Correspondance, Ed. Cousin, VIE

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Il est un point pourtant où la géométrie cartésienne s’est rapprochée singulièrement de l'idée de limite, et où les vues que donne Descartes, pour incomplètes qu’elles soient, devaient le conduire au calcul nouveau s’il avait su leur adjoindre le postulat de la continuité. Nous voulons parler de ce curieux problème de | « arcufication » qui a été traité par Descartes dans ses notes manuscrites! et sur lequel M. Moritz Cantor appelle à juste titre l'attention ?. Descartes n'avait pas consacré ses efforts à la rectification des courbes algébriques, qu'il estimait le plus souvent impossible « à cause que la proportion qui est entre «les droites et les courbes n'étant pas connue et même, « Je crois, ne le pouvant être par les hommes, on ne pourrait -«« rien conclure de là qui fût exact et assuré?. » Par contre il croyait possible de résoudre le problème inverse. On peut tenter de trouver une circonférence de même longueur qu'un carré donné ; c'est le problème de l' « arcufication » que Descartes résout d'une manière rigoureuse. Le point intéressant de sa démonstration est qu'il est pour la première fois fait usage de la sommation d’une série infinie. Cette série est la progression géométrique très simple.

dont la somme est égale à 4/3. A chacun des termes de cette série correspond la construction d'un polygone qui permet d'approcher davantage de la solution. Mais c'est seulement la limite de ces polygones, le cercle lui-même, qui est la solution véritable. Ici encore Descartes, bien qu'il fasse appel à des considérations de limite, reste au fond sur le terrain arithmétique. La somme dont il se sert est un mombre fixe, de tous points identique à un nombre fractionnaire. C'est seulement s'il avait envisagé des séries infinies dont les termes dépendent d'une variable que Descartes aurait franchi l'inter- : valle qui sépare l’Algèbre du Calcul Infinitésimal.

A partir de Descartes, le calcul infinitésimal fit presque par-

tout l’objet exclusif des recherches. Les problèmes qu'on put

4. Voy. Descartes, Ed. Cousin, X[e vol., p. 442 sqq. 2, Cantor, Gesch. d. Math., T. II, LXXIX, 778. 3. Géométrie, L. IT, p, 357.

aborder avec succès se multiplièrent rapidement, et il nous devient impossible d'en donner une énumération complète. II est intéressant de signaler que l’école cartésienne, l’école allemande et l’école anglaise se sont inspirées dans leurs recherches

de principes différents. Parmi les Cartésiens, Pascal le premier, abandonnant résolument le point de vue du maître, fit intervenir dans le calcul les infiniment grands et les infiniment petits. On lui doit une démonstration de l'aire de la sphère qui

fit une profonde impression sur l'esprit de Leibniz‘. Dans sa solution du problème des tangentes, Pascal se servait très probablement d’un triangle analogue au « triangle caractéristique », lequel est formé d’une corde infiniment petite et de

ses projections sur les axes coordonnés?. Mais les décou-+ vertes de Pascal touchant le calcul des Probabilités devaient avoir encore une plus grande influence sur le développement

du Calcul infinitésimal. Celte influence fut d'abord indirecte,

car elle obligea les mathématiciens à porter leurs efforts sur

les séries de puissances ct sur l'analyse combinatoire, dont nous verrons bientôt l'importance historique en ce qui concerne

le calcul intégral. Plus tard le Calcul des Probabilités exerça une influence directe, en soulevant une foule de problèmes où il s'agit d'évaluer en nombres infinis une somme de chances infiniment petites. Quoi qu'il en soit, Pascal et ses disciples, en découvrant le « Calcul des hasards », avaient ouvert un domaine nouveau dont l'analyse des infinis devait, au point de vue arithmétique, tirer le plus grand profit.

En Allemagne, des mathématiciens comme Leibniz furent, conduits au Calcul infinilésimal par des considérations toutes différentes. C’est l'idée d’une « Caractéristique Réelle »° qui a conduit Leibniz à un système de signes d’où devait forcément. se déduire la notation différentielle. On sait ce que Leibniz prétendait faire à l’aide de sa Caractéristique. C'était une tentaüve fort hardie pour remplacer non seulement le latin, mais.