Yoy. Arith. Uîiiv.y p

3. Propriété additive, i)ropriété commutalive, propriété distributive.

créées en quelque sorte pour transformer ces nombres en entiers positifs, et l'on peut dire que leur objet est de tourner, par une voie indirecte, un problème insoluble directement. L'introduction des irrationnelles représente une phase nouvelle dans le déplacement des diflicullés.

Ici encore il sera important de maintenir les propriétés des opérations fondamentales, tout en en favorisant l'extension à un domaine plus vaste. La multiplication peut se définir comm^ la recherche d'un nombre X qui soit à un nombre donné ^f comme un autre nombre wi est à Tunité. On l'exprime par l'éga* lité suivante : * -

On peut démontrer qu'une pareille opération est toujours^ possible, c'est-à-dire qu'elle amène toujours à un nombre d& même espèce que les nombres donnés : si m et M sont des nombres rationnels de signe quelconque, il existera toujours un nombre ralionnel et un seul, de signe déterminé, satisfaisante l'équation (i). Supposons maintenant que le nombre Xsoit connu, et que l'un des deux nombres m et M, supposés égaux, soit à déterminer. C'est le cas général de l'extraction des racines carrées, et ce cas oblige parfois à une opération impossible, il serait facile de s'en tenir là, c'est-à-dire de constater l'impossibilité sans faire aucune convention nouvelle, si nous ne savions par l'expérience que notre problème a un sens. Car il nous suffit de construire un triangle rectangle dont l'hypothénuse soit X et la projection d'un autre côté sur elle égale à i pour que la longueurdececôté réponde à la question. Orlesrèglesdel'extraction des racines permettent de trouver rationnellement m tant que X est un carré parfait. D'autre part le sentiment de la continuité nous assure qu'un problème résoluble dans des cas aussi voisins qu'on le veut doit l'être aussi dans les cas intermédiaires. Il s'en suit que l'existence des irrationnelles, par exemple de v/T, loin d'être un fait de convention, correspond au contraire à une notion d'expérience. Ce qui peut présenter quelques difficultés, c'est la mesure effective des irrationnelles à l'aide des unités rationnelles, si l'on veut rester fidèle aux procé<Jés déjà usités. Mais ici encore une simple extension de la méthode d'approximation employée pour l'évaluation des

L'ARITHMETIQUE ET L'ALGEBRE Î5

quantités fractionnaires permettra d'arriver au but^ C'est levrai sens de l'algorilhme d'Euclide, qui montre immédiate-^ ment la différence des cas où la grandeur est incommensu»rable et des cas où elle est commensurable ; pour les uns, il se poursuit indéfiniment, pour les autres, il se termine de luimême.

Pourtant l'apparition des incommensurables marque quelque chose de plus : c'est le passage précis de l'Arithmétique à l'Algèbre. Bien qu'il n'y ait de différence absolue entre les nombres rationnels et les irrationnels ni au point de vue de l'origine ni au point de vue de l'application, il faut remarquer qu'une irrationnelle ne pouvant se déterminer que par une suite infinie d'opérations, doit nécessairement être affectée d'un symbole provisoire. L'usage des notations algébriques, qui semble superflu tant qu'on reste dans le domaine des opérations rationnelles, s'impose immédiatement dès qu'il s'agit des nombres « sourds ». En les désignant par une lettre spéciale, nous rappelons qu'ils ne peuvent s'évaluer au moyen d'un nombre fini d'opérations, en même temps qu'il nous devient possible, grâce à la méthode des coefficients indéterminés, de les faire entrer dans des équations algébriques, qui serviront peut-être à les préciser.

Les nombres imaginaires n'étaient pas connus du temps de Newton. On s'était aperçu bien souvent qu'une équation pouvait n'avoir aucune racine réelle, et Descartes lui-même avait désigné sous le nom de racines fausses toutes celles qui impliquent un radical carré portant sur une quantité négative. Mais on s'accordait à considérer ces racines comme des indices d'impossibilité. C'est seulement avec les progrès de la théorie générale des équations, grâce aux travaux de d'Alembert et de ses successeurs, qu'on s'accoutumera avoir dans les racines imaginaires des quantités susceptibles d'être interprétées. L'algèbre de Newton ne semble pas sur ce point différer de celle de Descartes. L'absence de racines réelles ne nous apprend qu'une chose, c'est que nous avons affaire à un problème inso-

i. Voy. Lecliones oplicœ, prop. XIV, lemme VI, cor. II. « Rationum, similitudines quae quantitatibus commensurabilibus conveniuntindefinite, eo nomine conveniunt etiam incommensurabilibiis similiter affectis, (juem admodum ex Euclidis definitione similium rationum ostendi potest. »

lubie. « Il faut bien que dans les équations il y ait des racines impossibles, sans quoi, dans les problèmes, certains cas impossibles se trouveraient possibles*».

Pourquoi Newton n*a-t-il pas, comme on devait le faire plus tard, cherché à créer une nouvelle classe de nombres, les nombres complexes, pour rendre réalisables des opérations impossibles autrement r 11 lui suffisait d'un symbole nouveau appliqué aux racines «fausses », et permettani l'extension naturelle des règles ordinaires du calcul, pour aboutir au nombre imaginaire, comme il avait rencontré déjà le nombre fractionnaire et le nombre irrationnel. Une telle généralisation nous semble aujourd hui aisée. De simples considérations de symétrie nous persuadent qu'une équation donnée doit avoir, dans tous les cas, le môme nombre de racines. Mais c'est là une vue synthétique que ne pouvait avoir l'algèbre à ses débuts. Chez Newton particulièrement, pour qui l'algèbre marche de pair avec la géométrie, toute généralisation du calcul doit avoir son fondement dans une mesure concrète. On comprend aisément qu'il faille des nombres nouveaux pour mesurer des longueurs qui ne sont pas commensurables avec l'unité parce que <le pareilles longueurs se présentent effectivement dans la nature. Mais rien dans la nature ne répond à une grandeur imaginaire. Il est donc vrai de dire avec Newton que si le calcul nous amène à des racines qui ne sont pas réelles, c'est un signe que le problème étudié ne peut avoir d'interprétation concrète. 11 ne faudrait pas conclure de là que l'emploi si fécond des imaginaires ne puisse, par une voie détournée, amener à des .solutions positives. 11 est seulement fort naturel que ces voies détournées n'aient été utilisées qu'assez tard, après les progrès de l'analyse à la fin du xvni® siècle. Newton, à lexemple de ses contemporains, envisage les racines imaginaires comme un simple moyen de reconnaître, lorsque la géométrie ne nous apprend rien, si un problème est possible •ou impossible, car « une figure a des limites qu'une équation ne reconnaît pas. »

Quelle que soit la nature des nombres dont nous nous servons, aious devons, en dernière analyse les faire entrer dans nos