette forme peut être évitée dans les coniques par un changement convenable de coordonnées, il n'en est pas de même pour une courbe plus complexe, dont on s'occupait beaucoup depuis une trentaine d'années, le galand ou foHum de Descartes, dont l'équation s'écrit ainsi :

x' + 'f = nxij

Pour construire les tangentes aux courbes de ce genre, il existe une ri'gle analogue à celle de Barrow, ({ui a été doiuiée

\. Celle milaliiiii iiippclli' d'une manic're frappante relie qui se rencontre tliez Feriiuit.

2. Barrow, Lecliones Ceomelricee (1670) X° It'von, exemple 2.

oi LA PHILOSOPHIE DE NEWTON

par le baron de Sluse. De Sluse communiqua sa méthode en 1672 à la Société Royale, et sur la demande de cette société, il ajouta à l'énoncé de sa règle quelques théorèmes destinés à la justifier théoriquement ^ Ces théorèmes montrent que de Sluse, comme Barrow, avait conscience de lartifice fondamental du calcul différentiel. Tous deux prenaient le petit accroissement de l'abscisse, dx ou a, comme variable indépendante dans le domaine des quantités infinitésimales. Ils évaluaient les autres quantités très petites, par exemple l'accroissement de l'ordonnée, dy ou e, en prenant la première comme unité de mesure. Ceci les amenait à diviser leurs formules par la plus haute puissance de la variable évanouissante, et à négliger, dans le développement résultant, les puissances de a ou de e.

Pour effectuer ces opérations d'une façon pratique, il n'est pas nécessaire de refaire chaque fois tous les calculs. 11 suffit de résumer en quelques règles simples, analogues à celles de Barrow et de Sluse, le résultat de ces opérations, commepour faire une multiplication algébrique il n'est pas nécessaire de justifier isolément chaque opération, mais on peut employer des simplifications évidentes qui constituent précisément le calcul algébrique. Ainsi Barrow a fort bien compris qu'il faut constituer avant tout un véritable calcul des indivisibles. Les opérations à effectuer sur les infiniment petits sont du ressort d'une algèbre spéciale, qui a ses règles et ses procédés, aussi rigoureux que ceux de l'algèbre ordinaire. Tant que cet instrument de calcul ne sera pas suffisamment perfectionné, l'analyse infinitésimale sera arrêtée par la complexité des formules. Comme l'étude des approximations numériques avait mené Wallis à l'emploi des séries, l'étude des approximations algébriques conduit Barrow au calcul différentiel.

L'ordre dans lequel Newton publia ses ouvrages ne donne pas une idée très exacte du développement historique de son esprit. A part son premier traité, l'Analyse par les Séries — Analysis per yEqualiones Numéro Terminorum infinitas - — qui

1. Voy. l'hil. Transactions, n» 95, p. G059 et n» 97, p. Gli'6, /'/;//. Tvans. Abr., vol. I, p. 2:2.

2. Barrow communiqua le manuscrit à Collins, qui le transcrivit pour le faire lire à Oldenhi/rg. Cette co]ne a été trouvée par Jones dans les papiersde Collins, et c'est lui qui la publia comme un ouvrage de Newton. Le manuscrit de Newton n'était pas primilivement destiné à la publication.

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS b5

fui communiqué à Barrow dès le mois de juillet 1G69, les autres publications de Newton sont toujours des divulj^ations tardives (le découvertes longuement mûries. Beaucoup sont des écrits d'occasion * destinés à répondre aux sollicitations de son entourage. Quelques traités ont été suggérés par des problèmes d'actualité. Enfin une certaine quantité de lettres adressées à Oldenburg, à Chamberhjne, à Wallls et à l'abbé Conli, se rap- Ijortent surtout au conflit avec Leibniz et sont moins des comj)léments de doctrine que des revendications de priorité.

Newton a gardé de tous temps, par le fait d'une nervosité spéciale, la haine de la publicité. Les plus importantes de ses découvertes, comme par exemple celle de la gravitation, étaient au point dans son esprit plus de 20 ans avant quil songeât à les communiquer au monde savant. A plus forte raison se montra-t-il réservé en ce qui concerne les débuts de sa méthode et ne devons-nous chercher dans la chronologie de ses opuscules qu'une indication assez peu sûre de l'ordre où se formèrent ses idées. 11 est bien certain par exemple que VEnumeratio Linearum Tertii Ordinis, publiée pour la première fois à Londres en 1706 représente un stade de la pensée de Newton bien antérieur à celte date, et que le traité De Quadralura Curvarum, édité par l'auteur en 1704, est contemporain par ses idées de la méthode des Fluxions que Newton pratiquait certainement en 1671. Il serait donc illusoire de chercher à saisir les progrès de l'analyse infinitésimale en s'en tenant rigoureusement à l'ordre des dates où

I. La <( MellLodus FUixioniim et Serierum infmUarum » était faite d'abord jiDiir ùtre ajoutée à l'Introduction de Kincklniijsen à r.\nalyse Si)écieiise. (Jollins devait se ciiarger de l'éditer. Mais les travau.v oplicpies de Newton et son goiU de la tranquillité ^etard^^ent lonf,'temps cette publication. Pemberlon nous apprend ipi'ù la suite de la 111° partie de la Melhodus Fluxionum, Newton se proposait d'en ajouter une IV» sur « les Problèmes (pii iK» peuvent pas se ramener aux quiidratures. » La perle de cette IV'^ partie est d'autant plus regrettable que Newton n'a nulle i)arl repris le mémo sujet. La Méthode des Fluxions a été traduite par Buffon en 1740.

Le traité a de Ot/adratura Curvarum » a été publie par \V. Jones en 1711 à Londres, en mèiiH! tenq)s fpie VEnumeratio Lincdrum Tertii Ordiitis sous le titre Anali/sis per quantilatum Séries, Fluxiones ac Di/J'erentias. L'Énumération des lignes du troisième ordre fut rééditée avec commentaires par titirliny {Oxhnl, 1717) et vulgarisée par Muc-Lainiii (17:20), Mcolc et liraf/elonr/nc. L'o|)uscule intitule Mcthodiis di/f'erentialis a été publié par Jones d'après le manuscrit île Newton. L'édition donnée par Cdslilloii en 1744 contient (pieNpies fragments mathétnaticpies de moindre inqiortance, dont un dune authenticité douteuse (opuscule VII, 2" partie).

Newton a publié ses méthodes. Nous croyons plus exact et plus sûr de nous fier à l'esprit de ses Traités. Fort heureusement les découvertes de Newton ont toutes été en sa possession d'assez bonne heure. On peut dire qu'après 1690 il n'y ajouta plus rien, même dans le détail, et nous n'aurons pas à signaler chez lui, comme on serait amené à le faire pour Leibniz, aucun changement de point de vue, aucune évolution.

Nous avons vu que bien avant Newton on trouve les indices d'un calcul intégral et d'un calcul différentiel, mais jamais avant lui on nesut exprimer l'idée d'un calcul infinitésimal, c'est-àdire d'une branche nouvelle des mathématiques, dont le calcul intégral comme le calcul différentiel ne sont que des aspects. Les problèmes qui avaient mené peu à peu à constituer une sorte de calcul intégral, étaient très nombreux et en apparence bien différents : problème des quadratures, des rectilications des volumes tournants, problème des maxima et des minima, problème des isopérimètres, problème des centres de gravité.

Les questions qui avaient orienté les recherches du côté du calcul différentiel étaient tout aussi riches et aussi dissemblables : problème des tangentes, des trajectoires orthcigonales, problème des roulettes, problème de deBeaune. * Beaucoup de géomètres avaient abordé avec une réelle ingéniosité un certain nombre de ces problèmes et en avaient parfois donné des solutions assez complètes. Mais on ne soupçonnait en aucune façon que des difficultés aussi variées dussent se résoudre par une méthode uniforme ou fissent partie d'un type commun qu'il suffisait d'analyser une fois pour le retrouver dans tous les cas. Assurément quelques mathématiciens d'élite, et ici à côté deBarrowil faut certainement nommer Descartes, pressentaient cette réduction. Le nom même de « problème inverse des tangentes » donné au problème général de l'intégration, montre qu'on entrevoyait son rapport au « problème des tangentes » proprement dit, c'est-à-dire au calcul différentiel. Mais ce ne

1. Bien que le problème de de Beaune doive être considéré comme un exemple de « problème inverse des tangentes », c'est-à-dire de calcul intégral, il a servi surtout à perfectionner la notation diiïérentielle. On peut l'énoncer ainsi : trouver une courbe dont l'ordonnée soit à la sous-tangentc comme une longueur donnée est à la différence entre l'ordonnée et l'abscisse.

sont là que des vues imparfaites, sans suite et sans fécondité. Newton au contraire, a compris dès l'abord que les mêmes notions se retrouvent à la base des nombreux })roblèmes que la science présentait comme disjoints. Il est inévitable qu'on s'élève à la méthode des fluxions, soit qu'on parte des tracés géométriques, soit qu'on approfondisse le calcul des différences ou môme l'arithmétique ordinaire, l'iie fois la notion de « variation infinitésimale » acquise par une voie ou par une autre, le calcul de ces variations n'est plus qu'une affaire d'habileté.

La Géométrie Analytique et l'arithmétique pure sont les deux voies que Newton préfère pour s'élever au calcul inlinitésimal, et ces deux voies mènent l'une et l'autre aune même conception fondamentale, celle des séries qui se composent d'un nombre inlini de termes variables. Partons par exemple du point de vue cartésien. 11 n'est qu'un cas où la géométrie analytique, telle qu'elle a été traitée par Descartes, s'applique complètement. C'est celui où toutes les grandeurs qui interviennent dans le calcul sont rationnelles \ et où par suite les opérations de l'algèbre ordinaire réussissent jusqu'au bout. Tel est le cas de certains problèmes touchant la parabole, la droite et quelquefois le cercle. A ces problèmes, Descartes ajoute ceux qui impliquent des radicaux carrés, et même les racines d'équations générales du 3'' et du 'k^ degré. Ceci lui permet d'appliquer sa méthode au folium par exemple, cl à la j)arabole semi-cubique. Mais ce sont là les problèmes les plus complexes que l'algèbre cartésienne puisse résoudre effectivement. Non quelle ne s'aj)plique en théorie aux courbes algébriques de degré quelconque, mais sitôt que la variable ne jieut plus s'exprimer explicitement en fonction simple des données, les procédés pratiques du calcul ne sont plus utiles, et Descartes est obligé de se contenter de considérations générales touchant le degré du lieu cherché.

Cette imperfection pratique éclate d'autant plus que Descartes se proposait de donner un moyiMi permettant toujours de construire un problème. Or lorsqu'on clici-clie, par exemple, à évaluer l'aire d'une cotu-be, la méthode cartésienne ne donne

1. On reconnaît la catégorie dos i)roblèmcs portant sur des courbes « unicursales ».

aucune conslruction. Bien plus, elle méconnaît la nature métrique du problème, puisqu'il faut posséder, au moins d'une manière approchée, l'expression explicite de l'ordonnée si l'on veut arriver à une sommation. Si donc Descartes résout parfaitement les problèmes où l'ordonnée de la courbe est donnée en fonction rationnelle de l'absbisse, si à la rigueur on peut dire cju'il résout ceux où l'ordonnée implique des radicaux, sa méthode ne donne aucun renseignement, ni pour les problèmes de construction, ni pour les problèmes de mesure, dans le cas des équations non résolues, où l'ordonnée est fonction implicite de la variable.

La première nécessité qui s'impose à Newton est de compléter sur ce point l'algèbre cartésienne. L'ordonnée de toute courbe algébrique est à considérer comme une fonction explicite dont la forme doit être déterminée. Une pareille détermination, Newton le reconnaît, ne peut se faire par les ressources de l'algèbre dans le cas des courbes composées. Au delà du 4* degré nous ne possédons aucune formule exacte qui permette de caractériser chaque branche de la courbe par une équation de la forme

où l'ordonnée est fonction simple de l'abscisse. Mais si une formule explicite rigoureuse est hors d'atteinte, nous nous contenterons d'une formule approchée. Même au-dessous du ^^ degré il sera parfois utile de renoncer à une expression exacte, chargée de radicaux superposés, pour se contenter d'une formule limite, où figureront une infinité de termes, mais où chaque terme sera simple, rationnel ou entier, et comme préparé d'avance pour les transformations du calcul.

De là le principe newtonien, qu'il faut faire disparaître de toutes les formules les « irrationalités » ou les « asymétries » et pour cela, développe?' les formules en séries rationnelles. Ce développement peut toujours se faire, d'après Newton, en se servant de la seule division ou de la seule extraction des racines poursuivie jusqu'à l'infini. Si par exemple nous rencontrons dans le calcul l'irrationnelle

nous la remplacerons par son développement qui est

et cette série, quoique illimitée, sera plus utile que l'expression Unie, parce que chacun de ses termes pourra aisément être soumis au calcul. Ainsi, à chaque branche de courbe, il sera jiossible de faire correspondre pour l'ordonnée une série spéciale, explicite, uniforme, généralement entière, lui môme temps qu'on a isolé de la sorte les branches de courbe que l'équation donne confondues S on a le moyen d'effectuer sur l'ordonnée, par les règles ordinaires du calcul, toutes les opérations qui auparavant étaient impossibles. Le résultat obtenu, comme l'équation dont on part, prendra la forme de série inlinie. Mais cette série sera évaluable avec une approximation aussi grande qu'on le désire, et cela doit suffire en pratique-. L'Arithmétique, aussi bien que l'Algèbre, doit mener aux dévrloppements en série. Nous avons vu que le nombre irrationnel s'interprète dans l'arithmétique de Newton comme une généralisation du nombre rationnel. Si nous voulons mesurer une longueur, nous commençons par chercher combien de fois elle contient la longueur prise pour unité. Soit n le plus grand nombre de fois que l'unité entre dans la longueur donnée; H sera une première mesure de la grandeur en question. Si nous désirons une mesure plus précise, nous diviserons l'unité en dix parties égales jiar exemple, et nous chercherons combien de fois l'une quelconque de ces parties entre dans le reste laissé par la première mesure. Soit n' ce nouveau nombre ; n 4--^ sera une mesure plus approchée. Si nous divisons le lU'^ (le l'unité en 10 parties égales, nous obtenons des unités du 3« ordre (pii ciilreront^" fois dans le résidu des mesures-

|)récédeiites; ?i -|- — -i- -f^ «^•'«'^ ""'^ mesure approchée au quatrième ordre près. Généralement les nécessités de la pra-

\. C'est le |)oint de départ du célèbre i)rocédé de Newton pour la sépariitiim des racines, repris cl coniplrté par l'iiispu.r (Cf. l'iraril. Traite d'Ann- ///•v.', T. II).

2. Dans une lettre ;i l'ullins, du 10 décembre I67i. Newton montre déjà (jue les développements en série donnent la snlulinn priiti(pH> du problème des tanf(entes : « liane metliodum ^tangentiuln) iiiterle.xui alteri isli, ipia ^l'irpialionum E.\egesim instiluo, reducendo cas ad séries inlinilas. »

tique ne nous conduiront pas au delà d'un certain ordre. Notre besoin de précision est satisfait, selon les cas, lorsque nous avons évalué une grandeur jusqu'à un ordre déterminé. Nous convenons alors de représenter la mesure au moyen dune formule limitée

, n' , n'' , I iip

et le nombre rationnel ainsi trouvé est écrit dans le système décimal. En réalité, une mesure concrète n'est jamais exacte. Il faudrait pour qu'elle le devînt pousser l'approximation à l'infini, et cette extension est l'origine véritable du nombre irrationnel. Un nombre incommensurable n'est autre chose que la mesure exacte d'une grandeur dans le système décimal. 11 peut s'écrire sous forme de série infinie

et Ion voit qu'il comprend le nombre rationnel comme cas particulier.

De même que l'Algèbre rationnelle étudie sous une même formule l'ensemble de tous les nombres commensurablcs, il est clair que les radicaux « asymétriques », tels qu'on les rencontre en algèbre, correspondent d'une manière générale à un ensemble continu de nombres incommensurables. Lorsqu'un radical carré, par exemple, porte sur une fonction entière de x, il est visible que si la variable passe par une suite continue de valeurs, le radical prendra lui aussi une infinité de valeurs distinctes, parmi lesquelles un petit nombre seulement seront par exception rationnelles. Mais alors une analogie évidente, un besoin de mesure identique à celui que nous venons d'analyser, nous feront exprimer, pour chaque valeur de la variable, la valeur que prend le radical dans un système de numération déterminé '. Nous obtenons de la sorte une série, généralement illimitée, pouvant se réduire exceptionnellement à un nombre lini de termes, et qui, si nous avons respecté les conventions

i. Lettre ù Leibniz, 13 juin 167G : Frationes in infinitas séries reducuntur pcr divisionem, et quantitates radicales per extractionem radicum, perinde instituendo oi)erationes istas in speciebus, ac inslitui soient in decimalibus numeris. Hccc sunt fundamenta harum reductionum.

fondamentales de l'algèbre, sera équivalente à l'irrationnelle dont nous sommes parlis. La seule différence, importante il est vrai, qui sépare le cas arithmétique du cas algébrique est que dans le premier chaque terme cle la série est un nombre bien déterminé; la série ne peut donc elle aussi représenter qu'un seul nombre. Dans le cas de l'algèbre au contraire, les termes de la série sont des termes algébriques, ils sont fonctions d'une ou de plusieurs variables, et par suite la série tout entière peut représenter un ensemble de nombres, c'est-à-dire une véritable f onction. Comme rai)proximalion d'une mesure croît lorsqu'on évalue plus de termes dans l'expression d'un nombre irrationnel, de même l'approximation d'une fonction augmente lors(iu"on tient compte d'une plus grande partie de son développements L'arithméti([ue ordinaire et l'algèbre spécieuse sont donc susceptibles d'une interprétation identique-. Elles mènent à des séries de tous points comparables à celles qu'on tire de l'analyse géométrique des courbes.

Une fois en possession de la méthode de développement en série, Newton n'a plus qu'à appliquer les principes énoncés par Barrow et Wallis pour construire à la fois le calcul intégral et le calcul différentiel.

S'agit-il d'évaluer une aire, de mesurer un volume, de rectifier une courbe? On devra trouver la forme algébrique de lélénient quil s'agit de sommer, la transformer par l'emploi des. séries jusqu'à ce qu'on obtienne une suite de termes entiers, et appli(iuer à chacun de ces termes les procédés de sommation inventés par Wallis. Faut-il au contraire construire une tangente, chercher le point le plus haut ou le j)lus bas d'une courbe, on donnera aux coordonnées de petits accroissementsdésignés par des lettres arbitraires, on développera encore

1. Nam quod nmneris accidit, idest, quod eo majus corum valor docrescit in (Icciiiuili, vci siibdocupla rationo, (iiio magis ad dcxli-ani accédant, id icspiM-tivr locuni eliani li;il)i't in spccicbiis, iiuando tertnini jii.xta diniensiones luimeratoris vel dctioniinatoris cujusciiie snnl di.s|)osili in unil'ormani progressioncm in inliniliim iJi'oialani. — Melh. Flux, VA. Gastiiion,

2. Hinc facile addilioncni, substractioncm, divisioneni. nuiitipiicationem et radiciini cxlrai-liuncni disci'ro cpiis polcsl, duininodo in dcciinali ac ■spc-cio.sa arithnirlica vtTJiaUi.s sil, ncc aniniiini divcrtat luupiani ai) analogia qii.'o est inter décimales fractiones et algebricos terniinns in itdinitunv pfddiiclos, Meth. (lux, p. 3."}.

ç2 LA PHILOSOPHIE DE NEWTON

léquatiou en série ordonnée suivant les puissances -de ces lettres, et conformément aux règles de Barrow on trouvera en négligeant les puissances supérieures soit la formule qui donne la tangente, soit celle qui donne l'ordonnée maxima. Ce sont des calculs de ce genre qui remplissent le premier opuscule de Newton, VAiialysis per /Equaliones Numéro Terminorum Infinitas. Newton y donne une série d'exemples où sa méthode de développement réussit', et bien qu'il l'applique exclusivement à des problèmes de calcul intégral, il est hors de doute qu'il l'utilisait dès cette époque dans des questions de calcul différentiel. Mais on ne trouve dans ce premier écrit aucun indice de notation nouvelle. La découverte d'une notation permettant de rendre pratique la méthode des séries et de lui donner toute l'ampleur qu'elle comporte date seulement de l'année suivante ^ et fait l'objet de la « Méthode des Fluxions ».

L'expression de moment avait été employée de tout temps par Newton pour désigner l'élément infinitésimal dont la sommation engendre une quantité finie. Cette expression tirait son origine des idées de Cavalieri, pour qui l'aire d'une courbe s'engendre progressivement par le déplacement de l'ordonnée parallèlement à elle-même. Le moment n'est alors autre chose que le rectangle infiniment petit qui va s'ajouter à la somme des rectangles déjà produits. Mais ni Cavalieri, ni Barrow luimême n'avaient jamais considéré le moment comme une fonction de la variable indépendante. Ils avaient plutôt envisagé comme telle la somme des moments ou l'aire de la courbe. L'expression de celte aire dépend en effet de l'ordonnée où on la limite, et comme cette ordonnée elle-même dépend de l'abscisse, il était naturel que l'aire de la courbe apparût •comme une fonction de x. Le moment au contraire est un infiniment petit, difficile à comparer avec une variable finie, plus difficile encore à considérer comme une fonction d'une telle variable.

De là l'idée fondamentale de Newton qu'il faut évaluer les moments, non en les rapportant à des unités finies, mais en prenant comme unités de mesure d'autres quantités infiniment

1. Dans tous les exemples qu'il cite n'entrent encore que des irrationnelles du second degré.

LORIGINK DL' CALCUL DES FLUXlUiNS 63

])otilcs, OU, si l'on préfère, dautrcs moments. La variation très petite de l'abscisse et la variation très petite de l'ordonnée sont alors rigoureusement comparables. Leur rajiporl n'est plus un nombre très petit, c'est un nombre qui tend vers imc limite iinie. Le moment de la fonction d'une part, le moment de la variable d'autre part, deviennent fonction calculable l'iui de l'autre.

Il suit immédiatement de là (pi'il est nécessaire, dans un <léveloppemcnt «{uelconque, de désigner par des lettres d'esj)èce différente les grandeurs ordinaires d'un côté, les grandeurs évanouissantes de l'autre. De la sorte nous serons assurés de respecter l'homogénéité, comme il est indispensable dans toutes les questions cpii doivent recevoir une interprétation concrète. Les lettres ordinaires de l'alphabet continueront à servir i)Our les nombres finis, mais les accroissements infiniment petits que les nombres doivent recevoir seront notés pardes symboles spéciaux permettant d'éviter toute confusion. Il faul <iu(' ces symboles s'appliquent de la même façon aux ([uantilés (jue nous considérons comme indépendantes et aux (piantités que nous considérons comme dépendantes. L'abscisse aussi bien que l'ordonnée est susceptible d'accroissements iidiintésimaux et, comme ces accroissements sont de même nature, il convient d'employer pour les caractériser une notalion parfaitement uiuforme.

L'expression de moment peut aisément suggérer une pareille notation. Elle semble iiidi(pier en effet que l'élément d'aire est un accroissement de nature simple, en tout sendjlable à l'éléniriit de temps |)on(lanl le(iu(d cette aire s'accroît. Il \';iut mieux pourtant se servir, comme va le faire désormais Newton, <lu mot plus imagé de fluxion. Ce mol indique d'une façon saisissante le rapport qui existe entre une quantité quelconipie et la vni'iation progressi\f ([n'clle subit. C'est le rap|)ort même ipiOn observe entre le th-hit iiistanlaiH- d un ll(Mive et la masse totale de ses eaux. Il n'est pas de grandeur dont l'accroisseiiienl, la constance ou la dimiindion ne puisse se comj)arer aux états successifs d un [\\\\i\r mobile. H suffit d'avoii- celle comparaison sans cesse présente à 1 espril |)our cuniprendii;

(ju'en mathémati(pn' tous les accroissemeids ^\\\ •enicnlre,

accroissements d'aire, de longueur, de distance, de volume.

sont à la quantité dont ils dérivent comme une « fluxion » est mi à la masse « fluente ». |

Que Ion convienne donc de marquer par un point, par un trait, ou par un signe quelconque les lettres qui doivent désigner les fluxions, pour les distinguer commodément de celles qui sont affectées aux quantités. finies, et l'application de l'algèbre ordinaire à ces nouveaux symboles deviendra immédiate. L'alo-èbre repose sur ce postulat, que toutes les lettres sont homogènes entre elles, et représentent des grandeurs de même genre. Le calcul différentiel devient possible dès qu'on a fait une convention analogue .• les lettres marquées ou soulignées sont elles aussi homogènes entre elles, elles représentent toutes des grandeurs du même genre, seulement ces grandeurs sont évanouissantes. En fait, la notation choisie par Newton est celle qui consiste à marquer d'un point la lettre z. symbole d'une grandeur, pour obtenir la première fluxion z de cette grandeur. La fluxion de cette fluxion s'écrira z, la suivante j, et ainsi de suite. Cette dernière généralisation n'existe pas encore dans la « ^Nlethodus Fluxionum » et on la trouve appliquée pour la première fois dans le traité « de Quadratura Ciirvarum » publié en 1704*. Mais l'emploi des lettres marquées d'un point avait suffi pour permettre à Newton d'aborder par ses développements en série les problèmes les plus compliqués de son époque. Léquation qui donne le maximum ou le minimum d'une fonction peut s'écrire sous la forme nouvelle?/ = 0. La solution du problème des tangentes est toujours comprise dans la relation générale exprimant que la sous-tangente est à l'ordonnée comme x est à y. La détermination de la courbure et des points d'inflexion résulte de formules analogues où les fluxions de x cideij apparaissent toujours d'une manière homogène et où leurs rapports donnent toujours naissance à des nombres finis.

Tous ces résultats, et d'autres encore que Newton utilisa plus tard dans la composition des Principes, font voir l'importance capitale qu'avait pour cette partie de la science le choix d'une notation-. On peut dire que sans l'emploi des séries Newton ne