VI. LA COURBE ({) EST QUELCONQUE

Dans le cas où la courbe de base (£) est une courbe quelconque, on & 14 4 . TOILE Q .

peut appliquer les résultats généraux qui ont été établis dans les chapitres Î et IL. Au point de vue pratique, on peut envisager deux applications principales : : \

; à : Pa PER + Ce VE Te SR

1° Pour la navigation aérienne : toutes les fois que l'itinéraire diffère notablement de la géodésique, il peut y avoir intérêt à adopter comme courbe de base une courbe autre que la géodésique : c'est le cas par exemple de la route d'Extrême-Orient et des routes aériennes entre l'Amérique du Nord et l'Amérique du Sud.

2° Pour l’hydrographie : la cartographie maritime est intéressante surtout le long des côtes, car c’est en leur voisinage qu'on trouve généralement les récifs dangereux pour la navigation. Pour faire les levés précis de ces

RE PA AE rOE RE CR zones côtières, il est intéressant d'utiliser une projection qui déforme le moins possible la surface terrestre; la projection théorique la mieux adap-

tée est la projection conforme de déformation stationnaire qui serait basée sur la courbe moyenne que dessine le littoral.

35. Construction de la projection. — La construction de la projection dans ce cas général comporte, comme pour les cartes aériennes . basées sur une géodésique, le caleul précis de la courbe de base et celui des courbes images des méridiens et des parallèles de l'ellipsoïde. Quand la courbe de base est quelconque, il n’existe pas de méthode générale analogue à celle qui fait l'objet du paragraphe 28; par contre, la méthode indiquée au paragraphe 27 reste applicable. Les intersections de (£ ) avec les parallèles sont données par les intégrales :

# &i AS =| P

cos z L,

(86) 1 AG] Ê to 2 dL rte

et les intersections avec les méridiens par les intégrales :

(87) | à | AL nn : cote 2 dG

analogues aux formules (71) et (72).

Mais, tandis que z était donné par la relation de CLuraur, dans le cas général, zest solution de l'équation différentielle (5°) :

dx :

T6 y 087 — dsinz

qui relie la fonction z à la courbure géodésique de (£ ).

+ PNA à ARS

Les formules (86) et (87), appliquées de proche en proche, font correspondre à un point (L, G) de l’ellipsoïde, situé sur la courbe (£), un point d’abscisse curviligne & sur la courbe. projetée {£) dont la courbure plane est égale à la courbure géodésique c.

La connaissance de la fonction z définit, au point courant de la courbe de base en projection, les axes £ et 7 langents respectivement au parallèle et au méridien qui passent par ce point; les équations (35°) et (36') donnent le moyen de faire correspondre à un point quelconque de l’ellipsoide de coordonnées géographiques L et G, des coordonnées E et», par deux procédés équivalents : on peut considérer le méridien G qui passe par ce point et prendre l'intersection de ce méridien avec la courbe (£ ); les Tables de l'Ellipsoïde International fournissent la valeur de l'are méridien s qui intervient dans les équations (35'); la latitude du point d'intersection du méridien avec {£) est fournie par la deuxième intégrale (87) et sert à calculer tous les coeflicients des équations paramétriques (35'). Le deuxième procédé consiste à considérer le parallèle de latitude L et à calculer à l’aide de là deuxième intégrale (86) la longitude de son intersection avec la courbe (£ ); les Tables de l'Ellipsoïde International fournissent alors la valeur du paramètre t, arc de parallèle qui intervient dans les équations (36°); il suflit de calculer ensuite tous les coefficients de ces équations pour la latitude L. On doit obtenir par les deux procédés le même point en projection, aux termes d'ordre supérieur près qui auront été négligés dans les calculs.

36. Application aux levés hydrographiques. — Dans un mémoire publié en 1912 0), M. A. Courrier a montré que le système de coordonnées rectangulaires par rabattements de triangles le long de la côte constituait la projection la mieux adaptée aux travaux hydrographiques.

Toutefois, on peut reprocher à ce système empirique de manquer de définition mathématique précise : ce qui est un inconvénient très sérieux pour lexploitation sûre des calculs géodésiques et pour la définition des méridiens et des parallèles en fonction des coordonnées planes.

Si on adopte comme courbe de base {(£), la courbe moyenne définie par la chaine de triangles côtiers sur laquelle s'appuie le levé hydrographique projeté, on peut substituer à la définition empirique de la projecbon une définition mathématique précise. |

Les calculs des observations faites sur le terrain peuvent être exécutés, en projection plane à condition d'effectuer sur les angles observés rigoureusement pour les triangles principaux les corrections angulaires finies correspondant à l'angle de la corde avec l’image en projection de la géodésique correspondante. Comme la partie utile de la projection est limitée à une bande étroite de 50 à 100 kilomètres, de part et d'autre de la courbe de base, toute correction finie de ce genre est inutile pour

G) À, Cournier. — Choix d’un système de representation pour la rédaction des levés hydrographiques. (Extrait des Annales hydrographiques de 1912.)