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on retrouve chez lui cette idée que le choix d'une méthode relève autant de l'instinct que de la raison. Diriger, développer, affiner cet instinct, voilà le rôle de l'éducation mathématique. Descartes s'est donc trompé. Il n'existe pas de méthode souveraine dont il suffise de posséder la recette pour découvrir le vrai. Car si le bon sens est la chose du monde la mieux partagée, c'est-à-dire si chacun est capable de comprendre une explication logique, il faut un don spécial pour trouver, et ce don c'est l'exemple qui le suscite.

Les notions sur lesquelles portent l'arithmétique et l'algèbre étaient considérées par Descartes comme des idées innées. Ce qui fait l'excellence de ces sciences, c'est qu'elles reposent sur un petit nombre de « natures simples », c'est-à-dire d'idées premières qui nous sont données par la raison. Bien que Descartes n'ait laissé nulle part une énumération complète de ces natures simples, on sait qu'elles étaient pour lui en nombre limité, sans doute très restreint, et peut-être en mathématiques •n'en admettait-il pas d'autres que la grandeur, le nombre et l'étendue. En tout cas, elles sont radicalement distinctes de toutes les connaissances qui nous adviennent par les sens ; elles forment un domaine à part, le seul où la rigueur soit possible.

Newton, dans son Arithmétique, n'a pas à rechercher l'origine des notions que le calcul développe. Pourtant sa manière de présenter les choses fait voir clairement qu'il n'accepte pas le point de vue cartésien. Le nombre, l'étendue, la figure, ne sont pas des objets privilégiés, isolés dans notre entendement, et auxquels s'applique un raisonnement spécial. Tout est nombre, étendue et figure, tout du moins peut s'envisager au point de vue du calcul, sans qu'il soit vrai de dire que les idées innées conviennent seules aux recherches du géomètre. La manière algébrique de penser est plus près qu'on ne croit du sens commun, même en appelant de ce mot l'expérience de l'esprit vulgaire. Les notions empiriques, celles que Descartes nommait adventices, loin d'exclure l'application des mathématiques, en sont au contraire l'objet naturel. S'il n'y avait qu'un nombre fini d'idées premières sur lesquelles pût opérer le calcul, il faudrait reconnaître (et Descartes le croyait) que a science suit une voie unique, dont on peut dès maintenant

fixer la direction. Au lieu de cela, disons avec Newton que les notions mathématiques nous sont suggérées d âge en Age par les besoins de la pratique, qu elles sont seulement une précision de plus introduite dans le langage vulgaire, et qu'il en doit surgir de nouvelles le jour où se posent des problèmes nouveaux; nous ferons des mathématiques une science appliquée, mais en môme temps nous en assurerons l'évolution et le progrès. Il convenait à l'esprit concret de Newton de ne pas opposer le calcul du savant aux connaissances de l'homme ordinaire. Entre les abstractions de l'algèbre et les impressions de la vie quotidienne, il n'y a pas cet abîme profond qui séparait pour Descartes l'idée innée de l'idée empirique. Les unes et les autres se tiennent, et la science, même abstraite, n'est comme le diront plus tard les positivistes qu'un « simple prolongement de la raison publique ».

L'idéal de l'Algèbre et de l'Arithmétique n'est plus alors de partird'embléc du minimum de définitions nécessaires, et deles développer sans lacune comme sans défaillance ; il ne faut point ' construire laborieusement un édifice qui n'abrite rien de réel. 11 convient bien plutôt, et c'est ce que fait Newton, de partir des données du bon sens et de faire ressortir l'aspect par où elles donnent prise en calcul. Le jour où d'autres données surgiront, le centre de gravité des mathématiques se déplacera. Pour le moment l'astronomie, la physique, la mécanique, ou encore l'économie politique, peuvent fournir des exemples aussi précis que la géométrie. La notion du mouvement, celle de la vitesse, comme aussi celle de la valeur, sont des idées empiriques à coup sûr et pourtant mathématiquQS par quelque côté. Newton, qui les examine toutes, leur emprunte à toutes des exemples, qu'il s'efforce de varier autant que possible. Son but est avant tout d'apprendre au lecteur à préciser l'expérience par le langage, et c'est là une définition toute nouvelle de l'algèbre comme de l'arithmétique.

Il est aisé de comprendre à présent comment vont s'introduire dans l'arithmétique les quelques notions qui servent de base au calcul. C'est par opposition aux doctrines cartésiennes, mais c'est surtout par contraste avec une grande partie des mathématiques modernes, qu'il est facile d'apprécier l'originalité du point de vue de Newton. Pour un esprit comme celui

de Descartes, il était nécessaire que les concepts de nombre, depuis le nombre entier jusqu'au nombre « sourd » ou irrationnel, faisant tous partie de cette « lumière naturelle » que Dieu a mise primitivement en nos âmes, apparussent comme des données abstraites, justifiées par leur seule évidence. L'idée du nombre cardinal ou de la quantité, l'idée du nombre ordinal ou de la succession, se trouvent de toutes pièces dans notre entendement, et si elles ne suffisent pas dans toutes les recherches, ce sont d'autres abstractions, l'idée du nombre ft rompu » ou fractionnaire, celle du nombre « sourd » ou incommensurable, qui viendront répondre aux besoins de l'esprit. De la sorte les notions arithmétiques se présentent comme des conventions logiques, des définitions nécessaires, que nous avons le droit de poser parce qu'elles sont claires, et qui doivent réussir parce qu'elles sont distinctes. C'est déjà la tendance spinoziste, qui place au début de toute science quelques définitions absolues, d'apparence verbale, mais dont la nécessité éclate aux yeux de la pure raison.

Chez bon nombre de mathématiciens modernes une tendance analogue se fait jour, et biep qu'on n'y puisse retrouver la môme confiance métaphysique, on y distingue un égal souci de définir les mathématiques indépendamment de la réalité, En algèbre comme en géométrie, un effort considérable a été fait pour séparer l'ensemble des applications possibles et celui des axiomes nécessaires ; partout où une notion irréductible se rencontre, qu'il s'agisse par exemple de nombres imaginaires, de variables complexes, ou encore de transcendantes nouvelles, on a voulu tourner la difficulté à laide d une convention. Le nombre imaginaire n'est pas un objet à concevoir; c'est le résultat d'une pure convention, en vertu de laquelle j'associe deux nombres réels, en m'astreignant à observer entre eux un certain ordre. Les étendues à n dimensions ne sont pas une notion nouvelle par rapport à l'espace ordinaire; elles aussi dérivent d'une simple convention, par laquelle j'étends aux systèmes de n variables indépendantes les propriétés qui me sont familières dans le cas de trois variables seulement. Quant aux transcendantes que l'analyse nous découvre, il nous est d'autant plus facile d'y voir un effet de nos conventions qu'à côté d'expressions régulières, aisément

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applicables aux cas réels, il nous est possible de construire des fonctions spéciales, jouissant de propriétés arbitraires, et vraisemblablement incompatibles avec tous les exemples que la pratique peut fournir. De la sorte toutes les notions mathématiques deviennent des définitions conventionnelles. Par là nous évitons le reproche de leur donner une origine innée, bien qu'en réalité nous conservions l'avantage, si cher aux Cartésiens, de leur laisser une certitude antérieure à toute expérience. Les mathématiques n'ont pas à rechercher l'origine des notions sur lesquelles elles travaillent. 11 leur suffit que les notions puissent se poser sans contradictions et s'adapter aux vérités admises. Ainsi elles se mettront à labri du scepticisme le plus hardi, car si rien n'est plus facile à révoquer en doute qu'une idée innée, rien aussi n'est moins arbitraire qu'une convention consciente.

Une pareille façon de présenter les choses aurait été admise par Newton dans un ouvrage d'enseignement. Là sans doute, à condition qu'on veuille sacrifier tout à la rigueur didactique, il est permis de présenter les êtres mathématiques comme des créatures tout abstraites, issues de leur définition. Mais si nous voulons tirer de l'algèbre la réalité qu'elle contient, nous ne devons pas, dès le début, enlever aux notions les plus simples tout caractère empirique. Au contraire, l'étude rationnelle des nombres doit avoir pour but de nous apprendre à lire, sous un langage plus clair, le sens concret que les choses elles-mêmes nous fournissent confusément. Voilà pourquoi Newton tire successivement, non de conventions abstraites, mais de l'expérience sensible, d'abord l'idée du nombre entier, puis celle du nombre négatif, du nombre incommensurable, du nombre imaginaire comme plus tard il y rattachera celle du nombre infiniment petit.

Le nombre entier ne nous est pas donné par la numération d'objets discontinus. L'idée de collection, sur laquelle on fonde généralement aujourd'hui celle du nombre entier S ne semble à Newton qu'un cas particulier. En vérité, en partant de cette idée, les Cartésiens avaient beau jeu pour faire du nombre le type des natures simples ou innées. Mais à mesure qu'ils le