Principes, Lois du mouvement, Cor. I et II

c'est seulement à de pareilles forces que s'appliquait la loi de l'indépendance. Mais Newton a insisté beaucoup sur le fait qu un mouvement absolu n’est jamais observable. Ce que nous appelons de ce nom, c'est un mouvement de plus en plus «entier », c’est-à-dire de plus en plus affranchi des restrictons qu'impose la mesure.

Il faut, lorsque nous voulons procéder à la détermination effective d'un mouvement, que nous le rapportions à des points de repère supposés parfaitement invariables, et lorsque de pareils points nous manquent, nous devons les imaginer. Nous comparons le déplacement des repères à un système qui demeure invariable, et si ce système lui-même se déforme, il faudra corriger l'erreur qui en résulte en se référant à un SYStème nouveau. Ainsi seulement nous arrivons à nous faire l'idée d’un mouvement absolu. Ce sera, dans l'exemple cité par Newton, la somme géométrique du mouvement du pilote sur le pont, du mouvement du navire à la surface des eaux, du mouvement des eaux à la surface de la terre, du mouvement de la terre sur elle-même et autour du soleil. Mais ceci suppose le soleil invariable, et en réalité nous ne savons jamais si notre système de comparaison est immobile. Bien plus, le bon sens et l'expérience nous enseignent que les mouvements relatifs sont les seuls accessibles, etcecioblige à se demander si toutes les propositions de la mécanique, vérifiées pour le mouvement relatif, demeurent vraies dans l’espace absolu.

En d’autres termes, les principes de la mécanique très suffisamment conformes à l’expérience quotidienne d’un observateur attaché au mouvement de la terre, gardent-ils quelque valeur pour un observateur indépendant de notre espace et habitué à rapporter le mouvement à des axes qui lui semblent immobiles ? |

C’est à cette question que le principe de Newton donne une réponse précise. Les mouvements des corps enfermés dans un espace quelconque sont les mêmes entre eux, soit que cet espace soit en repos, soit qu'il se meuve uniformément en ligne droite sans mouvement circulaire. Ceci signifie qu'une translation d'ensemble ne modifie pas les mouvements relatifs des corps. Si un phénomène s’est présenté à nous sous un certain aspect lorsque nous en rapportions les détails à des axes réputés

absolus, les particularités du phénomène resteront les mêmes si les axes reçoivent un déplacement quelconque, pourvu que ce déplacement se fasse tout d’une pièce avec les mobiles que nous observons. Par exemple le mouvement relatif des passagers sur le pont du navire ne sera pas altéré parle déplacement du navire, pourvu que celui-ci soit uniforme et rectiligne. On peut dire alors que les lois du mouvement sontindépendantes de la question de savoir si le système de référence est immobile ou non. Il suffit qu’on puisse admettre, comme c'est le cas, que si les axes se meuvent dans l'espace, leur déplacement est assez régulier pour être assimilable à une translation.

Si les axes recevaient un mouvement qui ne fût pas rectiligne et uniforme, tout ce qu'on vient de dire cesserait d'être vrai. Admettons qu’une rotation rapide entraine les axes coordonnés autour d'une droite fixe. Il se développera dans le mouvement apparent des forces centrifuges relatives dont l'effet viendra se superposer à celui des forces absolues. Alors le mouvement changera de caractère. Il ne sera plus le même, vu de l’intérieur ou de l'extérieur du système. Si l’on veut qu'un mouvement se superpose à un autre sans en modifier l'effet, ce mouvement ne peut-être qu'une translation.

On peut se demander pourquoi les translations jouent de la sorte un rôle privilégié en mécanique. Elles sont les seuls déplacements relatifs qui soient sans influence sur l’étatintérieur des systèmes. Ce que nous avons dit de la mesure des forces suffit à rendre compte de cetle particularité. Nous avons toujours mesuré les forces par le produit des masses et des accélérations, ces dernières étant censées rapportées à un système immobile. Mais la définition mathématique des accélérations montre qu’elles sont indépendantes du système coordonné pourvu que celui-ci se déplace d'un mouvement uniforme. Toutes les vitesses sont alors augmentées d’une quantité constante, et cette quantité s’élimine dans la mesure des différences. Les forces, qui sont fonclions de ces seules différences, ne sont pas touchées par la translation.

Il se passe ici quelque chose d'analogue à ce qu'on rencontre dans la mesure des pressions hydroslatiques. Nous pouvons supposer deux réservoirs déplacés d’une hauteur égale, la chute de pression de l’un à l'autre demeure la même, parce qu'elle

dépend de la seule différence des hauteurs. De même en électrostatique on peut attribuer une valeur arbitraire au potentiel d’un corps quelconque. Les grandeurs intervenant réellement dans le calcul sont toujours des différences de potentiel, qui demeurent les mêmes quand les deux termes augmentent de la même valeur. Le cas de la mécanique ressemble aux autres. Les différences des vitesses et non les vitesses elles-mêmes sont les seules grandeurs accessibles, et quand nous parlons de mouvements absolus, nous voulons dire qu'ils sont rapportés à des axes entraînés avec nous. Les effets d'entrainement dus à la translation augmentent les vitesses absolues mais disparaissent dans la mesure des différences. Envisagé sous cet aspect, le principe de Newton n’est qu'une forme nouvelle du principe de « relativisme ».

Le principe de Newton est un de ceux que la mécanique moderne a le plus développés. Newton lui-même avait compris quelle portée mathématique on pouvait lui donner. Il pensait s’en Servir soit pour réduire le COMposé au simple comme le voulait Descartes, soit pour construire le composé en partant du simple, comme le tentera la physique mathématique du xIx° siècle.

La théorie de la précession et celle des marées exposées par Newton dans la section 11 du Livre L, peuvent servir d'exemple de ce dernier procédé. La réduction du composé au simple est surtout employée dans la théorie de la gravitation universelle. Lorsqu'il s'agit de rendre compte du phénomène des marées, Newton se trouve en présence de données complexes, qui même dans les cas les plus faciles, semblent inabordables par le calcul. L'effet des forces est le plus souvent masqué par des actions parasites !, C'est en appliquant le principe de l'indépendance des forces qu'il arrive à trouver les lois du phénomène. La composante normale, la composante tangentielle de l'attraction lunaire ou solaire agissent indépendamment et l’on peut trouver soit des stations maritimes, soit des époques de l’année ou l’une de ces forces prédomine. On arrive de la sorte à faire la synthèse de ce qui semblait au premier abord inexplicable.

Inversement, il est des cas, par exemple celui des mouve-

1. V. l'énumération donnée par Newton des lieux du globe où les marées sont anormales.

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ments planétaires, où l'analyse du réel semble impossible, tant les forces mises en jeu sont complexes. Aux actions directes des planètes se mêlent des actions perturbatrices dont l'effet exact nous est inconnu, et l'effet approché difficilement prévisible. C’est encore le principe de l'indépendance des effets des forces qui va nous permettre de débrouiller ce chaos. Nous nous donnerons une trajectoire rapportée à des axes fixes, et nous chercherons à voir quelles perturbations elle subit du fait des causes données. Nous savons que ces causes agiront comme si la planète était immobile, et la trajectoire absolue, une fois corrigée de ces influences, pourra être regardée comme déterminée par l'effet des seules attractions directes. Décomposant ces attractions en une composante tangentielle et une composante normale, nous verrons de même, que le mouvement moyen résulte uniquement d'une force centripète combinée avec une certaine vitesse initiale. Ces exemples suffisent pour faire ressortir l'importance analytique du principe de l'indépendance des effets des forces. Chez Newton et depuis Newton ce principe est à la base de toute la physique mathématique.

Le succès ducalcul intégral devait bientôt justifier la tentation des mathématiciens d’étendrele principe de Newton de la Mécanique rationnelle à la Physique moléculaire. Newton en avait déjà eu l'idée, et l’esquisse de la théorie du potentiel donnée au 1% livre des Principes en est une féconde application. L'attraclion d’une couche sphérique, celle d'une sphère homogène, celles d’autres figures simples sont calculées par lui au moyen de sommations étendues aux forces élémentaires qui résident dans chaque parcelle de la figure. L'attraction totale d'un corps sur un point est ainsi la somme géométrique des attractions partielles de toutes les molécules. L'opération analytique dela sommation correspond exactement pour Newton au principe physique de la superposition des forces.

Depuis, des calculs du même genre ont été introduits em optique, en élasticité, en électricité, pour obtenir par voie d’intégration l'effort résultant d’une infinité d'efforts très petits. Toute la physique moléculaire repose sur un principe qui est une extension de celui de Newton : si l’action d'un élément de volume d'un milieu continu sur un point matériel se traduit par

la création d’une accélération, et si l’on appelle y1, 2, y: les

accélérations provenant des éléments Mi, Ms, Ms.., l'accélération réelle due au milieu totale sera F — Eye +.

Au premier abord il semble évident qu’on a le droit d'étendre de la sorte le champ de la mécanique newtonienne, Malheureusement les progrès de la physique ont fait voir que le principe de la superposilion des forces ne se vérifie pas aussi

exactement dans le domaine des forces moléculaires que dans le domaine des forces mécaniques. Supposer que Île potentiel d'un certain milieu est la somme des potentiels des éléments qui le composent revient à admettre, outre la règle de Newton, l'existence d’un « rayon d'activité» au delà duquel une molécule n agit plus!. Voilà pourquoi on peut à la rigueur étendre le principe de l’additivité des forces à deux forces très pelites émanant de centres voisins. Mais sitôt qu'on considère les effets sensibles exercés par des forces infiniment petites provenant de points possédant des liaisons, les faits expérimentaux ne répondent plus à l'idée d’une superposition. Les lois de l'élasticité en sont un frappant exemple. Si l'on suspend à un même fil deux poids très petits, la tension résultante sera sensiblement la somme des tensions individuelles. Mais si les poids tenseurs augmentent, il vient un moment où les effets croissent d'abord plus lentement, ensuite plus vite que ne le prévoit la règle de Newton.

D'une manière générale, c’est dans la mécanique rationnelle qu'il est permis de dire avec Newton : « Un globe homogène et parfaitement sphérique ne retient pas l'impression distincte de plusieurs mouvements différents, mais de tous ces mouvements divers il naît un mouvement unique... les impressions produiront le FE mouvement circulaire que si elles avaient été imprimées à la fois?. » En hydrodynamique, en élasticité, en magnétisme, les cas abondent où l'effet d'une force dépend à la fois des forces coexistantes, et des forces appliquées antérieurement. Aussi l’état d’un aimant dépend non seulement de la force magnétisante actuelle, mais de tous les cycles magnétiques précédemment décrits. Alors le principe de superposition des forces n’est plus légitime. Il faut en restreindre l'emploi

4. Cf. Sur ce point H. Poincaré, Théorie de l'Élasticité et Théorie malhématique de la Lumière, 2, Principes, L. I, $S. 11. Prop. LXVI, p. 196.

soit aux seules forces mécaniques, soit aux forces moléculaires d’une certaine espèce. C’est une limitation que Newton ne pouvait prévoir, mais que la science moderne a dû accepter:

Il est par contre un autre aspect du principe de Newton que la physique moderne a vainement tenté de modifier. Nous voulons parler de l’axiome du mouvement relatif et de l'impossibilité où nous nous trouvons de constater positivement un mouvement absolu.

Pour Newton, les translations d'ensemble se superposent aux phénomènes sans déranger en rien leurs rapports mutuels. Il est donc impossible à un observateur de décider si les axes qu'il suppose immobiles ne sont pas entraînés plus ou moins en même temps que lui. Ainsi les apparences d'invariabilité de la sphère céleste ne nous permettent en aucune façon de préjuger de son immobilité absolue. Il est possible qu'elle soit entraînée en même temps que nous dans une translation d’ensemble qu'aucun phénomène mécanique ne peut révéler.

On a cru que cette idée newtonienne devait être modifiée par la découverte de l’aberration de la lumière et des phénomènes qui s y rattachent. Les phénomènes optiques sembletil, devaient mettre en évidence latranslation absolue qu'aucun effet mécanique ne peut déceler. C'était l'idée de Fizeau, qui a montré que la lumière ne se propage pas de la même manière dans un milieu au repos et dans un milieu animé d’un mouvement de translation. La propagation des ondes lumineuses se trouve modifiée par le déplacement de la matière comme si l'éther, véhicule de ces ondes, suivait partiellement le mouvement de la matière. Cet entrainement partiel de l’éther peut se manifester de diverses façons. Par exemple il peut avoir pour conséquence un changement dans la position des étoiles selon qu on les observe avec une lunette vide ou avec une lunette pleine d'eau. On pouvait ainsi nourrir l'espoir de décider expérimentalementla question du mouvement absolu. S'il est impossible de mettre en évidence la translation de la terre par rapport à des repèresfixes, on pouvait songer à mettre en évidence la translation de la terre par rapport à l’éther.

Ces efforts, dirigés primitivementcontrele principe deNewton, ont eu pour résultat de le confirmer et de l’étendre à tout un

domaine nouveau. Sous le nom de « principe de relativité », la conception de Newton s’est incorporée aux théories modernes au point d'y prendre une importance égale à celle du principe d'inertie ou du principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Nous prendrons le « principe de relativité » sous sa forme la plus parfaite, celle qu’il revêt dans la théorie de Lorentz!.

L'expérience n'a pas tardé à faire voir qu'aucun phénomène optique ne peut nous renseigner sur la translation absolue de la terre. Ce résultat pouvait se prévoir par des considérations simples : le temps mis par la lumière pour aller d’un point à un autre est indépendant de l’aberration, au second ordre près. Michelson imagina alors la célèbre expérience qui devait mettre en évidence les quantités du second ordre elles-mêmes. Cette expérience, comme les précédentes, donna un résultat négatif. Il est impossible, même avec une précision tres grande, de saisir le mouvement absolu de la terre. Ces résultats semblent indiquer qu’en toute rigueur les phénomènes optiques sont indépendants de l’aberration. C’est l'idée qui a guidé Lorentz et qu'il a introduite dans sa dynamique électromagnétique sous le nom de « principe dela relativité ». Les équations générales du champ électromagnétique sont indépendantes du choix des axes, et cela suffit pour que les apparences optiques ne puissent déceler Ie mouvement absolu. Même dans le cas où des charges électriques sont en mouvement avec une vitesse comparable à celle de la lumière, cette propriété subsiste, car il intervient des déformations qui maintiennent la forme primitive des équations. De toutes façons, dans la théorie de Zorentz, il est impossible de décider expérimentalement de l'existence d’un mouvement absolu. On voit que le principe de Newton, compromis un instant par la découverte de l’aberration, a repris dans les théories modernes une place prépondérante. Newton ne l’avait énoncé que pour le cas de la mécanique. La théorie de Lorentz l'étend a priori à tous les cas.

Le théorème du mouvement du centre de gravité peut difficilement être considéré comme un principe indépendant. Il doit

4. Cf. Poincaré, la Physique expérimentale et la Physique mathémalique- Revue générale des Sciences, 15 nov. 1900, et Sur la Dynamique de l'Électron, Cercolo matematico di Palermo, 1906.

être regardé comme une combinaison du principe de l'inertie, du principe de l'égalité de l’actionet de la réaction, et du principe de l'indépendance des effets des forces. Voici comment Newton l’énonce dans le IV° corollaire des lois du mouvement. « Le centre commun de gravité de deux corps ou de plusieurs corps ne change point son état de mouvement ou de repos par l'action réciproque de ces corps. Ainsi le centre commun de gravité de tous les corps qui agissent les uns sur les autres (supposé qu'il n'y ait aucune action ni aucun obstacle extérieur) est toujours en repos ou se meut uniformément en ligne droite. »

La démonstration de ce théorème peut se faire en toute rigueur de la manière suivante. Supposons d'abord un système sans actions intérieures, c’est-à-dire réglé par la seule inertie. Il ressort alors du principe d'inertie que chacune des parties est en repos ou se meut en ligne droite d’un mouvement uniforme. Mais le centre de gravité de deux de ces parties est un point invariable situé sur la droite qui les joint, et un théorème de géométrie élémentaire nous apprend que si les deux points sont entrainés dans un mouvement d'ensemble, leur centre de gravité participe à la même translation. D'ailleurs le centre de gravité du système de trois points se déduit de la connaissance du troisième point et du centre de gravité des deux autres par la même construction qui a fourni ce dernier. Il s'en suit qu'il décrira à son tour une droite parallèle à la translation, et de proche en proche on montrera qu'il en est de même du centre de gravité du système tout entier.

Admettons maintenant que dans le système s'exercent des actions dues par exemple à des forces attractives ou à des tensions. En vertu du principe de l'égalité de l’action et de la réaction, ces actions seront toujours mutuelles, c'est-à-dire accompagnées de réactions égales et de signe opposé. Si toutes ces actions et réactions sont transportées au centre commun de gravité, elles y superposent leurs effets, ce qui équivaut à dire qu'elles s'y détruisent deux à deux. On peuten dire autant, bien que Newton se contente de le sous-entendre, du couple résultant des couples mutuels élémentaires. Alors le centre de gravité se comportera exactement comme s’il concentrait en lui-même l'inertie totale des parties constituantes. Il restera

au repos ou suivra un mouvement uniforme, comme ferait un point isolé.

Le théorème du centre de gravité ne nous apprend donc rien de neuf au point de vue physique. Mais il nous révèle un des procédés intéressants dont vase servir la mécanique deNewton, savoir la substitution d'un point fictif, le centre de gravité, à une infinité de points réels, et le transport en ce point fictif des actions complexes qui s'exercent dans le système. Il y a là une véritable intégration géométrique, puisque nous mettons une force totale finie à la place d'une multitude de forces élémentaires infinitésimales. En même temps nous pouvons, sans nous embarrasser de la structure réelle des systèmes mécaniques, les réduire à un petit nombre d'ensembles ponctuels que la géométrie peut analyser. C’est la voie que Newton suivra dans le problème général des attractions planétaires. Le théorème du centre de gravité, tout en n’étant pas une loi fondamentale du mouvement, mérite donc d'être compté parmi les grandes lois de la mécanique rationnelle.

Il y a deux Axiomes d’une importance capitale dans la méca-

gés e conservation de l'énergie. Le premier, tel qu'ila été établi par d'Alembert, donneles conditions générales de l’équilibre mécanique. Le second s’est étendu de la mécanique à la physique proprement dite et est devenu la loi fondamentale de toutes les transformations.

On ne peut songer à rechercher chez Newton l'expression générale du principe des vitesses virtuelles, mais ilest possible, à propos de certains exemples, de montrer que Newton en a eu le pressentiment. Il l'a même énoncé d'une manière formelle au moins dans deux cas : le cas du choc des corps et celui des machines simples. On sait comment on exprime aujourd'hui le principe des vitesses virtuelles. On appelle déplacement virtuel d'un système tout déplacement qui satisfait aux deux conditions suivantes : il est infiniment petit, il est compatible avec les liaisons du système à l’instant considéré !. Cela posé, Ja condition nécessaire et suffisante pour qu’un système maté-

1. En général le déplacement réel ne fait pas parlie des déplacements virtuels. °

riel soit en équilibre est que la somme de tous les travaux correspondant à un déplacement virtuel quelconque soit nulle. Le principe porte donc à proprement parler, non sur les vitesses mais sur les travaux virtuels. Par là il confine au principe de la conservation de l'énergie, qui régit également la production du travail. Mais à l'époque de Newton l'idée de travail n'avait pas encore était reçue définitivement dansla science. La considération plus simple des vitesses est prépondérante chez lui. C’est grâce à elle qu'il peut aborder la question de l'équilibre dû au choc et de l'équilibre dans les machines simples.

Quand deux corps qui se heurtent demeurent ensuite au repos, Newton constate expérimentalement que leurs vitesses au moment du choc sont toujours inversement proportionnelles aux forces d'inertie (vires insitæ). Mais les vitesses sont proportionnelles aux derniers déplacements et les forces sont supposées agir dans le sens de ces déplacements. Alors le résultat des observations de Newton peut s’interpréter ainsi : le travail virtuel des forces de percussion (comptées avec leur signe) est nul.

Le principe ressort plus clairement encore des lois constatées par Newton dans l'étude du levier, de la balance, du moufle. « Les puissances qui agissent dans la mécanique se contrebalancent et détruisent leurs effets mutuels quand leurs vitesses dans la direction des forces sont réciproquement comme ces forces!, » Ainsi supposons que deux poids inégaux soient suspendus aux extrémités du fléau d’une balance. Pour que la balance demeure en équilibre, il sera nécessaire et suffisant que les poids soient en raison réciproque des vitesses qu'auraient les deux bouts du fléau si on laissait les oscillations se faire librement. Ceci est vrai tant que les déplacements sont censés s'effectuer suivant la verticale, c’est-à-dire suivant la direction même des forces. Mais si pour une raison ou une autre les oscillations ne se font plus dans un plan vertical, il faudra remplacer dans l'énoncé de la règle les déplacements réels par leurs projections verticales. Newtonavaitnettement compris quela raison déterminante de l'équilibre mécanique est l'égalité non des vitesses mais des puissances virtuelles, et parce que le facteur