Lectiones Opliop, L. II, I' II

les effets. Chez Newton, comme nous allons le faire voir, l'élément empirique est essentiel, non-seulement au cours des développements, mais à l'origine même de la science. La genèse des phénomènes ne peut se prévoir entièrement a priori. Le calcul a pour fonction de transformer ce que l'observation nous fait d'abord connaître. C'est pour cela que la physique mathématique est infiniment plus près du réel chez Newton que chez Descartes. La substitution des explications génétiques aux déductions logiques, tel est l'avantage que le calcul de Newton procure à la Philosophie Naturelle.

Enfin il est un troisième caractère qui distingue tout parliculièrement la physique newtoniennc. Non seulement les mathématiques y jouent un rôle purement instrumental, non seulement elles doivent faire connaître la genèse des choses plutôt que leur essence, mais encore elles doivent renoncer à une synthèse complète de lunivers. Croire qu'avec la matière et le mouvement on peut construire mathématiquement un monde semblable au nôtre est une idée cartésienne, une idée a priori. Cette idée n'a pu résister à l'épreuve des faits. La faiblesse évidente des théories cartésiennes est dans ce besoin de synthèse excessive qui faisait dériver des mêmes principes l'explication de la pesanteur, celle de la lumière, de la chaleur, des actions magnétiques, chimiques, etc. Autant dire que toutes les manifestations delanature sontunies dans leur fond, et que leur variété est exactement calquée sur celle des théorèmes déduits de nos définititions. C'était bien là la pensée de Descartes. Pour lui la géométrie analytique, jointe à quelques axiomes métaphysiques, contient la réponse à toute question possible.

Nous avons déjà vu, à propos de la méthode infinitésimale, que même en mathématiques la construction cartésienne n'explique pas tout. 11 n'est pas possible, même dans le domaine de l'espace pur, de tout coordonner dans une seule synthèse. A plus forte raison lorsqu'on passe au domaine de la physique, la déduclion intégrale du réel devient illusoire. Ici la part de l'analyse devient aussi grande que celle de la synthèse, et dans la physique de Newton elle est prépondérante.

Prenons l'exemple de la lumière, que Descartes et Newton ont traité spécialement. Le premier avait espéré construire.

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en partant de règles simples fondées sur les attributs de Dieu, la dioptrique et la catoptriquc. Il pensait qu'après avoir com- ])ris clairement et distinctement l'essence du mouvement lumineux, l'on devait par déduction géométrique expliquer les phénomènes les plus lointains. Les découvertes de Iluyghens, de Bradley, de Newton, n'allaient pas tarder à démentir cette prétention. La double réfraction, l'aberration, la dispersion, sont autant de branches nouvelles de l'optique que le calcul seul ne peut rattacher les unes aux autres. Ici donc l'analyse devra venir en aide à la synthèse. Comment la physique mathématique pourra-t-elle s'acquitter de ce rôle analytique en même temps que de son rôle déductif ?Nous en avons vu un exemple lorsqu'il s'est agi de la mécanique rationnelle et le même procédé s'applique à toutes les parties de la physique. Les mathématiques interviennent en physique à différents moments et sous des aspects différents. Descartes a bien vu qu'elles pouvaient donner la rigueur aux déductions tirées d'un principe. Il n'a pas remarqué qu'elles pouvaient servir à dégager régulièrement les principes eux-mêmes. Ces principes, en physique comme en astronomie, sont toujours des vérités de bon sens fondées sur des observations directes. Mais pour que ces vérités deviennent utilisables, il faut qu'elles reçoivent une expression précise. Le rôle des mathématiques est justement de tirer analytiquement ces définitions de la comparaison quantitative des faits.

C'est ainsi que les phénomènes de réfraction, de polarisation, de dispersion, deviendront le point de déj)art de synthèses utiles une fois (jue l'analyse aura délini clairemonl ce (|ii'il faut entendre par indice, longueur d'onde, courbe de dispersion. Newton a parfaitement compris qu'il fallait laisser dans chaque partie de la physique une porte ouverte h des ordres nouveaux de phénomènes. Si la physique mathématique était une synthèse complète, elle serait nécessairement, comme celle de Descaries, fermée et exclusive. Au lieu de cela, la Physique de Newton procède toujours par analyse avant d'employer la synthèse. Là où les observations sont arrivées à un point de maturité convenable, une idée physi(pie nouvelle peut naître, que les mathémali([ues éclairciront d'abord, développeront ensuite.' Il est donc possible à la physique mathémaliijue, en rcnon-

çanl aux synthèses absolues, de s'adapter progressivement aux découvertes de fait. Les mathématiques interviennent en physique dès le début de la science : c'est leur rôle analytique qui prépare les détînitions. Une fois les définitions posées, la synthèse peut se développer sans risque d'erreur pourvu qu'on la guide par l'expérience.

Si la physique revêt chez Newton un caractère mathématique original, qui la différencie nettement de la physique cartésienne et la rapproche de la physique moderne, cela tient îx des raisons historiques sur lesquelles il faut s'arrêter.

Nous avons trop de tendance à considérer aujourd'hui la physique mathématique, comme une application des mathématiques à la physique, de même qu'on envisage la géométrie analytique comme une application de l'algèbre à la géométrie. Dans l'état de spécialisation de la science moderne, une telle façon de voir peut se comprendre. Une fois qu'une méthode nouyelle a été « amorcée », c'est-à-dire quelle a été illustrée par un premier exemple, il est loisible à des savants spécialisés, •de chercher de parti pris des exemples analogues, en appliquant à certains phénomènes des théories inventées pour <l'autres. On peut citer comme exemple la théorie du potentiel. Créée par Newton pour répondre aux besoins astronomiques, olle a été élargie par des mathématiciens de profession de façon à répondre à la fois aux problèmes d'électricité, de magnétisme, d'élasticité. Mais au début de chaque science, les choses se passent tout diiïéremment. 11 est certain que pour Descartes, la géométrie analytique n'est pas une application de la science des nombres à l'étude des figures. Kilo témoigne simplement de l'état d'indivision où se trouvait à l'époque de Descartes l'algèbre par rapport à la géométrie. C'est seulement pour le mathématicien moderne, qui a vu se différencier très nettement l'algèbre dune part, la géométrie de l'autre, qu'il est possible de juger la tentative de Descartes comme un essai d'adaptatation de l'une à l'autre. En réalité aucune des sciences n'était assez développée au début du xvu° siècle pour se passer de l'appui de l'autre, et ce que nous devons admirer chez Descartes, c'est plutôt le perfectionnement qu'il a apporté à l'algèbre que la nécessité où il s'est trouvé de la mener de front avec la géométrie.

L V PHYSIQUE MATIIKMATIQUE ET LE MÉCANISME Si-

En ce qui concerne les rapports de la physique et des mathémalhiqucs, il faut éviter une erreur analogue. 11 arrive aujour- <! iiui que nous pouvons emprunter aux mathématiques des théories constituées de toutes pièces et les adapter aux besoins (le la physique ^ Mais il ne faut pas croire qu'à l'époque de Newton des adaptations de ce genre aient été possibles. Le progrés immense accompli par la découverte du calcul infinitésimal ne pouvait sapprécier tout de suite avec exactitude. Tiré <h> problèmes astronomiques ou physiques, ce calcul était encore troj) mélangé déléments concrets pour qu'on pût songer à le déveloj)per {)our lui-même, et à en faire ensuite lapjjlication aux faits. On a vu dans un chapitre précédent que la notion (h' dérivée était restée inséparable de la notion de vitesse, crWr d'intégrale étroitement liée à l'idée de poids ou de volume total. Le calcul des fluxions ne pouvait donc commencer par ii^appliquer aux questions physiques ; il devait tendre d'abord à s'en dégager. 11 faut bien comprendre ce ([ue la physique de Newton présente par là d'exceptionnel et de frappant. Les mathématiques et la physique sont jusqu'à un certain point indivises dans ses ouvrages, en même temps qu'une tendance se manifeste vers un certain partage d'attributions.

Deux conceptions s'offraient à Newton en ce qui concerne les rapports de la physique et des mathématiques. 11 pouvait dabord suivre comme Leibniz, l'exemple de Kepler, de Descartes, de Bacon lui-même, et chercher dans la physique malliématique un symbolisme absolu. Il est possible en cHet de regarder les mathématiques comme un pur mécanisme destiné à faciliter le r<'>Ic de la logique. Alors nous affecterons ehacune de nos idées d'un symbole déterminé, et la science jihysiquc se réduira au choix et à la combinaison de ces symlioles.

C'est ainsi que pour Descartes la connaissance distincte des natures simples entraîne comme conséquence tout l'ensemble des lois physiques II sid'Iit de qualifier d un symbole littéral

I. GVsl ainsi que le calcul «l»?.s |)ri»l)al)ilili'S a romlu possible la llu-orio riiicli(|ur (les ga/., cl (juc des llicorics ahsh-ailcs ciminic celles (!<• Iticiiiann !•! de Caucliy ont pu Uuuver leur appiii.aliijii en hydrodynamique ou en '.plitpie.

chacune de ces natures éternelles, nécessaires, absolues, pour ramener à un calcul d'algèbre la solution d'un problème physique. Leibniz est allé plus loin dans cette voie. Les mathématiques ne jouent en physique qu'un rôle combinatoire. Étant donné un certain nombre d'idées munies chacunes d'un symbole caractéristique, les lois logiques, ou, ce qui revient au même, les lois mathématiques, permettent de trouver toutes les combinaisons d'idées que la nature peut réaliser. A chaque perception de chaque monade il est possible de faire correspondre un signe spécial, et 1' « art combinatoire » sert à classer ces perceptions en séries nécessaires.

On voit que Descai'tes et Leibniz, bien qu'on ne puisse trouver ni chez l'un ni chez l'autre de physique mathématique, avaient une tendance à donner aux mathématiques une portée physique absolue. Ils ne séparaient pas les règles du calcul de la métaphysique, et faisaient des signes algébriques non des symboles de relation, mais des symboles de choses . Ils eussent créé plus aisément une métaphysique mathématique qu'une physique mathématique.

Les lettres et les nombres, nous le savons, ne sont pas seulement des symboles d'objets, ce sont aussi des mesures de grandeurs. On peut même dire qu'une science n'est positive que lorsque les signes dont elle se sert deviennent l'expression de mesures précises. Lusage de certains symboles était courant chez les alchimistes du xv^ siècle. Ils désignaient les métaux nobles par les signes caractéristiques des cinq grandes planètes. Pourtant leur science n'avait rien de mathématique, car sous ces symboles ne se cachait aucune grandeur mesurable. Dans la chimie moderne, les différents éléments ont été eux aussi affectés de lettres spéciales. Mais ces lettres ne signifient plus l'élément considéré dune manière vague, elles indiquent un poids déterminé, parfaitement mesurable, de chaque matière. Tout de suite la chimie a gagné par là de devenir mathématique. Elle a pu écrire des équations simples auxquelles les calculs élémentaires s'appliquent.

Newton a fait pour la physique ce que la notation moléculaire devait faire pour la chimie. C'est la tendance tout à fait nette de Newton d'attribuer partout aux symboles mathématiques une signification non pas descriptive, mais métrique. Au

LA PHYSIQUE MATIIKMATIQUE ET LE MÉCANISME 3i9

lieu de considérer la science mathématique comme un système de notations absolues, calquées sur la réalité absolue, il en l'ait un ensemble de mesures relatives. Pour lui, s'il existe une science universelle, ce n'est pas l'art de combiner, c'est lart de mesurer'. En ce sens il faut placer sur le même rang les mathématiques, la mécaniciuc, la physique, toutes les sciences qui sont parvenues à faire des mesures exactes. A vrai dire, il n'est qu'une seule science, celle qui observe les rapports des phénomènes, en détermine les lois numériques et en prévoit lapparilion. Mais selon l'ordre de phénomènes qu'on étudie, celte science prend des noms différents. Elle s'appelle arithmétique, géométrie, algèbre, lorsqu'il s'agit de mesurer des grandeurs abstraites, mécanique, lorsqu'il faut mesurer des forces, physique proprement dite, quand la mesure doit porter sur des quantités sensibles. Dans tous les cas, les procédés employés sont les mêmes, et ce sont seulement les nécessités pratiques qui ont amené à développer d'abord les parties les plus simples de la science.

Déjà dans l'arithmétique et la géométrie se trouve quelque chose qui laisse prévoir la physique. Opposer les mathématiques et la physique comme ce qui est science à ce qui est art n'est légitime en aucune façon. L'arithmétique est elle aussi un art-, et le véritable travail qu'elle exige est déjà un travail physique. Sitôt qu'on s'attache moins à l'enchaînement des nombres qu'au sens des mesures, on fait de l'arithmétique une science concrète, la science physique la plus simple de toutes. Piéciproquement la physique la plus élevée n'est science que dans la proportion où elle participe des mesures précises : elle est l'arithmétique des phénomènes sensibles. Au fond il y a passage continu des sciences qu'on nomme malhématiciucs à celles que nous appelons physiques. Elles s'occupent toutes de relations numériques entre des objets déplus en plus complexes. Vapplicalion des mathématiques à la physique ne pouvait être chez Newton qu'une complication des mesures mathématiques à l'occasion des problèmes physiques.

1. Cf. l'rinci]tes, l'ivfacc de 1080. « La gi-ométiif n'est aiUie clioso (luiiiio liranclu' di" la iiiéc ;uii(jue universelle, qui traite et (|ui démontre l'art de mesurer. »

t'. V. Melh. Univ., Ed. Braudou.x, p. 91.

D'ailleurs Newton a exposé lui-même ^ en quel sens la véritable physique est mathématique, et il est intéressant de constater qu'il fait des mathématiques non un auxiliaire de la pliysique, mais la première et la plus simple des sciences physiques. L'arithmétique, la géométrie, toutes les sciences exactes ont commencé par être des sciences mécaniques. Elles avaient pour objet de répondre au besoin de mesure qui est une des premières nécessités de la pratique. Parmi ces sciences il en est qui parviennent de bonne heure à découvrir des procédés de mesure rigoureuse. Telles sont la géométrie et l'arithmétique, que l'on a appelées pour ce motif des sciences rationnelles. Par opposition à ces sciences exactes, les anciens ont fait de la mécanique une science appliquée, incapable de mesures précises, et quils ont appelée empirique. Mais cette distinction est entièrement factice. Il fut une époque où la géométrie procédait elle aussi par tâtonnements, et inversement il devait arriver un temps où l'exactitude de la mécanique ne le céderait en rien à celle des sciences abstraites. « Les erreurs que commet celui qui exerce un art sont de l'artiste et non pas de l'art. Celui qui opère moins exactement est un mécanicien moins parfait et conséquemment celui qui opérera parfaitement sera le meilleur » \ 11 suit de là que le géomètre ne pratique pas une méthode différente par essence de la méthode physique ou mécanique. La science qu'il cultive est pratique comme les autres, seidement elle est arrivée, depuis plus longtemps à des procédés parfaits. « La Géométrie appartient en quelque chose à la Mécanique, car c'est de cette dernière que dépend la description des lignes, droites et des cercles sur lesquels elle est fondée. 11 est effectivement nécessaire que celui qui veut s'instruire dans, la Géométrie sache décrire ces lignes avant de prendre les premières leçons de cette science. Après quoi on lui apprend comment les problèmes se résolvent par le moyen de ces opérations. On emprunte de la Mécanique leur solution : la Géométrie enseigne leur usage et se glorifie du magnitique édifice qu'elle élève en empruntant si peu d'ailleurs. La.