Cf. Enum. Lin. Terl. Ordinis, § VI, p

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prement dits, avaient commencé par les résoudre au moyen des coniques, par des constructions dans l'espace dont l'élégance n'a pas été dépassée. Les travaux d'Apollonius et d'Hipparque demeurent à cet égard des modèles. Ils obtenaient ainsi l'avantage d'une construction théoriquement rigoureuse pouvant s'effectuer par des intersections planes. Mais ces solutions, qui ne laissaient rien à désirer comme précision, ne tardèrent pas à se montrer insuffisantes en pratique. Il est évident qu'une construction, même facile, effectuée dans l'espace est inlérieure au point de vue pratique à une autre plus compliquée mais réalisable dans le plan. Aussi les anciens, après avoir déterminé par composition les lieux des problèmes solides, ont-ils bientôt senti que de telles constructions resteraient inutiles à cause de ladiQiculté de décrire les sections coniques. En vain essayèrent-ils d'abord de construire ces sections par points, ce qui peut se faire, comme on sait, de façon élémentaire. Un tel artifice ne réussit pas, car il ne saurait s'employer dans la recherche des lieux qui s'obtiennent par des intersections. Ils se résolurent alors à introduire dans la géométrie des courbes dont la nature théorique est bien plus complexe que celle des coniques, mais dont la description pratique peut se faire par des moyens simples. Sacrifiant le goût de l'élégance au souci de la commodité, ils admirent qu'on résolût des problèmes du second ordre à l'aide de courbes d'ordre plus élevé, voire même de courbes transcendantes, si celles-ci étaient d'un maniement plus aisé que les sections coniques. C'est l'époque où, sous l'inffuence d'Archimède, deDioclès, dcNicomède, la spirale, les conchoïdes, et les autres courbes mécaniques pouvant se décrire plus ou moins facilement servirent à résoudre dans le plan les problèmes qu'on construisait auparavant dans l'espace. Pappus, qui nous a laissé une histoire de cette révolution scientifique, en rapporte le premier mérite aux travaux d'Archimède. Négligeant la méthode trouvée par les géomètres ses prédécesseurs, d'opérer la trisection de l'angle par les sections coniques, Archimède enseigna dans ses Lemmes un nouveau moyen d'exécuter ce problème. 11 s'y servait de courbes mécaniques, obtenues en tendant des fils, et sa solution à la fois rigoureuse et pratique est le modèle que va suivre Newton.

Si les anciens, tout en regardant certaines courbes comme mécaniques, les ont cependant préférées pour la résolution des problèmes, il semble à Newton qu'il y a encore bien plus de raisons de les préférer pour cet usage « aujourd'hui que la plupart des géomètres les regardent comme tout aussi géométriques que les sections coniques elles-mêmes '. » C'est en effet imposer à l'analyse une restriction singulière que de l'appliquer seulement aux courbes algébriques. La géométrie analytique est plus générale que ne le pensait Descartes. La langue précise du calcul peut tout aussi bien servir à traduire des' relations transcendantes que des relations algébriques. C'est là une simple question de terminologie.

Si je conviens par exemple de représenter par a (x) la fonction qui est égale au sinus de x, l'équation parfaitement simple

sera celle de la sinusoïde, et si le symbole a (x) se montre commode, il ny aura nulle raison pour exclure la sinusoïde dé l'ensemble des courbes simples admises dans la résolution

des problèmes.

Ainsi en développant l'idée des anciens, Newton arrive à cette conclusion que les courbes les plus simples ne sont pas nécessairement celles dont le symbole algébrique est le plus voisin d'une formule du premier degré. Ce sont celles bien plutôt qui sont le plus faciles à décrire. Or, excepté le cercle, il n'est aucune courbe plus facile à décrire que la conchoïde. Il faut donc la préférer à toutes les coniques, même si ces coniques menaient, elles aussi, à une solution rigoureuse. Je suppose qu'on demande de partager un angle dans un rapport donné. La trochoïde nous donne la solution; c'est elle qu'ont employée Archimède dans ses Lemmes et Pappus dans ses Collections. Si Ton demandait de partager l'angle en 1 0001 parties égales, est-il un partisan des courbes algébriques qui ose préfér^'er lemploi d'une courbe de ce genre, dont l'équation dépasse le 100« degré, à la trochoïde, ligne très connue, et si facile à décrire par le mouvement dune roue ou d'un cercle ? On voit que Newton ne quitte pas un instant le point de vue de