Principes, L. I, S. 12, Prop. LXXVllI Scholie

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LA PIlILOSOPini: DE NEWTON

mètres. Des forces finies agissant sur un nombre limite de points, tel est l'équivalent que donne le calcul intégral du nombre illimité des forces primitives. Cette réduction n'est possible que par l'emploi du calcul infinitésimal, utilisé comme instrument de quadratures. Ce sont les théorèmes de calcul intégral que Newton établit une fois pour toutes dans la 1 1® Section du premier Livre qui lui permettent de ramener, d'une manière immédiate, les problèmes très comj)lexes de l'astronomie solaire à un petit nond)re de types très simpl(\s, auxquels correspondent des équations canoniques.

Le calcul différentiel est un procédéessentiel de la mécanique céleste puisque c'est lui qui donne la loi de force lorsqu'on suppose la trajectoire comme. C'est lui aussi qui fournit les relations entre les éléments finis de l'orbite et la variation instantanée de ces éléments. Parmi les emplois du calcul différentiel, il en est un qui mérite d'être signalé, parce que Newton en fait usage à plusieurs reprises. C'est l'emploi de ce calcul comme calcul d'erreurs.

Supposons en effet que les positions dun astre nous soient données à certaines époques et que ces positions satisfassent à peu près aux lois du mouvement Képlérien. Nous aurons à nous demander si l'astre décrit réellement une ellipse autour d'un centre attractif, ou si les incertitudes d'observation sont telles qu'on ne puisse appliquer avec rigueur les lois du mouvement elliptique. On comprend toute limportance de cette question en ce qui concerne, par exemple, la recherche des satellites. Pour qu'un astre décrivant autour (l'une planète une orbite quasi-elliptique puisse être regardé comme un satellite de cette dernière, il importe d'avoir une limite supérieure des différences que l'on peut constater entre l'orbite théorique et l'orbite réelle. Si ces différences dépassent une certaine valeur, il sera naturel ou de supposer que l'astre en question subit des influences perturbatrices ou bien que les lois de l'attraction newtonienne cessent d'être vraies. C'est pour décider entre ces deux alternatives qu'on se servira du calcul différentiel.

Celui-ci permet d'exprimer la variation d'une grandeur en fonction de la variation d'une grandeur corrélative. D'une manière tout à fait rigoureuse il ne peut s'appliquer que si les

variations sont infiniment petites. Mais lorsque ces dernières, tout en demeurant finies, sont négligeables vis-à-vis des autres quantités, le calcul différentiel peut dune manière approchée fournir les lois dont elles dépendent. Or les erreurs que l'astronome commet en calculant les éléments d'une orbite sont fonctions des erreurs qu'il admet dans ses hypothèses. Ce sont des grandeurs dont on peut évaluer une limite supérieure en fonction de la limite d'exactitude des données. 11 suffit de modifier, par exemple, les lois de Kepler ou la loi de l'attraction universelle en augmentant d'une quantité très petite les paramètres qui y figurent pour déduire, par laMéthode des fluxions, la différentielle des fonctions calculées ou Terreur commise *. On verra alors si cette erreur est du même ordre que l'erreur observée, et l'on pourra décider si la divergence des deux nombres doit être attribuée à l'imperfection des mesures ou à l'insuffisance des lois théoriques.

Ce procédé est employé par Newton pour démontrer, au moyen des satellites de Jupiter, la première partie de la loi d'attraction universelle, savoir la proportionnalité des effets aux masses-. Il ne faut pas oublier en effet que la loi de l'inverse du carré des distances n'est pas toute la loi de la gravitation universelle. Ui proportionnalité des gravités aux masses est démontrée par Newton avec le même soin minutieux que la loi de décroissance avec la distance. Si l'attraction exercée par le Soleil sur Jupiter et l'un quelconque de ses satellites n'était pas très exactement proportionnelle aux masses, il serait possible d'en déduire par la méthode différentielle la variation d'excentricité de l'orbite de ce dernier. Or Newton montre ([u'une différence de l/1000"dans la« gravité accélératrice» desmasses entraînerait une différence de 1/5 entre les distances extrêmes de Jupiter et de son satellite. L'orbe de ce dernier serait donc très sensiblement excentrique, contre toutes les observations de Galilée et de Newton. On voit par cet exemple, auquel il serait facile d'en ajouter beaucoup d'autres, le rôle curieux que le calcul différentiel, envisagé comme calcul d'erreurs, peut jouer dans l'établissement de la mécanique céleste.

1. C'est l'origine de la « méthode des variations » appliquée depuis par Jacobi et Laplace au calcul des inégalités de tout ordre.

i. Principes, L. III. Prop. VI, p. 19.

Avec l'emploi du calcul infinitésimal, la mécanique céleste devient une science positive, en ce sens qu'elle est capable de se contrôler elle-même parle rapprochement des formules et des observations. Mais il ne faudrait pas croire qu'elle devienne par là même une science achevée. On a trop de tendance à croire que soii but est de poser une fois pour toutes les équationsdumouvementdu système solaire el qu'elle ne doitrencontrer d'autres difficultés que celles résultant de la complexité de ces équations. Nous savons déjà que les mathématiques ne sont pas faites pour s'appliquer d'emblée à toute la réalité. Il faut que celle-ci subisse des simplifications successives qui rendent l'application des matiiémaliques de plus en plus complète. Ainsi le problème astronomique a reçu une première simplification du fait que le centre de gravité des masses a été substitué aux masses elles-mêmes. Mais les lois du mouvement elliptique ne constituent encore qu'une première approximation. Elles sont vraies dans le cas de deux corps seulement, et ce cas n'est pas exactement réalisé. Le problème des deux corps est un problème restreint, simplifié par une véritable abstraction. Il fournit des solutions provisoires, qui préparent des solutions plus complètes. C'est en somme parce que le soleil exerce sur toutes les planètes une action prépondérante, qu'on a pu négliger tout d'abord dans la mécanique céleste l'infiuence des planètes les unes sur les autres pour se borner avec Kepler à la théorie d'une planète isolée.

Mais une fois que la loi d'attraction a été dégagée de ce cas théorique, le bon sens même indique qu'il va ftdloir compléter les résultats de Kepler par une approximation plus subtile. Les planètes exercent les unes sur les autres des attractions de tous points semblables à celles qui émanent du soleil, et l'effet de ces forces va être de troubler leurs trajectoires théoriques. Ainsi la perfection même avec laquelle, en première approximation, les planètes suivent les lois de Kepler, amène à rechercher une approximation plus grande où ces lois seront dépassées. Le calcul des forces perturbatrices et des inégalités donne un terme complémentaire qui viendra s'ajouter à celui que fournit le problème dos deux corps ^ Ce terme, pas plus que

le premier, ne donne une solution complète. Les recherches astronomiques demeurent ouvertes à des approximations ultérieures, dont l'ensemble seul donnerait la solution exacte.

On voit comment va s'organiser pour Newton le développement de la mécanique céleste. Ce développement part du j)roblème des deux corps, qu'on peut considérer comme parfaitement résolu. A ce problème vient se superposer le problème des forces perturbatrices du premier ordre, ou problème des trois corps. Puis on recherchera, en se guidant toujours sur les inégalités signalées par l'observation, des approximations encore plus précises, sans jamais prétendre à des lois absolues. Ce progrès de la mécanique céleste, comme celui de toute science mathématique, doit marcher de pair avec le progrès des observations. A mesure que l'astronomie empirique trouve des relations de mieux en mieux vérifiées, ce sera le rôle de l'astronomie mathématique de donner à ces relations une forme déductive.

C'est un des caractères originaux de la loi de gravitation universelle que ce perfectionnement successif dont elle est susceptible. Avant Newton, on ne connaissait pas de loi qui pût de la sorte se compléter elle-même. Les théorèmes de Descartes sur les mouvements célestes étaient nécessairement faux ou nécessairement vrais. Ils ne j)ouvaient être admis comme approximation première, sauf à expliquer les inégalités d'observation par une application des mêmes théorèmes. Newton au contraire avait fort bien compris que nulle loi physique n'est absolue. Si l'on veut énoncer une loi qui présente un certain nombre de cas d'application, il faut renoncer d'avance à l'appliquer partout. Mais le désaccord de l'expérience et de la loi peut s'expliquer de deux manières. Ou bien la loi même n'a d'exactitude que dans un domaine restreint, ou elle est applicable dans tous les cas, la complexité des phénomènes dissimulant parfois la rigueur de la loi.

C'est cette dernière alternative qui a lieu pour la gravitation universelle ^ La gravitation se traduit dans les cas les plus simples par les apparences du mouvement képlérien, et dans les cas plus compliqués c'est encore elle qui fait que ce mou-