Lettre de Leibniz au marquis de L'Hôpital, déc

2. Cf. Leibniz et Pascal, parC.-J. Gerhardt, Comptes Rendus de l'Académie de Berlin. 1891, p. 1053 sqq.

3. Characteristica Realis est une expression qui semble avoir été créée par un Anglais, Georges Dalgarno, auteur d'un Avs Signorum, vulgo Cfiaracler Universalis et Lingua Philosophica (1601).

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toute langue en général, par un système de signes rationnels, exactement appropriés à la pensée. L'idée de Leibniz n'était pas très éloignée de l'idée cartésienne d'énumération^ Il voulait décomposer en éléments simples l'ensemble de nos notions, affecter à chacun de ces éléments un signe distinctif, et remplacer le travail du raisonnement par un mécanisme s'exerçant sur ces signes. On peut voir là une première tentative d'Algèbre Logique ou d'Algèbre Universelle. Des essais du môme genre avaient été tentés par deux logiciens Anglais, Dalgarno et Wilkins ^ Leibniz, qui eut connaissance de ces travaux bien après avoir publié les siens, leur reproche d'une façon générale d'otre plutôt grammaticaux que logiques. Ce qu'il faut, c'est un système de lettres sur lesquelles ou puisse opérer non par la syntaxe mais par l'Algèbre proprement dite. Les signes de l'addition S de légalité, de la multiplication, de la division, doivent pouvoir, si l'on classe convenablement les idées, servir à les combiner sans faute, et ainsi la réalité de la pensée pourra correspondre à des opérations formelles. Il est vrai que Leibnitz n'a donné nulle part l'exposé complet de sa science caractéristique. Il a tenté de faire dans quelques-uns de ses écrits l'analyse des concepts fondamentaux, dans d'autres il esquisse leur synthèse au moyen de l'art combinatoire. Mais le rapport de ces deux procédés n'est pas défini clairement par Leibniz. Faut-il conclure que cet esprit encyclopédique avait fini par renoncer à sa Caractérisque Universelle ? Il serait plus exact de dire qu'il aperçut la nécessité urgente de mettre à la base de la logique une théorie plus complète des nombres. L'analyse d'un tout donné en éléments indivisibles est un problème hors de la portée de l'Arithmétique ordinaire. Nos idées présentent entre elles une suite de différences continues. Or les différences infiniment petites ne peuvent entrer utilement dans nos calculs que si elles reçoivent des symboles nouveaux et si on les soumet à des opérations

1. La philosophie de Leibniz, vers 1666, était encore fortement marquée de l'influence cartésienne.

2. L'ouvrage de Wilkins parut en 1668 sous le titre An Essay towards a Real Character and a Philosophical Linguage, witli an alphabetical Dic~ lionary.

3. Le signe -f est déjà utilisé par Leibniz comme signe de l'addition logique.

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spéciales. De là vient la nécessité de créer au préalable une Algèbre infinitésimale, si Ton veut aboutir à une Logique Universelle. C'est donc par le Calcul des notions et le Calcul des différences que Leibniz a été conduit à l'Analyse infinitésimale.

Les mathématiciens de l'école anglaise, qui furent à peu près les seuls maîtres de Newton, introduisirent dans la science un certain nombre d'idées nouvelles qu'il est essentiel de connaître si l'on veut apprécier exactement l'originalité de Newton luimême. Parmi ces idées, il en est deux qui devaient se montrer particulièrement fécondes. Les géomètres anglais firent voir d'abord que la sommation des aires repose sur un calcul d'approximations. Ils montrèrent ensuite que l'algèbre ordinaire ne suffisant pas à effectuer simplement des opérations différentielles, d'autres règles de calcul étaient nécessaires.

John Wallis publia en 16G5 son Arithmétique Universelle*. Cet ouvrage qui fut longtemps classique était le complément naturel des travaux de Cavalieri. Au lieu de s'en tenir aux quadratures entières, c'est-à-dire à la mesure de l'aire des courbes ayant pour équation générale ;

Wallis applique la méthode des indivisibles à toutes les paraboles d'ordre rationnel.

// =z a^v~ -{- bx ^

Il divise l'aire interceptée par la courbe, l'axe de a? et deux parallèles à l'axe des y en un grand nombre d'aires infiniment petites, de même largeur /, et dont la hauteur est déterminée par l'équation de la courbe. Chacune de ces aires infiniment déliées peut s'assimiler d'une manière approchée à l'aire du rectangle ayant l ])our base et y pour hauteur. H y a là un premier emploi delà méthode des approximations. De plus, lorsqu'on ajoute toutes ces aires, Wallis constate qu'on obtient toujours en facteur une série à termes numériques, qui se prolonge d'autant plus loin que la division de la courbe a été ellemême poussée plus loin el dont la valeur intégrale devrait

\. Arithmetica Universalis seu Nova Methodus inquirandi in curv'dineo' rum quadraturam.

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intervenir dans la solution complète. Malheureusement cette valeur intégrale n'est connue que pour un petit nombre de séries, par exemple pour la progression géométrique dont Descartes avait fait usage*. Mais sitôt qu'on opère sur des courbes compliquées, on rencontre des séries numériques difficilement sommables. Prenons même la parabole

y = ax^

et cherchons à évaluer l'aire qu'elle limite avec sa tangente entre les abscisses o et x. Nous devrons décomposer l'intervalle ox en un nombre très grand n de parties très petites /, de telle façon que ni = x. Additionnant alors les rectangles partiels, il vient pour Taire demandée;

ou

A — al-.l + a{'2l]Kl + ^(3/)^./ 4-...-f a{nl}'-.l A = aP (1 4- 2-^ -f 32 +...4- 62).

L'expression comprise entre parenthèses ne semblait pas, aux yeux de Wallis, susceptible d'une évaluation commode. Pourtant, lorsque n est un grand nombre, Wallis avait trouvé, par un calcul approché, que cette somme tend uniformément

vers l'expression simple -r- • Comme nous n'avons à nous occuper que du cas où n augmente indéfiniment, l'approximation admise par Wallis devient entièrement légitime.

Généralisant alors ce procédé, Wallis avait fait porter ?es efforts sur l'évaluation des fonctions de grands nombres. Il avait essayé méthodiquement de sommer, non seulement les séries de puissances entières, mais les séries de puissances rationnelles de nombres entiers. On lui doit à ce sujet desformules exactes, de même qu'il savait faire usage de produits et de quotients infinis^. Il appliquait déjà pour établir ces formules dans le cas des exposants fractionnaires, les procédés d'interpolation dont Newton devrait tirer un si grand parti. C'est seulement dans le cas des puissances négatives que sa méthode était parfois en échec. C'est aux travaux de Mercator qu'il faut faire remonter la solution de cette difficulté.